高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.3 几何概型学案 理 北师大版.doc

12.3几何概型最新考纲考情考向分析1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率2.了解几何概型的意义.以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.1几何概型向平面上有限区域(集合)g内随机地投掷点m，若点m落在子区域g1g的概率与g1的面积成正比，而与g的形状、位置无关，即p(点m落在g1)，则称这种模型为几何概型2几何概型中的g也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比3借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是p.()题组二教材改编2在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()a. b. c. d1答案b解析坐标小于1的区间为0,1)，长度为1，0,3的区间长度为3，故所求概率为.3有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案a解析p(a)，p(b)，p(c)，p(d)，p(a)p(c)p(d)p(b)4设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()a. b. c. d.答案d解析如图所示，正方形oabc及其内部为不等式组表示的平面区域d，且区域d的面积为4，而阴影部分表示的是区域d内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是，故选d.题组三易错自纠5在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.答案3解析由|x|m，得mxm.当0m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2m|ac|的概率为_答案解析设事件d为“作射线cm，使|am|ac|”在ab上取点c使|ac|ac|，因为acc是等腰三角形，所以acc75，事件d发生的区域d907515，构成事件总的区域90，所以p(d).题型一与长度、角度有关的几何概型1某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()a. b. c. d.答案b解析如图所示，画出时间轴小明到达的时间会随机的落在图中线段ab中，而当他的到达时间落在线段ac或db上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率p，故选b.2.如图，四边形abcd为矩形，ab，bc1，以a为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在dab内任作射线ap，则射线ap与线段bc有公共点的概率为_答案解析因为在dab内任作射线ap，所以它的所有等可能事件所在的区域h是dab，当射线ap与线段bc有公共点时，射线ap落在cab内，则区域h为cab，所以射线ap与线段bc有公共点的概率为.3在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_答案解析方程x22px3p20有两个负根，则有即解得p2或p1，又p0,5，则所求概率为p.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)题型二与面积有关的几何概型命题点1与平面图形面积有关的问题典例 (2017全国)如图，正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_答案解析不妨设正方形abcd的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得s正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得s黑s白s圆，所以由几何概型知，所求概率p.命题点2与线性规划知识交汇命题的问题典例 由不等式组确定的平面区域记为1，由不等式组确定的平面区域记为2，若在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为_答案解析如图，平面区域1就是三角形区域oab，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域oacd，易知c，故由几何概型的概率公式，得所求概率p.命题点3与定积分交汇命题的问题典例 如图，点a的坐标为(1,0)，点c的坐标为(2,4)，函数f(x)x2.若在矩形abcd内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_答案解析由题意知，阴影部分的面积s(4x2)dx|，所以所求概率p.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解跟踪训练 (1)(2016全国)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()a. b. c. d.答案c解析由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，故选c.(2)(2017石家庄调研)在满足不等式组 的平面内随机取一点m(x0，y0)，设事件a“y02x0”，那么事件a发生的概率是()a. b.c. d.答案b解析作出不等式组的平面区域即abc，其面积为4，且事件a“y02x0”表示的区域为aoc，其面积为3，所以事件a发生的概率是.(3)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_答案解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为s2(eex)dx2(exex)|2ee(01)2.又该正方形的面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为.题型三与体积有关的几何概型典例 (1)已知正三棱锥sabc的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点p，使得vpabcvsabc的概率是()a. b.c. d.答案a解析当p在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，p1.(2)如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，在正方体内随机取点m，则使四棱锥mabcd的体积小于的概率为_答案解析过点m作平面rs平面ac，则两平面间的距离是四棱锥mabcd的高，显然点m在平面rs上任意位置时，四棱锥mabcd的体积都相等若此时四棱锥mabcd的体积等于，只要m在截面以下即可小于，当vmabcd时，即11h，解得h，即点m到底面abcd的距离，所以所求概率p.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求跟踪训练 (2017湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()a1 b. c. d1答案a解析鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1，故选a.几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰rtabc中，c90，在直角边bc上任取一点m，则cam30的概率是_(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为()a. b. c. d.错解展示：(1)c90，cam30，所求概率为.(2)当两点之间线段长为时，占长为1的线段的一半，故所求概率为.错误答案(1)(2)b现场纠错解析(1)点m在直角边bc上是等可能出现的，“测度”是长度设直角边长为a，则所求概率为.(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，则0x1，且0y1.由题意知|xy|，所以所求概率为p.答案(1)(2)c纠错心得(1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积1.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是()a. b c2 d3答案d解析设阴影部分的面积为s，且圆的面积s329.由几何概型的概率，得，则s3.2设复数z(x1)yi(x，yr)，若|z|1，则yx的概率为()a. b.c. d.答案b解析由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足yx的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为p.3(2018石家庄模拟)已知p是abc所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在abc内，则黄豆落在pbc内的概率是()a. b. c. d.答案d解析以pb，pc为邻边作平行四边形pbdc，则，因为20，所以2，得2，由此可得，p是abc边bc上的中线ao的中点，点p到bc的距离等于a到bc距离的，所以spbcsabc，所以将一粒黄豆随机撒在abc内，黄豆落在pbc内的概率为，故选d.4.已知函数f(x)的部分图像如图所示，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计f(x)dx的值约为()a. b.c. d.答案d解析f(x)dx表示阴影部分的面积s.因为，所以s.5在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“11”发生的概率为()a. b. c. d.答案a解析由11，得x2，得0x.由几何概型的概率计算公式，得所求概率p.6(2017武昌质检)如图，矩形abcd的四个顶点的坐标分别为a(0，1)，b(，1)，c(，1)，d(0，1)，正弦曲线f(x)sin x和余弦曲线g(x)cos x在矩形abcd内交于点f，向矩形abcd区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是()a. b. c. d.答案b解析根据题意，可得曲线ysin x与ycos x围成的区域的面积为(sin xcos x)dx(cos xsin x)11.又矩形abcd的面积为2，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是.故选b.7(2017江苏)记函数f(x)的定义域为d.在区间4,5上随机取一个数x，则xd的概率是_答案解析设事件“在区间4,5上随机取一个数x，则xd”为事件a，由6xx20，解得2x3，d2,3如图，区间4,5的长度为9，定义域d的长度为5，p(a).8.如图，在面积为s的矩形abcd内任取一点p，则pbc的面积小于的概率为_答案解析如图，设pbc的边bc上的高为pf，线段pf所在的直线交ad于点e，当pbc的面积等于时，bcpfbcef，所以pfef.过点p作gh平行于bc交ab于点g，交cd于点h，则满足条件“pbc的面积小于”的点p落在矩形区域gbch内设“pbc的面积小于”为事件a，则构成事件a的区域的面积为，而试验的全部结果所构成的区域面积为s，所以由几何概型概率的计算公式得p(a).所以pbc的面积小于的概率是.9.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥aa1bd内的概率为_答案解析因为vaa1sabdaa1s矩形abcdv长方体，故所求概率为.10.正方形的四个顶点a(1，1)，b(1，1)，c(1，1)，d(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入到正方形abcd中，则质点落在图中阴影区域的概率是_答案解析正方形内空白部分面积为 x 2(x 2)dx2x2dxx3|，阴影部分面积为22，所以所求概率为.11在区间，内随机取出两个数分别记为a，b，求函数f(x)x22axb22有零点的概率解由函数f(x)x22axb22有零点，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为(a，b)|a，b，其面积s(2)242.事件a表示函数f(x)有零点，所构成的区域为m(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为sm423，故p(a)1.12已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6满足ab0的基本事件的结果为a(x，y)|1x6,1y6且2xy