高中数学 第八章 解三角形章末检测 湘教版必修4.doc

第八章 解三角形章末检测一、选择题1.在abc中，sin2asin2bsin2csinbsinc，则a的取值范围是()a.(0， b.，)c.(0， d.，)答案c解析由正弦定理，得a2b2c2bc，由余弦定理，得a2b2c22bccosa，则cosa，0a，0a.2.在abc中，sina，a10，则边长c的取值范围是()a.b.(10，)c.(0,10) d.答案d解析，csinc.00)，根据余弦定理得，cosc.5.在abc中，已知cosacosbsinasinb，则abc是()a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.等腰三角形答案c解析由cosacosbsinasinb，得cosacosbsinasinbcos(ab)0，ab90，c为钝角.6.在abc中，已知a，b，a30，则c等于()a.2b.c.2或d.以上都不对答案c解析a2b2c22bccosa，515c22c.化简得：c23c100，即(c2)(c)0，c2或c.7.已知abc中，sinasinbsinck(k1)2k，则k的取值范围是()a.(2，) b.(，0)c.(，0) d.(，)答案d解析由正弦定理得：amk，bm(k1)，c2mk(m0)，即k.8.abc的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()a.b.c.d.9答案c解析设另一条边为x，则x22232223，x29，x3.设cos，则sin.2r，r.9.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若cosa，则abc为()a.钝角三角形b.直角三角形c.锐角三角形d.等边三角形答案a解析依题意得cosa，sincsinbcosa，所以sin(ab)sinbcosa，即sinbcosacosbsinasinbcosa0，所以cosbsina0，于是有cosbbc,3b20acosa，则sinasinbsinc为()a.432b.567c.543d.654答案d解析由题意可设ab1，cb1.又3b20acosa，3b20(b1).整理得，7b227b400.解得，b5，故a6，b5，c4，即sinasinbsincabc654.二、填空题11.已知abc中，3a22ab3b23c20，则cosc的大小是_.答案解析由3a22ab3b23c20，得c2a2b2ab.根据余弦定理，cosc，所以cosc.12.在abc中，若bc2a,3sina5sinb，则角c_.答案解析由已知3sina5sinb，利用正弦定理可得3a5b.由3a5b，bc2a，利用余弦定理得cosc.c(0，)，c.13.在abc中，已知cosa，cosb，b3，则c_.答案解析在abc中，cosa0，sina.cosb0，sinb.sincsin(ab)sin(ab)sinacosbcosasinb.由正弦定理知，c.14.太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路上测得小岛在南偏西15的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛到公路的距离是_km.答案解析如图，cab15，cba18075105，acb1801051560，ab1km.由正弦定理得，bcsin15 (km).设c到直线ab的距离为d，则dbcsin75 (km).三、解答题15.已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a2，cosb.(1)若b4，求sina的值；(2)若abc的面积sabc4，求b，c的值.解cosb0，且0b，sinb.(1)若b4，由正弦定理得，sina.(2)sabcacsinb4，2c4，c5.由余弦定理得b2a2c22accosb225222517，b.16.在abc中，a3，b2，b2a.(1)求cosa的值；(2)求c的值.解(1)因为a3，b2，b2a，所以在abc中，由正弦定理得.所以.故cosa.(2)由(1)知cosa，所以sina.又因为b2a，所以cosb2cos2a1.所以sinb.在abc中，sincsin(ab)sinacosbcosasinb.所以c5.17.如图，在平面四边形abcd中，daab，de1，ec，ea2，adc，bec.(1)求sinced的值；(2)求be的长.解如图，设ced.(1)在cde中，由余弦定理，得ec2cd2de22cddecosedc.于是由题设知，7cd21cd，即cd2cd60.解得cd2(cd3舍去).在cde中，由正弦定理，得.于是，sin，即sinced.(2)由题设知，0，于是由(1)知，cos.而aeb，所以cosaebcos()coscossinsincossin.在rteab中，cosaeb，故be4.18.某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇.解(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s.故当t时，smin10(海里)，此时v30(海里/时).即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在b处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v3