幂级数的典型应用毕业论文

本科毕业论文 题 目 : 幂级数的典型应用 院 系 ： 数学与信息科学学院 专 业 ： 数学与应用数学 姓 名 ： 罗云云 学 号 ： 091901301030 指导教师 ： 管 毅 教师职称 ： 讲 师 填写日期： 2013年 5月 2日贵阳学院 毕业论文 I 摘要 幂级数是 一类形式简单的函数项级数 ,应用非常广泛 .在一些运算中，很难用初等数学的方法进行计算 .这时 ,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化 .本文通过归纳的方法 ,从幂级数的定义出发 ,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式 ,总结了幂级数的四点应用 :第一 ,在近似计算中的应用 ；第二 ,在不等式证明中的应用 ；第三 ,在微分方程中的应用 ；第四 ,在行列式计算中的应用 . 关键词 :幂级数 ；微分方程 ；不等式 贵阳学院 毕业论文 II Abstract Power Series is a kind of series of functions with a simple format； its application is very broad. In some operations, it is difficult to use the method of elementary mathematics to calculate. At this time, some complex problems can be simplified by using the quality and expansion of power series. Based on the inductive methods, starting from the definition of power series, and then give the convergence domain of the power series, important theorem and power series expansion to summarize the four applications of the power series: first, in the application of approximate calculation； Second, in the application of inequality proof； Third, in the application of differential equations； Last, in the application of the determinant calculation. Keywords: Power series； Differential equations； Inequality 贵阳学院 毕业论文 III 目 录 摘 要 . 错误 !未定义书签。 Abstract . II 第一章 前言 . 1 第二章 幂级数的基本知识 . 2 第一节 定义 . 2 第二节 和函数 . 2 第 三节 幂级数收敛域 . 4 第四节 函数的幂级数展开 . 5 一、函数的泰勒展开式 . 5 二、常见函数的麦克劳林展开式 . 6 第三章 幂级数的应用 . 7 第一节 在近似计算中的应用 . 7 第二节 在不等式证明中的应用 . 7 第三节 在微分方程中的应用 . 9 第四节 在行列式计算中的应用 . 11 致谢 . 14 参考文献 . 15 贵阳学院 毕业论文 1 第一章 前言 级数是高等数学体系的重要组成部分 ,它是在生产实践和科学实验的推动下逐步形成和发展起来的 .中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元 263 年就创立了“割圆术” ,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆 ,从而求得圆的面积 .这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法 ,即无限多个数的累加问题 .印度的马德哈瓦在 14 世纪就提出了函数展开成无穷级数的概念 ,他首先提出了幂级数的概念 ,并对泰勒级数、麦克劳林级数、 无穷级数的有理数逼近等做了研究 .同时 ,他开始探究无穷级数的敛散性方法 .到了 19 世纪，高斯、欧拉、柯西分别得出了各种判别级数敛散性的方法 ,使得级数理论全面发展起来 .中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀 ,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对初等函数的幂级数展开进行了深入的研究 .而今 ,级数的理论已经发展得相当丰富和完整 ,级数既可以用来表示函数、研究函数的性质 ,也可以作为进行数值计算的一种工具 .它在自然科学、工程技术等方面都有广泛的作用 . 幂级数是一类形式简单的函数项级数 ,应用非常广泛 .在 一些运算中 ,很难用初等数学的方法进行计算 .这时 ,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化 .本文通过归纳的方法 ,从幂级数的定义出发 ,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式 ,总结了幂级数的四点应用 :第一 ,在近似计算中的应用 ；第二 ,在不等式证明中的应用 ；第三 ,在微分方程中的应用 ；第四 ,在行列式计算中的应用 . 贵阳学院 毕业论文 2 第二章 幂级数的基本知识 第一节 定义 在函数级数中有一类结构简单、应用广泛的特殊的函数级数 0n na (y a )n = 0a 1a (y a ) 2a (y a )2 na (y a )n , 称为幂级数，其中0a， 1a ， ，na， 都是常数，称为幂级数的系数 .特别地，当 y a x ，上述幂级数就化为最简单形式的幂级数 nn nxa0 0a xa1 22xa nnxa . 第二节 和函数 设 nn nxa0的收敛半径为 R (R 0 ), xS nn nxa0为和函数，则有以下定理成立： 定理 81 若幂级数0nnnax与 101()nnnna x n a x 的收敛半径分别是正数 1r 与 2r , 则12rr. 证明 首先 证明12rr.0 0 1:0x x r ,1 0 1 1:x x x r . 已 知 级 数10 nnn ax收敛 . nN,有 nnnnn xaxxxnxna110010 , 已知极限 001lim 0nnxnxx ,从而数列 001nxnxx有界 ,即 0,M n N ,有 001.nxnMxx 于是 , 10nnna x 1nnM a x. 根据比较判别法， 级数 101 nn nxna 绝对收敛，即 12rr . 贵阳学院 毕业论文 3 其次 证明 , 21 rr .200 0: rxx ,2101 : rxxx . 已 知 级 数 111nnnxna 收敛 . n N ,有 1111000 nnnnn xnaxxnxxa . 已知极限 0lim 1100 nn xxnx ，所以数列 1100nxxnx 有界，即 ,0 NnM 有 Mxxnx n 1100 . 于是 , 110 nnnn xnaMxa. 根据比较判别法，级数 nn nxa 00绝对收敛，即12rr. 综上所证 ,12rr. 定理 82 若幂级数0nnnax的收敛半径 0r , 则 ( , )x r r ,它的和函数 xS 由 0 到x 可积 ,且可逐项积分 ,即 000()xxnnnS t d t a t d t 10 1 nnn xna. 证明 ( , )x r r , 0,使 ,x r r .已知幂级数内闭一致收敛 .和函数xS 由 0 到 x 可积 , 且可逐项积分 ,即 dttadttS nnxnx 0 00)( 10 1 nnn xna. 根据定理 1,此幂级数的收敛半径也是 r . 定理 83 若幂级数0nnnax的收敛半径 0r ,则它的和函数 xS 在区间 ,rr 可导 ,且可逐项微分 ,即 ( , )x r r ,有 xS ( nn nxa0) 10nn nxna . 贵阳学院 毕业论文 4 证明 根据定理 1,幂级数 10nnnna x 的收敛半径也是 r . ( , )x r r , 0, 使 ,x r r .已知幂级数内闭一致收敛 .和函数 xS 在 x 可导 ,从而和函数 xS 在区间 ,rr 可导 ,且可逐项微分 ,即 ( , )x r r ,有 xS ( nn nxa0) 10nn nxna . 第三节 幂级数收敛域 已知幂级数 22100xaxaaxa nn n nnxa. 1 现在讨论幂级数 1 的收敛问题，显然幂级数 1 在 0x 处总是收敛的，我们有以下定理： 定理 4 若幂级数 1 在 000 xxx收敛，则对满足不等式0xx 的任何 x ，幂级数1 收敛而且绝对收敛；幂级数 1 在 000 xxx 时发散，则对满足不等式 0xx 的任何x ，幂级数 1 发散 . 证明 设幂 级数 nn nxa 00收敛，从而数列 nnxa 0收敛于零且有界 .即存在某正数 M ，使得 ,2,1,00 nMxa nn .另一方面对任意一个满足不等式 0xx 的 x ，设 10 xxr ，则 nnnnnnnnnn Mrxxxaxxxaxa 0000. 由于级数 0nnMr 收敛，故幂 级数 1 当 0xx 时绝对收敛 . 现在证明定理的第二部分 .设幂级数 1 在0xx是发散，如果存在某一个 1x ，它满足不等式0xx ，且使级数 0 1nnnxa 收敛，则由定理的第一部分知道，幂级数 1 应在 0xx 时绝对收敛 .这与假设矛盾，所以对一切满足不等式0xx 的 1x 幂 级数 1 都发散 . 贵阳学院 毕业论文 5 则可知道幂级数 1 的收敛域是以原点为中心的区间，若以 R2 表示区间的长度，则称 R为幂级数的收敛半径 .事实上，它就是使得幂级数 1 收敛的那些收敛点的绝对值的上确界，所以： 当 0R 时，幂级数 1 仅在 0x 处收敛； 当 R 时，幂级数 1 在 , 上收敛； 当 R0 时，幂级数 1 在 , 内收敛；至于 Rx ，幂级数 1 可能收敛也可能发散 .我们称 , 为幂级数的 1 收敛区间 . 第四节 函数的幂级数展开 一、函数的泰勒展开 式 定义 71 若函数 xf 在点0x存在 n 阶导数 ,则有 nn xxn xfxxxfxxxfxfxf 00200000 !2!1 nxxo 0 2 这里 nxxo0为 佩亚诺型余项 ,称 2 为 xf 在点0x的泰勒公式 . 当 00x时 ,2 式变成 nn xnfxfxffxf ! 0!2 0!1 00 2 nxo ,称此式为(带有佩亚诺余项的 )麦克劳林公式 . 定义 72 若函数 xf 在点0x的某领域内为存在直至 1n 阶 的连续导数 ,则 nn xxn xfxxxfxxxfxfxf 00200000 !2!1 xRn 3 这里 xRn为拉格朗日余项 101!1 nnn xxnfxR ,其中 在 x 与 0x 之间 ,称 3 为 xf 在点0x的泰勒公式 . 当 00x时 ,(3)式变成 nn xnfxfxffxf ! 0!2 0!1 00 2 xRn ,称此式为(带有拉格朗日余项的 )麦克劳林公式 . 贵阳学院 毕业论文 6 二、常见 函数的麦克劳林展开式 1. nnx xonxxxe !2!112 ； 2. 12123!121!3s in nnn xonxxxx ； 3. nnn xonxxx 222!21!21c o s ； 4. nnn xonxxxxx 132 1321ln ； 5. nnn xoxxxxx 111 1 32 . 贵阳学院 毕业论文 7 第三章 幂级数的应用 第一节 在近似计算中的应用 1 当 xf 的原函数不能用初等函数 表示 出来 ,计算 xf 的定积分就遇到了困难 .现在 ,我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值 .具体计算时 ,要求被积函数能够展成收敛的幂级数 ,且积分区间必须在幂级数的收敛域内 ,然后利用幂级数的逐项积分性质来计算定积分的值 . 例 3.1.12 计算定积分 dxx 5.00 41 1的近似值 ，要求误差不超过 0001.0 . 解： dxxxxxx nn 5.00 412845.00 4 111 1 1395 211312191215121 , 上式右端为一交错级数 ,有 41343 10000009.021131 ur ， 故取前 3 项作为定积分的值 ,并在计算时取五位小数 ,可得 4940.021912151211 1 955.00 4 dxx. 例 3.1.23 计算积分 dxx x10 sin的近似值，精确到 410 . 解 : !121!7!5!31s in2642nxxxxxx nn, dxx x10 sin !1212 1!77 1!55 1!33 11 nnn, 因为第四项的绝对值 41030001!77 1 , 取前三项作为定积分的近似值，得 9461.0!55 1!33 11s in10 dxx x. 第二节 在不等式证明中的应用 在一些不等式的证明中，用初等数学方法往往很难证明，但是利用幂级数展开式能巧妙地将问题化难为易 . 例 3.2.1 证明当 0x 时， xxx c o s2sin3 . 证 明 : 由三角函数的幂级数展开式易知 贵阳学院 毕业论文 8 !53!23!5!33s in35353 xxxxxxx ， 0x xxxxxx !6!4!212c o s2642 !6!4!23753 xxxx ， 0x 要 !53!6!4575 xxx ，即 2!61!53!41 x, 则 12!6!52!6!53!412 x, 所以 ,当 120 x 时，不等式成立 . 又 xx sincos2 , xx s in912c o s2 , xcocx s in3122 ， 所以 ,当 12x 时 ,不等式成立 . 综上所证，当 0x 时 ,不等式成立 . 例 3.2.2 证明不等式 222 xxx eee ， ,x . 证明 : nx xnxxxe !1!31!211 32 0 !nnnx ,x . !1!3!2132xxxxxennx !10 nx nnn ,x . 02!22 nnxxnxee ， 022!2222nnxnxe ， 由于 !2!222nxnx nn ， 贵阳学院 毕业论文 9 所以就可以得到 222 xxx eee . 第三节 在微分方程中的应用 有些微分方程的解不能用初等函数或积分来表示 ,此时常常用幂级数求出它的解 .5 如果所求方程 yxfdxdy , 4 满足初始条件00 yy xx 的特解 ,其中函数 xf 是 0xx 、 0yy的多项式 ,那么可以设所求特解可展开为0xx的幂级数 : nn xxaxxaxxaxayy 030320210, 5 其中 , 21 naaa 是待定的系数 .把 5 带入 4 , 便得一个恒等式 ,比较所得恒等式两端0xx 的同次幂的系数 ,就可定出常数 , 21 naaa ,以这些常数为系数的级数 5 在其收敛区间内就是方程 4 满足初始条件00 yy xx 的特解 . 6 如果方程 0 yxQyxPy 中的 xP 与 xQ 可在 RR , 内展成 x 的幂级数 ,那么在 RR , 内方程 0 yxQyxPy 必有形如 nn nxaxy 0 的解 . 例 3.3.13 求 2yxdxdy 满足 0|0xy的特解 . 解 : 0x ， 0y ，设 nn xaxaxaxaxy 33221 123121 32 nn xnaxaxaaxy 将 xy 、 xy 代入原方程得 123121 32 nn xnaxaxaa 24433221 xaxaxaxax 贵阳学院 毕业论文 10 即 42122321221 22 xaaaxaaxax . 根据恒等式两端 x 的同次幂的系数，得 01 a，212 a， 03a， 04a ，2015 a， 所以，原式的解为： 5220121 xxxy. 例 3.2.24 求方程 0 yxyy 的解 . 解：设微分方程的解是处处收敛的幂级数，即 nn nxaxy 0. 求微分方程的解，实质上就是求级数 nn nxa0的未定系数0a， 1a ， 2a ， .逐项微分两次，即 10 nnnxanxy ， 201 nnnxannxy . 代入方程之中，有 201 nnnxann 10nnnxanx nn nxa00 , 即 nnnxann 2012 10nnnxanx 00nn nxa , 01120 2 nnnn xanann . 22 naa nn， 0n ， 1 ， 2 ， . 由递推公式有 202 aa ,313 aa ,804 aa ,1515 aa , , 202 aa ,804 aa , ,kk kaa 2! 02 , 1k ,2 ,3 , , 313 aa ,1515 aa , , !12 112 kaa k, 1k ,2 ,3 , , 所以，原方程的解为： 贵阳学院 毕业论文 11 0121020 !122! nnn nnnxanxaxy ，其中 0a 、 1a 是任意常数 . 第四节 在行列式计算中的应用 若一个行列式可看作 X 的函数（一般是 x 的 n 次多项式） ,记作 xf ,按泰勒公式在某处0x展开 ,用这一方法可求得一些行列式的值 .还可以利用幂级数的变换计算行列式 ,当利用幂级数的变换计算行列式时 ,往往要找到行列式序列的递推关系式 ,设出与行列式序列对应的幂级数 ,根据递推关系出现的具体情况 ,对假设出的幂级数进行恰当运算 ,最后求出幂级数 ,通过比较幂级数的系数可得到 n 阶行列式nD的值 . 例 3.4.1 求 n 阶行列式 xzzzyxzzyyxzyyyxD . 解 : 记 Dxfn )(,按泰勒公式在 z 处展开： nnnnnnn zxn zfzxzfzxzfzfxf )(! )()(!2 )()(!1 )()()( )(2 , 6 易知 1)(00000000000000kkyzzyzyyzyyzyyzyyzD阶 . 7 由 7 得 , nkyzzzf kk ,2,1,)()( 1 时都成立 . 对行列式求导 ,有 )(1)(),(2)(,),()1()(),()( 11122 11 xxfxfxfxfxfnxfxnfxf nnnn . 于是 )(xfn在 zx 处 的各阶导数为： 21 )()(|)()( nnzxnn yznzznfzfzf； 贵阳学院 毕业论文 12 31 )()1()(|)()( nnzxnn yzznnznfzfzf； znnzfnnfzfzxnnnn 2)1()(2)1(|)( 111 ； 12)1()()( nnzf nn, 把以上各导数代 入 6 式中 ,有 ,)(!12)1()()!1(2)1()()(!2)1()()(!1)()(12321nnnnnnzxnnnzxznnnzxyzznnzxyzznyzzxf 若 yz ,有 )1()()( 1 ynxyxxf nn , 若 yz ,有 yzzxyyxzxf nnn )()()( . 例 3.4.2 计算行列式110000111000001110000111100001110000111000011nD. 解 : 当 1n 时 , 11D ；当 2n 时 , 22 D ；当 2n 时 ,将nD按第一列展开，即得 21 nnn DDD, 此行列式序列 1D , 2D ,3D, 是著名的斐波那契数列 ,开始两项为 1 ,2 ,以后各项均为前两项之和 ,即 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， .数列的 构造规则可表示为差分方程 5,4,3021 nDDD nnn 8 贵阳学院 毕业论文 13 初始值条件为 11D , 22 D . 设 nn xDxDxDxF 221, 9 分别用 x ， 2x 乘以 9 式得： 13221 nn xDxDxDxxF, 10 ,242312 nn xDxDxDxFx 11 由 9 1110 可得： nnnn xDDDxDDxDxxxF 21212121, 由 8 可知： 11 11 222 xxxx xxxF, 解方程 21 xx 0 ，得2 511 x，2 512