高中数学 2.2函数的单调性与最值课件 理 新人教A版.ppt

第二节函数的单调性与最值 三年9考高考指数 1 确定函数单调性 单调区间及应用函数单调性求值域 最值 比较或应用函数值大小 是高考的热点及重点 2 常与函数的图象及其他性质交汇命题 3 题型多以选择题 填空题形式出现 若与导数交汇则以解答题形式出现 1 增函数 减函数一般地 设函数f x 的定义域为i 区间d i 如果对于任意x1 x2 d 且x1 x2 则都有 1 f x 在区间d上是增函数 2 f x 在区间d上是减函数 f x1 f x2 f x1 f x2 即时应用 1 如果函数f x 在 a b 上是增函数 对于任意的x1 x2 a b x1 x2 判断下列结论的真假 在括号内填 真 或 假 x1 x2 f x1 f x2 0 f a f x1 f x2 f b 2 已知函数f x 为r上的减函数 若m n 则f m f n 若f x f 1 则实数x的取值范围是 3 若函数y ax与在 0 上都是减函数 则y ax2 bx在 0 上是 函数 填 增 或 减 解析 1 当函数f x 在 a b 上是增函数时 对于任意的x1 x2 a b x1 x2 能得出 真 假 2 由减函数的定义知 若mf n 若f x 1 得 x 1或x 1 3 由y ax在 0 上是减函数 知a 0 由在 0 上是减函数 知b 0 y ax2 bx的对称轴又 y ax2 bx的开口向下 y ax2 bx在 0 上是减函数 答案 1 真 真 假 真 2 x x 1或x 1 3 减 2 单调性 单调区间若函数y f x 在区间d上是 或 则称函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 即时应用 1 定义在区间 4 4 上的函数y f x 的图象如图 则函数在区间 上是减函数 在区间 上是增函数 2 函数的单调减区间为 解析 1 由函数图象可知函数y f x 在区间 4 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 4 上是增函数 2 画出函数的图象可知 其单调减区间为 0 0 答案 1 4 2 1 3 2 1 3 4 2 0 和 0 3 函数的最大值 最小值一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在m r 1 满足以下条件 m是f x 的最大值 对任意x i 都有 存在x0 i 使得 2 满足以下条件 m是f x 的最小值 对任意x i 都有 存在x0 i 使得 f x m f x0 m f x m f x0 m 即时应用 1 函数y f x 的图象如图所示 那么函数f x 的定义域是 最大值是 最小值是 2 函数在 2 4 上的最小值是 最大值是 解析 1 由图象可知 函数的定义域为 3 0 2 3 最大值为5 最小值为1 2 因为在 2 4 上为单调增函数 所以f 2 f x f 4 所以答案 1 3 0 2 3 51 2 确定函数的单调性或单调区间 方法点睛 确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程 1 能画出图象的函数 用图象法 其思维流程为 作图象 看升降 归纳单调性 区间 转化 增 增 增 减 减 减 同增异减 单调性 区间 2 由基本初等函数通过加 减运算或复合运算构成的函数 用转化法 其思维流程为 求导 判断f x 正 负 单调性 区间 3 能求导的用导数法 其思维流程为 4 能作差变形的用定义法 其思维流程为 取值 作差 变形 定号 单调性 区间 提醒 确定函数的单调性 区间 一定要注意定义域优先原则 例1 1 2011 江苏高考 函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 2 判断函数在 1 上的单调性 解题指南 本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间 1 转化为基本初等函数的单调性去判断 2 可用定义法或导数法 规范解答 1 函数f x 的定义域为 令t 2x 1 t 0 因为y log5t在t 0 上为增函数 t 2x 1在 上为增函数 所以函数f x log5 2x 1 的单调增区间为 答案 2 方法一 定义法 设x1 x2 1 则 x1 x2 1 x2 x10 x2 1 0 即y1 y2 0 y1 y2 在 1 上是减函数 方法二 导数法 在 1 上 y 0 故在 1 上为减函数 互动探究 若将本例 1 中函数变为f x x2 4x 3 本例 2 中函数变为区间变为 1 1 则结果又如何 解析 1 先作出函数y x2 4x 3的图象 把x轴下方的部分翻折到上方 可得函数f x x2 4x 3 的图象 如图所示 由图可知 函数的增区间为 1 2 3 2 方法一 设x1 x2 1 1 且x10 因此 当a 0时 f x2 f x1 0 即f x1 0时为减函数 当a 0时为增函数 方法二 因为 当a 0时 f x 0 故f x 在 1 1 上 当a 0时为减函数 当a 0时为增函数 反思 感悟 判断 或证明 函数单调性 区间 一定要先确定定义域 然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解 并且结果一定要写成区间的形式 当同增 减 区间不连续时 一般不能用并集符号连接 变式备选 已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 1 求证 f x 在r上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解析 1 方法一 函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 方法二 在r上任取x1 x2 不妨设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 2 f x 在r上为减函数 f x 在 3 3 上也为减函数 f x 在 3 3 上的最大值为f 3 最小值为f 3 f 3 f 1 2 f 1 f 2 f 1 f 1 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 2 0 f 0 f 3 3 f 3 f 3 f 3 f 3 2 因此 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 应用函数的单调性 方法点睛 应用函数的单调性可求解的问题 1 由x1 x2的大小 可比较f x1 与f x2 的大小 2 知f x1 与f x2 的大小关系 可得x1与x2的大小关系 3 求解析式中参数的值或取值范围 4 求函数的最值 5 得到图象的升 降情况 画出函数图象的大致形状 例2 1 若f x 为r上的增函数 则满足f 2 m f m2 的实数m的取值范围是 2 已知函数y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上是单调减函数 试比较f 1 f 0 f 2 的大小 解题指南 1 根据f x 的单调性 得到2 m与m2的大小关系 从而求解 2 根据函数f x 的性质先得到y f x 在 0 2 上的单调性或 2 2 上的图象 进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小 规范解答 1 因为f x 为r上的增函数 且f 2 m 0 解得 m1 所以m的取值范围为 2 1 答案 2 1 2 方法一 因为y f x 2 的图象可由y f x 的图象向右平移2个单位而得到 而y f x 为偶函数 其图象关于直线x 0对称 函数y f x 2 的图象关于直线x 2对称 又y f x 2 在 0 2 上单调递减 函数y f x 2 在 2 4 上单调递增 因此 y f x 在 0 2 上单调递增 又f 1 f 1 0f 1 f 0 方法二 由方法一可得函数y f x 在 2 2 上图象的大致形状为由图象知f 2 f 1 f 0 互动探究 若将本例 1 中条件变为 f x 为 0 4 上的增函数 则m的取值范围如何 解析 由题意知 解得 1 m 2 反思 感悟 1 根据函数的单调性 解含有 f 号的不等式时 要根据函数的性质 转化为如 f g x f h x 的形式 再利用单调性 转化为具体不等式求解 但要注意函数的定义域 2 比较函数值的大小时 若自变量的值不在同一个单调区间内 要利用其函数性质 转化到同一个单调区间上进行比较 对于选择 填空题能数形结合的尽量用图象法求解 变式备选 已知函数f x 对于任意a b r 总有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 3 若关于x的不等式f nx 2 f x x2 2恒成立 求实数n的取值范围 解析 1 设x1 x2 r 且x1 x2 则x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在r上是增函数 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 不等式f 3m2 m 2 3即为f 3m2 m 2 f 2 又 f x 在r上是增函数 3m2 m 2 2 解得因此不等式的解集为 m 3 令a b 0 得f 0 2f 0 1 f 0 1 f nx 2 f x x2 2 即f nx 2 f x x2 1 1 f nx 2 x x2 f 0 由 1 知nx 2 x x2 0恒成立 x2 n 1 x 2 0恒成立 n 1 2 4 2 0 求函数的最值 方法点睛 求函数最值的常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 例3 1 已知函数则f x 在 上的最大值为 最小值为 2 函数 x 0 的最大值为 3 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则f x 的最大值为 解题指南 1 可用单调性法 2 选用换元法 转化为二次函数求解最值 3 画出图象求解 规范解答 1 在 上为减函数 f x min f 2 f x max 2 令则当时 3 由题意知函数f x 是三个函数y1 2x y2 x 2 y3 10 x中的较小者 作出三个函数在同一直角坐标系下的图象 如图实线部分为f x 的图象 可知a 4 6 为函数f x 图象的最高点 则f x max 6 答案 互动探究 若将本例 2 中函数变为则y的最大值为多少 解析 令则当时 反思 感悟 求函数的最值常结合解析式的特点而选取适当的方法 1 单调性法 若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定 则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得 2 基本不等式法 当函数的解析式是分式形式且分子分母不同次幂时可用此法 3 导数法 当函数解析式较复杂时 可考虑用此法 4 数形结合法 所给函数易画出其图象时 可结合图象求最值 5 对于一些根式 分式 高次式等常先用换元法 转化为以上四种情况中的某种再求最值 变式备选 已知函数 1 当时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 解析 1 当时 f x 在区间 1 上为增函数 f x 在区间 1 上的最小值为 2 方法一 在区间 1 上 恒成立 x2 2x a 0恒成立 设y x2 2x a x 1 y x2 2x a x 1 2 a 1在 1 上递增 当x 1时 ymin 3 a 当且仅当ymin 3 a 0时 函数f x 0恒成立 故a 3 方法二 当a 0时 函数f x 的值恒为正 当a0时 函数f x 0恒成立 故a 3 易错误区 确定与应用分段函数单调性中的误区 典例 2012 鄂州模拟 已知函数则满足不等式f 1 x2 f 2x 的x的取值范围是 解题指南 可结合函数的图象以及f 1 x2 f 2x 的条件 得出1 x2与2x之间的大小关系 进而求得x的取值范围 也可分1 x2 0 1 x2 0讨论求解 规范解答 方法一 画出的图象 由图象可知 若f 1 x2 f 2x 则即得 方法二 当x 1时 1 x2 0 则f 0 1 f 2 1 无解 当 10 f 1 x2 f 2x 化为 1 x2 2 1 1 恒成立 当00 原不等式化为 1 x2 2 1 2x 2 1 即 x 1 2 2 当1 x2 0时无解 综上知 答案 阅卷人点拨 通过对阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的函数是 a y x3 b