本科毕业论文-构造函数法在微积分证明中的应用.doc

广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用一、绪论构造函数思想是数学的一种重要的思想方法，在数学中具有广泛的应用。所谓构造法，就是根据件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。它具有两个显著的特性：直观性和可行性，正是这两个特性，在数学应用中经常运用它。 构造法是我们在研究有关数学问题时，需要构造并解出一个合适的辅助问题，从而用它来求得一条通向表面看来难于接近问题的信道的一种解答问题的方法，其实质就是把研究的数学问题经过仔细的观察，挖掘其隐含条件，再通过丰富的联想，把问题化归为已知的数学模型，从而使问题得以解答。本文主要针对如何利用函数的相关知识来构造辅助函数, 并将辅助函数应用到不等式的证明中作了一些总结。不等式的证明是高等数学中的重要内容之一. 证明不等式的方法有很多, 常见的有比较法、综合法、分析法、反证法、基本不等式法等, 构造法就是其中的一种. 构造法的内涵十分丰富, 没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础, 针对具体问题的特点而采取相应的解决办法即借用一类问题的性质, 来研究另一类问题的思维方法. 在解题过程中, 若按思维定势来探求解题途径比较困难时, 这时我们不妨变换一下思维角度, 从不等式的结构和特点出发, 在已学过的知识的基础上进行广泛的联想, 构造一个与不等式相关的数学模型, 实现问题的转化, 从而使不等式得到证明. 运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一, 同时对提高学生的解题能力也有所帮助, 下面我们通过举例来说明构造法解题训练学生发散思维, 谋求最佳解题途。二、构造函数在微积分证明中的应用构造法是数学解题的主要方法之一，它的应用极广。随着知识的积累和增加，构造法就越加突现重要。比如在零点定理的证明和应用上，在微积分学里的中值定理的证明和应用上等。最典型的是拉格朗日中值定理的证明。这个定理的证明是根据几何直观的启示，构造了一个与问题有关的辅助函数，才得以运用罗尔定理解决的。这种思想方法在数学解题中经常用到，且往往有效。中值定理特别是拉格朗日中值定理在不等式的证明中有着重要作用，通过对不等式的结构分析，构造某特定区间上的函数，满足定理的条件，达到证明目的。其中，在拉格朗日中值定理的证明中利用定理公式构造了一个新的函数，再利用函数的性质和定理合理地证明了拉格朗日中值定理。其他中值定理也如此，都是通过构造函数来证明的。微积分学中的四种中值定理：费马定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。构造法都贯穿其中，起到了重要和决定性的作用。（一）构造辅助函数用零点定理证明零点定理 设函数在闭区间上连续，且与 异号（即），那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（）使.零点定理的结论是：存在，使，结论中并未出现导数运算.所以不太可能利用中值定理证明.相反，只要可以整理为：“证明存在，使某连续函数满足”这种形式的命题，基本上都可以使用零点定理来证明，而辅助函数的构造更为简单.证明方法(1)将把要正的等式化为等价的标准形式（所有项均移到等式左边，使等式右边为零）.(2)将等式左边的表达式（将换成）作为辅助函数即可.例1 设在闭区间上的非负连续函数，并且，证明：对于任意的，都存在，使得.证明：只要证，即可.为此，设.显然在闭区间上连续，并且 ， .（1） 若，则，都满足方程；（2） 若，则由，及零点定理知，必有，使得；因而，对于任意的，都存在，使得，即.构造辅助函数利用零点定理可以证明根的存在性，下面我们通过例子来验证：例2 设实数，.证明方程分别在区间和有且仅有一个实根.证明：设 ，记；易见，是一个二次函数，它在内连续，当然在和上都连续，并且，.所以由零点定理知，必存在与，使得，；然而是一个二次函数，最多有两个零点，因此分别在区间和有且仅有一个实根.另一方面，由于，所以当且仅当，因而也分别在区间和有且仅有一个实根.（二）构造辅助函数用罗尔定理证明罗尔中值定理 如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,那么至少存在一点,使得.对于含有抽象函数及其导数的方程或关于的等式，在证明时，应构造辅助函数，用罗尔定理证明。此时构造函数的一般方法是，查找原函数，其步骤为：1 若证的是含有的等式，先把改为，使等式成为方程；2 把方程看作是以为未知函数的微分方程，然后解微分方程；3 求出解后，把任意常数移到一端，另一端即为所要构造辅助的函数;4 对于形式简单的方程或含的等式，则可用观察法求出辅助函数.下面我们用罗尔定理来证明一些重要的定理：拉格朗日中值定理 设函数满足条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导。则至少存在一点 ，使 （1.1）我们要证（1.1）式，即要证，即 .故我们可以从几何意义上来考虑：拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，函数的图像在区间上为图中的弧段 ，上点点存在不与轴平行的切线。那么，结论是在内存在点，使相应于这一点的弧上点处的切线平行于弦。 图因此在证明拉格朗日中值定理中，故我们想到作辅助函数我们所做的辅助函数实际上分两部分：和，容易验证，它们在闭区间连续，在开区间内可导，此时易知 容易验证，在上满足罗尔定理的条件.因而存在，使=0，即成立.柯西中值定理 设函数和满足条件：（1）,均在闭区间上连续；（2）, 均在开区间内可导;（3）对 .则存在，使 （2.1）我们要证（2.1）式，即要证 ,也就是 .故我们想到作辅助函数.容易验证，在上满足罗尔定理的条件。因而存在，使.因（）故，得 柯西定理证毕.（三）构造辅助函数用拉格朗日中值定理证明证明方法根据拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数满足下列条件：（I）在闭区间上连续；（II）在开区间内可导，则在开区间内至少存在一点，使得.拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系. 对于常值不等式或函数不等式，通过恒等变形后，若出现函数差值与自变量之差之比，符号拉格朗日中值公式的形式，则用拉格朗日中值定理证明之.此时，所要构造的辅助函数可观察得出.证明步骤为：1辅助函数，找到相应的区间；2验证该函数在区间满足拉格朗日中值定理的条件；3写出拉格朗日中值公式；4由满足的不等式，对放大或缩小，从而消去，得到所要证明的不等式.例1 证明：当.分析：所证不等式中的函数的导数为 ，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理证之.由于，因此可构造函数的改变量，则相应自变量的改变量为，原不等式等价于：，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明.证明：构造函数，因在上连续，在上可导，在上满足拉格朗日条件，于是存在，使 ，因，所以.即，.适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.(四) 构造辅助函数用柯西中值定理证明证明方法根据柯西中值定理柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.证明方法构造两个辅助函数和，并确定它们施用柯西中值定理的区间；对与在上施用柯西中值定理；利用与的关系，对柯西公式进行加强不等式.例2：设，证明.分析：原不等式可等价于.可看出不等式左边可看成是函数与在区间上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.证明：原不等式等价于，可构造函数，,因均在上连续，在上可导，且，由于，则，所以在上满足柯西中值条件，于是存在，使得，又因有 ，得到 ,因此,即.适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.三、构造函数在不等式证明中的应用不等式的证明历来是数学证明的难点。不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。四、条件极值与拉格朗日乘数法（一）条件极值了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值条件极值；拉格朗日乘数法(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法;(2) 用条件极值的方法证明或构造不等式;(3) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大.; (4) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 ， 则水箱容积焊制水箱用去的钢板面积为这实际上是求函数 在 限制下的最小值问题.这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 限制下，求函数 的极值.条件极值与无条件极值的区别:条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等.例如，求马鞍面 被平面 平面所截的曲线上的最低点.请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）.从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值.1.何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制.决定一给定点到一曲面的最短距离问题，就是这种情形.我们知道点到点的距离为.现在的问题是要求出曲面上的点使F为最小.即，问题归化为求函数在条件下的最小值问题.又如，在总和为C的几个正数的数组中，求一数组，使函数值为最小，这是在条件 的限制下，求函数的极小值问题.这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1. 求函数 在条件下的极值.解 令 得 （1）又 （2） （3）由（1）得 ， 当时得 ， 故得，代入（2）（3）式得 解得稳定点，. 由对称性得，也是稳定点.2.条件极值点的必要条件 设在约束条件之下求函数的极值 . 当满足约束条件的点是函数的条件极值点 , 且在该点函数满足隐函数存在条件时, 由方程决定隐函数, 于是点就是一元函数的极限点 , 有 ,代入 , 就有 , ( 以下、均表示相应偏导数在点的值 .) 即 , 亦即 ( , ) ,) .可见向量( , )与向量 , )正交. 注意到向量 , )也与向量 ,)正交, 即得向量( , )与向量 , )线性相关,即存在实数, 使 (, ) + ,).亦即 3.限制极值的必要条件设在约束条件之下求函数的极值.当满足约束条件的点是函数的条件极值点 ,且在该点函数满足隐函数存在条件时,由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点 , 有.代入 , 就有, ( 以下、均表示相应偏导数在点的值 .)即 ,亦即 (, ),) .可见向量(, )与向量,)正交.注意到向量,)也与向量,)正交,即得向量(, )与向量,)线性相关,即存在实数,使(, )+,).亦即 （二） Lagrange乘数法 :由上述讨论可见 , 函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组 （1）的解. 引进所谓Lagrange函数:,( 称其中的实数为Lagrange乘数 )则上述方程组即为方程组 因此，解决条件极值通常有两种方法:（1）直接的方法是从方程组(1)中解出 并将其表示为 .代入 消去 成为变量为 的函数 将问题化为函数 的无条件极值问题；（2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数 在条件极值问题中 满足条件 下，去寻求函数 的极值. 对三变量函数 联立方程式 求得的解 (x, y) 就成为极值的候补.这种引入辅助函数，将条件极值问题化为无条件极值问题的方法.以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 .例1 求函数 在条件下的极值.解：令 得 （1）又 （2） （3）由（1）得 ， 当时 得 ，故得，代入（2）（3）式得 解得稳定点，. 由对称性得，也是稳定点.这样求极值的方法就叫做拉格朗日乘数法、叫做拉格朗日乘数.（三） 用Lagrange乘数法解应用问题举例 例1 某公司生产A，B两种产品，其产量为x,y,公司的利润函数为，若公司最大设备生产能力为小，求：（1） 最大利润；（2）估算设备生产能力扩大一个单位对于利润的效应.解： 公司最大设备生产能力就是约束条件，本题就是求条件极值，用拉格朗日乘数法求.（1）引人拉格朗日函数令 得稳定点 所以，（5，7）就是利润函数的稳定点。又因为实际问题有最大值，故当，时，公司可获得最大利润 （2）因为，故设备生产能力扩大一个单位时，将使利润增加53.例2求椭圆 的面积.解：此椭圆的中心在原点，其长、短半轴分别为椭圆上的点到原点距离的最大、最小值。因此，问题化为求的极值问题，以目标函数，作辅助函数.令, . 式乘以加上式乘以，得 （是极值）。又两式是，的线性齐次方程组，在椭圆上，故不为，即齐次方程有非零解得. 得 恰有两个根，正好对应着目标函数的最大与最小值.由于椭圆面积，而故 .例3 将长度为的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形.问如何分法，才能使这三个图形的面积之和最小.解 设分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长.于是总面积 满足约束 ， 令 解得 .约束集为有界闭集，故在其上必有最小值.在边界上，即解下列三个条件极值问题： 稳定点分别是 函数值分别是 , , .又 ， .比较上述7个函数值得，最小值为 料最省.五、小结构造函数法在数学证明中的应用非常广泛，比如方程根的存在性的证明，中值定理的证明，不等式的证明等都可以用构造函数发来证明，随着知识的积累和增加，构造函数法就越加突现重要。不等式的证明历来都是数学证明中的难点，不等式的证明方法多种多样。因此用构造函数法证明不等式时，要根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数来证明：有时利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别：若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式，其两端函数均可导，且或有一为0时，宜用函数的单调性.若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理.若所证不等式，两端函数均可导，但不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明.因此能否顺利地构造函数利用其函数性质和使用数学思想来证明不等式，最重要的是要有扎实的基本功和多种思维品质，敢于打破常规，创造性地思维，才能独辟蹊径，使问题获得妙解。结束语构造法是我们在研究有关数学问题时，需要构造并解出一个合适的辅助问题，从而用它来求得一条通向表面看来难于接近问题的信道的一种解答问题的方法，其实质就是把研究的数学问题经过仔细的观察，挖掘其隐含条件，再通过丰富的联想，把问题化归为已知的数学模型，从而使问题得以解答。如果我们能够掌握了构造法并能运用此方法解决数学问题，那么不但可以培养我们的良好的思维品质，而且还可以提高我们的抽象思维能力、发散思维能力和解题能力。构造法的方法很多，技巧性强，使用时没有固定的模式，须根据具体问题采用相应的构造法。相信上面的讲述能给大家一定的帮助。致 谢本次毕业论文是在郭艳凤老师的悉心督促下完成的，从选题、课题资料的查找、收集、信息的提供，到论文的撰写和论文修改都得到了郭老师的精心指导，本人也从中吸取到了不少的经验。郭老师对待工作认真负责，热心帮助我完成了论文，每当我遇到困难和疑惑的时候，她总会在百忙之中抽出时间耐心的帮助我解决问题。在此向郭艳凤老师致以忠心的感谢！同时也非常感谢帮助我的同学，在写论文的这段时间里，我们一起学习，一起讨论交流，互相帮助。特别是在为论文烦恼的时候，得到同学的安慰和鼓舞。在这里我倍受感动，祝愿大家都能找到称心如意的好工作，也祝福大家在以后的工作学习中万事如意，心想事成！最后由衷的感谢各位审稿老师的指导，感谢您们能阅读完我的论文，您们辛苦了，谢谢！参考文献1 龚冬保、武忠祥.大学数学教程第1卷第1册. 西安： 西安交通大学出版社 2000.2 龚冬保、魏平.大学数学教程第2卷第2册. 西安： 西安交通大学出版社 2001.3 汪生实.构造函数法解不等式例谈 2007年 12期 青海教育 ：44-44.4 李富强、王东霞.浅谈构造函数法在高等数学解题中的应用 2005年 8卷 5期 高等数学研究 ：9-12.5华东师范大学数学系.数学分析. 第三版.上册. 北京：高等教育出版社 2001.6华东师范大学数学系.数学分析. 第三版.下册. 北京：高等教育出版社 2001.7 张慧芬.浅谈微分中值定理证明中的辅助函数 2007年 23卷 2期 忻州师范学院学报 ：35-36,58.8 张荣.辅助函数在不等式证明中的应用 2007年 37卷 20期 数学的实践与认识 ：224-226.9 罗萍.拉格朗日中值定理的两种证明 2008年 3期 黑龙江科技信息 ：154-154.10 韩卫国、周航.拉格朗日中值定理的证明 2007年 23卷 4期 武警工程学院学报 ：4-6.11 徐礼卡.构造辅助函数解决问题的个案及教学分析 2007年 12卷 5期 株洲师范高等专科学校学报 ：69-71.12 屈力进.微分中值定理运用中一类辅助函数的构造方法 2007年 20卷 2期 高等函授学报：自然科学版 ：20-21.13 王玉民、赵广生、白荣凤.利用辅助函数证明的几个实例 2007年 22卷 2期 北京农学院学报 ：66-67.14 薛秋.微分中值定理的应用 007年 7卷 6期 无锡商业职业技术学院学报 ：68-69.15 韩云芷1、田艳先2.积分中值定理的构造性证明 20