（基础数学专业论文）球面中与de+sitter空间中的weingarten超曲面.pdf

摘要 在这篇论文中，我们主要讨论了两类问题：一类是( 礼+ 1 ) 一维单位欧氏球面铲+ 1 中 具有两个不同主曲率的紧致有向w e i n g a r t e n 超曲面；另一类是( 佗+ 1 ) 一维d es i t t e r 空 间研+ 1 ( c ) 中具有两个不同主曲率的完备类空w e i n g a r t e n 超曲面 本文共分三章： 在第一章中，我们首先介绍了超曲面的研究背景；其次，我们给出了与本文相关的 一些知识如w e i n g a r t e n 超曲面的定义，空间形式的定义及空间形式中的分类定理等； 最后，提出了本文所要讨论的问题 在第二章中，我们重点讨论了球面舻+ 1 中具有两个不同主曲率的紧致有向w e i n g a r t e n 超曲面假设球面伊“中的超曲面m 的两个主曲率分别是a 和芦，其重数分别 为佗一1 和1 若入和p 之间满足关系式p = o 入+ b ，a ，b 均为常数，且a 1 + 2 礼则可以得到一个与m 的无迹的第二基本型西有关的积分不等式，其中等 号成立当且仅当m 是一个日( 7 ) 一环面s 舻1 ( r ) s 1 ( , i r 2 ) 此外，若a 和p 的重数 分别为佗一m 和m ，1 m n 一1 ，其他条件不变，我们又得到两个与西及其主曲率都 有关的积分不等式，其中等号成立当且仅当m 是乘积流形铲一mr ) xs m ( 1 一r 2 ) 特别地，若我们在上述条件中取a = 1 一n ，b = n c ，则超曲面m 就有常平均曲率 h = c 在第三章中，我们主要讨论了本文的第二类问题：d es i t t e r 空间中具有两个不同主 曲率的完备类空w e i n g a r t e n 超曲面假设d es i t t e r 空间研+ 1c ) 中超曲面m 的两个主曲 率分别是a 和p ，其重数分别为佗一1 和1 ，若a 和肛之间满足关系式p = 厂( 入) ，f 7 0 ，1 ， 则超曲面m 是一族( n 一1 ) 一维子流形的轨迹，这些子流形都是与主曲率a 相应的积分 子流形在这个过程中，我们还得到一个特定的常微分方程 在本章最后，我们又给出了上述结果的几个具体的例子，其中两个例子是具有常平 均曲率的超曲面和具有常数量曲率的超曲面 关键词：w e i n g a r t e n 超曲面，空间形式，主曲率，类空超曲面 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et w oq u e s t i o n s ：t h ef i r s to n ei sc o m p a c to r i e n t e d w e i n g a r t e nh y p e r s u r f a c e sw i t ht w od i s t i n c tp r i n c i p a lc u r v a t u r e si nt h e ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n u n i te u c l i d e a ns p h e r es ”+ 1 t h es e c o n do n ei sc o m p l e t es p a c e l i k ew e i n g a r t e nh y p e r s u r f a c e sw i t ht w od i s t i n c tp r i n c i p a lc u r v a t u r e si nt h e ( n + 1 ) 一d i m e n s i o nd es i t t e rs p a c e 研“( c ) t h ed i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，a b o v ea l l ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fh y p e r s u r f a c e s ；t h e n w eg i v es o m er e l e v a n tk n o w l e d g e s u c ha st h ed e f i n i t i o no fw e i n g a r t e nh y p e r s u r f a c e s ，t h e d e f i n i t i o no fs p a c ef o r m s ，t h ec l a s s i f i c a t i o nt h e o r e mo fs p a c ef o r m sa n ds oo n ；f i n a l l y , w e p u tf o r w a r dt h eq u e s t i o n sc o n s i d e r e di nt h ep a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ef o c u so no r i e n t e dw e i n g a r t e nh y p e r s u r f a c e sw i t ht w od i s - t i n c tp r i n c i p a lc u r v a t u r e si nt h es p h e r es ”+ 1 l e tmb ea n 仃一d i m e n s i o nh y p e r s u r f a c eo f s ”+ 1w i t ht w od i s t i n c tp r i n c i p a lc u r v a t u r e s 入a n d “，w i t hm u l t i p l i c i t i e sn 一1a n d1r e s p e c t i v e l y s u p p o s ep = a a + b ，w h e r ea ，ba r ec o n s t a n t ，a 1 + 、2 n t h e n w eo b t a i na ni n t e g r a li n e q u a l i t yi n v o l v i n gt h et r a c e l e s ss e c o n df u n d a m e n t a lf o r m 面o fm w h e r ee q u a l i t yh o l d so n l yi fmi st h e 日( r ) 一t o r u ss 俨1 ( 7 ) s 1 ( 饥= ) i na d d i t i o n ，i fa a n d “a r er e s p e c t i v e l yt h em u l t i p l i c i t i e s 佗一ma n dm ，1 m 礼一1 ，o t h e rc o n d i t i o n sr e - m a i nu n c h a n g e d w eg e tt w oi n t e g r a li n e q u a l i t e si n v o l v i n g 西a n dt h ep r i n c i p a lc u r v a t u r e s o f 中，w h e r ee q u a l i t yh o l d so n l yi fm i st h ep r o d u c tm a n i f o l ds n mr ) xs m ( 4 i r 2 ) i np a r t i c u l a r ，i fa = 1 一n ，b = n c ，t h e nmi sah y p e r s u r f a c ew i t hc o n s t a n tm e a n c u r v a t u r eh = c i nt h et h i r dc h a p t e r ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h es e c o n dq u e s t i o nc o n s i d e r e di nt h e p a p e r ：c o m p l e t es p a c e l i k ew e i n g a r t e nh y p e r s u r f a c e sw i t ht w od i s t i n c tp r i n c i p a lc u r v a - t u r e si nd es i t t e rs p a c e l e tmb ea nn d i m e n s i o nh y p e r s u r f a c eo f 田“c ) w i t ht w o d i s t i n c tp r i n c i p a lc u r v a t u r e s 入a n dp ，w i t hm u l t i p l i c i t i e sn 一1a n d1r e s p e c t i v e l y s u p - i i i p o s e 肛= ，( 入) ，f 7 0 ，1 ，t h e nm i st h el o c u so faf a m i l yo fm o v i n g ( n 一1 ) 一d i m e n s i o n s u b m a n i f o l d s ，t h e s es u b m a n i f o l d sa r et h ei n t e g r a ls u b m a n i f o l dc o r r e s p o n d i n gt o 入i nt h e p r o c e s sw ee s t a b l i s hac e r t a i no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n f i n a l l yi nt h i sc h a p t e r ，w ea l s og i v es o m es p e c i f i ce x a m p l e so ft h ea b o v e m e n t i o n e d r e s u l t s t w oo ft h e ma r et h eh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ea n dt h eh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e k e yw o r d s ：w e i n g a r t e nh y p e r s u r f a c e s ，s p a c ef o r m ，p r i n c i p a lc u r v a t u r e ，s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e s i v 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 签名：篮逸鼗日期：迦孓垒区国 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：互霞鑫导师签名： 磬科、妒孑j 、 日期：迎侔五图一 3 3 第一章绪论 本章主要讲述超曲面的研究背景、本文的相关知识及本文问题的提出 1 1 超曲面的研究背景 古典微分几何是研究3 维欧氏空间中的曲线和曲面的理论而现代微分几何主要研 究黎曼空间的分析、拓扑、几何等性质，所使用的数学工具包括：李群、代数拓扑、微分 方程、泛函分析等子流形的理论是微分几何的重要课题，作为子流形的特殊情况，超 曲面的微分几何有更加丰富的内容我们在这里主要介绍一些特殊的黎曼空间形式中和 l o r e n t z i a n 空间形式中的超曲面 黎曼流形中的子流形在文献 1 4 】中都有详细介绍，许多重要的黎曼流形都是作为已 经熟悉的空间( 如欧氏空间，球面等) 的子流形出现的，欧式空间和球面就是两类很经典 的黎曼空间形式，而且欧氏空间的微分几何仍然是研究黎曼几何的最主要参照物文献 5 】中，作者就用一整章的内容介绍了高维欧氏空间酞几中的超曲面，是通常3 维欧氏空 间中曲面论的最直接和最自然的推广 曲率的概念是和微积分的发明同时产生的在欧氏空间r 3 中的曲线论里，光滑曲线 的曲率用于刻画曲线的弯曲程度后来，g a u s s 发现：曲面在每一点的两个主曲率的乘 积( 称为g a u s s 曲率) 仅与曲面的第一基本型有关特别地，当一个曲面与平面在局部上 等距时，其g a u s s 曲率恒为零，反之亦然在某种意义上，g a u s s 曲率所刻画的是曲面 第一基本形式相对于欧氏度量( 即平坦度量) 的偏离程度鉴于曲率的重要性，通过研究 曲面的曲率研究曲面就成为一个重要课题 对于一个3 维的欧氏空间r 3 中的完备超曲面m ，h a r t m a n n i r e n b e r g 6 】的文章中提 到了一个很经典的定理：若艘中的完备超曲面的m 的曲率是非零常数，则该超曲面必 是球面他们本人也在其文章中证明了这样个定理【6 】= 当完备超曲面m 的曲率是零 时，它必是平面或柱面这两个定理完成了瞅中有常曲率的完备超曲面的一个分类 r i e m a n n 把g a u s s 的曲面内蕴微分几何推广到高维流形的微分几何中，曲率的概念 也随之推广黎曼曲率张量是由流形的联络确定的一个重要张量，它使黎曼流形在每点 有三种曲率：截曲率、r i c c i 曲率和数量曲率，它们都是经典曲面论中g a u s s 曲率的推 球面中与d es i t t e r 空间中的w e i n g a r t e n 超曲面 广，以不同方式反映黎曼流形在一点附近的“弯曲”程度另外，在子流形几何中，子流 形的平均曲率日也是一个很重要的量 许多作者都试图对前面所提到的r 3 中的两个定理进行更为一般的推广【7 - 9 j ，比如文 献 7 】中，作者得到了如下的定理：当n 3 时，r 计1 中的e i n s t e i n 超曲面局部上是 一个球面e i n s t e i n 超曲面即具有常r i c c i 曲率的超曲面 c h e n g - y a u 8 l 则研究了具有 常数量曲率的完备超曲面，他证明了这样的结果：( 1 ) 对于r 计1 中的完备非紧的超曲面 m ，若m 具有常数量曲率且截曲率非负，则m 必是一个广义柱面s p 一p ；( 2 ) 若紧致 超曲面m 的外围空间是一个具有常截曲率c 的流形，且m 的截曲率非负，常数量曲率 s n ( n 一1 ) c ，则m 是一个全脐流形，或者是两个具有常截曲率的全脐子流形的乘积， 或者是平坦的流形( 黎曼曲率张量为零) 当外围空间是酞1 时，m 必是球面当外围 空间是伊“时，m 是乘积流形s p s p 对球面铲+ 1 中具有两个不同主曲率的超曲面的研究也相当多，比如文献 1 0 一1 4 】等 o t s u k i 1 0 】在1 9 7 0 年就给出了球面中的一个极小超曲面在一定条件下是两个球面的 乘积流形他证明了这样的一个结果：如果球面中一个紧致极小超曲面m 有两个不同主 曲率a 和卢，其重数分别是m 和n m ，1 m n 一1 则m 一定是一个c l i f f o r d 超曲 面s m ( 、罢) 坶一( 、竿) a l i a s 1 1 】等在2 0 0 4 年证明了上述结果的一个推广：若伊“中的紧致有向超曲面m 具有常平均曲率，且有两个不同主曲率入和p ，其重数分别是m 和n m ，1 m n 一1 则m 局部等距于超曲面s m ( r ) 舻一m ( 曰) ，其中a = ：坚! ，肛= 一了禹 o t s u k i 1 0 】通过对一个确定的常微分方程的研究，构造了无穷多个极小超曲面，这些 超曲面仅有两个不同的主曲率且其中一个主曲率的重数是单的 a l m e i d a 1 2 】等通过同样的方法研究了球面中具有平均曲率的超曲面，也给出了一个 特定的常微分方程 a l i a s 1 1 】等在证明了前面所讲的结果之外，还推出了一个与超曲面的无迹的第二基 本型圣有关的一个积分不等式，其中还用到一个重要的多项式， a l e n c a r d oc a r m o 多 项式【1 5 l p h ( x ) ：z z + 粤箬婪日z 一扎( 1 + h 2 ) ， ( 1 _ 1 ) 、n ( n lj 定理1 1 1 设m 是浸入到s 卅1 ( n 3 ) 中的有常平均曲率日的紧致有向超曲面 2 第一章绪论 假定m 有两个不同的主曲率a 和p ，重数分别为n 一1 和1 ，西= h 一日，h 是超曲面m 的第二基本型，且t r a c e ( 西) = 0 ，p n 是a l e n c a r d oc a r m o 多项式( 1 1 ) 式 进而有 ( c ) 0 ( 1 2 ) 其中c = = k l 是入一p 的符号，不等式中等号成立当且仅当m 是一个日( 7 ) 一环面 伊- 1 ( r ) xs 1 ( 、l r 2 ) 在文献 1 5 】中，a l e n c a r 和d oc a r m o 在研究球面上具有常平均曲率的超曲面时， 第一次介绍了多项式助，因此我们称晶为a l e n c a r d oc a r m o 多项式 c h a n g 1 6 】则得到一个推广的a l e n c a r d oc a r m o 多项式，即 昂，。( z ) x 2 + 粤尝h x - n ( 1 + 日2 ) ，1 m n - 1 ( 1 - 3 ) 、n m i , n m ) 接下来作者推出两个与垂及其主曲率都有关的积分不等式 定理1 1 2 设m 是浸入到舻“中具有常平均曲率日的紧致有向超曲面假定m 有两个不同的主曲率a 和p ，重数分别为r t m 和m ，1 m n 一1 ，则有 ( 1 ) fi m l 2 p h ，m ( c ) = 竿厶2 i v l n 艾1 2 = 警厶2 i v l n 面1 2 从而又有 i 虫1 2 p h ，m ( c i 中i ) 0 等号成立当且仅当m 是超曲面s 俨m ( r ) s 仇( 1 一r 2 ) ( 2 ) 厶乃，m ( c 俐) = 一1 n - 厂2 厶i v l n 艾1 2 = 一1 n - - 2 厶i v l n 面1 2 3 圣阢 厂几孚 一 = 西 0 厂凡 则 0 0 ，则i 圣1 2 = b 日，m 且m 竹等距于超曲面s n mr ) xs m ( _ ) ； ( 2 ) 若a 一肛 0 时，m 与半径为r = 1 以的标准球面等距； ( 2 ) 当c = 0 时，m 与欧氏空间瓞n 等距； ( 3 ) 当c 0 时，m i “c ) = 田“( c ) ( 即( 几+ 1 ) 一维d es i t t e r 空间) ； ( 2 ) 当c = 0 时，聊“c ) = l n + l ( 即( n + 1 ) 一维l o r e n t z m i n k o w s k i 空间) ； ( 3 ) 当c 0 时， 卵+ 1 ( c ) = h + 1 ( c ) ( 即( n + 1 ) 一维a n t i d es i t t e rg 三l ；- j ) 若一个超曲面m 从外围空间聊“( c ) 上诱导的度量是黎曼度量，则称m 是类空 的 1 3 本文问题的提出 本文主要研究的是空间形式中两类特殊空间( 即球面与d es i t t e r 空间) 中具有两个 不同主曲率的一超曲面，本文所说的空间形式包括黎曼空间形式和l o r e n t z i a n 空间形 式为以下叙述方便，我们不妨假设空间形式n 时1 ( c ) ( c 指n 计1 ( c ) 的常截曲率) 中超 曲面的两个不同主曲率分别为a 和p ，重数分别为佗一m 和m ，1 m n 我们在上节介绍了超曲面的研究背景，不难发现，大家研究的空间形式中的超曲面一 般都具有常平均曲率，常数量曲率等事实上，超曲面的平均曲率h = 二( n m ) 入+ m 肛) ， 数量曲率n ( n 一1 ) n = n ( n 一1 ) c m ( 仇一1 ) a 2 一( n 一仇) ( n m 一1 ) p 2 2 m ( n m ) 入p 也就是说，具有常平均曲率或常数量曲率的超曲面都是特殊的一超曲面一个问题自 然产生：除了这些特殊的w 一超曲面，我们还能不能考虑更为一般的情况? 本文第二章中的主要定理是以研究背景中定理( 1 1 1 ) 和定理( 1 1 2 ) 为原型来考虑 的 我们考虑了这样的一类一超曲面：若m 是浸入到铲+ 1 中的一个w 超曲面，设 m 的两个不同的主曲率a 和p 满足p = a a + b ，a ，b 均为常数，且a 0 ，1 如果入和p 之间是二次函数的关系，上述结果又是否成立呢? 这个问题有待于进一 步研究对于更般的w 一超曲面，我们能否也得到一些积分不等式? 这也是一个有意 义的问题 我们在第三章对定理( 1 1 4 ) 也作了推广，假设p = 厂( a ) ，厂7 0 ，1 这正是我们想 要的结果，在这个的结果中，取p ：掣+ ( 1 一芸) 入，即可得定理( 1 1 4 ) 6 第二章s 几+ 1 ( 1 ) 中具有两个不同主曲率的w e i n g a r t e n 超曲面 在这一章中，我们着重研究酽+ 1 ( 1 ) 中的w 一超曲面，所证明的几个定理推广了文 献 1 1 和文献 1 6 】中的结论 2 1 预备知识 在本章中，研究的都是单位球面s n + 1 ( 1 ) 中的超曲面，以下将其简写为s n + 1 设m 是浸入到s n - i - 1 中的超曲面，其平均曲率为日，类似于文献【1 1 中的方法，取uc m 上的一个局部单位正交标架场 e 1 ，e n ) ，对偶的余切标架场记为 u 1 ，u n ) ，u 订 是上的光滑1 形式，唯一地由下面的方程决定 = u 巧八，u 巧+ 产0 j 我们约定指标：1 i ，歹，七冬n 第二基本型h = h i j w i u j 的长度的平方记为s = 弓，我们知道，h i j = h j i ， i ，j i , j 且日= 三n 莩k ，记v 忙z 幻，七h i j k w i 屿。删有 砒= d 一h t 七七一h 幻蛾七 ( 2 1 ) i ，j ，k 岛 k 其中h i j k 关于所有指标都是对称的 记圣= 忽一日j ，显然有r ( 圣) = 0 ，且2 = l h i 2 - n l g l 2 ，事实上，记圣巧= h i j 一日， 圣1 2 = ( 九j f 厂矾j ) 2 i , j = 危毛一2 n i l 2 + n h 2 i , j = i h i 2 一n h 2 ( 2 - 2 ) 7 ou e i 巧 = 0 u h 一 = 危 巧 = h e h 球面中与d es i t t e r 空间中的w e i n g a r t e n 超曲面 注意到，2 0 ，等号成立当且仅当在m 的脐点处，因而垂也称为m 的全脐张 量 1 1 2 2 主要定理 若m 是浸入到伊“中的一个一超曲面，在本节中，我们设m 的两个不同的主 曲率a 和p 满足p = o a + b ，a ，b 均为常数，且a 0 ，1 用文献 1 1 】和文献 1 6 中的类 似的方法，就得到本节的主要定理， 定理2 2 1 设m 是浸入到铲+ 1 中的一个紧致有向超曲面假定m 有两个不同的 主曲率a 和p ，重数分别为n 一1 和l ，c = s i g n ( a 一) ，h 是平均曲率，若p = a a + 6 ，a ，b 均为常数，且a 1 + 2 佗设垂= h 一日j ，助是a l e n c a r d oc a r m o 多项式，则 - ：f 昂( c ) = 玉等厶i v l n 1 2 。( 2 - 3 ) 等号成立当且仅当m 是一个日( r ) 一环面伊_ 1 ( r ) s 1 ( _ ) 定理2 2 2 设m 是浸入到铲+ 1 中的一个紧致有向超曲面假定m 有两个不同的 主曲率a 和p ，重数分别为礼一m 和m ，1 m 佗，c = s i g n ( ) _ 一p ) ，h 是平均曲率， 若p = a a4 - b ，a ，6 均为常数，且a 0 ，1 其中昂，m ( z ) 为( 1 3 ) 式则有 厶2 昂删圣i ) = ( a _ ( a 芒a 挚。( 一1 ) 2m 芒a 挚。( 一1 ) 2 厶 2v l n a 2 2 l v l n 面1 2 0 ( 2 - 4 ) 等号成立当且仅当m 等距于超曲面s 铲m ( 7 ) s m ( 、1 一r 2 ) 定理2 2 3 设m 是浸入到s 卅1 中的一个紧致有s j 超曲面假定m 有两个不同的 主曲率a 和p ，重数分别为n m 和m ，1 m 佗，c = s i g n ( a p ) ，h 是平均曲率，若 肛= a a + b ，a ，b 均为常数，且n 0 ，1 且a 14 - 饰其中昂，m ( z ) 为( 1 - 3 ) 式则有 f up n 删叫= 寄厶i v 觚1 2 =等厶ivln面120(2-5)a( 一1 ) 2m | 川 8 第二章酽+ 1 ( 1 ) 中具有两个不同主曲率的w e i n g a r t e n 超曲面 等号成立当且仅当m 等距于超曲面一仇r ) s ( 扩_ ) 本节中记( 2 3 ) 式为第一类积分不等式，记( 2 4 ) 式与( 2 5 ) 式为第二类积分不等式 2 3 第一类积分不等式的证明 这- - i j , 节我们主要证明定理( 2 2 1 ) ，在此之前，我们先介绍几个重要的引理 引理2 3 1 1 0 】设m 是浸入到( n + 1 ) 一维的有常曲率的黎曼流形丽中的一个超曲 面，若m 的每个主曲率的重数都是常的，则与每个主曲率相应的主方向空间的分布都是 完全可积的特别地，若其中某个主曲率的重数是大于1 的，则这个主曲率在与其相应 的主方向空间的分布的每个积分子流形上都是常的 引理2 3 2 设m 是单位球面s 卅1 中的紧致有向超曲面，且有两个不同的主曲率入 和p ，其重数分别为n m 和m ，1 m n 一1 ，若a 和肛之间满足关系式肛= ，( a ) ， f 7 0 ，1 则m 等距于s “一m ( 7 ) xs m ( 1 一r 2 ) 文献【1 1 】中介绍了无迹的第二基本型中= h 一日j ，且利用a l e n c a r 和d ec a r m o 的 结果计算出一个与中有关的s i m o n s 公式 去i 西1 2 = 1 w 1 2 + l 圣1 2 ( n ( 1 + h 2 ) 一i 中1 2 ) + n h t r ( 西3 ) ( 2 - 6 ) 在下面的引理中，我们将计算l n 的l a p l a c i a n 这个计算过程中要用到a l e n c a r d o c a r m o 多项式( 1 1 ) 式，且该引理是文献【1 1 中一个推广的结果 引理2 3 3 设m 是单位球面伊“中的紧致有向的浸入超曲面，且有两个不同的主 曲率入和肛，其重数分别为n 一1 和1 ，若a 和肛之间满足关系式p = ，( 入) ，f 7 0 ，1 则 有 1 n 2 赤( i v 中1 2 2 1 v l 中1 1 2 ) 一昂( c 眦 其中c = s i g n ( a p ) = 4 - 1 类似于文献 1 l 】中的证明，我们有下面的结论： 引理2 3 4 设m 是单位球面伊+ 1 中的紧致有向的浸入超曲面，且有两个不同的主 曲率a 和p ，其重数分别为n 1 和1 ，n 3 ，若a 和p 之间满足关系式“= a a + b 其 9 球面中与d es i t t e r 空间中的w e i n g a r t e n 超曲面 中a ，b 都是常数并且a 0 ，1 ，则 i v 卵= 臀i v i i 证明：取局部单位正交标架 e i ，1 i n ，使得 h e 口= a e 口，1 a 几一1 ；h e n = 肛e n 取a = a h ，万= “一日，则a 和万分别是圣的两个不同的特征根，重数分别为 佗一1 和1 事实上， 垂e n = ( h h i ) e d = h e 口一h e n = ( a h ) e 口= a e n ，1 a n 一1 ； m e 他= ( h h i ) e n = 危e n 一日e n = ( p h ) e n = 面e n 且有( n 一1 ) 入+ 面= ( n 一1 ) ( a 一日) + p h = ( 佗一1 ) a + p 一礼日= 0 由此可得 面= 一n 一1 ) a (2-7n1 ) a 2 - 7 )p = 一 一 () 又n 日= ( n 一1 ) a + p ，有n v h = ( n - 1 ) v a + v # = ( n - 1 ) v a + a v a = ( n + a 一1 ) v a ， 进而有 一方面 v h ：! 竺二! v 入 仡 i 西1 2 = 打( 圣2 ) = ( 佗1 ) x2 + 芦2 = ( 几一1 ) a2 + ( ( 仡一1 ) x ) 2 今2 i 中i v f 圣l = 2 n ( n 一1 ) 天v 天 号i 西1 2 i v l 西1 1 2 = 死2 ( n 一1 ) 2 艾2 i v x l 2 j i v l 适 1 1 2 = n ( n 一1 ) i v x l 2 净i v l 圣1 1 2 刮扎- 1 ) i 塑v 入j 2 = 生半型i v 舻i inn ( 2 - 8 ) 第二章铲+ 1 ( 1 ) 中具有两个不同主曲率的w e i n g a r t e n 超曲面 最终可得 w 1 2 = 佗 ( 礼一1 ) ( o 一1 ) 2 另一方面，由西巧= h i j h ( 5 i j 可得 进一步计算出 进而有 v 中1 2 d 西巧= d h i j 号m 巧七= 危巧七 礼+ a 一1 n + a 一1 v 1 2 如d a 如d a ( e k ) ( d i j k = 0 ，i j ，i k ，j 七； 圣n n 。= 西。n = h 。n 仃= d a ( e n ) ； 垂口o n：f ，1 一 n + a 一1 1d a ( e n ) ； 圣o n n = 圣n n n = 西n n n = 0 ； ( 卫n n n 州一等岩d a ( ：竺土枞( e n ) 一。_ - 。_ _ 。- 。_ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ 。_ 。_ _ 。_ _ _ _ _ _ _ 。一 佗 ：坠掣d a ( e 几) 佗 几一1 弓南= ( 中：口n + 2 西：几n ) + 西：肌 i j k a - - 1 = ( ( n _ 1 ) ( ( 睾) 2 + 2 ) + ( 半) 2 ) i v 砰 ：! ! 二! 迎二! ! ! 掣鱼二! 兰坠翌i v 入l z ：= 一i v l 礼 ( n 一1 ) ( n ( n 一1 ) 2 + 2 n 2 ) v 垂1 2 = w 1 2 ( 几一1 ) ( ( n 一1 ) 2 + 2 n )w 1 2 ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) 1 1 球面中与d es i t t e r 空间中的w e i n g a r t e n 超曲面 由( 2 - 9 ) 式和( 2 一1 0 ) 式即可得 v m i z ：! 兰二! 迎二1 2 ：型 n = 辔a1 i v ( 一 ) 2 。 ( n 一1 ) ( n 一1 ) 2 v i 得让 利用引理( 2 3 3 ) 和引理( 2 3 4 ) 的结果，就6 - 玮( c ) = 等i v 1 n | 西 2 - al n ， 又m 是紧致的，厶al n = 0 从而 厶昂( c ) = 玉等厶i v n 1 2 由定理( 2 2 1 ) 的条件a 1 + 佤，有 等 。 等号成立当且仅当m 是一个日( r ) 一环面s 肛1r ) s 1 ( 曰) 从而有 厶功( c ) = i 等厶i v n 1 2 。 定理( 2 2 1 ) 得证 2 4 第二类积分不等式的证明 我们先给出定理( 2 2 2 ) 的详细证明，其中要用到s i m o n s 公式( 2 8 ) 式在本节中我 们规定 1 a ，b ，c n m ；n m + 1sq ，p ，y n 同引理( 2 3 4 ) 中坐标的取法，取m 的局部单位正交标架 e i ，1 is 礼，使得 1 2 九e i = 入i e ，1 i n 第二章s ”+ 1 ( 1 ) 中具有两个不同主曲率的w e i n g a r t e n 超曲面 由已知m 有两个不同的主曲率，重数分别为佗m 和m ，1 m 佗一1 ，记 从而有 a 。= a ，1 a n m ； a q = 肛，礼一m + 1 a 7 1 , e 口d a = v t p m i p m ，h v = a u ) ； e q d p = v t p m i p m ，h v = p u ) 记入= a h ，面= 肛一h ，则入和面分别是圣的两个不同的特征根，重数分别为 n m 和m 且( n m ) a + m 面= 0 进而有 首先证明 “2 一 礼一m 天，矿一( nz m ，) 2 - 天2 ，芦3 ：一掣天。 ”l m 。 t r ( 西3 ) = 其中c = s i g n ( a 一肛) = 4 - 1 由( 2 - 2 ) 式， 虫1 3 中1 2 = 毛一2 n i l 2 + n h 2 i , j = ( 礼一m ) 入2 + m p 2 2 ( ( n m ) a + m t t ) h + n h 2 = ( n m ) ( 入2 2 a h + h 2 ) 一( 佗一m ) h 2 + n h 2 + m p 2 2 m # + 1 = n m ) ( a 一日) 2 + m ( 肛一日) 2 = ( n m ) 爻2 + m 矿 = ? 2 - - 蜥2 + m 与艾2 n ( n m ) _ 2 = 一 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 由( 礼一m ) a + m 声= 0 可得m ( a 一声) = 竹a ，从而有礼入= m ( a p ) ，故s i g n ( a ) = s i g n ( a p ) = c ，因此 a = c 1 3 端 一 球面中与d es i t t e r 空间中的w e i n g a r t e n 超曲面 接下来就可得到( 2 1 2 ) 式 r ( 圣3 )：( n m ) 艾s + m 面s ：( 几一m ) 3 一鱼型艾s , m 3 = = n - m ) ( 1 型m 2 ) 艾3 ：一 扎( n m ) ( n 一2 m ) c m c ( n 一2 m ) ：= = 一一 m c ( n 一2 m ) n m ( 礼一2 m ) 。 第二步要证明下面一个引理： 中1 3 坐二咝! 型天3 m 2 3 引理2 4 1 设m 是单位球面s 1 中的紧致有向的浸入超曲面，且有两个不同的主 曲率a 和p ，其重数分别为n m 和m ，1 m n 一1 ，若a 和p 之间满足关系式 肛= 口入+ b ，其中a ，b 都是常数并且a 0 ，1 ，则 i v 西1 2 = 垒等l 西1 2 i v1 n 爻1 2 = 垒等i 圣| 2 i v l n 面| 2 其中圣= h 一日，入= a h ，面= 肛一日 证明：若1 m n 一1 ，由引理( 2 3 2 ) ，a 和p 都是常数，从而日是常数，有 i v i n 入i = i v l n f i i = 0 1 4 u 萨d 一h i 南k 一h 知j ( o m 有 kk h i j k = a i j e k ( 入i ) + ( 一a t ) t ( e 凫) 若a 和p 均为常数，经过简单的计算即可知九弓知= 0 i , j ，k 而 枞= d 西臼一哦七七一虫k j c a 2 i 七 i , j ，k kk = d h i j - ( 坠等竽唑) 一( 一蹶，) 一屿七( 玩七一日艮) 七 = 愚谢u 七一( i , j ，七 n + f a 一1 ) m ) 趴 第二章s ”1 ( 1 ) 中具有两个不同主曲率的w e i n g a r t e n 超曲面 从而也有西弓南= 0 ，即有l v 西1 2 = 0 i , j ，k 下面我们考虑入和p 有一个的重数是单的情况，不妨假设m = 1 ，即p 的重数是单 根据( 2 1 0 ) 式及已知条件肛= o 入+ b ，我们有 接下来我们可以得到 和 由第一步有 进一步又有 于是 v 亚2 生娑型 v x l 2 = l v ( 入一日) 1 2 = l v ( a = l ( 1 一 导 ：生# i w l 2 n 2 ) v 入1 2 v p l 2 ( n 一1 ) 入- t - 扒1 2 v 砰卸_ 1 ) i v 砰：生攀型i v 耶 v 肛1 2 m 1 2 = n ( n 一1 ) 爻2 = 高矿 v 心降雨1l v 砰= 譬譬 v 入i ( a 一1 ) 2 礼( n 一1 ) 2 v a l 2 (