高考数学一轮总复习 专题2.4 二次函数与幂函数练习（含解析）文.doc

专题2.4 二次函数与幂函数考点分析 从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质. 融会贯通考点一幂函数的图象和性质【例1】幂函数y=x（是常数）的图象（ ）a. 一定经过点(0,0) b. 一定经过点(-1,-1)c. 一定经过点(1,1) d. 一定经过点(1,-1)【答案】c考点：幂函数的性质.【变式训练1】幂函数y=f(x)的图象经过点(3,33)，则f(x)是（ ）a. 偶函数，且在(0,+)上是增函数 b. 偶函数，且在(0,+)上是减函数c. 奇函数，且在(0,+)上是增函数 d. 非奇非偶函数，且在(0,+)上是增函数【答案】c【解析】设幂函数为f(x)=x ，代入点(3,33)，解得=13，所以f(x)=x13，可知函数是奇函数，且在(0,+)上是增函数，故选c.【变式训练2】【2017届云南曲靖一中高三上月考】已知幂函数的图象过点，且，则的范围是（ ）a. b.或 c. d.【答案】b 【解析】因为幂函数的图象过点， 所以，是偶函数，且在上递减，在上递增，由得，解得或，故选b. 考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.【例2】【2017届福建福州外国语学校高三上学期期中数学】已知函数是幂函数且幂函数是(0,+)上的增函数,则的值为（ ）a2 b1 c1或2 d0【答案】b【变式训练】【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（文）】已知：幂函数在上单调递增； ，则是的（ ）a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件 .0c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】由题意，命题幂函数 在上单调递增，则 ，又，故是的充分不必要条件，选a.【知识链接】(1)定义：形如yx(r)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较 函数特征 性质yxyx2yx3定义域rrr0，)x|xr且x0值域r0，)r0，)y|yr且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，) 时，减；x(，0)时，减【解题方法与技巧】1幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准2在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 考点二二次函数的图象与性质命题一：二次函数与不等式【例1】已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集是，求实数、的值.【答案】（1）;（2）， .【变式训练】已知函数.（1）若关于的不等式的解集是，求实数的值；（2）若，解关于的不等式.【答案】（1），（2）当时，解集为；当时，解集为. 【解析】（1）由题是方程的两根.代入有， （2）当时， ，化为当，即时，解集为或 当，即时，解集为或 综上，时，解集为；时，解集为. 【知识链接】1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当的图像与x轴无交点无实根的解集为或者是r; 当的图像与x轴相切有两个相等的实根的解集为或者是r;z.xxk当的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根 的解集为或者是.命题二：二次函数的单调性【例1】【2017届福建连城县一中高三上期中数学（文）】已知函数，若，则与的大小关系是（ ）a. b. c. d.与a的值无关【答案】c考点：二次函数图象与性质.【例2】如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在区间4，+）上是递增的，那么实数a的取值范围是（ ）aa3 ba3 ca5 da5【答案】b【解析】抛物线函数f（x）=x2+2（a1）x+2开口向上，对称轴方程是x=1a，在区间4，+）上递增，1a4，解得a3故选b【变式训练】已知函数且（1）若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域；（2）若函数在区间上递减，求实数的取值范围【答案】(1)；(2).考点：1.二次函数的值域；2.二次函数的单调性.0【例3】【2017届江苏泰州中学高三上学期月考】函数在区间上为单调函数，则的取值范围是_【答案】【解析】因为函数的对称轴为,所以当或时,即或时函数单调,故应填答案.考点：二次函数的图象和性质及运用【变式训练1】【江苏省张家港2016-2017学年高二期中数学（文】若函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是_.【答案】（1，3）【解析】因为函数的对称轴为 ，函数在 不单调， ，解得： ，故答案为 .命题三：二次函数根的分布【例1】一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】记，由已知得，解得【变式训练】已知关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是 .【答案】【知识链接】设一元二次方程（）的两实根为，且.为常数.则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理.【定理1】；【定理2】；【定理3】.推论1 .推论2 .【定理4】或【定理5】或【定理6】在区间内有且只有一根，则，且检验等号【解题方法与技巧】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式，相应区间端点函数值来考虑 命题四：二次函数的最值【例1】【2016-2017学年江苏省泰州中学高二期中数学（文）】若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为_【答案】【变式训练1】已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题，对称轴为：.则，。结合图形 考点：二次函数的单调性及数形结合思想。【变式训练2】若函数的定义域、值域都是闭区间2，2b，则b的取值为 【答案】2【例2】函数f（x）=x22ax+a在区间（，1）上有最小值，则a的取值范围是（ ）aa1 ba1 ca1 da1【答案】a【解析】由题意，f（x）=（xa）2a2+a函数的对称轴为x=a若a1，则函数在区间（，1）上是减函数，因为是开区间，所以没有最小值所以a1，此时x=a时有最小值故选a考点：二次函数在闭区间上的最值【变式训练1】已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（ ）a b1 c d2【答案】b【解析】 函数的对称轴是,且函数在上单调递减,所以,即,故在区间递减,所以,且函数的对称轴为,所以在上单调递减,故选b.【变式训练2】【2017届宁夏育才中学高三上月考文数】已知函数.（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；（2）若函数在上的最大值为3，求的值.【答案】（1）；（2）或【知识链接】(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0()；当且()时，恒有f(x)0(). 考点三二次函数的应用(多维探究)命题角度一二次函数的恒成立问题【例1】不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）a b-2,2 c（-2,2 d【答案】c【例2】二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）在区间上恒成立，试确定实数的范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由题设 又6分（2）当时，恒成立，即【变式训练】已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）求函数在区间上的值域；（3）当时，不等式恒成立，求实数的范围.【答案】（1）（2）（3）令，对称轴在的右边，开口向上，在上递减， 【例3】【江苏省泰州中学2016-2017学年高二期中数学（文）】设函数，其中.（1）若，求函数在区间上的取值范围；（2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.当，即时，由，得，从而.综上， 的取值范围为区间.（3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，所以“对任意的，都有”等价于“”.当， .由，得.从而.【例4】已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.（1）求f(x)的解析式；（2）若f(x)在区间3a,a+1上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间x-1,1上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围.【答案】(1) f(x)=2x2-4x+3;(2) 0a13;(3) m-1.【解析】 (1)f(0)=f(2)，故二次函数f(x)关于直线x=1对称，又由二次函数f(x)的最小值为1，故可设 f(x)=a(x-1)2+1，由f(0)=3，得a=2，故f(x)=2x2-4x+3.(2)要使函数不单调，则3a1a+1，则0a2x+2m+1在区间-1,1上恒成立，即x2-3x+1-m0在区间-1,1上恒成立，设g(x)=x2-3x+1-m，则只要g(x)min0，而g(x)min=g(1)=-1-m，得m0,(a-2)24a0,(a-2)24a+11 (a-2)24a=0,a=2,b=