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第4课时基本不等式 一 考纲点击1 了解基本不等式的证明过程 2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 二 命题趋势1 从考查内容看 主要考查利用不等式求最值 且常与函数 数列 解析几何等结合在一起考查 2 从考查形式看 主要以选择题 填空题的形式出现 考查最值的求法 也可渗透在解答题中 难度一般不大 属中低档题 a 0 b 0 a b 2ab 2 x y 小 x y 大 1 在应用基本不等式求最值时 要把握不等式成立的三个条件 就是 一正 各项均为正 二定 积或和为定值 三相等 等号能否取得 若忽略了某个条件 就会出现错误 2 基本不等式的几种变形公式及应用 1 对于基本不等式 不仅要记住原始形式 而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等 如 归纳提升 利用基本不等式求最值需注意的问题 1 各数 或式 均为正 2 和或积为定值 3 判断等号能否成立 即一正 二定 三相等 这三个条件缺一不可 4 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次能否保证等号成立 并且要注意多次取等号的条件是否一致 即多次等号能否同时成立 5 为了创造使用基本不等式的条件 常需要对求值的式子进行恒等变形 运用基本不等式求最值的关键在于凑配 和 与 积 并且在凑配过程中注意等号成立的条件 归纳提升 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况 证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发 借助不等式的性质和有关定理 经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 针对训练3 2013 四川 设p1 p2 pn为平面 内的n个点 在平面 内的所有点中 若点p到点p1 p2 pn的距离之和最小 则称点p为点p1 p2 pn的一个 中位点 例如 线段ab上的任意点都是端点a b的中位点 现有下列命题 若三个点a b c共线 c在线段ab上 则c是a b c的中位点 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点 若四个点a b c d共线 则它们的中位点存在且唯一 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 其中的真命题是 写出所有真命题的序号 p是平面内任一点 点o为p在直线ab上的射影 pa pb pc pd oa ob oc od 2 bc cd ab 由p的任意性知 只要o点落在线段bc上即可 错 对 设梯形abcd的对角线ac bd相交于o点 由于 pa pc ac pb pd bd pa pc pb pd ac bd ao ob oc od 即o为该梯形四个顶点的唯一的中位点 答案 方法探究 拆 拼 凑的典范 本题求和式的最小值 故可选用基本不等式 为了使积为定值 故需对原式进行配凑 关键点在于使目标出现定积 同时要注意项必须为正数 故需
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