2017华师版九年级数学(上)教案(全册).doc

第第 22222121 章章 二次根式二次根式 总第二课时总第二课时 22222121 1 1 二次根式二次根式 教学目标 1 了解二次根式的概念 2 掌握二次根式的基本性质 教学重难点关键 1 重点 形如 a 0 的式子叫做二次根式的概念 a 2 难点与关键 利用 a 0 解决具体问题 a 教学过程 一 复习 当 a 是正数时 表示 a 的算术平方根 即正数 a 的正的平方根 a 当 a 是零时 等于 0 它表示零的平方根 也叫做零的算术平方根 a 当 a 是负数时 没有意义 a 一二 提出问题 上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义 引进了一个新的记号 现在请同学 a 们思考并回答下面两个问题 1 表示什么 a 2 a 需要满足什么条件 为什么 二三 合作交流 解决问题 让学生合作交流 然后回答问题 可以补充 归纳为 1 当 a 是正数时 表示 a 的算术平方根 即正数 a 的两个平方根中的一个正数 a 2 当 a 是零时 表示零 也叫零的算术平方根 a 3 a 0 因为任何一个有理数的平方都大于或等于零 三四 归纳特点 引入二次根式概念 1 基本性质 问题 1 你能用一句话概括以上 3 个结论吗 让一个学生回答 其他学生补充 概括为 a 0 表示非负数 a 的算术平方根 也就 a 是说 a 0 是一个非负数 即 0 a 0 aa 问题 2 2 a 0 等于什么 说说你的理由并举例验证 a 让学生小组讨论或自主探索得出结论 2 a a 0 如 2 4 2 2 等 a42 以上两个问题的结论就是基本性质 特别是 2 a a 0 可以当公式使用 直接应用 a 于计算 反过来 把 2 a a 0 写成 a 2 a 0 的形式 这说明 任何一个非负数 a aa 都可以写成一个数的平方的形式 例如 3 2 0 3 2 30 3 提问 1 0 2对不对 0 2 5 2对不对 如果不对 错在哪里 5 2 二次根式概念 形如 a 0 的式子叫做二次根式 a 说明 二次根式必须具备以下特点 1 有二次根号 2 被开方数不能小于 0 让学生举出二次根式的几个例子 并判断 a 0 a o 是不是二次根 5a 3 a a 式 四 范例 例 1 x 是怎样的实数时 二次根式有意义 1 x 分析要使二次根式有意义 必须且只须被开方数是非负数 解 被开方数 x 1 0 即 x 1 所以 当 x 1 时 二次根式有意义 1 x 要使式子有意义 字母 x 的取值必须满足什么条件 x 1 提问 若将式子改为 则字母 x 的取值必须满足什么条件 x 11 x 五 课堂练习 Pl0 页练习 1 2 六 思考提高 我们已经研究了 2 a 0 等于 a 现在研究等于什么 aa2 提问 1 对于抽象问题的研究 常常采用什么策略 2 在中 a 的取值有没有限制 a2 3 取一些数值来验证 通过验证 你能发现什么规律 因此 今后我们遇到时 可先改写成 a 的绝对值 a 再按照 a 取正数值 0 还是 a2 负数值来取值 例如当 x 0 时 4x 4x 16x2 4 2与是一样的吗 说说你的理由 并与同学交流 aa2 七 小结 1 形如 a 0 的式子叫做二次根式 称为二次根号 a 2 要使二次根式在实数范围内有意义 必须满足被开方数是非负数 1 什么叫做二次根式 你们能举出几个例子吗 2 二次根式有哪两个形式上的特点 3 二次根式有哪些性质 八 作业 习题 22 1 第 1 2 3 4 题 教学后记 教学后记 2221 2 二次根式的乘除法二次根式的乘除法 总第三课时总第三课时 第一课时第一课时 二次根式的乘除法二次根式的乘除法 教学目标 1 使学生掌握二次根式的乘法运算法则 会用它进行简单的二次根式的乘法运算 2 使学生掌握积的算术平方根的性质 会根据这一性质熟练地化简二次根式 3 培养学生合情推理能力 教学重难点关键 1 重点 a 0 b 0 a 0 b 0 及它们abababab 的运用 2 难点 发现规律 导出 a 0 b 0 abab 3 关键 要讲清 a 0 b 0 a 0 b 0 及用它们进行计算 a b a b a b a b 和化简 2 难点关键 发现规律 归纳出二次根式的除法规定 教学过程 一 创设问题情境 问题 l 上一节课 我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则 问题 2 是否也有二次根式的除法法则呢 问题 2 两个二次根式相除 怎样进行呢 二 加强合作 探索规律 自探 学生活动 请同学们完成下列各题 1 填空 1 2 9 16 9 16 16 36 16 36 3 4 4 16 4 16 36 81 36 81 规律 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 81 36 81 2 利用计算器计算填空 1 2 3 4 3 4 2 3 2 5 7 8 规律 3 4 3 4 2 3 2 3 2 5 2 5 7 8 7 8 每组推荐一名学生上台阐述运算结果 老师点评 根据大家的练习和回答 归纳 b a b a 让抽象的问题具体化 这是我们研究抽象问题的一个重要方法 请同学们 参考二次根式的乘法法则的研究 分组讨论两个二次根式相除 会有什么结论 并提出你的见解 然后其他小组同学补充 归纳为 b a b a 提问 1 a 和 b 有没有限制 如果有限制 其取值范围是什么 2 a 0 b 0 成立吗 为什么 请举例 b a b a 三 范例 例 1 计算 3 15 3 24 教学要求 1 对于 1 可由教师解答示范 2 对于 2 可由学生自己计算 提问 1 除了课本中的解答外 是否还有其他解法 如果有 请给出另外解法 2 哪种方法更简便 例 2 化简 要求分母不带根号 2 1 说明 二次根式的化简要求满足以下两条 1 被开方数的因数是整数 因式是整式 也就是说 被开方数不含分母 2 被开方数中不含能开得尽的因数或因式 也就是说 被开方数的每一个 因数或因式的指数都小于 2 把一个二次根式化简的具体方法是 化去根号下的分母 并把被开方数中 能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面 四 做一做 化简 5 1 20 8 教学要点 1 叫两位同学板演 其他同学做完练习进行评价 2 可用提问 的方式引导学生探索其他解法 五 应用拓展 已知 且 x 为偶数 求 1 x 的值 99 66 xx xx 2 25 4 1 xx x 分析 式子 只有 a 0 b 0 时才能成立 a b a b 因此得到 9 x 0 且 x 6 0 即 60 并 b a b a 利用它进行计算和化简 化简要做到 被开方数不含分母 和 被开方数的每 一个因数或因式的指数都小于 2 具体办法是 化去根号下的分母 并把被开 方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面 化简 的具体方法可用于计算 七八 作业 P14 页习题 2221 2 2 2 3 3 3 教学后记 教学后记 总第五课时 22 3二次根式的加减法二次根式的加减法 一 一 教学目标 1 使学生知道什么是同类二次根式 会辨别两个根式是否同类二次根式 2 使学生会通过合并同类二次根式 进行二次根式的加法与减法运算 3 使学生通过二次根式的加减 进一步了解归类的思想方法 重难点关键 1 重点 二次根式化简为最简根式 2 难点关键 会判定是否是最简二次根式 教学过程 一 创设问题情境 1 化简 1827128 2 试一试计算 3 2 3 2 33aa 二 做一做 1 观察以上两道计算题 你联想到什么 让学生类比 联想 讨论 交流 然后举手回答 老师归纳 评价 2 你能试着解决它吗 让学生动手计算 鼓励学生加强合作 同桌 上下桌同学可以互相交流 并请两位同学上台板演 教师进行讲评 上面两个例子表明 遇到两个二次根式相加 或加减 时 我们希望利用分 配律 这里利用分配律的实质是要求这两个二次根式的被开方数相同 这种类 似的情况我们过去也遇到过 将两个单项式相加 如果想利用分配律的话 那 就应当要求两个单项式除了系数以外 其余部分完全相同 这就启发我们 类 似在整式的加减中依靠 同类项 那样 能不能在二次根式的加减中 也依靠 一种 同类二次根式 呢 3 同类二次根式 像 3和 2 3和 2这样的两个二次根式 称为同类二次根式 33aa 说明 1 被开方数相同 问 与 3是不是同类二次根式 3515 2 二次根式不能再化简 3 与二次根式的系数无关 4 你还能说出几个与 3同类的二次根式吗 3 三 举例与应用 二次根式的加减 与整式的加减相类似 只需对同类二次根式进行合并 例 1 计算 3 2 3 2323 例 2 计算 81812 提问 1 这里三个加项中有同类二次根式吗 2 能否将它们化简 化简情况详见上面 可以发现 有些二次根式是同类二次根式 而有些不 是 将同类二次根式合并 就可以得到最后的结果 小结 先化简 再合并同类二次根式 例 3 计算 1 2 2 503227345 让学生试试看 完成例 3 的计算 四 课堂练习 P14 页练习 1 2 思考 P14 页打开计算黑盒 五 小结 这节课 我们学习了同类二次根式概念 同类二次根式必须满足两个条件 1 它们都是最简二次根式 2 它们被开方数必须完全相同 同时 我们还学习 了二次根式的加法与减法运算 通过运算我们知道 二次根式相加减的实质就 是合并同类二次根式 为了确认哪些二次根式是同类二次根式 我们先要把被 确认的二次根式都化成最简二次根式 再按它们的被开方数是否完全相同去判 断 六 作业 写在小黑板上 一 选择题 1 以下二次根式 中 与是同类二次根式的12 2 2 2 3 273 是 A 和 B 和 C 和 D 和 2 下列各式 3 3 6 1 2 233 1 7 72682 24 3 其中错误的有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个2 二 填空题 1 在 3 2中 与是同8 1 75 3 a 2 9 3 a 125 3 2 3a a 0 2 1 8 3a 类二次根式的有 2 计算二次根式 5 3 7 9的最后结果是 abab 三 综合提高题 1 已知 2 236 求 的值 结果精确到580 4 1 5 1 3 5 4 45 5 0 01 2 先化简 再求值 6x 4x 其中 x y 27 y x 3 3 xy y x y 36xy 3 2 习题 2221 3 3 4 5 教学后记 教学后记 教学后记 总第六课时 二次根式的加减 二 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标 运用二次根式 化简解应用题 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点 又是本节课的难点 关键点 教学过程 一 设疑自探 解疑合探 上节课 我们已经学习了二次根式如何加减的问题 我们把它归为两个步骤 第一步 先将二次根式化成最简二次根式 第二步 再将被开方数相同的二次根式进行合并 下面 我们研究三道题以做巩固 自探 1 如图所示的 Rt ABC 中 B 90 点 P 从点 B 开始沿 BA 边 以 1 厘米 秒的速度向点 A 移动 同时 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘 米 秒的速度向点 C 移动 问 几秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 PQ 的距 离是多少厘米 结果用最简二次根式表示 分析 设 x 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 那么 PB x BQ 2x 根 据三角形面积公式就可以求出 x 的值 解 设 x 后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 则有 PB x BQ 2x 依题意 得 x 2x 35 x2 35 x 1 2 35 所以秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 35 PQ 5 22222 455 35PBBQxxx 7 答 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 PQ 的距离为 5厘357 米 自探 2 要焊接如图所示的钢架 大约需要多少米钢材 精确到 0 1m 解 由勾股定理 得 AB 2 2222 4220ADBD 5 BC 2222 21BDCD 5 所需钢材长度为 AB BC AC BD 2 5 2 55 3 7 3 2 24 7 13 7 m 5 答 要焊接一个如图所示的钢架 大约需要 13 7m 的钢材 三 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 四 应用拓展 若最简根式与根式是同类二次根式 求 a b 的值 3 43 a b ab 232 26abbb 注 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式 分析 同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后 被开方数相同 事实 上 根式不是最简二次根式 因此把化简成 b 232 26abbb 232 26abbb 才由同类二次根式的定义得 3a b 2 2a b 6 4a 3b 26ab 解 首先把根式化为最简二次根式 232 26abbb b 232 26abbb 2 2 16 ba 26ab 由题意得 a 1 b 1 4326 32 abab ab 246 32 ab ab 五 归纳小结 师生共同归纳 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问 题 六 作业设计 写在小黑板上 一 选择题 1 已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 5 那么斜边的长应为 A 5 B C 2 D 以上都不对2505 2 小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框 为了增加其稳定 性 他沿长方形的对角线又钉上了一根木条 木条的长应为 米 A 13 B C 10 D 510013001313 二 填空题 1 某地有一长方形鱼塘 已知鱼塘的长是宽的 2 倍 它的面积是 1600m2 鱼塘的宽 是 m 2 已知等腰直角三角形的直角边的边长为 那么这个等腰直角三角形的周长是2 三 综合提高题 1 若最简二次根式与是同类二次根式 求 m n 的值 2 2 32 3 m 2 12 410 n m 2 同学们 我们以前学过完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 你一定熟练掌握了吧 现在 我们又学习了二次根式 那么所有的正数 包括 0 都可以看作是一个数的平方 如 3 2 3 5 2 你知道是谁的二次根式呢 下面我们观察 5 1 2 2 2 1 12 2 2 1 3 2 22222 反之 3 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 12222232 2 2 求 1 2 3 你会算吗 32 2 42 3 412 4 若 则 m n 与 a b 的关系是什么 并说明理由 2ab mn 教学后记 总第七课时 二次根式的加减 三 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘 相除 多项式与单项式相乘 相除 多 项式与多项式相乘 相除 乘法公式的应用 教学目标 1 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应 用 2 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除 乘方等运 算 重难点关键 1 重点 二次根式的乘除 乘方等运算规律 2 难点关键 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学过程 一 设疑自探 解疑合探 自探 1 学生活动 请同学们完成下列各题 1 计算 1 2x y zx 2 2x2y 3xy2 xy 2 计算 1 2x 3y 2x 3y 2 2x 1 2 2x 1 2 老师点评 这些内容是对八年级上册整式运算的再现 它主要有 1 单项式 单项 式 2 单项式 多项式 3 多项式 单项式 4 完全平方公式 5 平方差公式的运用 如果把上面的 x y z 改写成二次根式呢 以上的运算规律是否仍成立呢 仍成 立 整式运算中的 x y z 是一种字母 它的意义十分广泛 可以代表所有一切 当然 也可以代表二次根式 所以 整式中的运算规律也适用于二次根式 自探 2 计算 1 2 4 3 2683622 分析 刚才已经分析 二次根式仍然满足整式的运算规律 所以直接可用整式的运 算规律 自探 3 计算 1 6 3 2 55107107 分析 刚才已经分析 二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成 立 二 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 三 应用拓展 已知 2 其中 a b 是实数 且 a b 0 xb a xa b 化简 并求值 1 1 xx xx 1 1 xx xx 分析 由于 1 因此对代数式的化简 可先将分母有1x x1x x 理化 再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值 代入化简得结果即可 解 原式 2 1 1 1 xx xxxx 2 1 1 1 xx xxxx x 1 x 2 x 2 4x 2 2 1 1 xx xx 2 1 1 xx xx 1 x x 1 x x 2 b x b 2ab a x a bx b2 2ab ax a2 xb a xa b a b x a2 2ab b2 a b x a b 2 a b 0 x a b 原式 4x 2 4 a b 2 四 归纳小结 师生共同归纳 本节课应掌握二次根式的乘 除 乘方等运算 五 作业设计 写在小黑板上 一 选择题 1 3 2 的值是 2415 2 2 3 2 A 3 B 3 C 2 D 20 3 33030 2 3 330 2 3 3 20 3 3 30 2 计算 的值是 A 2 B 3 C 4 x1x x1x D 1 二 填空题 1 2的计算结果 用最简根式表示 是 1 2 3 2 2 1 2 1 2 2 1 2的计算结果 用最简二次根式表示 是 333 3 若 x 1 则 x2 2x 1 2 4 已知 a 3 2 b 3 2 则 a2b ab2 22 三 综合提高题 1 化简 57 10141521 2 当 x 时 求 的值 结果用最简二次根 1 21 2 2 1 1 xxx xxx 2 2 1 1 xxx xxx 式表示 六 反思及感想 第第 2121 章二次根式复习课教学设计章二次根式复习课教学设计 教学目标教学目标 1 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质 并能熟练地化简含二次根式的式子 2 熟练地进行二次根式的加 减 乘 除混合运算 教学重点教学重点 含二次根式的式子的混合运算 教学难点教学难点 综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子 教学方法教学方法 典例解析法 教学准备教学准备 小黑板 三角尺 教学过程教学过程 知识回顾知识回顾 1 1 二次根式 二次根式 式子 0 叫做二次根式 当 0 时 0 当 0 时 aaaaa 在实数范围内有意义 a 2 2 最简二次根式 最简二次根式 必须同时满足下列条件 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式不含开方开的尽的因数或因式 被开方数中不含分母不含分母 分母中不含不含 根式根式 3 3 同类二次根式 同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后 若被开方数相同 则这几个二次根式就是同类二次根式 4 4 二次根式的性质 二次根式的性质 1 2 0 2 aaa aa2 5 5 二次根式的运算 二次根式的运算 二次根式的加减运算 先把二次根式化成最简二次根式 然后合并同类二次根式即可 二次根式的乘除运算 0 b 0 abba a 0 0 ba b a b a 设计意图设计意图 通过对知识的梳理 让学生对本章知识有个系统的认知 理清知识点之 间的联系 掌握注意的地方 加深对知识的全面理解 例题讲解例题讲解 例例 1 1 1 使有意义的的取值范围是 2x x 0 aa 0a a 0 0 a 2 函数中 自变量的取值范围是 分析 分析 第 2 题的分子是二次根式 分母是含 x 的多项式 因此 x 的取值必须使二次根 式有意义 同时使分母的值不等于零 例例 2 2 下列根式中属最简二次根式的是 A B C D 2 1a 1 2 827 分析 分析 B 选项根式被开方数中中含有分母 CD 选项中含有能开得尽方的因数 或式 例例 3 3 下列各式中与是同类二次根式的是 A 2 B C D 分析 分析 判断是否是同类二次根式前 要对每个根式进行化简 例例 4 4 计算 1 2 2 3 2 4 分析 分析 根据二次根式的性质可直接得到结论 例例 5 5 化简 1 2 72 6 12 18 32 75 0 0 x yxy 分析 分析 逆用二次根式乘除法公式结合二次根式的性质可直接得到结论 例例 6 6 计算 1 2 1218832 3 分析 分析 第 1 小题首先要将它们化成最简二次根式 然后合并同类二次根式 第 2 题即 可以先算括号里的运算 也可以用乘法的分配律展开来计算 第 3 题利用平方差公式运算 简单 例例 7 7 A a 2 B a 2 C a 2 D a 2 分析 分析 故 a 2 0 基础训练基础训练 1 下列根式中不是最简二次根式的是 A A B B C C D D 10862 2 的倒数是 3 3 下列计算正确的是 A B C D 4 下列运算正确的是 A B C D 4 06 1 5 15 1 2 39 3 2 9 4 5 已知等边三角形 ABC 的边长为33 则 ABC 的周长是 6 比较大小 10 7 下列各组二次根式中是同类二次根式的是 A B C D 2 1 12与2718与 3 1 3与 5445与 8 已知二次根式与是同类二次根式 则的 值可以是 A 5 B 6 C 7 D 8 9 若 则 230ab 2 ab 10 计算 1 2 3 4 2712 4 1 48 课堂小结课堂小结 1 本节课复习的五个基本问题是 二次根式 这一章的主要基础知识 同学们要深刻理 解并牢固掌握 2 在一次根式的化简 计算及求值的过程中 应注意利用题中的使二次根式有意义的条 件 或题中的隐含条件 即被开方数为非负数 以确定被开方数中的字母或式子的取值范 围 3 运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时 一定要注意论述每一个性质中 字母的取值范围的条件 4 通过例题的讨论 要学会综合 灵活运用二次根式的意义 基本性质和法则以及有关 多项式的因式分解 解答有关含二次根式的式子的化简 计算及求值等问题 课堂作业课堂作业 课本复习第 1 2 3 4 5 6 题 板书设计板书设计 课题 二次根式章节复习 知识点 例题 4 5 6 7 小结 1 2 3 4 5 例题 1 2 3 练习 第第 2323 章章 一元二次方程一元二次方程 23 1 一元二次方程一元二次方程 教学目标教学目标 1 知道一元二次方程的定义 能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 0 2 cbxax a 0 2 在分析 揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型 一元二次方程 的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具 增加对一元二次方程的感性认 识 3 会用试验的方法估计一元二次方程的解 重点难点重点难点 1 一元二次方程的意义及一般形式 会正确识别一般式中的 项 及 系数 2 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性 教学过程教学过程 一 做一做 1 问题一 绿苑小区住宅设计 准备在每两幢楼房之间 开辟面积为 900 平方米的一 块长方形绿地 并且长比宽多 10 米 那么绿地的长和宽各为多少 分 析 设长方形绿地的宽为 x 米 不难列出方程 x x 10 900 整理可得 x2 10 x 900 0 1 2 问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册 预计到明年年底增加到 7 2 万册 求这两年的年平均增 长率 解 设这两年的年平均增长率为 x 我们知道 去年年底的图书数是 5 万册 则今年年底 的图书数是 5 1 x 万册 同样 明年年底的图书数又是今年年底的 1 x 倍 即 5 1 x 1 x 5 1 x 2万册 可列得方程 5 1 x 2 7 2 整理可得 5x2 10 x 2 2 0 2 3 思考 讨论 这样 问题 1 和问题 2 分别归结为解方程 1 和 2 显然 这两个方程都不是一元一次 方程 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里 它们有什么共同特点呢 学生分组讨论 然后各组交流 共同特点 1 都是整式方程 2 只含有一个未知数 3 未知数的最高次数是 2 二 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 这样的方程叫做 一元二次方程 通常可写成如下的一般形式 ax2 bx c 0 a b c 是已知数 a 0 其中 2 ax 叫做二次项 a叫做二次项系数 bx叫做一次项 b叫做一次项系数 c叫做常数项 三 例题讲解与练习巩固 1 例 1 下列方程中哪些是一元二次方程 试说明理由 1 3523 xx 2 4 2 x 3 2 1 1 2 x x x 4 22 2 4 xx 2 例 2 将下列方程化为一般形式 并分别指出它们的二次项系数 一次项系数和常数 项 1 yy 2 6 2 x 2 x 3 8 3 2 2 43 3 xxx 说明 一元二次方程的一般形式 0 2 cbxax a 0 具有两个特征 一是方程的 右边为 0 二是左边的二次项系数不能为 0 此外要使学生意识到 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项都是包括符号的 3 例 3 方程 2a 4 x2 2bx a 0 在什么条件下此方程为一元二次方程 在什么条件 下此方程为一元一次方程 本题先由同学讨论 再由教师归纳 解 当a 2 时是一元二次方程 当a 2 b 0 时是一元一次方程 4 例 4 已知关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 3x 5m 4 0 有一根为 2 求 m 分析 一根为 2 即 x 2 只需把 x 2 代入原方程 5 练习一 将下列方程化为一般形式 并分别指出它们的二次项系数 一次项系数和常数 项 xx322 2 2x x 1 3 x 5 4 23112 22 yyyy 练习二 关于x的方程 0 3 2 mnxxm 在什么条件下是一元二次方程 在什么 条件下是一元一次方程 本课小结 本课小结 1 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式为 0 2 cbxax a 0 一元二次方程的项及系数都是 根据一般式定义的 这与多项式中的项 次数及其系数的定义是一致的 3 在实际问题转化为数学模型 一元二次方程 的过程中 体会学习一元二次方程的 必要性和重要性 布置作业布置作业 课本习题 23 1 1 2 3 教学后记教学后记 23 223 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 第一课时第一课时 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教学目标 教学目标 1 会用直接开平方法解形如 bkxa 2 a 0 ab 0 的方程 2 灵活应用因式分解法解一元二次方程 3 使学生了解转化的思想在解方程中的应用 渗透换远方法 重点难点重点难点 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程 理解一元二次方程无实根 的解题过程 教学过程教学过程 问 怎样解方程 2 1256x 的 让学生说出作业中的解法 教师板书 解 1 直接开平方 得 x 1 16 所以原方程的解是 x1 15 x2 17 2 原方程可变形为 2 12560 x 方程左边分解因式 得 x 1 16 x 1 16 0 即可 x 17 x 15 0 所以 x 17 0 x 15 0 原方程的蟹 x1 15 x2 17 二 例题讲解与练习巩固 1 例 1 解下列方程 1 x 1 2 4 0 2 12 2 x 2 9 0 分 析 两个方程都可以转化为 bkxa 2 a 0 ab 0 的形式 从而用直接开平方法求解 解 1 原方程可以变形为 x 1 2 4 直接开平方 得 x 1 2 所以原方程的解是 x1 1 x2 3 原方程可以变形为 有 所以原方程的解是 x1 x2 2 说明 1 这时 只要把 1 x 看作一个整体 就可以转化为 bx 2 b 0 型的 方法去解决 这里体现了整体思想 3 练习一 解下列方程 1 x 2 2 16 0 2 x 1 2 18 0 3 1 3x 2 1 4 2x 3 2 25 0 三 读一读 四 讨论 探索 解下列方程 1 x 2 2 3 x 2 2 2y y 3 9 3y 3 x 2 2 x 2 0 4 2x 1 2 x 1 2 5 4912 2 xx 本课小结本课小结 1 对于形如 bkxa 2 a 0 ab 0 的方程 只要把 kx 看作一个整体 就可转 化为 nx 2 n 0 的形式用直接开平方法解 2 当方程出现相同因式 单项式或多项式 时 切不可约去相同因式 而应用因式分解法 解 布置作业布置作业 课本第 37 页习题 1 5 6 P38 页习题 2 1 2 教学后记 教学后记 第二课时第二课时 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教学目标教学目标 1 掌握用配方法解数字系数的一元二次方程 2 使学生掌握配方法的推导过程 熟练地用配方法解一元二次方程 3 在配方法的应用过程中体会 转化 的思想 掌握一些转化的技能 重点难点重点难点 使学生掌握配方法 解一元二次方程 把一元二次方程转化为 qpx 2 教学过程教学过程 一 复习提问 解下列方程 并说明解法的依据 1 2 321x 2 2 160 x 3 2 210 x 通过复习提问 指出这三个方程都可以转化为以下两个类型 2 2 00 xb bxab b 和 根据平方根的意义 均可用 直接开平方法 来解 如果 b 0 方程就没有实数解 如 2 12x 请说出完全平方公式 2 22 2 22 2 2 xaxaxa xaxaxa 二 引入新课 我们知道 形如 0 2 Ax 的方程 可变形为 0 2 AAx 再根据平方根的意义 用直接开平方法求解 那么 我们能否将形如 2 0 xbxc 的一类方程 化为上述形式 求解呢 这正是我们这节课要解决的问题 三 探索 1 例 1 解下列方程 2 x 2x 5 2 2 x 4x 3 0 思 考 能否经过适当变形 将它们转化为 2 a 的形式 应用直接开方法求解 解 1 原方程化为 2 x 2x 1 6 方程两边同时加上 1 2 原方程化为 2 x 4x 4 3 4 方程两边同时加上 4 三 归 纳 上面 我们把方程 2 x 4x 3 0 变形为 2 2x 1 它的左边是一个含有未知数的完全 平方式 右边是一个非负常数 这样 就能应用直接开平方的方法求解 这种解一元二次方程 的方法叫做配方法 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后 左边可以用完全平方公式从而转化为用直 接开平方法求解 那么 在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢 四 试一试 对下列各式进行配方 22 8 xxx 22 10 xxx 22 5 xxx 22 9 xxx 22 2 3 xxx 22 xbxx 通过练习 使学生认识到 配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一 半的平方 五 例题讲解与练习巩固 1 例 2 用配方法解下列方程 1 2 x 6x 7 0 2 2 x 3x 1 0 2 练习 填空 1 2 2 6xx 2 2 x 8x x 2 3 2 x x x 2 4 4 2 x 6x 4 x 2 用配方法解方程 1 2 x 8x 2 0 2 2 x 5 x 6 0 3 2 76xx 六 试一试 用配方法解方程 x2 px q 0 p2 4q 0 先由学生讨论探索 教师再板书讲解 解 移项 得 x2 px q 配方 得 x2 2 x 2 p 2 p 2 2 p 2 q 即 x 2 p 2 4 4 2 qp 因为 p2 4q 0 时 直接开平方 得 x 2 p 2 4 2 qp 所以 x 2 p 2 4 2 qp 即 x 2 4 2 qpp 思 考 这里为什么要规定 p2 4q 0 七 讨 论 1 如何用配方法解下列方程 4x2 12x 1 0 请你和同学讨论一下 当二次项系数不为 1 时 如何应用配方法 2 关键是把当二次项系数不为 1 的一元二次方程转化为二次项系数为 1 的一元二次方程 先由学生讨论探索 再教师板书讲解 解 1 将方程两边同时除以 4 得 x2 3x 0 4 1 移项 得 x2 3x 4 1 配方 得 x2 3x 2 2 2 3 4 1 2 3 即 x 2 2 3 2 5 直接开平方 得 x 2 3 2 10 所以 x 2 3 2 10 所以 x1 2 103 x2 2 103 3 练习 用配方法解方程 1 0272 2 xx 2 3x2 2x 3 0 3 0542 2 xx 原方程无实数解 本课小结本课小结 让学生反思本节课的解题过程 归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤 1 把常数 项移到方程右边 用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为 1 2 在方程的两 边各加上一次项系数的一半的平方 使左边成为完全平方 如果方程的右边整理后是非负数 用直接开平方法解之 如果右边是个负数 则指出原方 程无实根 布置作业布置作业 P38 页习题 2 3 4 5 6 3 4 1 2 教学后记 教学后记 第三课时第三课时 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教学目标教学目标 1 使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程 2 使学生经历探索求根公式的过程 培养学生抽象思维能力 3 在探索和应用求根公式中 使学生进一步认识特殊与一般的关系 渗透辩证唯物广义观 点 重点难点重点难点 1 难点 掌握一元二次方程的求根公式 并应用它熟练地解一元二次方程 2 重点 对文字系数二次三项式进行配方 求根公式的结构比较复杂 不易记忆 系数和 常数为负数时 代入求根公式常出符号错误 教学过程教学过程 一 复习旧知 提出问题 1 用配方法解下列方程 1 xx1015 2 2 2 1 3120 3 xx 2 用配方解一元二次方程的步骤是什么 3 用直接开平方法和配方法解一元二次方程 计算比较麻烦 能否研究出一种更好的方法 迅速求得一元二次方程的实数根呢 二 探索同底数幂除法法则 问题 1 能否用配方法把一般形式的一元二次方程 2 0 0 axbxca 转化为 2 2 2 4 4 bbac x aa 呢 教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程 让学生分组讨论交流 达 成共识 因为 0a 方程两边都除以a 得 2 0 bc xx aa 移项 得 2 bc xx aa 配方 得 222 2 222 bbbc xx aaaa A A 即 2 2 2 4 24 bbac x aa 问题 2 当 2 40bac 且 0a 时 2 2 4 4 bac a 大于等于零吗 让学生思考 分析 发表意见 得出结论 当 2 40bac 时 因为 0a 所以 2 40a 从而 2 2 4 0 4 bac a 问题 3 在研究问题 1 和问题 2 中 你能得出什么结论 让学生讨论 交流 从中得出结论 当 2 40bac 时 一般形式的一元二次方程 2 0 0 axbxca 的根为 2 4 22 bbac x aa 即 2 4 2 bbac x a 由以上研究的结果 得到了一元二次方程 2 0 0 axbxca 的求根公式 2 4 2 bbac x a 2 40bac 这个公式说明方程的根是由方程的系数a b c所确定的 利用这个公式 我们 可以由一元二次方程中系数a b c的值 直接求得方程的解 这种解方程的方法叫做 公式法 思考 当 2 40bac 时 方程有实数根吗 三 例题 例 1 解下列方程 1 2 260 xx 2 2 42xx 3 2 54120 xx 4 2 44101 8xxx 教学要点 1 对于方程 2 和 4 首先要把方程化为一般形式 2 强调确定a b c值时 不要把它们的符号弄错 3 先计算 2 4bac 的值 再代入公式 例 2 补充 解方程 2 10 xx 解 这里 1a 1b 1c 22 4 1 4 1 130bac 因为负数不能开平方 所以原方程无实数根 让学生反思以上解题过程 归纳得出 当 2 40bac 时 方程有两个不相等的实数根 当 2 40bac 时 方程有两个相等的实数根 当 2 40bac 时 方程没有实数根 四 课堂练习 1 35 练习 2 阅读 39 阅读材料 小结小结 根据你学习的体会 小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法 通常你是如何选择的 和同学交流一下 作业作业 38 习题 4 3 4 5 6 7 8 5 教学后记 第四课时第四课时 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教学目标教学目标 1 使学生能根据量之间的关系 列出一元二次方程的应用题 2 提高学生分析问题 解决问题的能力 3 培养学生数学应用的意识 重点难点重点难点 认真审题 分析题中数量关系 适当设未知数 寻找等量关系 布列方程是本节课的重点 也是难点 教学过程教学过程 一 复习旧知 提出问题 1 叙述列一元一次方程解应用题的步骤 2 用多种方法解方程 22 31 69xxx 让学生尝试用多种方法解方程 归结为 解法 1 将方程化为 22 31 3 xx 直接开平方 得3 1 3 xx 解得 1 2x 2 1 2 x 解法 2 将方程化为一般形式 2 2320 xx 进而转化为 2 3 10 2 xx 用配方法可 求方程的解 解法 3 将方程化为一般形式 2 2320 xx 用公式法求解 其中 22 4 3 4 2 2 25bac 提问 用哪种方法解方程 22 31 69xxx 更简便 3 现在 你能解决 22 1 的问题 1 了吗 二 解决问题 请同学们先看看 26 页问题 1 要想解决 22 1 的问题 1 首先要解方程 2 109000 xx 同学伞能解这个方程吗 让学生动手解题并口答结果 1 55 37x 2 55 37x 提问 1 所求 1 x 2 x 都是所列方程的解吗 2 所求 1 x 2 x 都符合题意吗 让学生思考 分析 真正理解负数根不符合题意 应舍去符合题意的解是 2 55 3725 4x 1035 4x 3 1 和 2 说明了什么问题 让学生交流讨论 体会到把实际问题转化为数学问题来解决 求得方程的解 不一定是原 问题的解答 因此 要注意是检验解是否符合题意 作为应用题 还应作答 三 例题 例 1 如图 一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮 要在它的四角截去四个 相等的小正方形 折成一个无盖的长方体水槽 使它的底面积为 800 平方米 求截去正方形 的边长 解 设截去正方形的边长 x 厘米 底面 图中虚线线部分 长等于 厘米 宽等 于 厘米 S底面 请同学们自己列出方程并解这个方程 讨论它的解是否符合题意 由学生回答解题过程 教师板书 解 设截去正方形的边长为 x 厘米 根据题意 得 60 2x 40 2x 800 解方程得 1 10 x 2 40 x 经检验 2 40 x 不符合题意 应舍去 符合题意的解是 1 10 x 答 截去正方形的边长为 10 厘米 四 课堂练习 36 练习 1 2 小结 小结 让学生反思 归纳 总结 应用一元二次方程解实际问题 要认真审题 要分析题意 找 出数量关系 列出方程 把实际问题转化为数学问题来解决 求得方程的解之后 要注意 检验是否任命题意 然后得到原问题的解答 作业 作业 38 习题 5 6 7 教学后记 第五课时第五课时 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 六六 教学目标教学目标 1 使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题 2 培养学生分析问题 解决问题的能力 提高数学应用的意识 重点难点重点难点 本节课的重点和难点都是列出一元二次方程 解决有关变化率的实际问题 教学过程教学过程 一 创设问题情境 百分数的概念在生活中常常见到 而量的变化率更是经济活动中经常接触 下面 我们就 来研究这样的问题 问题 某商品经两次降价 零售价降为原来的一半 已知两次降价的百分率一样 求每次 降价的百分率 精确到 0 1 二 探索解决问题 分析 两次降价的百分率一样 指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的 值 即两次按同样的百分数减少 而减少的绝对数是不相同的 设每次降价的百分率为x 若原价为a 则第一次降价后的零售价为 1 aaxax 又以这个价格为基础 再算第 二次降价后的零售价 思考 原价和现在的价格没有具体数字 如何列方程 请同学们联系已有的知识讨论 交流 解 设原价为 1 个单位 每次降价的百分率为 x 根据题意 得 1 x 2 2 1 解这个方程 得 x 2 22 由于降价的百分率不可能大于 1 所以 x 2 22 不符合题意 因此符合本题要求的 x 为 2 22 29 3 答 每次降价的百分率为 29 3 三 拓展引申 某药品两次升价 零售价升为原来的 1 2 倍 已知两次升价的百分率一样 求每次升 价的百分率 精确到 0 1 解 设原价为a元 每次升价的百分率为x 根据题意 得 2 1 1 2axa 解这个方程 得 30 1 5 x 由于升价的百分率不可能是负数 所以 30 1 5 x 不符合题意 因此符合题意要求的 x为 30 19 5 5 x 答 每次升价的百分率为 9 5 四 巩固练习 37 练习 1 2 小结 小结 关于量的变化率问题 不管是增加还是减少 都是变化前的数据为基础 每次按相同的百 分数变化 若原始数据为a 设平均变化率为x 经第一次变化后数据为 1 ax 经第 二次变化后数据为 2 1 ax 在依题意列出方程并解得x值后 还要依据0 1x 的条件 做符合题意的解答 作业 作业 38 习题 8 9 教学后记 23 3 实践与探索实践与探索 一一 教学目标教学目标 1 学生在已有的一元二次方程的学习基础上 能够对生活中的实际工资问题进行数学建模 解决问题 从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型 2 让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流 并在其中体验发现问题 提出问题及解 决问题的全过程 培养学生的数学应用能力 3 学生感受数学的严谨性 形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯 获得成功 的体验和克服困难的经历 增进应用数学的自信心 重点难点重点难点 1 重点 利用一元二次方程对实际问题进行数学建模 从而解决实际问题 2 难点 学生分析方程的解 自主探索得到解决实际问题的最佳方案 教学过程教学过程 一 巩固旧知识 1 解方程 2 708250 xx 并叙述解一元二次方程的解法 2 说说你对实践问题的解决时 有何经验 有何体会 二 创设问题情境 小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形 再折合 成一个无盖的长方形盒子 1 如果要求长方体的底面面积为 81cm2 那么剪去的正方形边长为多少 2 如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求 那么剪去的正方形边长会发生什么样 的变化 折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化 三 尝试解决问题 1 长方形的底面 正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系 长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系 2 长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系 长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的 2 倍 3 你能否用数量关系表示出这种关系呢 并求出剪去的小正方形的边长 解 设剪去的正方形边长为xcm 依题意得 2 10 81x 109x 1 1x 2 9x 因为正方形硬纸板的边长为10cm 所以剪去的正方形边长为1cm 4 请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系 求出此时长方体的体积 长方体的