浅谈几何画板在中学数学教学中的地位和作用大学生毕业论文.doc

【标题】浅谈几何画板在中学数学教学中的地位和作用 【作者】陈命兰 【关键词】几何画板计算机辅助教学软件几何关系 【指导老师】王晓云 【专业】数学与应用数学 【正文】20世纪挥手远去，21世纪阔步走来。计算机的出现和发展，并广泛地应用是人类发展史上的一个重要的里程碑。它正迅速而深刻地影响着全社会，影响着教育教学。为了适应信息社会的需要,针对教育手段、教育方法、教育形式改革而发展起来的现代教育技术，正逐步渗透到各类学校的教育改革中。现代教育技术与各学科的结合已成为当前教育改革的重要内容，培养和提高师范生、中小学教师现代教育技术能力的任务已摆在我们面前。当今，计算机辅助教学，简称CAI，作为一种新兴的教育辅助手段，正逐渐走进课堂，与传统的教学媒体相比，它从根本上影响和改变了教师的教育思想和教育观念，在发展学生思维和提高课堂教学效率等方面发挥着积极的作用。尤其是几何画板这一软件的使用，我们从中体会到CAI的确可以大面积地提高课堂教学效率和增强教学效果。本文重点介绍几何画板的功能、作用以及运用几何画板制作课件的技巧和方法。1.几何画板的特点 The Geometer?s Sketchpad是美国Key curriculum公司制作的优秀教育软件，它是由美国Nicholas Jackiw设计，Nicholas Jackiw和Scott Steketee程序实现的。它的中文名是几何画板21世纪的动态几何，简称GSP。它是全国中小学计算机教育研究中心推广使用的软件之一。几何画板的精髓在于动态地保持了几何图形中内在的、恒定不变的几何关系和几何规律。它小巧玲珑，学习容易，操作简单，功能强大，是一个适用于中学数学（特别是几何）教学的软件。几何画板提供了一个观察几何图形的内在关系，探索几何图形奥妙的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测量、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。它还可以运用在平面几何、射影几何、解析几何甚至立体几何中。几何画板还提供了数值运算、函数运算、平面图形、函数图像的建立和绘制等功能，并有一定的开放性和二次开发空间。几何画板最大的特点是：让学生自己动手按给定的数学规律和关系来制作图形（图像、表格），从观察事物的现象，通过类比和分析提出问题，进行实验来验证问题的真与假，从而发现恒定不变的几何规律，以及丰富的几何图形的内在美、对称美。几何画板成为数学教学中的强有力的辅助工具，与其它同类软件相比，具有以下几点优势。1.1.动态性、形象性几何画板真正提供了一个“活”的数学环境，我们不仅能动态地在该环境下探索和研究数学问题，而且还能离开复杂、重复的数学演算和耗费精力的计算机编程。用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（图形的基本性质）都保持不变。例如：我们在画板上任取三个点，用线段把它们连接起来，构成一个三角形。选中其中的一点，并用鼠标拖动，这时我们可看到三角形的形状发生了变化，但仍然保持是三角形。进一步，构造出三角形的三条中线，再拖动任一点时，三角形的形状同样发生变化，但三条中线的性质永远保持不变。因此，我们在这个图形的变化中发现了不变的规律：任意三角形的三条中线交于一点。在数学课堂上，当教师说“在平面上任取一点”时。我们发现在黑板上画出的点却永远是固定的。所谓“任意一点”，在许多时候只不过是出现在教师自己的头脑中而已。而几何画板就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。因此，我们把几何画板称之为“动态的黑板”。几何画板的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所不能做到的，它真正体现了计算机辅助教学的优势。1.2.操作简单，方便易学，易推广一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而不需编制任何程序。在几何画板中，一切都要借助于几何关系来表现，因此，用它设计软件关键的是把握几何关系，而这正是数学教师所擅长的。几何画板在演示和探索几何关系方面非常生动、准确。对一个几何概念的描述与表达，能够通过作图准确、直观地表现出来，操作非常简单。它的使用方法与Windows的绘图系统十分类似。因此，入门非常快。几何画板是一个专注于几何教学领域的工具。由于它对图形的表现十分准确生动，所以，也可运用到其它可以用数学模型描述的学科之中。几何画板价格低，占用计算机的资源少，具有强大的通用性。因此，国家教委大力支持推广使用。1.3.提供了CAI教学的新途径以前的计算机辅助教学主要考虑了两类计算机教学软件的应用：演示型和练习型。教师用演示型软件在课堂上上课；学生用练习型软件进行练习巩固。在使用几何画板的过程中，不仅可以延用这两种模式，而且形成了自己独特的教学应用模式发现探索式。几何画板具有这么多的优点，这正是它成为中学数学教师的首选软件之一的原因。几何画板不但优点多，功能也多，更能够轻松实现其它软件不容易实现的效果。2.几何画板的基本功能及其使用方法2.1.直尺圆规，测量、计算功能几何画板在图形绘制上比一般的绘图软件更精准，更符合数学的严格要求。线可分为线段、射线和直线，圆是正圆。用它可以完成所有的尺规作图，演绎欧几里德几何。绘制如“平行线、垂直线”等常用图形，可以直接利用“构造”命令即可。几何画板可测量线段的长度，各种角的度数等，并对测量出的值进行多种计算，包括四则运算、幂运算、三角函数运算等。通过几何画板的工具栏，可按指定值、计算值、动态值任意旋转、平移、缩放原有图形，并在其变化中保持几何关系不变，从而更有助于研究图形的运动和变换等问题。“变换”是几何画板中的重要命令之一，在实施变换之前，一定要先“标记”，可以“标记中心、标记向量、标记比”等。在选定要变换的图形后，按照标记进行相应的变换。有时我们需要复制一个图形，并且要求复制的图形随着原始图形的变化而变化，这一点是Ctrl+C和Ctrl+V所不能够实现的。2.2.具有Windows程序众多功能几何画板用剪贴板与Windows中其他程序交换信息，如给几何画板加一幅图画、一段声音，或是把所画图形插到Word编辑的数学试卷中。几何画板还可以为文字选择字体、字号；为图形添色等等。而几何画板在工具栏中并没有提供颜色填充这一工具，那它是怎样给图形添加颜色？首先要选定对象，如图形是一个圆，则选择“构造”中的“圆的内部”命令；如图形是一段弧，选择“构造”中的“扇形内部或弓形内部”；如图形是一个多边形，则选择“构造”中的“多边形内部”。这里需要说明的是，为多边形添色，一定要选择多边形的顶点，选择边是没有用的。2.3.绘制函数图像、制作动画，脚本功能几何画板能将较简单的动画和运动通过定义、构造和变换，得到所需的复杂运动。使用便捷的“轨迹跟踪”功能，能清晰地了解目标的运动轨迹。几何画板可随时记录几何图形的绘制过程，并用复原和恢复进行浏览。不仅如此，脚本还可以把整个绘制过程用语言记录下来，保持和突出几何关系。画板中的几何图形无论如何变化，它们之间的几何关系都保持不变。这恰恰是几何学的实质，即在不断变化的几何图形中，研究不变的几何规律。在中文版的坐标系下，使用者利用数学思想来绘制各种复杂的函数图像，并可以通过参数的变化，更深入地了解函数的性质。例如：制作一个椭圆（例5.2）。首先建立一个坐标系，在X轴的右侧顺次取两个点F2和B，然后利用“变换”命令把Y轴“标记镜面”命令，再使用“变换”中的“反射”命令得到点F1和点A，以F1为圆心，以线段AB的长为半径画圆。在圆上任取一点C，过点F1和点C作直线，再作线段F2C的垂直平分线，交直线F1C于点P，再选中点P和C点，利用“轨迹”命令可以观察到点P将随着点C在圆上的运动而运动，从而得到一个椭圆。作图完成后，无用的对象可以隐藏起来。2.4.绘制点和点的轨迹的功能几何画板可以画出两种点：一种是自由点，另一种是固定点。自由点即是可以不受任何限制地到处移动，或是在一定的范围内移动的点。例如：画一个圆，在圆上画出一个点，那么这个点只能在圆上运动，不能离开此圆；另一种画法，选择“图表”中的“绘制点”命令，立即出现一个窗口，在其中输入要画的点的坐标，在下方有两种选择，一种是自由点，它可随意移动；另一种是固定点，它在坐标系中的位置是固定的，这种画点的方式是非常精确的。还有一种画点的方式在菜单中是看不到的，这种点往往在画点的轨迹时才用到，轨迹实际上是满足一定条件的点的运动所留下的痕迹。例如：画一个正弦函数图像，首先在X轴上任取一点A，给出它的横坐标x，利用y=sin（x）计算出y，这时点B（x，y）一定是y=sin（x）的图像上的点，这个点会随着点A在x轴上的运动而运动。先选定x，按住Shift再选定y（一定是这个顺次，否则点的横纵坐标会颠倒），选择“图表”中的“绘出（x，y）”，点B即刻画出，这时沿着X轴移动A点，发现点B也同时运动，只不过点B移动的路线是曲线，再同时选择点A、B，选择“作图”中的轨迹，这时正弦函数图像已经出现在面前了。要注意这里的点A和点B的关系，一个点需要受到另外一个点的控制时，才可以使用“轨迹”命令。综上所述，我们可以看出几何画板是这样一个工具：简单的使用工具几何画板功能不但强大，而且使用起来非常简单。便捷的交流工具由于每个画板都可以被用户按自己的意图修改并保存起来，它特别适合用来进行几何交流、研究和讨论，由此被称为“动态黑板”。它还是教师布置作业、学生完成作业的理想工具。优秀的演示工具它完全符合CAI演示的要求，能准确地、动态地表达几何问题。如果与大屏幕投影仪等设备配合使用，演示效果更完美。另外，它还能进行其它学科的动态演示，如物理中的力学、运动学、光学，地理中的行星运动等等。重要的反馈工具几何画板提供了多种方法帮助教师了解学生的思路和对概念的掌握程度，如复原、重复；隐藏、显示；建立脚本等，轻而易举地解决了这个难题。有力的探索工具几何画板为探索式几何教学开辟了道路。我们可以用它去发现、探索、表现、总结几何规律，建立自己的认识体系，成为真正的研究者。它将传统的演示练习型CAI模式转化为研究探索型模式。几何画板的这些特点和功能，使它成为中学数学教学改革的重要方向之一，成为21世纪的动态几何。3.几何画板在辅助中学数学教学中的作用传统的数学教学模式，教师只能在黑板上通过板书、作图来传递知识，而对于一些动态的几何知识，教师不得不借助于口头语言、身体语言将动态画面说“动”，这样抽象的知识学生仍只能够“感受”。整个过程基本上是信息的单向传递，即“讲、练、评”三位一体的教学模式，反馈处于不自觉状态中。不利于分层次教学、因材施教，不易激发学生的求知欲和兴趣。数学课堂教学的特点是，具有很强的逻辑性和系统性及高度的抽象性和概括性。几何画板正是依据这一特点，化静为动，化抽象为具体，能够富趣味性、技巧性和知识性于一体，使传统的教学模式得到改善，也使我们感受到几何画板在中学数学教学中独特的魅力。几何画板是依据中学生的知识特点来设计的教学软件，它不断地向学生提出启发性的问题，以激发学生主动学习的积极性，培养学生独立思考的自学能力。利用几何画板制作的课件，有利于“因材施教”，为课堂个别化教学提供了可能性。教师可以根据学生的具体情况灵活掌握并能处理好知识面的宽与窄、量的多与少、难度的深与浅的关系，从而有效地控制教学的广度，深度和难度，对学生而言，在操作过程中，概念正确与否关系到图形能否完整无缺，在拖拉过程中是否能够始终保持恒定不变的几何性质，反馈始终处于自觉检测状态中，答案正确与否也能及时反馈，特别是差生可免于常规教学中的“当面出丑”，使差生的挫折心理向积极的一面转化，进而提高学习效果。与一般CAI教学软件相比，几何画板在中学数学教学中还有如下几点作用。3.1.提高课堂效率，培养学生动手动脑的能力由于情况的快速反馈，老师在讲课时更具有针对性，并能及时调整教学内容和节奏。例如：“立体几何”突出的问题是：空间概念的形成；抽象性地理解定理及公式。“三垂线定理”采用几何画板将“平面、平面上的直线、平面上的斜线、射影”等一一显示在屏幕上，能分能合，通过鼠标拖拉或键盘控制，可以从任意一个角度来观察到平面上任一条直线与斜线、斜线的射影的位置关系。这样的课，看的清楚，听的明白，易理解，不易忘，加深学生的感性认识。例如：利用几何画板画出“抛物线、椭圆及双曲线”的图形。学生为了能够准确地画出图形，他们定会把相关的理论知识复习一遍，再亲自上机操作。这样使学生在不知不觉中复习巩固了已学知识，同时掌握了计算机操作技术。其效果是非常明显的。这里几何画板要求学生领会“曲线”的精髓，紧扣定义、巧妙构思、建立数学模型，真正做到了动手与动脑相结合，寓趣味性、技巧性、知识性于一体。3.2.提高学生的学习兴趣，激发求知欲，培养创新精神例如：几何中的“勾股定理”是基础几何中一个重要定理，在数学发展史上占有一定的地位，是数形结合的重要素材。在常规教学中往往是先给出定理，再证明定理，最后举例应用，这样处理教材是勾股定理失去了应有的魅力，难以激发他们学习的热情和兴趣。而用几何画板辅助教学则完全不一样，用几何画板制作两个软件，前者用于“定理”的提出，由学生自己操作计算机，利用几何画板独特的拖拉、测量、制表等功能来显示三边长度的平方的数量关系，经过分析、发现、归纳猜想出“定理”的结论。后者用于构造图形，证明定理。通过这样组织教学，能把勾股定理的精华之处一步一步地展现在学生面前，让他们感受其中的规律，体会其中的艰苦，尝试成功后的喜悦。这样既激发了学生学习几何的兴趣，又培养了学生的创新意识和创新精神。3.3.化静为动，突破教学的重点和难点利用现代化的教育手段进行快速训练，有助于个性特长的培养和发挥。例如：在三角函数教学中，用几何画板绘制正弦函数y=A*sin(x+)的图像，待屏幕上显示出正弦曲线后，结合课本例题，通过改变其振幅A的大小来观察正弦曲线，屏幕上可动态地显示出图像上所有点的纵坐标伸长（当A1）或缩短（当0A1）到原来的A倍（横坐标不变）。这样学生能看清A的变化只影响曲线的振幅，对周期和初相没有影响。同样，学生也很容易看出、的作用。从而培养学生敏捷的思维，观察、分析、解决问题的能力。数学教学内容比较抽象，传统的教学手段有一定的局限性，利用几何画板进行动态展示，可以使抽象的概念具体化、形象化，从而加深了学生的直观印象。这样可以弥补传统教学方式难以克服的重点和难点的教学内容，达到事半功倍的效果，让学生加深对它们的认识、理解和应用。平面图形中的平移、翻折、旋转等位置变化，可以通过动态演示，学生能够一目了然，易于接受和理解。增设疑问，巧设悬念，激发学生获取知识的求知欲，调动其学习的积极性，使学生由被动接受知识转化为主动探索问题，主动参与教学过程。例如：“顺次连接四边形的四边中点，问能够围成一个什么样的四边形？”对这个问题可以用几何画板展示一个动态的四边形，使它的形状可以任意改变，从而我们会发现中点围成的四边形的形状也同时发生变化。因此，在这里我们可以引导学生探究中点四边形的形状由原来四边形的什么性质决定的，从而给学生留下更多的思考时间和空间，让学生在已有的知识基础上能够发现新问题，解决新问题。3.4.互动学习，培养学生合作自主的精神几何画板的辅助反馈系统可以使教学评价更加科学、更加及时。它有利于学生意志的锻炼。例如：在平面直角坐标系的教学中，由坐标描点，如果学生操作不对，计算机会马上提示，并鼓励学生自己订正，反复练习。正确后学生会有一种成功的喜悦。从而培养了学生的自制力，自觉性和良好的学习习惯，同时教师与学生之间有更多的时间交流。总之，几何画板成为中学数学教学的实验平台，它能够有效地数形结合，使我们在数学学习中既理解了数学理论，又丰富了数学学习的经验。还使课堂教学结构发生了很大的变化。首先是时间和空间上的突破：学生在学习平台上有了支配权，能在一定背景下自己提出问题，设立学习步骤，优化学习方法。计算机就是学生自主学习，探索性学习的工具。在这样的环境中，驾驶计算机辅助教学平台的学习主体是学生，平台的使用从教师手中转移到了学生手中，使平台始终贯穿于学之中。其次，这种学习既是开发性的又是开放性的，学习从旁观者变成参与者、开发者，系统也从原来的封闭型转化为开放型和学习型。学生的学习过程，学习效果都可以在平台上反映出来。只要我们好好的运用几何画板，记住它是我们学习数学的实验平台，是几何学习的重要工具，我们一定会更进一层领略到几何画板独特魅力。4.运用几何画板进行实例分析4.1.正n边形的画法画法：首先利用“图表”命令中的“新建参数”，建立参数n=18（取任意值），再利用“度量”命令中的“计算”，在调出计数器后，计算360/n并标记为“标记角度”，再计算n-1的值。然后利用点工具任意画两个点O、A，选中点O和点A，并标记点O为中心（A为正n边形的第一点）。利用“变换”中的“旋转”命令，待出现旋转对话框后，单击“旋转”按钮，得到第二点B。再选中第一点A，利用“变换”中的“迭代”命令，出现迭代对话框后，就单击点B。利用小键盘上的+和-号改变迭代的次数，直到次数等于n-1的值。再单击迭代按钮就完成了绘图过程。说明：这样的多边形在黑板上是不容易画不出来的，但利用几何画板既轻松又简单。绘出来的图形既准确又清晰，让我们很快就明白其中的道理。图51图524.2.椭圆的画法画法：首先在画板上建立直角坐标系，在X轴的右侧顺次取两个点F2和B，然后对Y轴使用“变换”中的“标记镜面”命令，并选中。再利用“变换”中的“反射”命令得到点F1和点A，再利用“度量”中的“距离”度量出线段AB的长度。在以F1为圆心，以AB的长为半径画圆，在圆上任取一点C，过点F1和点C作直线，再作线段F2C的垂直平分线，交直线F1C于点P，点P将随着点C在圆上的运动而运动，利用“轨迹”命令可以得到图中的椭圆，绘图完成后，无用的对象可以隐藏起来。说明：在轴上取点2和点B的时候一定要是这一顺序,如果它们的顺序对换了,那么画出来的就是双曲线了（图4）。画椭圆的方法还有很多种，这里就只介绍一种了。图53图544.3.“圆幂定理”的演示做法：首先在画板上任意画一个圆，再利用工具栏中的“直线”工具画两条相交直线AB和CD，交点是P。利用“度量”命令中的“计算”命令，分别计算出线段AP、BP、CP、DP的长度。在计算AP*BP和CP*DP的积。选中两条线段，将“编辑按钮动画”命令改为“相交弦”、“割线”、“切割线”三个按钮即可。说明：我们任意改变交点的位置，会发现线段AP*BP、CP*DP的乘积不变。图55图564.4.圆柱、圆锥和圆台的动态展示做法：首先在画板上画一个圆，通过一系列操作得到该圆的投影图椭圆（椭圆的另一种画法）。在作图的过程中，我们可以看到圆的中心的投影就是椭圆的中心。在画板上任画一条线段AB，依次选中点A和点B，并利用“变换”命令中的“标记向量”。再选中椭圆中心和椭圆上的一点，利用“变换”命令中的“平移”，画板跳出“平移”菜单，默认菜单里的设置，点击“平移”按钮。在椭圆的上方出现对应的两点，分别把对应的两点连接起来，即构成一个矩形。选中矩形的四个顶点，利用“构造”命令中的“四边形的内部”，给四边形添加颜色。再选中矩形与椭圆的交点，利用“显示”命令中的“跟踪交点”和“生成交点的动画”，我们可以看到矩形绕着它的另一边转动起来，围成一个圆柱。根据同样的道理，我们可以利用“直角三角形”和“直角梯形”的动画绘制出“圆锥”和“圆台”。说明：圆柱、圆锥和圆台的绘制过程是依据它们的定义。它们的底面都是椭圆，由于几何画板的工具栏里没有直接绘制“椭圆”的工具，所以，我们利用圆的投影图椭圆，我们还可以采用先画出椭圆的方法。4.5.函数y=a*sin（b*?）的图像画法：首先利用“图表”命令中的“新建参数”，建立参数a和b，参数可以任意取值。再利用“新建函数”命令建立函数y=a*sin（b*?）。再选中建立的函数，利用“绘制函数图像”命令绘制此函数，画板上立即绘制出该函数的图像。说明：这里的参数可以任意取值,但不同的取值绘出不同的图像。参数a的取值只改变图像的大小；参数b的取值却改变了图像的叶片数，具体如下表。表51b的取值 对应的图像说明当b=0时 没有图像；当b=1时 图像是椭圆，取正号时在X轴的上方，取负时在X轴的下方；当b=2时 图像是四叶玫瑰线；当b=3时 图像是三叶玫瑰线，取正号时X轴的上方有两片叶子，下方有一片叶子；取负号时则相反；当b=4时 图像是八叶玫瑰线；当b=5时 图像是五叶玫瑰线，取正号时X轴的上方有三片叶子，下方有两片叶子；取负号时则相反；当b=6时 图像是十二叶玫瑰线；当b=?n时 若n为偶数 图像是2n叶玫瑰线； 若n为奇数 图像是n叶玫瑰线，取正号时X轴的上方比X轴的下方多一片叶子，取负号时则相反。图57图584.6.求前n个奇数的和方法：首先利用“图表”中的“新建参数”命令，建立参数s和n，并给它们定义一个任意值。再利用“新建函数”命令，建立函数f（x）=2*x+1，再利用“度量”中的“计算”命令，分别计算出“f（n）=1、s+f（n）=1、n+1=1”。利用“图表”中的“绘制点”命令，绘制出点n+1，s+f（n），画板上立即出现绘制点菜单，在直角坐标系下绘制出点（1，1）的图像。在画板上任意画一条线段，并选中它和绘制出来的点，利用“构造”中的“以圆心和半径绘圆”命令，得到一个圆。再依次选中参数“s”和“n”，利用“变换”中的“迭代”命令，待出现迭代菜单后，依次单击“s+f（x）”和“n+1”，再利用小键盘上的“+”和“-”来改变项数，然后单击“迭代”按钮即可。说明：在这过程中，我们可以随意改变参数的取值和函数的形式。若想知道迭代出来的点的图像，我们就选中表格，单击鼠标右键选择“绘制表中记录”，即可看到绘制出来的点。由此，我们可以引申“求前n项的积”或者“前n项偶数的和”等等数学问题。解决这些问题关键的是：初始值和迭代函数的设置。图59图5104.7.绘制二元树做法：如图511所示，用粗线画线段AB，BC，其中AB长于BC。同时选中线段BC和AB标记比值，让点B