数学物理方程总复习.pdf

数学物理方程 Mathematical Equations for PhysicsMathematical Equations for Physics 用数理方法研究问题的步骤 ?1、写出定解问题 ?2、求解: ?求解方法：行波法、分离变量法、格林函 数法、 ?3、分析解答： 物理意义 ?存在 适应性 稳定 唯一 3 数学物理方程总复习 本次课主要内容 一、偏微分方程理论 二、行波法 三、分离变量法 4 (一)、偏微分方程理论 一、偏微分方程理论 掌握定解问题的建立 a、掌握基本方程的建立 b、掌握定解条件的推导 c、掌握定解问题的概念 5 定解问题的建立 写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出 定解条件（边界条件(包括衔接条件，自然条件） 和初始条件）。 建立偏微分方程的主要方法是微元法 (1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量); (2).进行微元分析； 分析短时间内微元和相邻部分的相互作用，根据物理定 律用算式表达这种作用。 (3).化简、整理算式。 6 如何写出三类边界条件？ (1)、明确环境影响通过的所有边界； (2)、分析边界所处的物理状况； (3)、利用物理规律写出表达边界状况的表 达式。 一、基本方程的建立 用数理方法研究问题的步骤 ?1、写出定解问题 ?偏微分方程偏微分方程：数理方程(一般规律)：数理方程(一般规律) ?定解条件定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)：初始、边界、衔接条件（个性) 掌握三类数理方程的导出 The derivation of three types of mathematical equations for physics 常用物理规律(一) 1、牛顿第二定律 2、胡克定律 2 2 d sdv Fmm dtdt = x PYu= 一、波动方程 对胡克定律的说明： x PYu= 公式中P称为协强或应力。它表示弹性物 体单位截面所受作用力，P=F/S。 公式中ux表示伸长率，称为协变。 Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。 杨氏弹性模量由材料决定！ 例、 弦的横振动 研究张紧的弹性轻研究张紧的弹性轻弦的微小横振动。的微小横振动。 t时刻 位移NM记作u u(x,t) 由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力 的方向总是沿着弦在该点的切线方向。 由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力 的方向总是沿着弦在该点的切线方向。 ? MM弧段两端 所受的张力记作T,T 现在考虑弧段MM在t时刻的受力情况现在考虑弧段MM在t时刻的受力情况 在在x轴方向弧段受力的总和为轴方向弧段受力的总和为 ? MM cos cos0TaTa= 按照上述弦振动微小的假设，可知在振动过程中弦上M点与M 点处切线的倾角都很小，即从而由 按照上述弦振动微小的假设，可知在振动过程中弦上M点与M 点处切线的倾角都很小，即从而由 0,0 24 cos1 2!4! aa = +? cos1,cos1 TT= 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律Fma= 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律m=Fa u 方向运动的方程可以描述为方向运动的方程可以描述为 sinsinTaTagdsm+ a 又因为又因为 0,0 2 tan( , ) sintan 1tan au x t aa x a = + (, ) sintan u xdx t aa x + = 2 ( , ) 1 u x t dsdxdx x =+ 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律m=Fa u 方向运动的方程可以描述为方向运动的方程可以描述为 sinsinTaTagdsm+=a 且小弧段在时刻且小弧段在时刻t沿沿u方向运动的加速度近似为方向运动的加速度近似为 2 2 ( , )u x t t 小弧段质量为小弧段质量为 ds 2 2 ( , ) sinsin u x t TaTagdsds t + 2 2 (, )( , )( , )u xdx tu x tu x t Tgdxdx xxt + 2 2 (, )( , )( , )u xdx tu x tu x t Tgdxdx xxt + 由于x产生dx的变化而引起的的改变量，可 用微分近似代替，即 (),u x t x 2 2 (, )( , )( , )( , )u xdx tu x tu x tu x t dxdx xxxxx + = 2 2 (, )( , )( , )u xdx tu x tu x t Tgdxdx xxt + 22 22 ( , )( , )u x tu x t Tg dxdx xt 22 22 ( , )( , )Tu x tu x t g xt + 22 22 ( , )( , )Tu x tu x t g xt + 22 2 22 uu a tx = 2 T a = 一维波动方程 ?如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平 行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)， 显然 如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平 行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)， 显然 cos cos0TaTa= 2 2 sinsin u FdsTaTagdsds t + 22 2 22 ( , ) uu af x t tx =+ 弦的强迫振动方程 22 2 22 ( , ) uu af x t tx =+ 弦的强迫振动方程 1 ( , )( , )f x tF x t = 表示表示t时刻单位质量的弦在时刻单位质量的弦在 x点处所受的点处所受的外力密度 22 2 22 ( , ) uu af x t tx =+ 非齐次一维波动方程 22 2 22 uu a tx = 齐次一维波动方程 与未知函数与未知函数u无关的项，称为自由项无关的项，称为自由项 例二、均匀杆的纵振动方程 ?考虑一沿杆长方向作微小纵振动的均匀细杆 x 均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致临 近段的压缩或伸长，这种压缩传播开去，就形成杆的纵振 动。试推导杆的微小纵振动方程 均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致临 近段的压缩或伸长，这种压缩传播开去，就形成杆的纵振 动。试推导杆的微小纵振动方程 ?张力杨氏模量横截面积相对伸长 ?其中 ?相对伸长伸缩长度/原来的长度 ?在任意时刻t杆上任一点x处的相对伸长为 ux(x,t) 设均匀细杆长为设均匀细杆长为L，体密度为，体密度为 ，杨氏模量为，杨氏模量为Y，细 杆受到沿杆长方向的扰动（沿 ，细 杆受到沿杆长方向的扰动（沿x轴方向的振动）。 建立杆上质点位移函数 轴方向的振动）。 建立杆上质点位移函数u(x，t)的纵向振动方程。的纵向振动方程。 x 假定：（1）静止时杆位于x 轴，纵向振动 时各点的位移为u(x,t); (2) 杆的体密度为 ，S是横截面积，Young 模量为Y；(3)振动 是无限小的。 B 段的运动方程为B 段的运动方程为 ?B的伸长量（位移）为 ()(), t u xdx tu x tdu+= ?相对伸长为 ()(), t x duu xdx tu x t u u dxdxx + = ?由胡克定律，B两端的张应力分别为, xx xx dx Y uY u + ?在弹性限度内， / x F S Y u = 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 Yux(x+dx，t)ux(x，t) S = ( Sdx) utt 令令a2= Y/ 。化简，得。化简，得 utt= a2uxx ?杆的纵向受迫振动 ?F(x,t) 应理解为杆每单位长度每单位横截面 上所受的纵向外力。 二、扩散方程 热传导遵循的物理定律 （1）傅立叶实验定律：单位时间内垂直通过单位面 积 单位面 积的热量q(x,y,z,t)与温度温度u(x,y,z,t)沿曲面的法向导数 成正比 (), , , u q x y z tk n = 其中其中 k=k(x,y,z) 为物体的为物体的导热系数，当物体为均匀且各向同 性的导热体时， ，当物体为均匀且各向同 性的导热体时，k 为常数；为常数； n是曲面的单位法向矢量，它反映了热流的方向。是曲面的单位法向矢量，它反映了热流的方向。 u u n n = 单位导热面积所传导的热量 u QkS n = 单位时间内所传导的热量 常用物理规律(二) 1、热传导定律 定义热流密度： ( , ) n dQkux t dSdt= (,) n d Q qk uxt d S d t = 常用物理规律(二) 2、牛顿冷却定律 （温度高于周围环境的物体向周围媒质传递 热量逐渐冷却时所遵循的规律。） 10 () S qk uu= 单位时间内流过单位面积放出的热量为： 热传递系数周围介质的温度 1 k 0 u 当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面 积散失的热量与温度差成正比，比例系数称为热传递 系数。 常用物理规律(二) 3、热量守恒定律 Qcm T= 吸 c为物体的比热为物体的比热, m 质量质量, T 温度差温度差 例：细杆的热传导问题 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆 长方向 杆 长方向有温差，求杆内温度的变化规律。 x x+dx L u(x,t) x n 温度函数u仅与空间变量x及时间t有关 在在dt时间内流入微元的热量为：时间内流入微元的热量为： 1 uu d QkA d tkA d t nx = = 在在dt时间内放出微元的热量为：时间内放出微元的热量为： 2 (,) x u d QkA d tk uxd xtA d t n = = + 在在dt时间内微元吸收的净热量为：时间内微元吸收的净热量为： 12 (, )( , ) xx dQdQdQkAdt uxdx tux t=+ x x+dx L u(x,t) x n 2 txx ua u= xxt kAu dxdtc Au dxdt= 由比热公式：由比热公式： ( ,)( , )dQcm Tc Adx u x tdtu x t=+ t c Au dxdt= 由热量守恒定律得：由热量守恒定律得： 一维齐次热传导方程 12 (, )( , ) xx dQdQdQkAdt uxdx tux t=+ txx k uu c = fua t u += 22 若物体内有热源，其强度为F(x,y,z,t),则相应的 热传导方程为 F f c = 2 t uau= 三、位势方程 稳态场方程稳态场方程 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是 所研究的物理量不随时间而变化。 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是 所研究的物理量不随时间而变化。 例：稳定温度分布 ?温度的空间分别将不随时间变化，即ut=0 ?稳定温度场方程为 () 2 2 1 , , ,uf x y z t a = 如果无热源，则为如果无热源，则为 2 0u=稳态场中的拉普拉斯方程. 稳态场中的泊松方程 它们又统称为位势方程，也称稳定场方程。它们又统称为位势方程，也称稳定场方程。 三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程 三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程 双曲型方程双曲型方程 波动方程为代表波动方程为代表 抛物型方程抛物型方程 热传导方程为代表热传导方程为代表 椭圆型方程椭圆型方程 泊松方程为代表泊松方程为代表 退化为拉普拉斯方程退化为拉普拉斯方程 二、定解条件的建立 定解条件的建立 具体物理系统所处物理状况除受一般物理 规律支配外，还受系统所处的 具体物理系统所处物理状况除受一般物理 规律支配外，还受系统所处的“环境环境”和系 统的 和系 统的“历史状况历史状况”的影响。 系统所处的 的影响。 系统所处的“环境环境”状况：边界条件 系统的 状况：边界条件 系统的“历史历史”状况：初值条件 求解一个具体物理问题，都要考虑定解条件！ 状况：初值条件 求解一个具体物理问题，都要考虑定解条件！ 1、定义：用以说明物理过程初始状态的数学 表达式为初始条件 一、初始条件 波动方程的初始条件波动方程的初始条件 波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点 的加速度 波动方程的初始条件通常是 ()()()() 00 , , , , , , , , , t tt u x y z tx y z tux y z tx y z t = = 要确定振动状态，需知道初始时刻每点的位移位移和速度速度 热传导（或扩散）方程的初始条件热传导（或扩散）方程的初始条件 热传导方程的初始条件一般为 指在开始时刻物体温度的分布情况（浓度、温度分布） 热传导方程的初始条件一般为 指在开始时刻物体温度的分布情况（浓度、温度分布） ()() 0 , , , , , t u x y z tx y z t = = 2、注意 （1）初始条件应当指t0时刻整个系统整个系统的初 始状态，而非个别点的初始状态 （2）时间）时间t的的n阶方程需要阶方程需要n个条件： 如： 个条件： 如： 例一根长为l的弦，两端固定于 0 x = 和 xl=,在距离坐标原点为 b的位置将弦沿着横向拉开距离的位置将弦沿着横向拉开距离 h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 x u o b l h 【解解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有 0 ( , )|( ,0)0 ttt u x tu x = = 初始位移如图所示 (0) ( ,0) () () h xxl b u x h lxbxL lb = 所谓初始时刻就是放手的那个瞬间。初始条件就是放手 那个瞬间的弦的位移和速度 例：长为l的杆， 一端受压，缩为l(1-2) 两端受压，缩为l(1-2) 放手后任其振动，写出以上两种振动的初 始条件。 0 0 2 2 0 t t t l uxx l u = = = = ()() 0 0 ,0 2 2/22 /2 0 t t t l xxxlx l uxxllx l u = = = = = = = 令 1、定义：用以说明物理过程边界上的约束情 况的数学表达式为边界条件 2、边界条件的分类： 二、边界条件 第一类边界条件第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值 ，又称Dirichlet边 界条件 第二类边界条件第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值， 又称Neumann 边界条件 第三类边界条件第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上 的数值 ，又称Robin边界条件 II. 第二类边界条件第二类边界条件: ( , , , ) S u f x y z t n = I. 第一类边界条件第一类边界条件: ( , , , ) S ufx y z t= 三类边界条件具体可以表示为 III. 第三类边界条件第三类边界条件:( , , , ) S u uf x y z t n += ft其中是时间其中是时间的已知函数， 为常系数为常系数 第一类边界条件第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值 000 ,000 ( , , , )|(, ) xyz u x y z tf xyz t= (),uf M t 边 已知 ?两端两端x=0和和x=l固定固定的的弦的振动 0 0 0 x x l u u = = = = ?细杆热传导 ?一端xa的温度按已知规律f(t)变化 ()( ), x a u x tf t = = (0)t t 第一类第一类: 已知任意时刻已知任意时刻边界面上的温度分布 第二类边界条件第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数外法线方向上方向导数的数值 000 000 , (, ) xyz u f xyz t n = (), n uf M t 边 已知 ?杆的纵振动 ?某个端点x=l受到沿端点外法向的外力f(t)作用，由 胡克定律，该端点的张应力与外力的关系 为 x x l Yu = ()( ) x x l S Yuf t = = ?对于x=l 端自由，则 0 x x l u = = ?当( )0f t ( )/ x x l uf tYS = = l-dxl x f(t) T 第二类： 已知任意时刻 第二类： 已知任意时刻 (0)t t 从外部通过边界流入物体内的热量。 设 。 设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为( , ) t . 考虑物体内以边界上面积元考虑物体内以边界上面积元dS为底的一个小圆柱体， 如图所示. 为底的一个小圆柱体， 如图所示. dS 物体内部通过 流入小柱体的热量为 u小柱体内温度升高所需要的热量 ()cdSu= 随着柱高趋于零而趋近于零 热传导 所以当0 由热平衡方程给出: dd( , )d d0 u kSttS t n += 0ddSS 考虑到时,则得 1 |(, ) S u t nk = 热传导 第三类边界条件第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合物理量及其外法向导数的线性组合在边界上 的数值 000 000 , ()(, ) n xyz uHuf xyz t+= ftH其中是时间其中是时间的已知函数，为常系数为常系数 ()(), n uHuf M t+ 边 已知 第三类第三类 根据牛顿冷却定律: 单位时间从周围介质传到边界上单位面积 的热量与表面和外界的温度差成正比, 即 1 d(| )QH uu = 这里 1 u是外界媒质的温度. 0H 为常数 此时可得边界条件 1 u huhu n += 其中 H h k = 热传导 泊松方程和拉普拉斯方程的边界条件泊松方程和拉普拉斯方程的边界条件 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件, 而只有边界条件. 边界条件分为三类: 1、在边界上直接给定未知函数u, 即为第一类边界条件 2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件 3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件. 第一、二、三类边界条件可以统一地写成第一、二、三类边界条件可以统一地写成 ( , ) u ut n += 其中是边界上的变点； u n u表示物理量 沿边界外法线方向的方向导数； , 为常数，它们不同时为零 当数学表达式中的自由项恒为零时，则这种边界条件 称为齐次的，否则称为非齐次的。 如何写出三类边界条件？如何写出三类边界条件？ (1)、明确环境影响通过的所有边界；、明确环境影响通过的所有边界； (2)、分析边界所处的物理状况；、分析边界所处的物理状况； (3)、利用物理规律写出表达边界状况的表 达式。 、利用物理规律写出表达边界状况的表 达式。 L- L F(t) 例 细杆在例 细杆在x=0处固定，在处固定，在x=L端受外力端受外力 F(t)的作用，作微小纵振动。写出其边 界条件。 的作用，作微小纵振动。写出其边 界条件。 分析分析：环境影响通过的边界为：环境影响通过的边界为：x=0与与 x=L.显然：显然：u(0,t)=0.用用微元法微元法分析边界分析边界 X=L的状况。的状况。 ( ) xx L F t u YS = = 例： 长为例： 长为L的均匀杆两端受到拉力的均匀杆两端受到拉力F的 作用而振动，写出 的 作用而振动，写出边界条件边界条件。 分析：环境影响通过的边界是 。 分析：环境影响通过的边界是x=0与与x=L 杆的两端所受的拉力杆的两端所受的拉力F等于两端面所受的 杨氏弹性力。 等于两端面所受的 杨氏弹性力。 0 L F F n n T 1 T 2 x 102 , xx L uu TYSF TYSF xx = = 00 xx uu YSYSF nx = = = x Lx L uu YSYSF nx = = 0 ,. xx L uFuF nYSnYS = = 写出以下两种情况的杆的导热问题的边界条件 ：1）杆的两端温度为0；2）杆的两端绝热。 0 0,0 xx l uu = = 0 0,0 xx xx l uu = = 分别写出以下两种情况下的定解问题 1.长为l的杆，x=0端固定xl端受沿杆长方向 的力Q，开始时取消此力，求杆的纵振动。 0 0,0 x xx l uu = = 2 ttxx ua u= 00 ,0 t tt Q ux u YS = = Q起到初始条件初始条件的作用 0 0 x t uQ udxx xYS = = 2) 长为l的杆，x=0端固定开始时x=l端沿杆长 方向的力Q，求杆的纵振动。 0 0, x xx l Q uu YS = = 2 ttxx ua u= 00 0,0 t tt uu = = Q不是外源，因为只作用在一个端点不是外源，因为只作用在一个端点 ?长为l的均匀弦，弦上每一点受外力作用， 其力密度为bxt，若弦的两端自由，初位移 为0，初速度为l-x，试写出其定解问题。 ?两端自由就是两端自由就是 0 0 xx xx l uu = = 2 ttxx ua ubxt=+ 00 0, t tt uulx = = 第第2类边界条件类边界条件 初始时刻的温度分布： B、热传导方程的初始条件 0 (, )|() t u M tM = = C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件 A、 波动方程的初始条件 0 0 |( ) ( ) t t ux u x t = = = = 1、初始条件描述系统的初始状态、初始条件描述系统的初始状态 系统各点的初位移 系统各点的初速度 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 2、边界条件描述系统在边界上的状况、边界条件描述系统在边界上的状况 A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为： 0 |0, x u = =( , )0u a t =或： 0 x a u T x = = 0 x a u x = = ( , )0 x u a t= (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支 承。 x a x a u Tku x = = = 或 0 x a u u x = += B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值 |suf=S给定区域v 的边界 (2) 绝热状态 0 s u n = 第一类边界条件 第二类边界条件 B、热传导方程的边界条件 (3)热交换状态 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流 到周围