高中数学 1.4.2空间图形的公理课件 北师大版必修2 .ppt

对公理4的理解 1 本质 表明了空间中线线平行的传递性 2 作用 公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法 它是论证平行问题的主要依据之一 也是研究空间两直线的位置关系 直线与平面位置关系的基础 公理4的应用 3 应用 等角定理 的证明是公理4的直接应用 4 关键 寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公理4证明线线平行的关键 也就是说 要证空间中的两直线平行 就要找一条与之平行的直线 利用传递性证明 平面几何中的结论推广到空间之后 未必成立 其正确性是需要证明的 这一点在今后的学习中要特别注意 例1 空间四边形abcd中 e f g h分别为ab bc cd ad上的点且请回答并证明当空间四边形abcd的四条边及点g h 1 满足什么条件时 四边形efgh为平行四边形 2 满足什么条件时 四边形efgh为菱形 审题指导 由可想到利用平行线分线段成比例定理证明ef ac 为使四边形efgh为平行四边形 根据公理4需证明ghac 为使四边形efgh为菱形 在 1 成立的情况下 还需证明eh ef 进一步可得ac bd的关系 规范解答 1 当时 四边形efgh为平行四边形 理由 若则hg ac且 efhg 四边形efgh为平行四边形 2 当且时 四边形efgh为菱形 理由 由 1 知 若则四边形efgh为平行四边形 且若则 平行四边形efgh为菱形 互动探究 在本例中若条件不变 请回答下列问题并证明 1 满足什么条件时 四边形efgh为矩形 2 满足什么条件时 四边形efgh为正方形 解题提示 解答本题一方面要应用公理4证明平行关系 另一方面要利用异面直线所成角的定义证明垂直关系 解析 1 当且ac bd时 四边形efgh为矩形 理由 由例题知时 四边形efgh为平行四边形 且ef hg ac eh gf bd 当ac bd时 ef eh hef为90 四边形efgh为矩形 2 当且ac bd时 四边形efgh为正方形 理由 由例题 2 及上面所得 1 可知 由可知四边形efgh为平行四边形 由及ac bd得四边形efgh为正方形 例 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 ae a1e1 af a1f1 p e1f1 1 过p作一条直线与棱cd平行 说明作法 2 求证 efe1f1 审题指导 在空间中作已知直线的平行线 通常要考虑用公理4 要证efe1f1 只需证明四边形eff1e1是平行四边形即可 规范解答 1 如图 在平面a1b1c1d1内过p作直线l c1d1 cd c1d1 l cd 故l为所求作直线 2 连接ee1 ff1 aea1e1 四边形aee1a1为平行四边形 aa1e1e 同理aa1f1f ee1f1f 即四边形eff1e1为平行四边形 efe1f1 变式备选 如图所示 e f分别是长方体abcd a1b1c1d1的棱a1a c1c的中点 求证 四边形b1edf是平行四边形 证明 设q是dd1的中点 连接eq qc1 e是aa1的中点 eqa1d1 又在矩形a1b1c1d1中 a1d1b1c1 eqb1c1 四边形eqc1b1为平行四边形 b1ec1q 又 q f分别是dd1 c1c两边的中点 qdc1f 四边形dqc1f为平行四边形 c1qdf 又 b1ec1q b1edf 四边形b1edf是平行四边形 误区警示 证明此类问题时 同学们容易出现证明过程太简单 推理依据不充足 想当然 地认为结论成立的情况 这种思维定势是学好立体几何的障碍之一 对 等角定理 的理解 1 本质 等角定理 是平面几何中等角定理的类比推广 2 作用 解决空间中角的平移的问题 揭示空间中两条边对应平行的两个角的大小关系 等角定理 的应用 3 两个推论 推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两个角相同 推论2如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且有一组对边方向相同 另一组对边方向相反 那么这两个角互补 例2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f e1 f1分别为所在边的中点 求证 1 efe1f1 2 ea1f e1cf1 审题指导 空间中证明线线平行 线段与线段长度相等 可以利用平行关系和线段长度关系的传递性 选择 中间线段 证明 空间中证明角与角相等 可以利用 等角定理 分别证明角的两条边分别平行 再结合图形得证 规范解答 1 连接bd b1d1 e f分别为ad ab的中点 在 abd中有ef bd 且 e1 f1分别为b1c1 c1d1的中点 在 c1d1b1中有e1f1 b1d1且而在正方体abcd a1b1c1d1中 bb1dd1 四边形bb1d1d为平行四边形 bd b1d1且bd b1d1 efe1f1 2 取a1b1的中点m 连接bm f1m 则又bf a1m bfa1m 四边形a1fbm为平行四边形 a1f bm 而f1 m分别为c1d1 a1b1的中点 则f1mc1b1 而c1b1cb f1m bc且f1m bc 四边形f1mbc是平行四边形 bm cf1 又bm a1f a1f cf1 同理取a1d1的中点n 连接dn e1n 则a1nde 四边形a1nde是平行四边形 a1e dn 易得e1n cd且e1n cd 四边形e1ndc是平行四边形 dn ce1 a1e ce1 ea1f与 e1cf1的两边分别对应平行 结合图形可知 ea1f e1cf1 变式训练 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别是棱cc1 bb1 dd1的中点 求证 bgc fd1e 证明 e f g分别是棱cc1 bb1 dd1的中点 cegd1 bfgd1 四边形ced1g与四边形bfd1g均是平行四边形 gc d1e gb d1f 结合图形可知 bgc fd1e 利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤 求异面直线所成的角 求异面直线所成的角的关键是 作角 而 作角 的关键是恰当地利用平面几何中有关线线平行的结论作 辅助线 例3 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为a1b1 b1c1的中点 求异面直线db1与ef所成的角的大小 审题指导 求异面直线所成的角关键在于 作角 也就是利用平面几何知识作平行线 因此通常要把有关线段看作某三角形或平行四边形中的边 规范解答 方法一 如图 连接a1c1 b1d1 并设它们相交于点o 取dd1的中点g 连接og 则og b1d ef a1c1 goa1为异面直线db1与ef所成的角或其补角 ga1 gc1 o为a1c1的中点 go a1c1 异面直线db1与ef所成的角为90 方法二 如图 在原正方体的右侧补上一个全等的正方体 连接b1q 则b1q ef 于是 直线db1与b1q所成的较小的角就是异面直线db1与ef所成的角 通过计算可知b1d2 b1q2 dq2 从而异面直线db1与ef所成的角为90 变式训练 如图 棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中e f分别是a1b1 ab的中点 求异面直线a1f与ce所成的角的正切值 解题提示 解答本题可先在正方形aa1b1b中过点e作a1f的平行线 作出异面直线a1f与ce所成的角 然后在rt bce中 计算所求角的正切值 解析 连接be 正方体abcd a1b1c1d1中e f分别是a1b1 ab的中点 a1e bf a1e bf 四边形a1ebf是平行四边形 a1f be bec为异面直线a1f与ce所成的角或其补角 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 be bc bc 2 bec为异面直线a1f与ce所成的角 异面直线a1f与ce所成的角的正切值为 典例 12分 在正方体abcd a1b1c1d1中 点p在线段ad1上移动 求异面直线cp与ba1所成的角 的取值范围 审题指导 由于线段cp的端点p在线段ad1上移动 所以应该过点c作辅助线平行直线a1b 作出异面直线cp与ba1所成的角 然后根据p点的变化 确定 的取值范围 规范解答 连接d1c ac 2分 正方体abcd a1b1c1d1中a1d1adbc 四边形a1bcd1是平行四边形 4分 a1b cd1 6分 异面直线cp与ba1所成的角 即为 d1cp 8分由图可知cd1 a1b ca与a1b异面 当点p在线段ad1上移动时 0 d1cp acd1 0 60 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 如图 空间四边形abcd中 两条对边ab cd 3 e f分别是另外两条对边ad bc上的点 且求ab和cd所成的角的大小 解析 如图过e作eo ab 交bd于点o 连接of 又 of cd eof 或其补角 是ab和cd所成的角 在 eof中 又 ef2 oe2 of2 eof 90 即异面直线ab和cd所成的角为90 1 a b c为三条不重合的直线 如果a c b c 则a b的位置关系必定是 a 相交 b 平行 c 异面 d 以上答案都不对 解析 选d 若a c b c 则a与b相交 异面 平行都有可能 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 面对角线中与ad1成60 的有 a 4条 b 6条 c 8条 d 10条 解析 选c 如图所示在正方体abcd a1b1c1d1中 ad1b1是等边三角形 故b1d1 ab1与ad1所成的角是60 同理 acd1也是等边三角形 ac cd1与ad1也成60 角 则在面对角线中 与ac cd1 b1d1 ab1分别平行的对角线与ad1也成60 角 3 如图 平面 与平面 相交于ef c ef c ef ac a c bc b c 且ac a c bc b c c 120 c 解析 结合图形 ac a c bc b c 根据等角定理 有 c c 120 答案 120 4 在四棱锥p abcd中 pa ab 底面abcd是平行四边形 则pa与cd所成的角是 解析 四边形abcd是平行四边形 ab cd pab是pa与cd所成的角 又 pa ab pab 90 答案 90 5 如图 已知长方体abcd efgh中 ae 2 1 求bc和eg所成的角 2 求ae和bg所成的角是多少度 解析 1 gf bc egf 或其补角 为bc和eg所成的角 在rt efg中 易知 egf 45 bc和eg所成的角是45 2 bf ae fbg 或其补角 为ae和bg所成的角 在rt bfg中 易知 fbg 60 ae和bg所成的角是60 一 选择题 每题4分 共16分 1 已知a b是异面直线 直线c 直线a 那么c与b a 一定是异面直线 b 一定是相交直线 c 不可能是平行直线 d 不可能是相交直线 解析 选c 若c b 由公理4 c a a b 与a b是异面直线矛盾 c与b不可能平行 2 教室内有一把直尺 无论怎样放置 地面上总有这样的直线与该直尺所在直线 a 平行 b 垂直 c 相交但不垂直 d 异面 解析 选b 直尺所在直线与地面有三种位置关系 1 直线与地面相交 a错 2 直线与地面平行 c错 3 直线在地面内 d错 这三种情况下地面上总有直线与直尺所在直线垂直 3 2011 莆田高一检测 如图 长方体abcd a b c d 中截去一部分 其中eh a d 剩下的几何体是 a 直五棱柱 b 四棱台 c 正五棱柱 d 五棱锥 解题提示 解答本题要紧扣棱柱 棱锥 棱台的定义判断 同时注意几何体观察角度的变化 解析 选a 把五边形abfea 和dcghd 视为底面 由长方体的结构特征知剩余的几何体是直五棱柱 4 2010 江西高考 过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a作直线l 使l与棱ab ad aa1所在直线所成的角都相等 这样的直线l可以作 a 1条 b 2条 c 3条 d 4条 解析 选d 如图所示 ac1 ae af ag都与棱ab ad aa1所成的角相等 二 填空题 每题4分 共8分 5 四面体pabc中 pa bc e f分别为pc ab上任一点 若ef与pa bc所成的角分别为 则 解析 本题可利用特例法 如图 若e f分别为pc ab中点时 取ac中点m 连接em fm em pa fm bc pa bc fem efm em fm 90 答案 90 6 在四面体sabc中 sa bc且sa bc e f分别为sc ab的中点 那么异面直线ef与sa所成的角等于 解析 取ac的中点d 连接de df e f分别为sc ab的中点 de sa df bc def为异面直线ef与sa所成的角 sa bc edf 90 又 sa bc且 de df def是等腰直角三角形 def 45 即异面直线ef与sa所成的角为45 答案 45 方法技巧 求异面直线所成角的诀窍 1 平移方法 中位线平移法 平行四边形性质平移法 补形平移法 2 平移直线是寻找两条异面直线所成角的过程 线的平移是在某个平面中进行的 该面的特点 该平面包含其中一条异面直线 该平面与另一条异面直线平行 3 求角或求角的三角函数值的一般步骤 构造三角形 解三角形求角或求角的三角函数值 三 解答题 每题8分 共16分 7 如图所示 不共面的三条直线a b c交于点o 在点o的同侧分别取点a和a1 b和b1 c和c1 使得求证 abc a1b1c1 证明 a1b1 ab b1c1 bc 结合图形 由等角定理可得 a1b1c1 abc 同理可证 b1a1c1 bac abc a1b1c1 8 直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 d1 f1分别是a1b1 a1c1的中点 若bc ca cc1 2 求异面直线bd1与af1所成的角 解题提示 解答本题可考虑过点f1 或a 作bd1的平行线 构造三角形得到异面直线所成的角 通过判断三角形形状求角 解析