全国版高考数学第四章平面向量的基本定理及向量坐标运算课时提升作业.docx

平面向量的基本定理及向量坐标运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2014北京高考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)【解析】选A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).2.在ABC中,已知A(2,1),B(0,2),=(1,-2),则向量=()A.(0,0)B.(2,2)C.(-1,-1)D.(-3,-3)【解析】选C.因为A(2,1),B(0,2),所以=(-2,1).又因为=(1,-2),所以=+=(-2,1)+(1,-2)=(-1,-1).3.(2016郑州模拟)已知平面直角坐标系内的向量a=(1,3),b=(m,2m-3),若该平面不是所有向量都能写出xa+yb(x,yR)的形式,则m的值为()A.-B.C.3D.-3【解析】选D.由题意可知a与b共线,所以2m-3-3m=0,解得m=-3.【加固训练】设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由ab,得8-(x-1)(x+1)=0,即x2-9=0.解得x=3.所以x=3时,ab,而ab时,x还可以等于-3.故“x=3”是“ab”的充分不必要条件.4.已知a=(1,1),b=(-1,2),c=(5,-1),则c可用a与b表示为()A.a+bB.2a+3bC.3a-2bD.2a-3b【解题提示】用验证法.根据坐标运算逐一验证即可.【解析】选C.因为a=(1,1),b=(-1,2),c=(5,-1),所以a+b=(0,3)c,2a+3b=2(1,1)+3(-1,2)=(-1,8)c,3a-2b=3(1,1)-2(-1,2)=(5,-1)=c,2a-3b=2(1,1)-3(-1,2)=(5,-4)c.故选C.【一题多解】解答本题还可采用如下解法.选C.设c=xa+yb,因为a=(1,1),b=(-1,2),c=(5,-1),所以解得x=3,y=-2,所以c=3a-2b.5.已知a=(-5,12),则与a方向相同的单位向量的坐标为()A.(-1,0)B.(0,1)C.D.【解题提示】利用单位向量的定义及同向的意义求解.【解析】选D.设e=a(0),则|e|=|a|=|=13|=1,即|=,=,所以e=(-5,12)=.6.(2016芜湖模拟)在ABC中,已知a,b,c分别为A,B,C所对的边,S为ABC的面积,若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足pq,则C=()A.B.C.D.【解题提示】根据向量平行的坐标公式,建立条件关系,利用余弦定理和三角形的面积公式即可得到结论.【解析】选A.因为向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足pq,所以a2+b2-c2-4S=0,即4S=a2+b2-c2,则4absinC=a2+b2-c2,即sinC=cosC,则tanC=1,解得C=.7.(2016西安模拟)在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是()A.B.C.D.【解题指示】结合图形利用共线向量定理把x转化成参数(已知范围)的函数.【解析】选D.如图.依题意,设=,其中1,则有=+=+=+(-)=(1-)+.又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-,即x的取值范围是.【一题多解】本题还可采用如下解法:选D.特殊情况法:当点O在C处时,=,又=x+(1-x),所以x=0;当点O在D处时,=+=+=+(-)=-+,又=x+(1-x),所以x=-.结合选项易知选D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.设O是坐标原点,已知=(k,12),=(10,k),=(4,5),若A,B,C三点共线,则实数k的值为.【解析】由题意得=-=(k-4,7),=-=(6,k-5),所以(k-4)(k-5)=67,k-4=7或k-4=-6,即k=11或k=-2.答案:11或-29.(2016开封模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,且满足=+,则=.【解题提示】利用已知条件转化为向量,的关系,确定点C位置后可解.【解析】由已知得,3=2+,即-=2(-),即=2.如图所示:故C为BA的靠A点的三等分点,因而=.答案:【一题多解】本题还可采用如下解法:=+=+=+=,所以=.答案:10.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,1),(2,1),则其第四个顶点的坐标为.【解题提示】根据顶点的顺序分类讨论.【解析】设A(1,0),B(0,1),C(2,1),第四个顶点D(x,y),由题意,该平行四边形四个顶点的顺序不确定,讨论如下:若平行四边形为ABCD,则=.因为=(-1,1),=(2-x,1-y),所以解得即D(3,0);若平行四边形为ABDC,则=.因为=(-1,1),=(x-2,y-1),所以解得即D(1,2);若平行四边形为ACBD,则=.因为=(1,1),=(-x,1-y),所以解得即D(-1,0).答案:(3,0)或(1,2)或(-1,0)(20分钟40分)1.(5分)设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,若e1+e2=xa+yb,则x+2y=()A.B.-C.1D.0【解析】选D.因为e1+e2=xa+yb.a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=x(e1+2e2)+y(-e1+e2)=(x-y)e1+(2x+y)e2.由平面向量基本定理,得所以故x+2y=+2=0.2.(5分)已知A(7,1)、B(1,4),直线y=ax与线段AB交于C,且=2,则实数a等于.【解题提示】设出点C坐标,利用=2得C点坐标后,代入直线方程可解a.【解析】设C(x,y),则=(x-7,y-1),=(1-x,4-y).因为=2,所以解得所以C(3,3).又C点在直线y=ax上,故3=a,得a=2.答案:2【加固训练】(2016九江模拟)P=a|a=(-1,1)+m(1,2),mR,Q=b|b=(1,-2)+n(2,3),nR是两个向量集合,则PQ等于.【解析】P中,a=(-1+m,1+2m),Q中,b=(1+2n,-2+3n).则得此时a=b=(-13,-23).答案:(-13,-23)3.(5分)(2016保定模拟)如图所示,A,B,C是O上的三点,线段CO的延长线与线段BA的延长线交于O外的一点D,若=m+n,则m+n的取值范围是.【解析】因为线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D,则=t,因为D在圆外,所以t0,b0.(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.【解题提示】(1)由向量相等列方程组求a,b的值.(2)把A,B,C三点共线转化为向量共线,由向量共线列关于a,b的等量关系式,再根据基本不等式求a+b的取值范围.【解析】(1)因为四边形OACB是平行四边形,所以=,即(a,0)=(2,2-b),解得故a=2,b=2.(2)因为=(-a,b),=(2,2-b),由A,B,C三点共线,得,所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,因为a0,b0,所以2(a+b)=ab,即(a+b)2-8(a+b)0,解得a+b8或a+b0.因为a0,b0,所以a+b8,即a+b的最小值是8.当且仅当a=b=4时,“=”成立.【一题多解】本题(2)还可采用如下解法因为=(-a,b),=(2,2-b),由题意得,所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab.因为a0,b0,所以=,即2=1,所以a+b=(a+b)2=22=8,当且仅当=,即a=b=4时“=”成立,故a+b的最小值为8.【加固训练】已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且=+t(tR),问:(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在二、四象限角平分线上?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.【解析】(1