高考数学一轮复习专题10.8椭圆双曲线抛物线的弦长练习（含解析）.docx

第八讲 椭圆双曲线抛物线的弦长【套路秘籍】-千里之行始于足下1.圆锥曲线的弦长公式设斜率为k（k0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则2.求解弦长的四种方法（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解（2）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解（3）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1x2）2或（y1y2）2，代入两点间的距离公式（4）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长【注意】利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 直线与椭圆的弦长【例1】（1）如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，求弦AB的长（2）已知点P(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点(1)求直线l的方程(2)求直线l被椭圆截得的弦长【答案】见解析【解析】（1）设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由椭圆方程知，所以所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，2)，故直线l的方程为yx2将其代入，化简整理得，所以，所以(2)解法一根与系数关系法由题意可设直线l的方程为y2k(x4)，而椭圆的方程可以化为x24y2360将直线方程代入椭圆方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360所以x1x28，解得k所以直线l的方程为y2(x4)即x2y80解法二：点差法设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以两式相减，有(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0又x1x28，y1y24，所以，即k所以直线l的方程为x2y80【套路总结】一.解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法，解题步骤为：设点：设直线与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)；联立：联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程；韦达：利用根与系数的关系设而不求；代入：利用题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2y1y2，进而求解二.利用“点差法”求弦长（一）前提：已知弦长中点求弦长所在直线方程斜率-点差法（二）解题思路设点：设直线与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)代入：将两个交点分别代入椭圆方程得到两道方程，两道方程相减化简：相减后整理成两点求斜率的形式，当焦点在x轴时，焦点在y轴时【举一反三】1.椭圆x236+y29=1和点P4,2，直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点（1）当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程【答案】(1)310;(2)x+2y-8=0.【解析】(1)直线l的方程为y-2=12(x-4)，即为y=12x，代入椭圆方程x2+4y2=36，可得x=32，y=322即有|AB|=(62)2+(32)2=310；(2)由P的坐标，可得1636+490，符合题意，所求直线MN的方程为yx，即3x4y50.解法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N均在双曲线上，两式相减，得yy，.点A平分弦MN，x1x26，y1y22.kMN.经验证，该直线MN存在所求直线MN的方程为y1(x3)，即3x4y50.2.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为6的直线AB，其中A,B分别为直线与双曲线的交点，则AB的长为_【答案】3【解析】因为双曲线方程为x2-y23=1，所以左焦点F1（-2，0），因为直线AB的倾斜角为6，所以直线斜率为33，直线AB的方程为y=33x+2，代入x2-y23=1可得8x2-4x-13=0,x1+x2=12,x1x2=-138所以AB=1+13x1-x2=233x1+x22-4x1x2=233122-4-138=3，故答案为3.3已知双曲线2x2-y2=2，则以点A2,3为中点的双曲线的弦所在的直线方程为_.【答案】4x-3y+1=0【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x24，y1+y26又2x12-y12=2，2x22-y22=2，得：2（x1+x2）（x1x2）（y1+y2）（y1y2），又由对称性知x1x2，A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=246=43，所以中点弦所在直线方程为y343（x2），即4x-3y+1=0故答案为：4x-3y+1=0考向三抛物线与直线的弦长【例3】（1）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则_；（2） 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则_【答案】（1）10；（2）【解析】（1）设A（x1,y1）,B(x2,y2),则对于抛物线x2=8y,焦点弦长因为抛物线的焦点坐标为（0,2），所以直线AB的方程为将代入抛物线方程，得（2）设，显然直线AB的斜率存在，设为将直线方程与抛物线方程联立，消去y得，则因为，所以，方程即解得，故【举一反三】1已知抛物线y26x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.【答案】3xy110 【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，y6x1，y6x2.两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，k3，直线的方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222.|P1P2| .2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离【答案】（1）8 （2）【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F.所以直线l的方程为y.联立消去y，得x25x0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2p.|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x239，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1. 若椭圆x2+4y2=36的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线方程为 。【答案】x+2y-8=0【解析】设A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2)，因为A(4,2)为EF中点，所以x1+x2=8,y1+y2=4，把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆x2+4y2=36，得x12+4y12=36x22+4y22=36，两式相减得：(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，所以8(x1-x2)+16(y1-y2)=0，所以k=y1-y2x1-x2=-12，所以以A(4,2)为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-2=-12(x-4)，整理得x+2y-8=0，2. 已知双曲线 ，直线交双曲线于两点，若的中点坐标为，则l的方程为 。【答案】【解析】设 ，则所以 .3. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 。【答案】【解析】由题意设该双曲线方程为，且， ， 的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；4经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点，则直线的方程为 。【答案】【解析】设， ，可得， ，两式相减可得：， 为的中点，即有， ，可得直线的斜率为，即有直线的方程为，即为，由代入双曲线的方程，可得，即有，故存在直线，其方程为，5过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交C于点A,B，若线段AB中点M的纵坐标为1，则|AB|= 。【答案】5【解析】抛物线C：y24x，直线l过抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为：xmy+1，则x=my+1y2=4x可得y24my40，l与C有两个交点A（x1,y1）、B（x2,y2），线段AB的中点M的纵坐标为1，可得4m2，解得m=12，所以y22y40的两根满足y1+y2=2，y1y2=-4，由弦长公式可得|AB|=1+14（y1+y2）2-4y1y2=5，6过抛物线y28x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于 。【答案】10【解析】由题抛物线y28x的焦点F(2,0)，p=4，设A、B两点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点的横坐标为3，即x1+x22=3x1+x2=6 抛物线的焦点弦：AB=x1+x2+p=107已知不过原点的直线l与抛物线C：y2=2px(p0)交于A，B两点，若|AF|=2|BF|，且AFB=90，则直线l的斜率为 【答案】2【解析】如图所示，设C的准线为l，设|BF|=t0，则|AF|=2|BF|=2t由AFB=90，则|AB|=|AF|2+|BF|2=5t过点A作AA1l，于点A1，则|AA1|=|AF|=2t，过点B作BB1l，于点B1，则|BB1|=|BF|=t过点B作BHAA1于点H，则AH=2t-t=t，在RtAHB中，|BH|=|AB|2-|AH|2=2t，所以tanBAH=2，即直线l的斜率为2，又由抛物线的对称性可知，当直线l的斜率为-2时，亦符合题意，故选：C8过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点Px1,y1,Qx2,y2两点，若x1+x2=6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为 。【答案】4【解析】由抛物线的方程y2=4x可得p=2，故它的焦点F（1，0），准线方程为x=-1由中点坐标公式可得PQ的中点M（x1+x22,y1+y22），由于x1+x2=6，则M到准线的距离为x1+x22+1=4.9.斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为_.【答案】【解析】斜率是1的直线L:y=x+b代入,化简得，设,则，且，解得.，b=0时,|AB|的最大值为，故答案为: .10过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为6的直线AB，其中A,B分别为直线与双曲线的交点，则AB的长为_【答案】3【解析】因为双曲线方程为x2-y23=1，所以左焦点F1（-2，0），因为直线AB的倾斜角为6，所以直线斜率为33，直线AB的方程为y=33x+2，代入x2-y23=1可得8x2-4x-13=0,x1+x2=12,x1x2=-138所以AB=1+13x1-x2=233x1+x22-4x1x2=233122-4-138=3，故答案为3.11已知双曲线2x2-y2=2，则以点A2,3为中点的双曲线的弦所在的直线方程为_.【答案】4x-3y+1=0【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x24，y1+y26又2x12-y12=2，2x22-y22=2，得：2（x1+x2）（x1x2）（y1+y2）（y1y2），又由对称性知x1x2，A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=246=43，所以中点弦所在直线方程为y343（x2），即4x-3y+1=0故答案为：4x-3y+1=012直线y=kx-k与抛物线y2=4x交于A,B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到准线的距离为_【答案】2【解析】试题分析：由题意得，抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0)，且准线方程为x=-1，直线y=kx-k=k(x-1)恰好经过点F(1,0)，设直线y=kx-k与抛物线y2=4x的交点的横坐标为x1,x2，根据抛物线的定义可知，AB的中点的横坐标为x0=x1+x22=12(|AB|-p)=1，所以弦AB的中点到准线的距离为2，13已知椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0的焦距为42，短半轴的长为2，过点P(2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求弦AB的长【答案】（1）x212+y24=1；（2）AB=422.【解析】(1)已知椭圆焦距为42，短半轴的长为2，即2c=42，b=2，结合a2=b2+c2，解得a=23 ，b=2，c=22故C：x212+y24=1.(2)已知直线l过点P(2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，直线方程与椭圆方程联立y=x+3x212+y24=1得4x2+18x+15=0. 设Ax1,y1，Bx2,y20,x1+x2=-92,x1x2=154,AB=2x1+x22-4x1x2=42214已知离心率e=22的椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的一个焦点为(-1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率为l的直线l交椭圆C于A,B两点,且AB=423,求直线l的方程.【答案】（1）x22+y2=1；（2）y=x+1或y=x-1【解析】(1)由题意知,c=1, e=ca=22,a=2,b=1,椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,点Ax1,y1,Bx2,y2联立方程组x22+y2=1,y=x+m,化简,得3x2+4mx+2m2-2=0.由已知得, =16m2-122m2-2=-8m2+240,即m23,-3m0，解得k26且k23，x1x2=-23-k2,x1+x2=2k3-k2AB=1+k2x1-x2=1+k2x