高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第七章 第二节两条直线的位置关系精讲课件 文.ppt

第二节两条直线的位置关系 第七章 例1 已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 判定两直线的位置关系 解析 1 由已知可得l2的斜率必存在 所以k2 1 a 若k2 0 则1 a 0 a 1 因为l1 l2 所以直线l1的斜率k1必不存在 即b 0 又因为l1过 3 1 所以 3a b 4 0 即b 3a 4 不合题意 所以k2 0 即k1 k2都存在 又因为l1过点 3 1 所以 3a b 4 0 由 联立 解得a 2 b 2 2 因为l2的斜率存在 l1 l2 所以k1 k2 即 1 a 又坐标原点到这两条直线的距离相等 点评 1 若直线l1和l2有斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则直线l1 l2的充要条件是k1 k2 1 直线l1 l2的充要条件是k1 k2 且b1 b2 2 设l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则l1 l2 a1a2 b1b2 0 l1 l2 a1b2 a2b1 0 a1c2 a2c1 0 3 对系数含参这类问题 要从直线有斜率 没有斜率两个方面进行分类讨论 在确定参数的值时 应注意先讨论x y系数为0的情况 1 1 2012 深圳松岗中学模拟 已知直线l1 3 m x 4y 5 3m与l2 2x 5 m y 8平行 则实数m的值为 a 7b 1c 1或 7d 变式探究 2 abc的三边a b c分别对应角a b c 若lgsina lgsinb lgsinc成等差数列 则直线l1 xsin2a ysina a与直线l2 xsin2b ysinc c的位置关系是 a 不垂直的相交b 平行c 垂直相交d 重合 3 2012 杭州第十四中学月考 若存在直线l平行于直线3x ky 6 0 且与直线kx y 1 0垂直 则实数k 解得m 7 舍去m 1 故选a 2 提示 结合正弦定理考虑 3 依题意 直线3x ky 6 0与直线kx y 1 0互相垂直 可得k 0 答案 1 a 2 d 3 0 求与已知直线平行或垂直的直线方程 例2 1 经过两条直线2x 3y 3 0 x y 2 0的交点 且与直线x 3y 1 0平行的直线一般式方程为 2 已知曲线f x xsinx 1在点处的切线与直线l垂直 且直线l与坐标轴围成的三角形面积为2 则直线l的方程为 解析 1 两条直线2x 3y 3 0 x y 2 0的交点为 3 1 所以与直线x 3y 1 0平行的直线为y 1 x 3 即x 3y 0 答案 1 x 3y 0 2 y x 2或y x 2 点评 当直线的斜率存在且不为零时 若直线l2与直线l1 ax by c1 0平行 则可设l2的方程为ax by c2 0 若直线l2与直线l1 ax by c1 0垂直 则可设l2的方程为bx ay c2 0 当直线的斜率为零或不存在时 结合图形可易得直线方程 变式探究 2 已知 abc三个顶点a 2 0 b 4 8 c 0 6 则ab边上的高线所在的直线方程是 与边bc平行的三角形中位线所在的直线方程是 答案 x 4y 24 0 x 2y 5 0 例3 已知不论 取任何实数 直线 2 3 x 4 y 2 2 0都恒过一定点 求这个定点的坐标 直线恒过定点问题 解析 将方程 2 3 x 4 y 2 2 0 r 整理为 2x y 2 3x 4y 2 0 因为 r 所以必须有 左边 2 3 x 4 y 2 2 0 右边 所以直线 2 3 x 4 y 2 2 0 r 过定点 2 2 点评 直线的点斜式方程y y0 k x x0 表明不论k取何值 该方程表示的直线恒过定点 x0 y0 一般情况是形如a1x b1y c1 a2x b2y c2 0的直线 若对任意的 值恒成立 则该直线恒过直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的交点 该直线在方程中 当 0时 表示直线l1 但是 不论 取何值 都不能表示直线l2 变式探究 3 1 不论k取何值 直线l k 1 x y 2 k 0恒过定点 这个定点是 a 1 3 b 1 3 c 3 1 d 3 1 2 若k 1 b成等差数列 则直线y kx b必过定点 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 解析 1 法一 取k 0 得x y 2 0 取k 1 得2x y 1 0 解 构成的方程组 得x 1 y 3 将该点坐标代入直线l方程 则方程恒成立 说明不论k取何值 直线l都经过点 1 3 故选b 法二 将直线方程化为 x 1 k x y 2 0 因为k取任意实数 即关于k的方程有无数组解 所以x 1 0且x y 2 0 解得x 1 y 3 故选b 2 由已知得k b 2 所以直线方程变为y kx k 2 即y k x 1 2 此为直线的点斜式方程 所以直线过定点 1 2 故选a 答案 1 b 2 a 距离问题 点评 1 求直线方程时一定要注意斜率不存在的情况 2 第 2 问是判断存在性问题 通常的解决方法是先假设判断对象存在 令其满足应符合的条件 若有解 则存在 并求出 若无解 则不存在 判断无解的过程就是结论的理由 3 在运用公式d 求平行直线间的距离时 一定要把x y前面的系数化成相等 变式探究 2 已知直线3x 4y 3 0与直线6x my 14 0平行 则它们之间的距离是 a b c 8d 2 中心对称问题 例5 1 已知点a 3 4 求点a关于点p 2 1 对称的点b 2 求直线l1 2x y 2 0关于定点m 1 2 对称的直线m的方程 思路点拨 1 因为关于中心对称的两点连线段被对称中心平分 因此用中点坐标公式来解决 2 设直线m上的动点p x y 关于点m 1 2 的对称点为q x0 y0 则点q必在直线l1上 结合中点坐标公式即可求得 2 设直线m上的动点p x y 关于点m 1 2 的对称点为q x0 y0 则点q必在直线l1上 线段pq的中点为m 由中点坐标公式得 于是得x0 2 x y0 4 y 因为点q x0 y0 在直线l1 2x y 2 0上 所以2 2 x 4 y 2 0 即2x y 2 0 所以直线m的方程为2x y 2 0 点评 因为已知直线上的点关于定点的对称点均在其对称直线上 所以关于定点对称的两条直线是互相平行的 变式探究 5 直线x 2y 3 0与直线ax 4y b 0关于点a 1 0 对称 则b 解析 由题意知 点a 1 0 不在直线x 2y 3 0上 则 所以a 2 又点a到两直线的距离相等 所以 b 2 4 所以b 6或b 2 又因为点a不在直线上 两直线不重合 所以b 2 答案 2 轴对称问题 例6 1 求直线a 2x y 4 0关于直线l 3x 4y 1 0对称的直线b的方程 2 光线沿直线l1 x 2y 5 0射入 遇直线l 3x 2y 7 0后反射 求反射光线所在的直线方程 思路点拨 轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴 根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决 解析 1 法一 由解得a与l的交点e 3 2 点e也在b上 在直线a 2x y 4 0上找一点a 2 0 设点a关于直线l的对称点b的坐标为 x0 y0 由两点式得直线b的方程为 即2x 11y 16 0 法二 利用对称关系 设p x y 是所求对称直线b上一点 关于直线l的对称点为q x0 y0 即直线b的方程是2x 11y 16 0 代入方程x 2y 5 0中 化简得29x 2y 33 0 即为所求反射光线所在的直线方程 点评 由平面几何知识可知 若直线a b关于直线l对称 则应有下列几何性质 1 若a与b相交 则l是a b交角的平分线 若a与l平行 则b l 且a b与l距离相等 2 点a在直线a上 则a点关于l的对称点b一定在直线b上 并且ab l ab的中点在l上 3 设p x y 是所求直线b上一点 则p为关于l的对称点p 的坐标适合a的方程 变式探究 6 1 2012 大庆市铁人中学期末 将一张坐标纸折叠一次 使点p 10 0 与q 6 8 重合 则与点m 4 2 重合的点是 a 4 2 b 4 3 c d 3 1 2 点p 0 1 在直线ax y b 0上的射影是点q 1 0 则直线ax y b 0关于直线x y 1 0对称的直线方程为 解析 1 法一 作图检验可知选项a满足题设条件 故选a 法二 设与m重合的点为n x y 则线段pq的中