（光学专业论文）远程制备两粒子纠缠态的理论研究.pdf

摘要 论文摘要 在信息科学的飞速发展过程中，无可避免地会遭遇到其发展“瓶颈”。在这 样的时代背景下，以量子理论为基础的量子信息学逐渐形成，并以其独特的性质 引起学术界的广泛关注。量子信息学是量子力学与信息科学相结合而形成的新兴 交叉学科。作为其中的重要分支之一的量子通信主要包括量子隐形传态，量子密 集编码，量子密钥分配和远程态制备等。其中，远程态制备是近年来提出的一个 新兴的研究课题，人们对此已经展开了理论上和实验上的研究，并已取得了有价 值的研究成果。 本文着重对两粒子纠缠态的远程制备过程进行了探讨。文章首先简要回顾 了量子信息学发展进程，介绍了远程态制备的基本理论，在此基础上提出了两种 不同的实现两粒子纠缠态远程制备的理论方案。第一个方案我锏采用一个两体纠 缠态和一个三体w 类纠缠态作为量子通道，借助于幺正一塌缩方法实现了对一 个两体纠缠态的远程制备，并比较详细地讨论了在此过程中所需要的经典信息耗 费问题。研究结果表明，在此过程中所需要的经典信息量不仅与量子通道的参数 有关，而且与所传送的量子态的参数有着密切的关系。第二个方案利用两个三体 w 类纠缠态作为量子通道，通过对引入的辅助粒子进行正定算符值测量可以实 现对给定的两体纠缠态的远程制备。在这两种方案中，发送者可以将待传送的量 子态传送给两位接收者中的任何一位，并且在一般情况下对于不同的接收者，实 现远程态制备的成功概率也是不同的。此外，这两个方案都可以直接推广到n 位接收者的情况。 本文的工作有助于对量子通信过程的研究，有助于进一步了解远程态制备 过程中经典信息代价与纠缠资源之间的折中关系，同时对远程态制备的实际应用 也有一定的理论指导意义。 关键词：量子信息，远程态制备，纠缠态，经典通信代价 a b s t r a c t a b s t r a c t d u r i n gt h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h ei n f o r m a t i o ns c i e n c e 。i ti si n e v i t a b l et os u f f e r f r o mi t sd e v e l o p i n gb o t t l e n e c k u n d e rt h i sh i s t o r i c a lb a c k g r o u n 正t h eq u a n t u m i n f o r m a t i o ns c i e n c eb a s e do uq u a n t u mt h e o r yh a se m e r g e d ，a n di th a sa t t r a c t e daw i d e a t t e n t i o ni nv i r t u eo fi t su n i q u ec h a r a c t e r q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c ei san e w i n t e r d i s c i p l i n a r ys n b j e c t ，w h i c hi s ac o m b i n a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c sa n d i n f o r m a t i o ns c i e n c e q u a n t u mc o m m u n i c a t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e s 0 ft h eq u a n t u mi n f o r m a t i o n i tm a i n l yc o n t a i n sq u a n t u m t e l e p o r t a t i o n q u a n t u md e n s e c o d i n g , q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o na n dr e m o t es t a t ep r e p a r a t i o n ，e t c a sa ni n t e r e s t i n g f i e l di nq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n , r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o nh a sb e e ns t u d i e db o t hi n t h e o r ya n di ne x p e r i m e n ts i n c ei t si n c e p t i o n ，a n ds o m ev a l u a b l er e s u l l sh a v eb e e n o b t a i n e d t h i st h e s i sf o c u s e so nt h er e m o t ep r e p a r a t i o no fag e n e r ab i p a r t i t ee n t a n g l e d s t a t e f i r s t l y , ab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n da b o u tq u a n t u mi n f c ，r m a t i o ni s p r e s e n t e d ，a n dt h ed e v e l o p m e n t so nr e i n o t es t a t ep r e p a r a t i o na r es e tf o r t h 1 、j i ，0 s c h e m e sf o rr e m o t ep r e p a r a t i o no fag e n e r a lt w o - p a r t i c l ee n t a n 酉e ds l a t et h e na t e p r o p o s e d a n dt h ec o r r e s p o n d i n gs u c c e s sp r o b a b i l i t i e sa r ed i s c u s s e da sw e l l i nt h e f i r s ts c h e m e ，ab i p a r t i t ee n t a n 百e ds t a t ea n dat r i p a r t i t ee n t a n 酉e dws t a t ea r ea p p l i e d a st h eq u a n t o mc h a n n e lt or e a l i z et h er e m o t es t a t ep r e p a r a t i o nb ym e a n so ft h em e t h o d o fu n i t a r y - c o l l a p s e , a n dt h ec l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o nc o s tr e q u i r e di nt h es c h e m ei s c a l c u l a t e di nd e t a i l t h er e s u l ts h o w st h a tt h ec l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o nc o s ti sr e l a t i r e n o to n l yt ot h es h a r e dq u a n t u mc h a n n e lb u ta l s ot ot h ei n i t i a ls t a t et ob et e l e p o r t e d i n t h es e c o n ds c h e m e ，i no r d e rt or e m o t e l yp r e p a r eab i p a r t i t ee n t a n 出e ds t a t e ，ap o v m m e a s u r e m e n ti sp e r f o r m e do na na n c i l l a r yp a r t i c l e ，a n dt w ot r i p a r t i t ee n l a n 百e dw s t a t e sa r eu s e da st h eq u a n t u mc h a n n e l i nt h ep r e s e n tt w os c h e m e s , t h ei n i t i a ls t a t e c a nb et r a n s m i t t e df r o mas e n d e rt oe i t h e ro n eo ft h et w or e c e i v e r s ，a n dt h et o t a l s u c c e s sp r o b a b i l i t yo fr s pi sg e n e r a l l yd i f f e r e n tf o re a c hr e c k ：i v e r i na d d i t i o n , b o t h s c h e m e s 咖b eg e n e r a t e dd i r e c t l yt ot h ec a s eo fnr e c e i v e r s t h er e s e a r c hr e s u l t sa r eu s e f u it ou l a k eap r o f o u n dr e s e a r c ho rq u a n t o m c o m m u n i c a t i o np r o c e s sa n dt h et r a d e - o f fb e t w e e nt h ec i a s s i c a lc o m m u n i c a t i o nc o s t a n dt h ee n t a n 酉e m e n tr e q u i r e di nr e m o t es t a t ep r e p a r a t i o n ，a n da r es i g n i f i c a n tt o i n v e s t i g a t i n gt h ea p p l i c a t i o no fr e m o t es t a t ep r e p a r a t i o ni na s e n s e k e yw o r d ：q u a n t u mi n f o r m a t i o n ，r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o n ，e n t a n g l e ds t a t e , c l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o nc o s t 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人巳经发表或撰 写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均巴在文中作了明确说 明并表示谢意 作者签名：锌日期：业 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：飞芦骱骘 导师签名：翻刍砸 绪论 第一章绪论 2 0 世纪2 0 年代，伴随着学术界的巨大争议，现代量子力学理论诞生了。从 此，量子力学就成为现代物理学中不可缺少的一个部分，为现代物理学理论的构 建提供了数学框架，并成功地应用于自然科学的各个领域。在量子力学与信息科 学相结合的初期，它只是被用作辅助完成经典信息过程，然而随着研究的逐渐深 入，这两者完全结合了起来，形成了一门新兴的学科一量子信息学。以量子力 学为理论基础的量子信息，在提高运算速度、确保信息安全、增大信息容量和提 高检测精度等方面，展现出了经典信息不可比拟的优越性，吸引了各个相关领域 的科学工作者对其进行研究，同时也引起各国政府的高度重视。在其产生发展的 短短的二十几年中，无论在理论还是实验上均取得了许多令人兴奋的研究成果， 显示出其强大的生命力和广阔的发展前景。 量子信息学的形成可以追溯到上世纪初期的一场关于量子力学基本概念的 讨论。这场讨论是从e i n s t e i n 和b o h r 之间关于如何解释量子态的辩论开始的， 尤其是对于呈现出独特的超空间、非定域统计关联的“纠缠态( e n t a n g l e ds t a t e ) ”。 e i n s t e i n 认为，量子力学只是一个不完备的理论，并在1 9 3 5 年与p o d o l s k y 和r o s e n 共同发表了一篇著名的文章【1 】。在这篇文章中他们指出，利用理想实验的逻辑 论证方法，可以证明量子力学不能给出对于微观系统的完备的描述。通常称他们 的论证为e p r 佯谬。 1 9 6 4 年，b e l l 根据e i n s t e i n 的定域实在论和存在隐变数推导出一个不等式 1 2 】，他指出，基于隐变数和定域实在论的任何理论都必定遵循这个不等式，而 量子力学却预言这个不等式可以被破坏。这个判据后来被称为“b e l l 不等式”。 从量子力学角度对b e l l 不等式的分析表明，适用于经典物理学和e p r 佯谬的理 论基础定域实在论，并不适用于对e p r 型量子态中量子关联的研究。b e l l 不等 式的提出，使得原来仅仅处于思辨层次上的辩论可以通过实验进行检验，由此激 发出许多设计精巧的实验。实验【3 ，4 】结果是轰动性的，它支持量子力学的观点， 而否定了e i n s t e i n 的定域实在论。量子力学的特性是“非局域性”的，被时空分 割的体系之间也可以存在关联，测量若改变其中一个子系统的状态，会产生全局 的影响，从而改变相关联的整个系统的状态。事实上，e p r 佯谬中所构造的两粒 绪论 子体系，就是量子力学中最能体现这种“非局域性”的一类特殊的态：纠缠态。 只有承认非局域性关联的存在，才能理解量子世界中种种奇妙的现象，才能利用 这种关联来造福人类社会。 那么纠缠态到底能为人们带来怎样的好处呢? 正是基于对这个问题的思考， 人们开始尝试着将量子理论运用于从经典物理学角度看来是无法解决的一些问 题，例如经典计算机芯片的发热问题和进一步集成化问题。经过科学家们的不懈 努力，早期对量子计算机的研究逐渐发展成为今天包括量子算法、量子通信、量 子信息论、量子博弈、量子自动机、量子密码、量子计算机的物理实现以及一些 基本问题等诸多研究领域的量子信息学，并在各个领域中都取得了丰硕的成果。 作为量子信息学中的一个重要分支，量子通信的研究开始于上世纪7 0 年代。 1 9 7 0 年左右，w i e s n e r 首先将量子物理学与密码学相结合提出了量子密码术的基 本思想【5 1 。随后，b e n n e t t 和b r 弱s a r d 在研究中发现，虽然量子态不好长时间保 存但可以用于传输信息。1 9 8 4 年，他们提出了第一个量子密钥分配方案，通常 称为b b 8 4 量子密钥分配方案，简称b b 8 4 方案【6 】。利用海森堡测不准关系和量 子态不可克隆定理，通过量子信道建立密钥，使得除当事人外的第三方无法获得 密钥的任何信息。从这种意义上说，量子加密是迄今为止人类能够达到的最安全、 最稳定的加密方式，有着绝对安全的优越性。目前，量子密码术的研究在理论和 实验方面均取得了重要进展，量子密码术的实用化已经指日可待。 除了这种利用量子信道建立密钥的量子密码通信外，还有利用量子信道传输 经典信息的通信方案。1 9 9 2 年，b e n n e t t 和w i e s n e r 利用纠缠态理论提出了密集 编码【7 】方案，利用一个量子位和一个e p r 对实现编码传送两个经典位。这种通 信方案不仅保密，而且可以更有效地传递信息。而最让人感到不可思议的量子通 信方式，还应当是所谓的量子隐形传态( t e l e p o r t a t i o n ) 。1 9 9 3 年，b e n n e t t 等六 位科学家在 p h y s r e v l e t t 发表了一篇开创性文章【8 】，提出将未知量子态的 信息分为经典信息和量子信息两部分，分别由经典信道和量子信道传送给接收 者。量子隐形传态的特点是，只有量子态被传送，但量子态的载体本身不被传送。 在量子隐形传态的基础上，i o 9 1 ，p a t i 1 0 和b e n n e t t 等人 1 1 1 又提出了用来 传输已知量子态的远程态制备方案，即，在发送者已经知道被传送量子态的准确 信息而接收者并不知道被传送量子态的任何信息的情况下，以经典通信作为辅助 2 绪论 手段，实现对量子态的隐形传送。与量子隐形传态不同的是，在远程态制备中经 典信息量与纠缠资源之间存在着一种特有的平衡关系。由于其特有的性质，远程 态制备在近几年引起了广泛的研究兴趣，并且已经取得了丰硕的理论和实验成 果。此外，最近发展起来的量子通信方式还有远程量子通信1 1 2 、量子秘密共享 【1 3 】、和量子安全直接通信1 1 4 ，1 5 】等等。 到了上世纪九十年代，人们已经可以在一些具体的量子系统中实现量子纠 缠。在此基础上，量子信息学得到了长足的发展，在量子计算、量子通信、量子 密码术等各个领域都取得了丰硕的成果。 在本文接下来的部分中，将主要对两体纠缠态的远程制备进行理论上的研 究，提出了两种不同的量子远程态制各方案。在第一种方案中，我们采用了一个 两粒子纠缠态和一个三粒子w 类纠缠态作为量子通道，实现了对一个一般的两 体纠缠态的远程制备，并详细讨论了在此过程中所需要的经典通信代价。在第二 种方案中，量子通道由两个三体w 类纠缠态构成，通过对一个辅助粒子实施一 次p o v m 测量，我们实现了两体纠缠态的远程制备。在这两个方案中都涉及到 了一位发送者和两位接收者，发送者可以将量子态传送给两位接收者中的任何一 位。同时，这两个方案都能直接推广到有多位接收者的情况。 3 远程态制各 第二章远程态制备 1 9 9 3 年，b e n n e t t 等人首先提出量子隐形传态方案，开辟了量子信息领域的 一片新天地，引起了广泛的研究兴趣。在此基础上，2 0 0 0 年l o 9 1 ，p a t i 1 0 和 b e n n e t t 1 1 等人又提出了远程态制备方案( r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o n ) 。远程态制 备与量子隐形传态紧密相关，被称为“对一个已知态的量子隐形传态”。远程态 制备与量子隐形传态有着相同的目的，所不同的是在远程态制备中发送方对欲传 送的量子态是已知的：即在发送者a l i c e 和接收者b o b 之间事先分享一对纠缠粒 子的条件下，他们希望通过经典通信和局域操作来传送一个对a l i c e 已知而对 b o b 未知的量子态( 在量子隐形传态中双方都对被传送的量子态一无所知) 。在 远程态制备的研究中出现了两个新的现象：一、在极限下，增加纠缠资源可以使 得经典通信资源消耗降低至每传送一个量子比特花费一个经典比特【1 1 】；二、在 经典通信资源和量子纠缠资源之间存在一种平衡关系，文献 1 1 1 和 1 6 1 给出了这 种关系的界限。迄今为止，人们在远程态制备方面已经开展了大量的研究工作， 获得了许多有价值的研究结果。 本章中，我们详细介绍了远程态制备的基本思想和一些比较典型的制备方 案，以及相关的理论和实验上的研究进展。 2 1 远程态制备的基本思想 远程态制备与量子隐形传态的任务是一样的，即在不传送实物粒子的情况下 实现量子态的传送。两者之间最大的不同在于，远程态制备中发送者a l i c e 准确 地知道所要传送量子态的经典描述，而接收者b o b 对此毫不知情。这相当于a l i c e 拥有被传送量子态的无限多份拷贝，而只需要传送一份给b o b 。a l i c e 和b o b 之 间要想实现量子态的传送，只需要共享一对量子纠缠态作为量子信道，再加上经 典通信和局域操作就可以实现，这种思想最早是由p a t i 1 0 提出来的。 在p a t i 的这个方案中( 如图2 - 1 所示) ，利用1 个量子比特的纠缠资源，1 个比特的经典通信以及单粒子v o nn e u m a n 测量就可以完成对单个量子比特的传 送。假设a l i c e 想要传送给b o b 的量子态为 4 远程态制备 妒) - a l o + t , 1 0 ， ( 2 1 ) 此处口为实数，口为复数，这个量子态的经典描述对a l i c e 来说是已知的，而对 b o b 而言是未知的。假设a l i c e 和b o b 之问共享一对e p r 纠缠态 。：。五1 q 0 ) 。1 1 ：一1 1 。i o ：) ， ( 2 2 ) a l i c e 拥有粒子1 而b o b 拥有粒子2 。既然要传送的态对a l i c e 来说是已知的， 她可以选择自己想要的测量基对粒子1 进行测量，假定a l i c e 选择的测量基为 扣) 1 ，k ) 。) ，其中 ：i 蠢o 纠- a l , 。， 亿s ， l 妒 l 卢+。， 、。 这里l 妒) 。是眇) 。的正交互补态。在该测量基矢下( 2 2 ) 式可改写为 。：。击帆：一m ( 2 4 ) 若a l i c e 对粒子1 执行v o nn e u m a n 测量后其结果为陟) 1 ，并将这个结果通过经 典信道告诉b o b ，则根据这个结果，b o b 不需要对粒子2 做任何操作，就知道粒 子2 所处的状态与想要传送的量子态相同，这个过程被称为远程态制备。如果 a l i c e 的测量结果为渺) 。，并用1 个比特的经典信息告诉 b o b ，b o b 就可以知道粒 子2 所处的是被传送态的正交互补态i ；f ，) ：在一般情况下，将i 妒) ：转化为i 妒) ： 是不可能的，因此这个远程态制备方案的成功概率只有1 2 。然而若被制备的量 子态限定在特定的量子态集v e ，如b l o c h 球赤道圈或最大极圈上的量子态，也就 是b o b 知道有关的部分信息，利用这些知识b o b 可以找到适当的操作将j 虮) ：变 换到i 妒) ：上。例如，对b l o c h 球赤道圈量子态的远程制备，b o b 可以在粒子2 上 运用p a u l i 算子t 从i 妒) ：中得到i 妒) ：；对b l o c h 球最大极圈上的量子态，b o b 选 择算子一f 屯作用在粒子2 上使得i 妒) ：变换为i 妒) ： 当然a l i c c 和b o b 也可以选择四个b e l l 态中的其它三个态中的任意一个作为 5 远程态制备 量子信遭进行远程态制备，不过要分别附加一个额外的旋转操作。这三个两量子 比特最大纠缠态在测量基 弦) ，i 妒) 。 下可以分别表示为 t i * i x , 2m 击帆( 引：+ i , p - ) 。( 钏m ， p x ：。击帆( j 嘭) ：+ i , p 肌屯) 蝴， ( 2 5 ) 。：。去帆( 刚：一眦( 刚跳】 从上式可知，a l i c e 对粒子1 执行单粒子y o nn e u m a n n 测量完成后，把其测量结 果告诉b o b ，根据得到的经典信息，b o b 只需要对粒子2 执行合适的旋转操作就 可以得到传送态或其正交互补态，有趣的是，当信道选定后，b o b 得到传送态或 其正交态所执行的操作相同。 图2 - 1 单个量子比特的远程态制备线路图。u 代表幺正操作，单线条表示量子纠缠， 双线条表示经典比特【1 7 】。 这个方案表明，远程制备一个己知的从特定量子态集中选出的量子比特，不 需要做b e l l 测量和两个经典比特，只需要一个单粒子测量和一个经典比特。由 此可以看出远程态制备与量子隐形传态的原理基本相同，但是远程态制备中用到 的经典资源更少，操作过程更加简洁。 2 2 远程态制备方案的推广 自从p a t i 的对单量子比特的远程制备方案被提出后，引起相关研究者的广泛 关注。人们在p a t i 方案的基础上作了很多推广，提出了各种远程制备的方案，其 中有对纠缠态的远程制备【1 8 】、对混合态的远程制备 1 9 1 、连续变量的远程态制 6 远程态制各 备 2 0 1 ，还有利用非最大纠缠态作为量子信道实现远程态制备【2 1 】，并将远程态 制备推广到高维空间【2 2 ，2 3 1 。下面我们重点介绍几种有代表性的远程态制备方 案。 2 2 1 对纠缠态的远程态制备 2 0 0 2 年，s h i 等人b 8 提出一个利用三粒子g h z 纠缠态实现对一个选定的两 粒子纠缠态的远程制备。在这个方案中只需要一个经典比特和一个单粒子投影测 量。 假设a l i c e ，b o b 和c h a r l i e 三人共享一个三粒子g h z 纠缠态 i g 舷h ：j 一疆1 0 。0 0 ) + j 1 1 1 ) h ：j ，粒子l ，2 和3 分别属于三人aa l i c e , 酾i j b o b 和c h a r l i e 建立的量子态为 j 西) 一口l o o ) + 卢1 1 1 ) ， ( 2 6 ) 此处a 为实数，为复数，这个量子态的经典描述对a l i c e 来说是已知的，而对 b o b c h a r l i e 而言是未知的。a l i c c 选择测量基 l 妒) 。，i 妒) 。) 对粒子1 进行测量， 其中眇) ，和i 妒) 。如方程( 2 3 ) 所描述。测量后可以得到 i g 日z ) l ：，一i 妒) 。【a i o o ：j + ，1 1 1 ) ：j 】+ i 妒) 。1 口1 1 1 ) 珀一卢i o o ) 拍】 ( 2 7 ) 由上式可知，如果a l i c e 得到的测量结果是陟) l ，相应地b o b 和c h a r l i e 得到的 量子态为口1 1 1 ) 筇一声i o o ) ”，那么b o b 和c h a r l i e 只需要分别对粒子2 和3 实施操 作一磷 截就可以将其转换为被传送的量子态；如果a l i c e 得到的测量结果是 陟) 1 ，b o b 和c h a f l i e 得到的量子态为口l o o ：j + 芦1 1 1 ) ：j ，则一般而言它是不能被 转换为被传送的态。但是对于被传送态形如i 中) - 去0 0 0 ) 4 - e # 1 1 1 ) 】或者口和卢都 、， 为实数的情况，此时远程态制备也是可以成功的。也就是说，在一般情况下远程 态制备的成功概率为l 2 ，而对于属于特殊的量子态集中的被传送态，成功概率 可以达到1 0 0 。这个过程只需要一个经典比特，与相对应的隐形传态方案相比 7 远程态制各 要少两个比特，并且不要求a l i c e 实施b e l l 测量。 这个方案可以直接推广到+ 1 位用户的情况。此时，用户之间共享一个 + 1 体g h z 纠缠态，其中粒子1 属于发送者，其余的粒子分别属于n 位接收 者。通过与上面相似的方法，可以在这n 个接收者之间建立起n 体纠缠态。有 意思的是，在这种情况下也只需要一个经典比特，并且经典比特的数量不随粒子 数的增加而增加。同时，也无需做b e l l 测量，发送者a l i c e 所要做的还只是一个 单粒子投影测量。 2 2 2 对混合态的远程态制备 2 0 0 3 年，b e t t y 和s a n d e r s 受到b e n n e t t 等人所提的远程态制备方案的启发， 用p o v m 测量替代v o hn e u m a n n 测量，提出一个对单粒子混合态的远程制备方 案 1 9 。 这个方案要解决的问题是，发送者a l i c e ( a ) 如何以概率a 在b o b ( b ) 的 实验室远程制备出混合态n 。为了解决这个问题，他们首先考虑在发送者和接收 者之间建立一个纠缠纯态i 中，) 的问题，其中要求对于这个纠缠纯态b o b 的约化 密度矩阵为n 。这个纠缠纯态i 中，) 的s c h m i d t 分解为 j q ) 。荟闻删以 ( 2 8 ) 两种模式都在d 维空间内，r d 一位，d 。制备一个这样的态就相当于在b o b 实验室中远程制备混合态n 。荟i 彳) 。( 爿 为了远程制备混合态n ，a l i c e 需要消耗纠缠资源并且要与b o b 进行经典通 信。假设，最初a l i c e 和b o b 之问共享一对最大纠缠态。通过在a l i c e 一侧的局 域操作，任何一个最大纠缠态都可以转变为如下形式 i e t ) _ ( 蚯) 荟帆帆 ( 2 9 ) 然后，1 c c 实施一个由两个p o v m 元匝。云荟硝f ) 。( 衫i 和兀? _ l 一兀j 构成 的p o v m 测量，其中 一m a x ， ) 。如果测量结果是雎，得到的量子态( 不 8 远程态制各 归一的) 为 ( 何 ，) i q ) - ( 矿厢) 荟何帆帆 ( 2 - 0 ) 归一化后就得到a l i c e 想要制各的态。得到这个结果的概率为矿( d ) 。而由测量 结果n ? 得到的态是无用的，这个测量结果意味着远程制备失败。 在该方案中，同样需要通过经典信道交流测量结果，完成一次远程态制备所 需要的经典比特数量为l o g ( d ) + d i o g l o g ( m ) 】，其中 一m 戤， ) 。如果在 制各成功的情况下保真度为1 的话，那么平均保真度为1 一v ( d ) 。因此，在m 很大的极限下，平均保真度趋近于i 。 同时，他们还将这个方案进行了推广，应用于以概率凡- 段& 远程制 各旭个量子态的直积态l 中。) - l 中) 。i 西) ，其中h - ( ，) 。 2 2 3 对高维纠缠态的远程态制备 2 0 0 3 年，l i u 等人【2 2 】提出了一个利用两对纠缠粒子对作为量子通道，制各 一个两粒子纠缠态的方案，并将其直接推广到d 维情况。 假设a l i c e 想要远程制备的两粒子d 维赤道纠缠态为 l 妒) 一砂i - c ) 肛， ( 2 1 1 ) ， 其中岛一0 。a l i c e 和b o b 之间分享的量子通道为 棼型黼 亿 其中, k ，- o , i , d 一1 。a l i c e 用下面的一组基矢对她所拥有的粒子4 和4 进行 两粒子投影测量， i 驴) 舶一e 驯_ 一嘶i ) 。l j + 川m o d d ) 厄 ( 2 1 3 ) j 测量后，a l i c e 和b o b 之间分享的两对d 维纠缠粒子对的量子态演变为 9 远程态制备 i 锅。军老固；击1 船) 从 ( 2 1 4 ) 。是w 2 i 妒) 警， 其中 l 妒) 竺一e 。刎删e ” l j ) l j + m m o d d ) d ( 2 1 5 ) 当疗一m o 时，i 驴) 竺对应于a l i c e 想要远程制备的初始态。根据方程( 2 1 4 ) ， 在a l i c e 执行了一个投影测量i 妒) ? 之后，b o b 所拥有的两个粒子将会塌缩到 i 妒) 竺中相应的一个态上。a l i c e b g ：d 2 个经典比特的信息告诉b o b 她的测量 结果之后，通过对粒子易执行一个局域幺正操作【k ，他可以将k ) 竺转换为他 所想要的初始态i 砖筘，其中的矩阵元为 ( u 删) - e 驯4 + 。一一 ( 2 1 0 ) 因此，在这种情况下，无论d 为何值，都能成功地完成对一个两粒子d 维赤道纠 缠态的远程制备。 最近，y u 等人【2 4 】又提出了一种能够同时输出量子态的两份拷贝的远程态制 备方案。早期提出来的远程态制备方案大多数考虑的是理想情况，即量子系统没 有受到外界的影响。事实上，处于纠缠的量子系统不会是一个完全封闭的系统， 环境噪声对系统的影响是不能忽视的，只有充分考虑各种噪声对系统的影响，才 能更为有效地控制量子信息处理的过程。因此，人们在提出各种远程态制备方案 的同时，也逐渐开始考虑在噪声信道下量子噪声对远程态制备的影n l a j 1 7 ，2 5 】。 2 3 对远程态制备过程中的经典信息量的研究 远程态制备【9 ，1 0 】与量子隐形传态【8 】的思想紧密相关。远程态制备与量子隐 形传态方案主要不同之处在于：前者设想发送者精确知道欲制备的量子态，而后 者则设想发送者不了解欲传递量子态的任何信息。那么，在发送者完全知道待传 递量子态的前提下，能否减少纠缠资源或降低经典通信成本则是远程态制备所涉 及的又一个重要问题。研究量子信息处理中这些资源的花费有助于更好地理解量 远程态制各 子信息处理的基本原理，是量子通信复杂性的基本研究内容。 在量子隐形传态中，尽管一个未知量子比特携带了无限比特的信息，却只需 2 比特的经典通信量去传送一个未知量子比特，剩下的经典信息通过量子纠缠通 道传输【2 6 】。因此在量子隐形传态中信息被分为通过分享的量子纠缠通道传输的 量子部分和通过经典通信传输的经典部分 2 7 2 9 。量子纠缠和经典通信都是处理 量子信息所需要的重要资源。获得有关被传送量子态的知识会降低传送量子态所 消耗的通信资源，包括量子纠缠和经典通信。远程态制各就旨在研究传送一个已 知量子态所需的通信资源，并且在远程态制备中量子纠缠和经典通信间展现出不 一般的平衡关系【1 1 ，1 6 】。量子通信过程中对经典通信代价的探讨在广义上可以看 作是一个量子通信复杂度问题【9 】。 最早对远程态制各过程中经典信息量进行研究的是l o 【9 】。他先将量子隐形 传态分解为两步过程，立即找到了一种方法可以使纠缠稀释过程中经典通信花费 与之前的一些方案相比少一半。在此基础上，讨论了一个更一般的“远程态制备” 问题，即发送者a l i c e 是否能利用她所掌握的被传送态的信息，减少传送过程所 需要的经典信息量。结果发现，如果对所要传送的量子态集合做一些适当的限制， a l i c e 就能够将所需的经典信息量降低至小于相应的隐形传态过程中所需要的经 典信息量。他们认为从节约经典信息花费的角度考虑，对被传送量子态集合的限 制是必要的。由此猜测对一般量子态( 量子态集不受限制) 的远程态制各，经典 通信量应和量子隐形传态一样，即要消耗2 个经典比特的经典通信和1 个量子比 特的量子纠缠。这一点已经为l e u n g 和s h o t 等人证明 3 0 ，3 1 1 ，即每传送一个量 子比特消耗2 l o g ，d 个经典比特信息，其中d 是量子态的维度。 随后，p a t i 提出了一个利用双方分享的e p r 态远程制备一个单量子比特的 方案【1 0 1 。同时证明，对于一些选自b l o c h 球的赤道态或极大圈态的特殊态集， 若两地预先分享一对e p r 量子纠缠态，则远程态制各每一个量子比特只需要一 个经典比特的经典通信，刚好是量子隐形传态的一半。 b e n n e t t 等人【1 1 1 则研究了对于一般量子比特远程制备所需量子资源花费和 经典通信花费两者之问的平衡关系。他们首先讨论了在双方预先共享无限多纠缠 资源的情况下( i nh i g h - e n t a n g l e m e n tl i m i t s ) ，远程制备大量( 一个) 一般的量子 比特态的过程，说明在以很大的极限下，每传送一个一般的量子比特需要1 经典 i l 远程态制各 比特的信息。然后将其推广到对一般的d 维量子比特的远程制备。此时，通信双 方所使用的量子通道是由无限多的d 维最大纠缠对，即 i 中：) - i o o ) + 1 1 1 ) + + i 一1 x d 一1 ) ) 所组成的。在这样一个过程中所需要的经典 信息代价为每一量子态花费l o g ：d 经典比特。同时，他们指出在允许使用接收者 反馈回的信息( b a c kc o m m u n i c a t i o nf r o mb o b ) ( 这种资源在量子隐形传态中是无 用的) 的条件下，每传送一个量子比特所需要的纠缠资源为一个常数e e 一3 7 9 ， 且经典信息的消耗仍然是1 个经典比特，如图4 _ 1 中点r ( ，b 一1 ) 所示。然后讨 论了利用少量纠缠资源( 每传送一个量子比特所用的纠缠资源e t l ) 进行远程态 制备时所需要的经典信息代价。 e 图2 - 2 在各种量子比特远程制备中的纠缠资源( e ) 和经典通信代价( b ) 。包括量子隐形 传态的情况( 点t ) ，b e n n e t t 等讨论的纠缠资源很多的情况( 点r ) ，以及连 接起来的光滑曲线( 从t 到r 的实线) 。阴影区域b 1 是达不到的，因为会 违反因果定律。t 点右下方的实曲线是b e n n e t t 等讨论的纠缠资源很少的情况， 虚线是d e v e l a k - b e r g e r 的讨论结- 果： 1 1 1 。 紧接着，d e v e t a k 和b e r g e r 1 6 专门对低纠缠资源条件下的远程态制备进行 了研究。他们改进了b e n n e t t 的方案，使得他们的方案所需要的经典信息量更接 近于最优化数值。他们的研究结果和b e n n e t t 等人的结果共同表明：在存在大量 的预先纠缠的情况下，对于一般的量子比特的远程制备的渐近的经典通信花费是 每一个量子比特需要一个经典比特，是量子隐形传态的一半，若无事先分享的纠 远程态制各 缠态，所需的经典通信量将是无限的。这说明了在远程态制备过程中所消耗的量 子纠缠与经典通信量之间存在着不一般的相互平衡的关系( 如图2 2 所示) 。在 图2 2 中代表量子隐形传态的点t 将整个平面分成了纠缠资源很多和纠缠资源 e ( 1 两部分，在这两种情况下成功完成远程态制备的方法是大不相同的。t 点右 边的两条曲线分别代表了b e n n e t t 的研究结果和d e v e t a k 的结果。由于两者在完 成远程制备过程中的方法略有不同，因此得出的经典信息耗费的具体数值也就略 有不同，但反映出的纠缠资源与经典信息量之间总体的平衡关系是一样的。 由此我们也可以看出，远程态制备过程中经典信息耗费的具体数量会因所采 用的方案而有所不同。目前，人们针对不同的远程态制备过程，分别讨论了其中 所需要的经典通信代价。b e r r y 1 9 等人对混态的远程制备中所需要的经典信息量 作了探讨，认为完成次对混合态的远程制备所需要的经典比特数量为 l o g ( a d ) + 0 1 0 9 l o g ( a d ) 1 ，其中a m 缸； a j ) ，同时指出在有足够的经典信息 通信的情况下，对混态集的远程制备可以完成相当于h o l e v o 信息的通信量。郑 亦庄等人 2 1 1 讨论了利用非最大纠缠的量子通道实施远程态制备过程中所要消 耗的经典信息。他们发现，在这种条件下所耗费的经典信息与用作量子通道的纠 缠态i 妒) 。- ( 口l 吵+ b i l l ) ) 。的系数有关，每传送一个一般的量子比特需要 3 ( 1 + 陋i ) 个经典比特，若传送的是特殊的量子比特则只需1 + 2 h 2 个经典比 特。此外，y e 3 2 1 等人指出利用具有最大s c h m i d t 数的纠缠态进行远程态制备时， 需要的经典信息量为l o g ：d ! 。在此基础上，b e r r y 3 3 1 提出改进方案，使得经典信 息花费小于2 l o g ，d 。这些研究分别从不同的侧面说明了，远程态制备过程中需 要的经典信息代价不会多于在量子隐形传态中的消耗。 另外，人们还从通信复杂度的角度，对这一问题进行了思考。例如，j a i n 3 4 】 讨论了存在纠缠的情况下远程态制各过程的通信复杂度问题，说明远程态制备过 程中需要的经典通信量与编码在被传送态上的最大可能信息r 但) 密切相关。在 保真度为f ( 成，e o ) ) 芑1 - ( e ( x ) 为被传送态，以为在接收方重新建立起的量 子态，o 1 ) 时，所需要的经典通信量最少为z 但) 2 ，最多为8 ( 盯但) + 7 ) 2 。 目前，对经典信息量的探讨已经成为了远程态制备研究中的一个重要的课 远程态翻备 题，也成为了量子通信复杂度研究中的一个重要内容。同时，由于远程态制备过 程中经典信息资源与纠缠资源之间的这种不寻常的平衡关系，使得越来越多的学 者开始对这一问题进行研究。同时，对这一问题的研究，必将促使我们更加清楚 地认识量子信息学所遵循的基本规律。 2 4 实验研究进展 近年来，对远程态制备的研究已经不仅仅局限于理论，在实验上也有了很大 的发展。2 1 3 0 3 年，彭新华等人用核磁共振的方法率先在实验上实现了远程态制 备方案 3 5 1 。利用核磁共振( n m r ) 技术，运用合适的初态制备、幺正变换和读出 脉冲序列，他们在实验上实现了从c h c l 3 分子中的氢核到碳核的一个量子态的 远程态制备过程。在p a t i 方案的基础上，这一特定的量子态被选择在b l o c h 球的 赤道线( 口- 卅2 ) 和任意经线( 妒为任意值) 上。同时，他们还运用n m r 实验成功 地演示了对任意一量子比特的远程态测量方案。上述两类实验结果，都与理论预