（理论物理专业论文）非对易空间物理系统若干问题的研究.pdf

摘要 摘要 非对易空间中的量子力学理论与通常量子力学有许多的不同之处。因此处 理非对易空间的量子力学问题也需要一些新的方法和技巧本文主要从两方面 来探讨非对易空间的量子力学问题：第一部分是讨论如何将变形量子化方法推 广到非对易空间我们分别考察了只有空间部分非对易以及空间和动量都非对 易的相空间中的变形量子化的表达形式，对于一般的哈密顿系统和非哈密顿系 统，我们都得到了相应的术一本征方程和w i g n e r 函数的表达式，并且讨论了不同 方法的等价性和区别然后我们将变形量子化方法应用到非对易空间的具体物 理模型上，首先我们考虑了非对易平面上的耦合谐振子，通过计算得到了相应 的能谱和w i g n e r 函数，并且得到了关于一类特殊哈密顿量的变形量子化的公 式然后我们还考察了非对易空间的阻尼系统和b a t e m a n 系统这些典型的非哈 密顿系统，也求解得到了系统的能谱和广义的w i g n e r 函数第二部分我们主要 介绍了非对易空间中的几种量子表象的构建以及表象的性质和应用首先我们 基于广义非对易相空间的坐标的对易关系构造了一类变形产生湮灭算符，这类 算符之间满足变形玻色代数关系，基于这些算符和变形玻色代数，我们构造了非 对易的相干态和压缩态，通过计算发现这些态是归一的但不是正交的，而且是超 完备的，因此可以构成相干态表象和压缩态表象我们进一步还得到了这两组 态之间的变换关系然后我们分析了单模和双模正交算符在这些表象上的海森 堡不确定关系，通过分析我们发现海森堡不确定关系可以给出空间非对易参数 和普朗克常数之间的一个限制关系另外我们还构造了非对易相空间的纠缠态 表象，并且计算了非对易空间坐标算符在纠缠态表象上的矩阵元我们计算了 纠缠态的w i g n e r 算符的表达式最后我们通过二维非对易平面上的耦合谐振子 演示了我们所构建的纠缠态表象的应用 关键词：非对易空间变形量子化量子力学表象 a b s t r ac t t h et h e o r yo fq u a n t u mm e c h a n i c si nn o n c o m m u t a t i v e s p a c eh a ss o m ed i f f e r e n c e s w i t ht h a to fn o r m a lq u a n t u m m e c h a n i c s ，s ot h e r ea r es o m en e wm e t h o d sa 1 1 dt e c h i l o l o g i n st od e a lw i t ht h eq u a n t u mm e c h a n i c sp r o b l e m si nn o n c o m m u t a t i v es p a c e i nt h i s t h e s i sw ed i s c u s st h eq u a n t u mm e c h a n i c sp r o b l e m si nn o n c o m m u t a t i v es p a c ei nt w o w a y s - f i r s tw ed i s c u s sh o wt oe x t e n dt h ed e f o r m a t i o nq u a n t i z a t i o nm e t h o d so ft h e n o r m a ls p a c et ot h a to ft h en o n c o m m u t a t i v es p a c e r e s p e c t i v e l y , w ei n v e s t i g a t et h e c a s eo f o n l yt h es p a t i a lc o o r d i n a t e s i sn o n c o m m u t a t i v ea n da l s ot h a to f b o t h s p a t i a la n d m o m e n t u l nc o o r d i n a t e sa r en o n c o m m u t a t i v e w ed e r i v et h ee x p r e s s i o n so f t h ec o r r e s p o n d i n g 幸- g e n v a l u ee q u a t i o n sa n dw i g n e rf u n c t i o n so fb o t ht h eh a m i l t o n i a ns y s t e m s a n dn o n 。h a m i l t o n i a ns y s t e m s ，a n dd i s c u s s t h ee q u i v a l e n c ea n dd i f f e r e n c e sb e t w e e n d i f - f e r e n tm e t h o d s t h e nw e a p p l yt h ed e f o r m a t i o nq u a n t i z a t i o nm e t h o dt os o m ep h y s i c a l m o d e l si nn o n c o m m u t a t i v e s p a c e f i r s tw ei n v e s t i g a t et h ec o u p l e dh a r m o n i co s c i l l a t o y s o nn o n c o m m u t a t i v e p l a n e ，a n dc a l c u l a t et h ec o r r e s p o n d i n ge n e r g ys p e c t r aa n d w i g n e r f u n c t i o n ，a n dd e r i v eaf o r m u l af o rac l a s so fh a m i l t o n i a nw i t hs p e c i a lf o r mi nd e f o r - m a t l o nq u a n t i z a t i o n w ea l s oi n v e s t i g a t es o m et y p i c a ln o n h a m i l t o n i a ns y s t e m s s u c h a st h ed a m p e ds y s t e m sa n db a t e m a n s y s t e mi nn o n c o m m u t a t i v es p a c e a n do b t a i nt h e e n e r g ys p e c t r aa n dg e n e r a l i z e dw i g n e rf u n c t i o no ft h e s es y s t e m s i nt h es e c o n dp a r t o ft h et h e s i sw ed i s c u s st h ec o n s t r u c t i o no fs o m eq u a n t u m r e p r e s e n t a t i o n si nn o n c 咄 m u t a t i v es p a c ea n dt h ep r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n so ft h e s er e p r e s e n t a t i o n s f i r s t l y , b a s e do nt h ec o m m u t a u o nr e l a t i o n so ft h ec o o r d i n a t e so f g e n e r a l i z e dn o n c o m m u t a t i v e p n a s es p a c ew ec o n s t r u c tat y p eo fd e f o r m e dc r e a t i o na n da n n i h i l a t i o no p e r a t o r s a n d t h e s eo p e r a t o r ss a t i s f yt h ed e f o r m e d b o s o na l g e b r a i cr e l a t i o n s b a s e do nt h e s eo p e r a t o r s a n dt h ed e f o r m e db o s o n a l g e b r a ，w ec o n s t r u c tt h en o n c o m m u t a t i v ec o h e r e n ts t a t e sa n d s q u e e z e ds t a t e s ，a n da f t e rs o m ec a l c u l a t i o n sw ef i n dt h a tt h e s es t a t e sa r en o 肌a l i z e db u t n o to r t h o g o n a lt oe a c ho t h e r , a n d b e s i d e s ，t h e ya r eo v e r - c o m p l e t e s ow ec a nc o n s 仃u c t t n ec o h e r e n tr e p r e s e n t a t i o na n ds q u e e z e dr e p r e s e n t a t i o n f u r t h e n n o r e w ed e i 如e 也e i i i a b s t r a c t t r a n s f o r m a t i o nr e l a t i o n sb e t w e e nt h e s er e p r e s e n t a t i o n s w ei n v e s t i g a t et h eh e i s e n b e r g u n c e r t a i n t yr e l a t i o n so ft h eo n e a n dt w o m o d eq u a d r a t u r eo p e r a t o r s ，a n dw ef i n dt h a t t h eh e i s e n b e r gu n c e r t a i n t yr e l a t i o nc a ng i v ear e s t r i c t e dr e l a t i o nb e t w e e nt h ep a r a m e t e r so ft h en o n c o m m u t a t i v i t yo ft h es p a c ea n dt h ep l a n c kc o n s t a n t w ea l s oc o n s t r u c t t h ee n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o n sf o rt h en o n c o m m u t a t i v ep h a s es p a c e ，a n dc a l c u l a t e t h em a t r i xe l e m e n t so f t h ec o o r d i n a t eo p e r a t o r so f n o n c o m m u t a t i v es p a c eo ne n t a n g l e d s t a t er e p r e s e n t a t i o n s w ea l s oo b t a i nt h ee x p r e s s i o no ft h ew i g n e ro p e r a t o ro ne n t a n g l e ds t a t e f i n a l l yw es h o ws o m ea p p l i c a t i o n so f t h ee n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o nb y t h ec o u p l e dh a r m o n i co s c i l l a t o r so n2 dn o n c o m m u t a t i v ep l a n e k e yw o r d s ：n o n c o m m u t a t i v es p a c e ，d e f o r m a t i o nq u a n t i z a t i o n ，q u a n t u mr e p r e s e n - t a t i o n i v 符号说明 x i ，p i x i ，p i 22 x i ，p i ，x i ，p i x ，p a ，a 木，宰壳 木p ，】。，【，】 符号说明 非对易相空间中的位置和动量 对易相空间中的位置和动量 坐标相应的算符 位置和动量的矢量形式 m 。y a l 乘积，e x p 障hi z u - - 再c ，a 一瓦墨) 1 黜堕墨：。一瓦。训 非对易空间中的m o y a l 乘积，车疗叼或者木矗木 v i i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特另, l m 以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：之麟 签字日期：2 型翌：里互：隧 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 妲仫开 口保密( 年) 作者签名：键坐查 签字日期：圣! ! 翌：里墨：丝 导师签名： 牡 签字日期：鱼! ! ! ! ! 乡 第1 章引言 第1 章引言 近年来，由于非对易几何以及弦论，圈量子引力等数学物理领域的发展，非 对易空间逐渐受到人们的重视非对易空间的概念最早是海森堡1 9 3 0 年提出 的，他认为时空坐标在非常小的尺度下可能有非对易性，这样就相当于在量子场 论中引入一个有效的紫外截断1 9 4 7 年s n y d e r 在他的文章中明确的构造了这样 的非对易时空【1 】 紧接着杨振宁把s n y d e r 的想法推广到弯曲时空情形 2 】当时 人们考虑非对易时空的动机主要是为了消除量子电动力学中的发散问题，然而 由于后来的重正化理论的发展和成功，非对易时空的想法在很长一段时间内并 未引起人们的足够重视 8 0 年代初法国数学家c o n n e s 等人构建了非对易几何的数学体系【3 1 ，并且此 后c o n n e s ，c h a m s e d d i n e 等人一直尝试将非对易几何应用到物理中，甚至统一引 力和标准模型1 4 - - 1 6 1 ，虽然目前并没有实现物理上革命性的突破，但是也取得了很 多令人感兴趣的结果，他们的研究还在继续 w i t t e n 在1 9 8 6 年就把非对易几何引入弦论的研究【1 7 】，1 9 9 9 年s e i b e r g 和 w i a e n 发现在某些低能极限下。弦论可以等价为非对易空间+ 中的某种形式的 有效场论【1 8 】在其他的量子引力理论中人们也发现时空非对易性是可能存在 的 1 9 - - 2 5 通常人们认为当空问尺度接近p l a n c k 长度的时候，空间的性质将会有 所变化，也许不再是经典的平滑空间，也许是类似非对易空间这样有丰富特性的 空间因为这些方面的进展，非对易空间也逐渐受到人们的关注，人们已经开 始从不同的分支深入探讨非对易空间对物理的影响，如量子力学，高能物理，引 力，凝聚态等等，并且得到了一些新的发现 2 6 - 7 2 通常人们考虑的最简单的非对易空间就是定义： 除，岛】= i o i j ， ( 1 1 ) 可以看出空间的非对易性是破坏l o r e n t z 对称性的，非对易空间理论是非定域的 理论根据海森堡不确定关系，我们可以得到a x i a 戈j 0 0 2 ，这表明空间分量 之间的一个不确定性，因此在非对易空间中已经不存在严格的“点”的概念这 种不确定性可以近似等价于空间存在某种最小的尺度，因此在非对易空间中我 第1 章引言 们可以避免通常平滑空间中极小尺度上的发散当然空间的非对易性并不完全 等同于最小尺度，它还包含了非定域性等其他负责的信息，因此人们发现非对易 空间的量子场论依然存在发散的问题，如u v f l r 混合 7 3 1 除了( 1 1 ) 这种最简单的情形，还有算符形式的：嗡，j 1 = f 反，李代数形式 的：协，量1 = i c 鼻氟，还有其他变形或者简化形式通常人们只考虑空间部分是 非对易的，因为如果引入时间分量和空间分量的非对易性将会破坏因果律，从而 破坏幺正性，这是我们不希望得到的不过也有人研究时间和空间分量非对易 的情形，如k - m i n k o w s k i 空间【7 4 _ 7 8 1 在相空间中，最初人们只考虑空间部分是非 对易的，但是从对称性等方面考虑，引入动量分量的非对易性是很自然的，所以 也有不少人进行这方面的研究【7 9 8 0 1 在非对易场论中，人们通常是将场之间的普通乘积改为所谓的m o y a l 乘 积【3 0 1 ，o ( x ) o ( x ) 一缈( 工) 幸砂( 工) ，其中的m o y a l 乘积定义为幸三e x p i i 瓦伊v a ：l ，当 然也有人考虑其他的方式在量子场论中引入空间非对易性 s i l ，但是到目前为 止还没有一种令所有人都接受的非对易量子场论形式虽然空间非对易性的引 入给量子场论带来很多新的物理现象，但是也因为空间的非对易性，非对易场 论还有很多新的问题仍然没有很好解决，比如u v i r 混合，洛仑兹对称性的破 缺，定域性和因果关系的破坏等等，这些都对非对易场论的基础有着至关重要的 影响，人们对这些问题也没有形成统一的观点 空间的非对易性的引入也给量子力学带来了很多新的现象通常研究非对 易相空间的量子力学问题，最常用的方法就是使用相空间中的b o p p 位移( 有 时也称为s e i b e r g w i t t e n 映射) ：殳l = x l 一轰声2 ，奶= 是+ 蠡多l ，将非对易空间 物理系统的哈密顿量变换到对易空间的对应形式，然后从这个对应的哈密顿量 求解物理问题当然我们也可以直接在非对易空间中求解物理问题当只有空 间部分非对易时，通过将普通的乘积变换为非对易的m o y a l 乘积，我们仍然可 以定义非对易空间的薛定谔方程，求解得到系统的能谱和相应的波函数，进一 步得到w i g n e r 函数等但是当动量分量也是非对易的情形，我们将无法通过 w e y l m o y a l 对应来写出广义非对易空间的薛定谔方程，因此我们也就无法得到 相应的波函数，从而也就不能通过波函数来求出相应的w i g n e r 函数了但是这 种情况下，变形量子化方法仍然适用，而且将其从普通空间形式推广到非对易空 间形式是很容易的，因此在研究非对易空间物理系统时，变形量子化有其特别的 2 第1 章引言 优势 变形量子化也称为w e y l 量子化或者相空间量子化，是独立于正则量子化和 路径积分方法的另一种描述量子力学的理论变形量子化方法将正则量子化中 的厄米算符可逆的对应为经典相空间中的分布函数在变形量子化中，相空间 中的函数通过w e y l 变换变为希尔伯特空间中的算符【8 2 】，而希尔伯特空间的算 符通过w i g n e r 映射变换到相空间中的函数 8 3 - 8 5 ，如将密度矩阵变换为所谓的 w i g n e r 准分布函数利用变形量子化方法，我们可以直接的求出物理系统的能 谱和w i g n e r 函数，而不需要借助薛定谔方程，因此可以很方便的应用到非对易 空间中由于海森堡不确定关系，相空间中并没有严格意义上的点概率，因此 w i g n e r 函数并不是通常的分布函数，而只能称为准分布函数w i g n e r 函数在统 计力学，量子化学，量子光学，经典光学以及信号分析等相当广泛的领域有着很 重要的作用 8 6 - 9 2 1 从量子力学我们知道，当两个算符之间是对易时，它们就有一组共同本征 态而在非对易空间中，由于空间的非对易性，不同的位置( 动量) 分量算符将不 再相互对易，因此也就没有共同本征态，这样也就没有通常量子力学中的位置表 象或者动量表象，因此为了描述和求解非对易空间中的量子力学问题，我们有必 要构造一些新的适用于非对易空间的量子表象 相干态表象，压缩态表象，纠缠态表象等在普通量子力学中发挥了很重要的 作用，比如在量子光学，量子计算和量子信息，凝聚态等领域 9 3 - 1 0 3 】，因此这些 表象在非对易量子力学中也将有很多的应用 3 第2 章非对易空间的变形量子化 第2 章非对易空间的变形量子化 2 1 变形量子化介绍 通常研究量子力学有三种途径：一是d i r a c 和y o nn e u m a n n 等人发展起来 的算符形式 1 0 4 ，1 0 5 ，就是将物理上的观测量对应为希尔伯特空间中的算符；一 个是f e y n m a n 建立的路径积分方法 1 0 6 1 ，这个在量子场论中起着很关键的作用； 还有就是相空间中的变形量子化 变形量子化的思想最早可以追溯到1 9 3 0 年前后w e y l ，w i g n e r 等人的 工作1 9 2 7 年w e y l 引入了相空间内核函数与w e y l 编序算符之间的对应关 系 8 2 1 ，1 9 3 2 年w i g n e r 在研究量子力学和经典统计力学的联系时提出了相空间 分布函数的概念i s 3 ，1 9 4 6 年g r o e n e w o l d 通过密度矩阵的相空间内核函数得到 了w i g n e r 函数，并且系统的研究了w e y l 编序算符的乘积及其对应的相空间内 核函数之间的对应关系【8 4 1 1 9 4 9 年m o y a l 建立了相空间的量子力学体系【8 5 1 ，他 系统的研究了w e y l 编序算符的期望值，并且将其动量生成函数的傅立叶变换对 应为w i g n e r 函数，然后还讨论了w i g n e r 分布函数的负几率问题另外他还通过 将泊松括号对应为m o y a l 括号得到了w i g n e r 函数的时间演化方程，这就为经典 力学对应到量子力学提供了一条途径f a i r l i e 在1 9 6 4 年研究了m o y a l 演化方程 的不合时对应，并且引入了乖_ 乘积，得到了w i g n e r 函数的正交关系1 1 0 7 1 9 7 8 年b a y e n 等人系统的叙述了变形量子化的理论体系 1 0 s ，1 0 9 ，并且给出一般量子 力学问题的变形量子化方法的证明，这标志着变形量子化完整理论体系的建 立此后1 9 9 8 年c u r t r i g h t 等人证明了幸一本征方程和通常薛定谔方程的等价 性 1 1 0 1 ，因此我们可以完全脱离通常的希尔伯特空间体系来研究量子力学问题 下面我们简单的介绍一下变形量子化的主要内容，数学上并不要求很严格 2 1 1变形量子化基础 在经典力学中，根据刘维尔定理，力学量f 随时间演化满足方程： 誓川n l ， ( 2 1 ) 4 第2 章非对易空间的变形量子化 其中泊松括号 g ，= 鬈老一褰荔， c 2 固 这里我们用了e i n s t e i n 求和约定，h 为系统的哈密顿量根据对应原理，我们把 泊松括号变为m o y a l 括号： 只h l 一圭 e 4 。， ( 2 3 ) l ，z 其中眈g l 淳f 木g g 宰f ，m o y a l 木_ 乘积的定义为 m = f e x p 互轧( 一a x a p 一帮她 ( 2 4 ) 我们就可以得到变形量子化中相应的演化方程， 警= 1 。凡i f , 1 - 1 1 。，即面d f = 半 ( 2 5 ) 从公式( 2 3 ) 我们可以看到，当普朗克常数疙_ 0 ，我们可以直接从量子力学过 渡到经典力学 在通常量子力学中，我们定义一个演化算符： d ( r ) 兰e x p ( 去由) = 1 + t i 7 l q + 西1 【磊t ) 2 矗2 + ， ( 2 6 ) 而算符p ( t ) 可以表达为： 户( f ) = d - 1 ( f ) 户( o ) d ( r ) ，( 2 7 ) 其中p ( o ) 为初始时刻户( f ) 的值类似的，在变形量子化中我们也可以定义所谓 的e x p 函数， e x p ( r ) - - - e x p ( 轰见) = 1 + l 访_ + 孬1 【鬲t ) 2 日宰日+ ， ( 2 8 ) 我们直接可以得到 访岳e x p ( f ) = 日木e x p ( r ) = e x p ( t ) 木日， ( 2 9 ) 这就是变形量子化中时间演化函数e x p ( t ) 所满足的方程，这个和普通量子力学 中的演化算符满足的方程是相似的 5 第2 章非对易空间的变形量子化 并且 同样的，相空间函数的演化可以表示为 f ( t ) = e x p 。1 ( f ) 车f ( o ) 术e x p ( t ) ，( 2 1 0 ) e x p 。1 ( 危，t ) = e x p ( - h ，f ) ，f g = g * - hf ，( 2 1 1 ) 我们可以直接的检验公式( 2 5 ) 根据f o u r i e r - d i r i c h l e t 展开【l l 1 1 e x p ( f ) = w n e - i e n t 胪， ( 2 1 2 ) 其中b 为日的能级，为能级晶所对应的密度分布函数，即w i g n e r 函数将 上式代入公式( 2 9 ) 中，我们有 日宰眠= e ：= 幸h ， ( 2 1 3 ) 这就是变形量子化中的卜本征方程，相当于正则量子化中的定态薛定谔方程 哈密顿量日的谱分解可以写为： 因为 日= y 邑 ( 2 1 4 ) 一 日木眠宰眠= w m 丰日丰眠= e m 矾。卓= e n w m 木，( 2 1 5 ) 所以我们得到w i g n e r 函数的正交关系： 聿= 靠。w j 2 1 2 幸一乘积的性质 m o y a l , 一乘积( 2 4 ) 可以展开为 h = 虱e - 扩等( 聊鳓) 6 ( 2 1 6 ) 第2 章非对易空间的变形量子化 其中系数g 满足 1 1 2 】 = ( i t i ) 厅g g ) ， 肌n = o ( 2 1 7 ) c o ( f , g ) = f g ， c 1 ( 工g ) 一c l ( g ，f ) = g ， c j ( g ( f , g ) ，| 1 ) = c j ( l g ( g ， ) ) ( 2 1 8 ) j + k = nj + k = n 宰一乘积是满足结合律的， f 木g 木h = ( f 木g ) 木h = f 宰( g 宰h ) ， ( 2 1 9 ) 但是很明显木一乘积不满足交换律而且木- 乘积是满足厄米性的，万巧= 虿木7 ，其 中7 表示，的复共轭 根据位移公式p 以，( 工) = f ( x + 口) ，我们可以写出 m p ) 州h 卜争p p - 笋枷， ( 2 2 。) 另外木- 乘积也可以表示为积分形式， f ( x ，p ) 木g ( x ，p ) = 志，出t 以z 卸卸2 厂( 札p ) g 沁，p 2 ) e x p 【豪( x ( p 2 - - p x ) + 出一娩) + ( x 2 p x - x l p 2 ) ) ，( 2 2 1 ) 如果把相空间上的点表示为矢量 r 铋”驴一 亿2 2 ， 那么公式( 2 2 1 ) 也可以表示为 竹) 吲r ) = 丽1f d r l d r 2 m ) g ( r 2 ) e x p 睹 ，r 1 ，r 2 ) 】， ( 2 2 3 ) 其中 a ( r ，r 。，r 。) = 互1 ( r r t ) r - r 2 ) ， ( 2 2 4 ) 7 第2 章非对易空间的变形量子化 代表日勺是同量( r r 1 ) 和( r r 2 ) 所围成的回积 根据表达式( 2 2 1 ) 我们不难得到关于木一乘积满足的公式： f d x d p f ( 工，p ) 宰g ( 工，p ) = f d x d p f g = f d x d p g * ， ( 2 2 5 ) 可以证明相空间中的c - 数函数之间的杠乘积和希尔伯特空间的算符乘积是 完全同构的( 8 4 1 ， 户( 毫p ) 。( 置p ) = ：亭j r d ，7 鸳血印p ( 五p ) 宰g ( 工，p ) ) e x p ( 袱戈一工) + 孝( p - p ) ) ( 2 2 6 ) 除了m o y a l 乘积，我们还可以类似的定义其它形式的杠乘积不同的扣乘 积对应于不同的量子化方案，因此用不同的车_ 乘积计算得到的观测量对应的谱 是不同的比如m o y a l 奉一乘积对应于正则量子化中的w e y l 编序， 詹( 枷) = 两1j r 叻d f d x d p h ( 砌) e x p ( 姒殳叫+ 刊) ， ( 2 2 7 ) 直观的讲，w e y l 编序就是对应量和p 完全对称的排序，如【1 1 3 】 ，p mh 刍耋量7 矿妒= 刍薹c 未矿妒p 俨j ，c 2 2 8 ， 其中c 净耐 对于标准编序，就是把曼置于最左边，把p 置于最右边，同样有变换公式 讯p ) = 研1f d r l d , d x d ph ( ) e x p ( 忉( 雯一工) ) e x p ( 蘑( p p ) ) ，( 2 2 9 ) 相应的木一乘积的定义为 ，枣g = f e x p ( 硝即工g ， ( 2 3 0 ) 类似的对应于反标准编序的，一c _ 乘积为 f 木g = f e x p l 统a 工a pj g ， ( 2 3 1 ) ，一、 甚至我们还可以定义介于w e y l 编序和标准编序之间的广义木乘积： 幸= e x p 似y 蹴一6 飘) ) ( 2 3 2 ) 8 第2 章非对易空间的变形量子化 其中( y + 6 ) = 1 ，相应的对应变换公式为 郎= j r 却d , d x d p 砾e 七俨蝴刊) e 黼阳 ( 2 3 3 ) 我们可以证明 ，矿= i 。r a y ( 纠m 一宰( p ，- c ) “母( 工 ) i = 0 = 碟矿一7 6 i ( p 木) 州木( 川m 木( p 宰) ， ( 2 3 4 ) 而( x 车) 小= x m ，0 ：c ) n = p n ，因此 x p n = i 。m c x - 一木p n 木 i = 0 、_ 1 = c ：矿一。6 。p n 一1 宰x m 木p ， ( 2 3 5 ) 对应到希尔伯特空间算符形式我们有 x m p hhz i r a y f 州矿一= a 少一6 i p 州妒 ( 2 3 6 ) i = 0i = 0 我们可以通过调节参数y ，6 来调节编序的倾向当y = 6 = 石1 ，我们就得到w e y l 编序( 2 2 8 ) 显然，对应于不同编序的木一乘积( 2 4 ) ，( 2 3 0 ) ，( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 都满足 【x ，。纠。= i h ， ( 2 3 7 ) 相当于正则量子化中的对易关系 七，纠= i h ，显然相空间函数通过m o y a l 括号 生成的代数是同构于相应的希尔伯特空间算符的海森堡代数的 对于两个不同的宰一乘积木，木，如果存在可逆的过渡算符 1 丁= 1 + h t x + = 1 扩死， ( 2 3 8 ) n = o 其中l 是微分算符，使得 t ( f 木7g ) = ( 丁，) 幸( 丁g ) ， ( 2 3 9 ) 9 第2 章非对易空间的变形量子化 那么我们就称木_ 乘积木， 7 是c 一等价的事实上，流形r 2 n 上的所允许的星乘积 都是c _ 等价于m o y a l 乘积的例如，对于m o y a l 乘积和反标准宰一乘积 f * m g = f e x p 豫h i 4 - - - - - ) p 一印j ) g f * a sg = f o x p ( 访窈p g ，( 2 4 0 ) 我们有 t ( f * a sg ) = ( 丁，) 木m ( 殆) ， ( 2 4 1 ) 苴申 、- 丁= e x p ( 一争力p ) ， ( 2 - 4 2 ) 所以m o y a l 乘积和反标准木乘积是c _ 等价的，当然数学意义上的c - 等价并不表 示物理意义上的等价，因为w e y l 编序和( 反) 标准编序的物理意义是不相同的 2 1 3 木一本征方程和w i g n e r 函数 定义函数 m ，p ) = 芴1 厂卸e - i r l p m + 厕) g ( x - 6 h r i ) = f ( x ) ，c6 ( p ) 木g ( x ) ，( 2 4 3 ) 其中6 ( 工) = 1f d ye - i x y 就是狄拉克6 函数，函数，( 工) ，g ( 工) 满足 l i r a 厂扣) ( 工) ，g 加( 工) 0 ( 2 4 4 ) 工 根据公式( 2 2 0 ) 可以证明 n ( x ，p ) 木f ( x ，p ) = 由( 宕，p ) f ( x ，p ) = 芴1j r 却e 一咖( 肌) ( z + y 幻) g ( x - 6 h ，7 ) ， ( 2 - 4 5 ) 其中戈三g + 佃p ) ，户兰( p - 6 0 x ) ，力( 宝，p ) 为n ( x ，p ) 根据编序规则( 2 3 6 ) 的对 应算符形式类似的我们还可以得到 1 0 f ( 工，p ) 木日( z ，p ) = 万1 厂卸e - i r l p 厂( x + y 幻) ( 疗+ g ) ( x - 6 m r ) ( 2 4 6 ) 第2 章非对易空间的变形量子化 对于哈密顿量h ( x ，p ) ，假如我们在普通量子力学中有薛定谔方程 h ( x c ，p ) 儿( 工) = 砂打( x ) ，( 2 4 7 ) 那么我们在函数( 2 4 3 ) 中取f ( x ) = 帆( 工) ，g ( x ) = 蜕( 工) ，则我们有 凡( 工，p ) = j xf 却e - i q p ( x + y h r l ) 虻( z 一曲，7 ) ， ( 2 4 8 ) 当7 = 6 = 互1 时，这就是通常w i g n e r 函数的表达式 眠( 工，p ) = i ifd ，7 e 一咖儿( 工+ 和1 ) 虻( 工一和1 ) ( 2 4 9 ) 不难发现，眠( x ，p ) = w ：x ，p ) ，即w i g n e r 函数是实的函数根据公式( 2 4 5 ) 和 ( 2 4 6 ) 我们可以得到 h ( x ，p ) 木w jx ，p ) = e ，眠x ，p ) ， 眠x ，p ) 水h ( x ，p ) = e w jx ，p ) ， ( 2 5 0 ) 这就是变形量子化中的木一本征方程当然一般哈密顿系统中已是实数，所以 e = 邑，所以上面的结果和式子( 2 1 3 ) 是一致的对于非哈密顿系统，我们将 在后面章节中讨论 w i g n e r 函数也可以表示为 眠( 五p ) = 去j r 却e - f 卯( x + 互1 幻p b 一芝1 纫) ， ( 2 5 1 ) 其中p = i ) ( 以i 为密度算符 更进一步，我们还可以定义非对角的w i g n e r 函数， n ( x ，p ) = 磊1j f d r l e - i r l p 缈m ( 工+ 和1 ) 虻( 石一扣1 ) = “。x ) 木6 ( p ) 幸砂：( 工) = 陈x ，p ) ，( 2 5 2 ) 根据波函数的正交归一性，出蛾( z ) ( z ) = m n ，我们可以得到 fd x d p 眠。x ，p ) = 6 m n ， ( 2 5 3 ) 因此对角的w i g n e r 函数w ；x ，p ) 是归一的 第2 章非对易空间的变形量子化 类似于公式( 2 5 0 ) ，对于非对角的w i g n e r 函数我们有 h ( x ，p ) 水w m 丌( 工，p ) = 。( 工，p ) ， w m 尢( 工，p ) 0h ( x ，p ) = e ；, w m 九( 工，p ) ， ( 2 5 4 ) 利用我们得到( 2 1 6 ) 的方法，我们可以得到 w 矗幸w 玉= 6 b 。 ( 2 5 5 ) 由上式和( 2 2 5 ) ，( 2 5 3 ) 立即可得 d x d pw 6 略：以。6 h a ( 2 5 6 ) 由波函数砂n 的完备性我们还可以得到【1 1 4 】 ( 札p t ) 九( p 2 ) = 丽16 ( 矿x 2 ) 6 ( p 1 一p 2 ) ( 2 5 7 ) 利用上面的式子，我们可以把相空间中的任意函数f ( x ，p ) 展开为 m ，p ) = c m n 眠n ( x ，p ) ， ( 2 5 8 ) m n 其中系数c m n 为 c m n = ( 2 1 r h ) fd x d p 嘛x ，p ) f ( x ，p ) ( 2 5 9 ) j 另外由公式( 2 2 5 ) ，( 2 5 0 ) 和w i g n e r 函数的正交归一关系( 2 5 3 ) ，我们可以 得到 f d x d ph ( x ，p ) w m n ( x ，p ) = 既，( 2 6 0 ) 事实上我们可以按照上面的公式计算任何函数的期望值 fd x d p f ( x ，p ) ( x ，p ) = ( f ， ( 2 6 1 ) 这个和正则量子化中的形式( 砂n 1 月儿) 类似 对于丰- 本征方程( 2 5 0 ) 的直接证明，在以前的文献中( 如【1 1 0 】) 只是证明了 最简单情形的哈密顿量h ( x ，p ) = p 2 2 + y ( 工) ，并且其证明方法不能简单的推 广到一般的情形 1 2 第2 章非对易空间的变形量子化 对于最一般形式的哈密顿量 日( x ，p ) = x n p m ， 1 m 应用w e y l 对应( 2 2 8 ) ，我们可以得到相应的算符为 另一方面，我们利用海森堡对易关系可以得到如下公式 ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) 矿妒= l i f i n 荟( m , ( - f 酬篇旷2 ， 仁6 4 ， 将上面公式( 2 6 4 ) 代入( 2 6 3 ) 我们可以得到 疗c 量，p ，= 享；薹m i 芸n c i 壳，7 詈而石磊= = - 巧最暑篡一。p 川一f ，c 2 6 5 ， 更进一步可以写为 疗( 量，p ) = 1 1 ，m m i n ( m ，n ) 广f h m 厶 1 = 0毫掣2 面犏坩一( 2 舶)台 州f l ( m 一叭，l 一七) ! ( 七一班， r 7 利用公式：f 揣= 妒，我们可得 咖，：三r a i n 荟( m , 川一帝r 亿6 7 ， 现在我们直接求解方程( 2 5 0 ) ， n ( x ，p ) 木w ( x ，p ) = ( 2 6 8 ) = 去聊砷一i 工厂卜吲州( z + 孙卜和 = 去厂却n , m ( 工+ 瓠川工卜c 工+ 狮c x 一劬 2 芴1 卜咖( 喝一r 斟( z + 挑舷+ 拟”瓢 1 3 妒 p f 女” c h 脚 堕沙 一 = 砖 日 第2 章非对易空间的变形量子化 其中0 , 1 作用到其后面的所有玑而万工只作用到沙nx + 2 叩) 虻( 工一2 7 7 ) 中的 工现在我们需要调换( 一i 0 叶一f 扣x ) 和+ 2 ，7 ) 的位置考虑到对易关系 工+ 2 7 7 ，一i o r l - i 眵x 】= i h 2 ，类似公式( 2 6 4 ) ，我们可以得到 ( 一i a , 7 - i 耋 o 工) m ( 工+ 耋叩) n = = m 1 善n ( 一i 壳2 ) 。面_ i 蔫( z + 妻叩厂一7 ( - i o n - i 笔- o 工) m 一。c 2 6 9 ， 将上式代入到公式( 2 6 8 ) ，我们可得 去卜咖三嘶掣1 = 0 谢 似扩( 一赢叩一z 工一水+ 孙( x 一