湖南省衡阳市高三数学下学期第一次联考试题 理（扫描版）.doc

湖南省衡阳市2017届高三数学下学期第一次联考试题 理（扫描版）2017届高中毕业班联考（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-6:bcdadd 7-12:cabacb二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13 1468 15 16三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且对任意正整数都有成立.（）记，求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【解析】（）在中，令得. 因为对任意正整数，都有成立，所以，-2分两式相减得，所以， -4分又，所以为等比数列，所以，所以.-6分（），-8分所以-10分-12分18(本小题满分12分)已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，设为的中点（1）求证：平面；（2）点在线段上，且平面，求平面和平面所成锐角的余弦值【解析】（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且为等边三角形，所以平面，而平面，故-2分因为的三边长分别为，故为等腰直角三角形所以，结合且可知：平面-4分（2）解：取中点，则由为等边三角形知，从而以为坐标轴，建立如图所示的坐标系此时,，设-6分由上面的讨论知平面的法向量为由于平面，故平面故，故-8分设平面的法向量为，由知，取，故-10分设平面和平面所成锐角为，则即平面和平面所成锐角的余弦值为-12分19(本小题满分12分)根据国家环境空气质量标准规定:居民区中的pm2.5（pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，pm2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 我市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的pm2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别pm2.5(微克/立方米)频数(天)频率第一组( 0，1540.1第二组(15，30120.3第三组(30，4580.2第四组(45，6080.2第五组(60，7540.1第六组(75，90)40.1（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从pm2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区pm2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望和方差.【解析】（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米 -2分（2）去年该居民区pm2.5年平均浓度为（微克/立方米）-4分因为，所以去年该居民区pm2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进 -6分（3）记事件表示“一天pm2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.随机变量的可能取值为0,1,2.且.-8分所以， 所以变量的分布列为012p-10分（天） (另解：（天）)-12分20(本小题满分12分)已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点（1）求曲线的方程；（2）试探究的值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值【解析】解：（1）设圆心的坐标为，半径为，由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，故圆心的轨迹-3分（2）设，直线，则直线，由可得：，-5分由可得：，-7分的值为一个常数，这个常数为-8分（3），的面积的面积，到直线的距离，-10分令，则，（当且仅当，即，亦即时取等号）当时，取最大值-12分21(本小题满分12分)已知函数，的图象与轴交于点（异于原点），在处的切线为，的图象与轴交于点，且在该点处的切线为，并且与平行.（）求的值；（）已知实数，求函数的最小值；（）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（i）图象与轴异于原点的交点，图象与轴的交点，由题意可得，即， ，-3分（ii）=令，在 时，在单调递增，图象的对称轴，抛物线开口向上当即时，当即时，当即时，-6分综上：当时， ；当；当时，-7分（iii）,所以在区间上单调递增 时，-8分当时，有，得，同理， 由的单调性知 、从而有，符合题设. -9分当时，由的单调性知 ，与题设不符 -10分当时，同理可得，得，与题设不符. -11分综合、得-12分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆与直线的极坐标方程分别为.（1） 求与交点的极坐标;（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为为参数) ，求的值.【解析】（1）圆的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为,联立得，得所以与交点的极坐标为.-5分（2）由（1）可得,的直角坐标为,故的直角坐标方程为，由参数方程可得，所以，解得.-10分23(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有