高考数学 专题10 函数应用问题黄金解题模板.doc

专题10 函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.【方法点评】类型 解函数应用题的一般步骤使用情景：函数的实际应用问题解题模板：第一步 审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步 建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步 解模求解数学模型，得到数学结论；第四步 还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步 反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且. 写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润年销售收入年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 千件.【解析】 当时，考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性【点评】(1)由年利润年销售收入年总成本，结合，即可得到所求的解析式；(2)由的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。例2 如图，某单位准备修建一个面积为平方米的矩形场地（图中）的围墙，且要求中间用围墙隔开，使得图中为矩形，为正方形已知围墙（包括）的修建费用均为元/米设米，围墙（包括）的修建总费用为元（1）求出关于的函数关系式；（2）当为何值时，围墙（包括）的修建总费用最小？并求出的最小值【答案】（1）；（2）当为米时，最小，的最小值为元例3 一条宽为的两平行河岸有村庄和供电站，村庄与的直线距离都是， 与河岸垂直，垂足为现要修建电缆，从供电站向村庄供电修建地下电缆、水下电缆的费用分别是万元、万元.(1) 如图,已知村庄与原来铺设有电缆，现先从处修建最短水下电缆到达对岸后后，再修建地下电缆接入原电缆供电，试求该方案总施工费用的最小值； (2) 如图，点在线段上，且铺设电缆的线路为.若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值.【答案】（1）；（2）. 【点评】本题主要考查阅读能力及建模能力、函数的解析式以及利用导数求最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是构造关于的函数关系，然后利用导数求其最小值. 【变式演练1】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？【答案】小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有小时 考点：解三角形的实际应用【变式演练2】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和25千米，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系假设曲线符合函数（其中为常数）模型（1）求的值；（2）设公路与曲线相切于点，的横坐标为请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度【答案】（1）；（2）；当时，公路的长度最短，最短长度为千米 考点：导数及其应用【变式演练3】重庆某重点中学高一新生小王家在县城a地，现在主城b地上学。周六小王的父母从早上8点从家出发，驾车3小时到达主城b地，期间由于交通等原因，小王父母的车所走的路程（单位：km）与离家的时间（单位：h）的函数关系为。达到主城b地后，小王父母把车停在b地，在学校陪小王玩到16点，然后开车从b地以的速度沿原路返回。（1）求这天小王父母的车所走路程（单位：km）与离家时间（单位：h）的函数解析式；（2）在距离小王家60处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间。【答案】（1）（2）小王父母这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分考点：根据实际问题选择函数类型.【变式演练4】某企业共有20条生产线，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定量的次品.根据经验知道，每台机器产生的次品数万件与每台机器的日产量万件之间满足关系：.已知每生产1万件合格的产品可以以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元.（）试将该企业每天生产这种产品所获得的利润表示为的函数；（）当每台机器的日产量为多少时，该企业的利润最大，最大为多少？【答案】（）；（）,利润最大，最大为.考点：导数的实际应用.【变式演练5】市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放（且）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起有效去污的作用.（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？（2）若先投放2个单位的洗衣液，6分钟后投放个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取）.【答案】（1）；（2）.（2），令，若令，又，所以的最小值为1.6. 考点：应用问题，分段函数【高考再现】1. 【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (a)2018年 (b) 2019年 (c)2020年 (d)2021年【答案】b 2.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）dpcb oax【答案】b【考点定位】函数的图象和性质【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点p的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题3. 【 2014湖南8】某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) a. b. c. d.【答案】d【解析】设两年的平均增长率为,则有,故选d.【考点定位】实际应用题 二次方程【名师点睛】本题主要考查了函数模型的应用，解决问题的关键是根据所给实际问题进行分析找到对应的函数模型，然后利用对应的函数性质进行具体分析计算即可.4.【2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） a.分钟 b.分钟 c.分钟 d.分钟【答案】b考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.5.【2014福建,文9】要制作一个容积为，高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ）【答案】考点：函数的应用，基本不等式的应用. 【名师点睛】本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性. 6.【2017全国i理，16】如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，、为元上的点，分别是一，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得，重合，得到三棱锥当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_【答案】由题，连接，交与点，由题，即的长度与的长度或成正比设，则，三棱锥的高则令，令，即，则则体积最大值为7.【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.【答案】24 8.【2016高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍. （1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）【解析】 (2)设a1b1=a(m),po1=h(m)，则0h6,oo1=4h.连结o1b1.因为在中， 所以，即 于是仓库的容积，从而.令，得 或（舍）.当时， ，v是单调增函数；当时，v是单调减函数.故时，v取得极大值，也是最大值.因此，当 时，仓库的容积最大.考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握. 【反馈练习】1【2018届绵阳市高中第一次诊断性考试数学（文）】某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费。某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米。a. 13 b. 14 c. 15 d. 16【答案】c 2【2018届山西省45校高三第一次联考理数试卷】某公司研发出一款新产品，批量生产前先同时在甲、乙两城市销售30天进行市场调查.调查结果发现：甲城市的日销售量与天数的对应关系服从图所示的函数关系；乙城市的日销售量与天数的对应关系服从图所示的函数关系；每件产品的销售利润与天数的对应关系服从图所示的函数关系，图是抛物线的一部分. （）设该产品的销售时间为，日销售量利润为，求的解析式；（）若在的销售中，日销售利润至少有一天超过万元，则可以投入批量生产，该产品是否可以投入批量生产，请说明理由.【答案】(1) ,(2) 在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过2万元，不可以投入批量生产. 【解析】试题分析：（）分三种情况讨论，当时，当时，当时，分别求两城市销售量的和与每日销售利润的积可得结果；（）分别求出三段函数的最大值，发现每段函数的最大值都不超过，所以不可以投入批量生产.试题解析：（1），；由题可知，当时，；当时，；当时，.（）小者).3【2018届河北省武邑中学高三上学期第二次调研数学（理）试题】在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业，其用氧量包含以下三个方面：下潜平均速度为米/分钟，每分钟的用氧量为升；水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；返回水面时，平均速度为米/分钟，每分钟用氧量为0.32升；潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升.（1）如果水底作业时间是10分钟，将表示为的函数；（2）若，水底作业时间为20分钟，求总用氧量的取值范围；（3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？【答案】(1) ;(2) ;(3)18.所以总用氧量的取值范围是.（3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为分钟，所以潜水员最多在水下18分钟.4【2018届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高三第一次调研联考数学（文）试题】一大学生自主创业，拟生产并销售某电子产品万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行促销，促销费用（万元）满足（其中为正常数）已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此大学生所获利润最大？【答案】（1）；（2）当时，投入4万元时，利润最大；当时，投入万元时，利润最大.令故在单调递减， 单调递增， 所以万元，当且仅当取得. 当时，促销费用投入4万元时，该大学生获得的利润最大，最大为万元；当时，函数在上单调递增，时，函数有最大值即促销费