（固体力学专业论文）基体开裂的复合材料对称层合板的粘弹性力学行为.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 复合材料是由两种或两种以上的材料经过物理方法组合而成，它通常是一种 多相非均质的各向异性材料。作为一种新型材料，它具有传统单一材料所不具备 的优越性能，在航天和航空领域上具有很好的应用前景。但是，随着复合材料应 用的不断增加，复合材料结构的损伤与失效越来越受到人们关注。从宏观现象损 伤破坏模式看，复合材料层合板的损伤类型可分为四种：基体开裂、纤维断裂、 纤维与基体界面脱胶开裂和分层。并且还依赖于诸多参数，如纤维、树脂的性能、 铺层顺序、固化过程、环境温度以及使用条件等。各种损伤都会或多或少地对复 合材料面内的力学性能产生不同程度的影响。 本文从理论上讨论了含有均匀基体裂纹的复合材料对称层合板的线性粘弹 性力学行为。采用二维剪切滞后模型并对其层间剪应力在厚度方向进行线性假设 分布，求得层合板的平均应力应变的线弹性解。在弹性一粘弹性对应原理和复合 材料等效约束模型( e q u i v a l e n tc o n s t r a i n tm o d e l ，e c m ) 的基础上本文对复合材 料层合板的粘弹性基体开裂进行了讨论和研究，并且考虑含有基体裂纹的复合材 料对称层合板的线性粘弹性力学行为与裂纹层铺层角之间的关系。最后讨论了在 交变载荷作用下材料参数与频率的关系。结果表明：含有基体裂纹的复合材料对 称层合板的材料参数随着裂纹密度和时间增大而减少；单位应变能释放率随着时 间和密度的增加有所降低，并且随着裂纹层铺层角的增加而增加；在交变载荷作 用下储能模量和储能剪切模量随着频率的增加而增加。通过对z o c h e r 的解析解 和有限元数值解作比较，其结果非常吻合。 关键词：等效约束模型：线粘弹性；基体裂纹；交变载荷；复模量 v 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t a san e wt y p eo fm a t e r i a l s ，c o m p o s i t eh a sa ne n c o u r a g i n gp r o s p e c to fp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s ，e s p e c i a l l yi na e r o n a u t i ca n da e r o s p a c ei n d u s t r i e sb e c a u s eo ft h ee x c e l l e n t m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s a n dl o w e r c o s to f m a n u f a c t u r i n g w i t hi n c r e a s i n g d e v e l o p m e n t so fc o m p o s i t em a t e r i a l s ，h o w e v e r , i ti ss h o w nt h a tt h e r ea r es o m el o c a l d a m a g e sa n df r a c t u r e s f r o mt h em a c r o s c o p i c a lp h e n o m e n o n ，t h ed a m a g em o d e si n c o m p o s i t el a m i n a t e sc a nb ed i v i d e di n t o f o u rk i n d s ：m a t r i xc r a c k i n g ，i n t e r f a c e d e b o n d i n g ，f i b e rb r e a k i n ga n dd e l a m i n a t i o n s m e a n w h i l e ，t h e yd e p e n do nt h e p a r a m e t e r ss u c ha sp r o p e r t i e so ff i b e ro rr e s i n ，l a y - u pc o n f i g u r a t i o n s ，s o l i d i f y i n g t e m p e r a t u r e ，e n v i r o n m e n t a lt e m p e r a t u r e ，w o r k i n gc o n d i t i o n s i ti sn od o u b tt h a ta l l d a m a g e sw i l lm o r eo rl e s sa f f e c ti n - p l a n em e c h a n i c a lp e r f o r m a n c e so fc o m p o s i t e m a t e r i a l s i nt h i sp a p e r ，t h el i n e a rv i s c o e l a s i cb e h a v i o ro fs y m m e t r i cc o m p o s i t el a m i n a t e s w i t ha n g l e p l ym a t r i xc r a c k sl o a d e di nt e n s i o na n ds h e a rs t r e s s e si s i n v e s t i g a t e d t h e o r e t i c a l l y m a t r i xc r a c k sa r ea s s u m e dt ob es p a c e du n i f o r m l y , s p a n n i n gt h ew h o l e w i d t ho ft h el a m i n a t e at w od i m e n s i o n a ls h e a rl a ga n a l y s i sw h e r e o u t o f - p l a n es h e a r s t r e s s e si nt h ec o n s t r a i n i n gl a y e r sa r ea s s u m e dt ov a r yl i n e a r l yi su s e dt od e t e r m i n e t h ee l a s t i cs o l u t i o no fs t r e s s e sa n ds t r a i n si nal a m i n a t er e p r e s e n t a t i v es e g m e n t c o n t a i n i n go n ec r a c k i no r d e rt or e s e a r c hd a m a g e s e f f e c t so nv i s c o e l a s t i ci n p l a n e m e c h a n i c a l p e r f o r m a n c e s o f c o m p o s i t el a m i n a t e s ，t h e l i n e a r v i s c o e l a s i c i t y o f c o m p o s i t es y m m e t r i c l a m i n a t e sa r es t u d i e d b yu s i n g t h ee l a s t i c v i s c o e l a s t i c c o r r e s p o n d e n c ep r i n c i p l ea n dt h ee q u i v a l e n tc o n s t r a i n tm o d e l ( e c m ) o fz h a n g w e d i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e nt h el i n e a rv i s c o e l a s i cb e h a v i o ro fs y m m e t r i cc o m p o s i t e l a m i n a t e sw i t ha n g l e p l ym a t r i xc r a c k sa n dt h em a t r i xc r a c k e dp l yo r i e n t a t i o na n g l e f i n a l l yt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h em a t e r i a lp r o p e r t i e sa n df r e q u e n c yu n d e r t h es t e a d y s t a t eh a r m o n i cs t r e s s l o a d i n ga r ee x a m i n e d t h er e s u l t ss h o wt h a t t h em a t e r i a l p r o p e r t i e so fs y m m e t r i cc o m p o s i t el a m i n a t e sw i t ha n g l e - p l ym a t r i xc r a c k sd e c r e a s ea s t h ec r a c kd e n s i t ya n dt i m ei n c r e a s e ；t h et o t a ln o r m a l i s e ds t r a i ne n e r g yr e l e a s er a t e j ：海大学硕上学位论文 d e c r e a s e sa st h ec r a c kd e n s i t ya n dt i m ei n c r e a s e ，a n di n c r e a s e sm o n o t o n i c a l l yw i t h i n c r e a s i n gp l yo r i e n t a t i o na n g l ei nl a m i n a t e s t h es t o r a g em o d u l ia n ds h e a rm o d u l i i n c r e a s e sw i t hf r e q u e n c yu n d e rt h es t e a d ys t a t eh a r m o n i cs t r e s sl o a d i n g t h er e s u l t s w i t ht h ea n a l y t i c a la n df e ms o l u t i o n so fz o c h e ra g r e ew e l l k e yw o r d s ：e c m ；l i n e a rv i s c o e l a s t i c i t y ；m a t r i xc r a c k s ；t h es t e a d ys t a t e h a r m o n i cs t r e s s ；t h ec o m p l e xm o d u l u s v i i 上海大学硕二l 学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 1 1 日瓤蟹坦修 e 海大学硕上学位论文 第一章绪论 1 1 引言 复合材料是由有机高分子、无机非金属或金属等几类不同材料通过复合工艺 组合而成的新型材料。它既能保留原组成材料的主要特色，也可通过复合效应获 得原组分所不具备的性能。通过设计使各组分的性能互相补充并彼此关联，从而 获得新的优越性能，与一般材料的简单混合有本质的区别n 1 。复合材料通常由基 体材料和增强材料两大组分构成，组分材料之间有明显的界面，宏观上呈现出各 向异性特性，是非均质的。复合材料不仅保持了组分材料的自身原有的一些优良 特性，而且彼此补偿，明显地改善或突出了一些特殊性能，成为一种新型材料。 按基体材料类型可以分为有机材料基、无机非金属材料基和金属基复合材料三大 类；按照增强材料的几何形状可以分为颗粒增强型、纤维增强型和板状复合材料 三大类。 纤维增强复合材料是一种新型结构材料，具有高的比强度、比刚度、突出的 抗疲劳、耐腐蚀性，故已被广泛用于航空航天、风力发电、机械、化工、交通运 输、体育用品等领域。在一定条件下，纤维增强复合材料往往同时具有弹性固体 和粘性流体两者的特性，综合呈现弹性和粘性两种不同机理的形变，物质的这种 性质称为粘弹性。随之而来的就是在一些极端环境下对其安全负载需求的提高。 一方面，这类材料在一定的温度和应力范围内具有粘性行为，表现为材料性能的 时间相关性和出现蠕变、松弛等力学特征。由于材料的蠕变，将引起结构中应力 的重新分布，放大由于不可避免的初始缺陷导致的变形和内力，使长期不稳定载 荷比短时稳定的极限值要小得多，影响复合材料结构的强度、刚度和稳定性。在 实际工程中，由于材料的蠕变和松弛导致复合材料结构经历了一段时间后突然发 生严重的脆断或丧失稳定性的事故非常多，这种延迟性破坏迫使人们对复合材料 的蠕变问题给予密切的关注。另一方面，由于复杂的环境条件、载荷条件已经自 身化学、物理因素，复合材料结构容易出现不同程度的各种损伤。 早在1 9 7 7 年美国r e i f s n i d e r 2 1 教授在研究复合材料疲劳破坏时明确提出了 “复合材料损伤 的概念。层合板在外载作用下的损伤过程是一个逐渐破坏的过 上海大学硕士学位论文 程，一般有四种不同的损伤形式：基体开裂、纤维断裂、纤维与基体界面脱胶开裂、 分层。见图1 1 和图1 2 。纤维复合材料多向层合板在疲劳过程的开始阶段，基体 中迅速产生大量裂纹，之后裂纹达到饱和，出现纤维随机断裂，在疲劳寿命的后 期将出现层间开裂和大量的纤维断裂，继而导致复合材料的破坏。所以，考虑复 合材料的粘弹性和损伤效应将更能准确地反映结构的真实情况，从而为结构的稳 定性、寿命预测等提供了一种更为合理的途径。 的 口 8 乓一 图1 1 横向拉伸失效模式图1 2 剪切载荷下的失效模式 ( a ) 基体开裂( b ) 脱胶 本文以含均匀基体裂纹的斜铺层复合材料对称层合板为研究对象，基于等 效约束模型( e c m ) 综合考虑损伤效应、粘弹性对层合板力学行为的影响。考虑 准静态条件下l a p l a c e 空间方程的复杂性，通过不同近似l a p l a c e 逆变换方法的 比较采用s c h a p e r y 方法对粘弹性进行讨论。最后讨论了交变载荷条件下层合板材 料参数与频率缈的关系。 1 2 国内外研究概况 1 2 1 复合材料层合板的弹性基体开裂研究概况 复合材料层合板的损伤破坏一般是由基体开裂引起，它不仅仅会降低层合板 的力学性能，而且随着基体裂纹的不断增加而导致纤维断裂及其分层，随之致使 层合板破坏。所以研究基体开裂的复合材料层合板的力学性能是非常必要的。 自从1 9 7 7 年- r e i f s n i d e r 【2 】通过实验发现在基体里面存在裂纹，学者纷纷对基 体开裂的复合材料层合板的研究产生了兴趣。经过几十年的发展，久经考验的经 2 上海大学硕十学位论文 典方法有如下几种：剪切滞后模型，刚度下降的自相容方法，能量方法，有限元 方法，宏观与微观相结合的方法。 1 9 8 2 年h i g h s m i t h 和r e i f s n i d e r 【3 】就利用剪切滞后模型预测基体裂纹对层合 板刚度的影响，发现自从基体裂纹出现后，层合板的刚度和强度逐渐的减少。l i m 和h o n gh 1 利用这种方法讨论了剪切层的力学性能，剪切滞后模型可以通过一些 破坏准则来预测层合板裂纹的产生或者裂纹密度的增加。l e e 和d a n i e l 3 ( 1 9 9 0 ) 利用最大应力破坏准则来讨论了正交铺层层合板在拉伸载荷作用下基体裂纹的 变化，随后t s a i 阳j 1 在l e e 的基础上讨论了剪应力和双轴向加载的影响。虽然剪切 滞后模型得到的结果跟实验结果能很好的吻合，但不能计算应力和应变在层合板 厚度方向的变化，而且不清楚怎样应用在斜铺层层合板中。 d v o r a k 阿，鲥和l a w sn 虻等使用自相容方法计算因为基体裂纹而导致刚度退化 的现象。在这种方法中，层合板弹性性能的退化源自于没有边界的基体裂纹的退 化。然后利用经典层合理论来计算层合板的退化刚度。这种方法简单而且退化刚 度结果跟实验能很好的吻合，但是不能预测损伤的衍化发展。 使用能量方法来预测基体开裂层合板的刚度退化有一个显而易见的优点就 是能计算出退化刚度的最大值或者最小值。l e en 。埋3 利用一种近似方法得到了退 化刚度的最大值，这种方法不局限于正交铺层；而h a s h h zn 3 h 峙3 基于最小能量方 法得到了退化刚度的最小值，这种方法由于应力场需要满足所有的平衡方程和边 界条件，所以除了简单的正交铺层层合板以外，很难应用于其它情况。 早在1 9 8 8 年h e r a k o v i c hn 6 3 等人就利用有限元方法来研究基体开裂层合板力 学性能，g u d m u n d s o nn 7 博1 讨论基体开裂层合板刚度退化和热弹性性能，而1 9 9 7 年 t o n gn 町等人就通过有限元方法计算含有基体裂纹斜铺层层合板的应力分布。 f a n 和z h a n g 啪卫“2 2 2 3 劁他们假设面外剪应力在层合板厚度方向上线性变 化，然后利用二维剪切滞后模型，通过等效约束模型( e c m ) 建立宏观应力和微 观应力的联系，可以预测因基体裂纹而导致面内刚度退化的现象，并且通过强度 准则来研究基体裂纹的衍生而层合板最终破坏失效的问题。k a s h m 陟a n 乜5 埘2 7 1 利 用等效约束模型( e c m ) 研究含有基体裂纹斜铺层的应力分布和应变能释放率以 上海大学硕上学位论文 及刚度退化现象，并且考虑了分层对刚度的影响。这种宏观与微观相结合的方法 不仅仅计算简单，物理意义明确，而且可以用于斜铺层层合板的研究。 1 2 2 复合材料层合板的粘弹性基体开裂研究概况 虽然研究基体开裂复合材料层合板的弹性问题较早，但据本文作者所知，直 到1 9 9 4 年z o c h e r 才开始对其粘弹性进行了研究。 对复合材料的粘弹性研究一般采用以下两种方法。第一种方法先对其材料模 型进行线弹性的应力分析，采用对应原理，得到l a p 肠c e 空间的解，再对其进行逆 变换，得到粘弹性的解。这种方法需要在边界不可动的前提下存在明确清晰的弹 性解，而且l a p l a c e 逆变换存在。另一种常用方法是在连续损伤力学的基础上明 确详细地表明复合材料的本构关系，然后再进行求解计算啪1 。这种方法不需要 得到应力的明确表达式，在热力学原理的基础上利用内变量和材料参数就可以表 述基体裂纹损伤分布。 1 9 9 7 年z o c h e r 3 0 1 等人在l e e 1 2 1 的线弹性解的基础上，利用对应原理和采用 近似l a p 肠c e 逆变换得到含基体裂纹复合材料对称层合板的粘弹性的解析解，并 且用有限元方法得到了其数值解；而t a & 巧a 和砌m n ，【3 l 】在h a s h i n 1 3 】的线弹性解 的基础上也采用上述第一种方法得到了相应的线粘弹性解，2 0 0 3 t 2 9 1 年他们又合作 运用第二种方法得到复合材料线粘弹性的连续损伤模型。 2 0 0 6 年张3 2 】在z h a n g 2 1 1 的线弹性解的基础上，利用对应原理求得基体开裂 的正交铺层层合板的粘弹性解，讨论了夹层基体裂纹对刚度退化的影响，并跟 z o c h e r 的解析解和数值解作了比较，发现结果非常的吻合，表明用等效约束模 型f e c m ) 研究层合板粘弹性是一种行之有效的方法。 1 3 本文的研究目的及研究内容 层合复合材料是一种新型的结构材料，广泛应用于航空、航天等众多领域， 其使用环境往往很恶劣，我们经常会遇到结构材料在极端条件( 高温、高压、高 速) 下工作的力学问题，例如某些结构发生断裂和脆断等等。虽然复合材料在制 造加工和安装过程中很容易产生基体开裂或断裂等损伤，但是这些事故往往不是 4 上海大学硕士学位论文 发生在加载的瞬间，而是在经历了一段时间后突然发生( 与材料的蠕变特性有 关) 。正因为这种突发性和延迟性，所以人们很难去预防。为了实现材料强韧化、 损伤破坏预防化、使用寿命预测化，研究基体开裂的复合材料层合板的粘弹性、 损伤就显得非常重要。 在假设基体是各向同性且线粘弹性，纤维在整个变形中是线弹性的基础上， 本文讨论了在受到各向加载的情况下，夹层含有均匀基体裂纹的斜铺层对称层合 板的线性粘弹性力学行为。采用二维剪切滞后模型并对其层间剪应力在厚度方向 进行线性假设分布，求得层合板的平均应力应变的弹性解，利用等效约束模型 ( e c m ) 建立宏观单层的刚度损伤关系，用材料参数来表述刚度的退化现象，这 样就很容易过渡到经典层合板理论，得到层合板的刚度、损伤与外加载荷三者之 间的关系。最后利用对应原理对基体开裂层合板的线粘弹性进行研究，分别讨论 了应力应变、弹性模量、泊松比、应变能释放率等与裂纹密度、时间、裂纹层铺 层角、频率的关系。 上海大学硕士学位论文 第二章弹性粘弹性对应原理 2 1 粘弹性力学 粘弹性力学又称为粘弹性理论，研究物质或材料的时间相关力学行为、本构 关系和破坏过程，研究粘弹性物体与结构在外部作用下随时间变化的应力、变形 和失效规律口驯。粘弹性力学是固体力学的基础内容，是连续体力学的一个重要分 支，正越来越广泛应用于工程之中。因为它体现了力学、数学、物理、化学等工 程学科的相互渗透与交融，所以粘弹性力学在未来的科技和先导工业中有广泛的 应用前景。 粘弹性力学通常包括两方面基本内容：一是材料粘弹性能的描述与本构关系 的表达；一是粘弹性材料边值问题的建立及其求解。粘弹性理论着重从宏观唯象 的观点讨论物质的粘弹性能，描述粘弹性物体的力学行为与本构关系，有关材料 组分与分子结构等方面的内容一般不进行讨论。粘弹性力学与弹性力学、塑性力 学的主要区别在于：粘弹性力学考虑的是永久变形与时间有关，而塑性力学考虑 的永久变形只与应力和应变的历史有关，弹性力学则不考虑永久变形。 研究粘弹性固体随时间变化的性能，一般讨论蠕变、应力松弛、迟滞和应变 率敏感。蠕变是在持续不变的加载下变形会逐渐增加的现象；而在持续不变的应 变下应力逐渐减弱的现象就称为应力松弛；材料的应变响应滞后于应力，致使一 个加载过程中的应力应变曲线形成迟滞回线，迟滞回线下的面积代表一个加载过 程的能量损失，这被称为迟滞；应变率敏感反映材料力学性质的一些物理量。如 杨氏模量、剪切模量、泊松比等，一般与应变速率( 或时间) 有关系。 研究固体物质的粘弹性，一般采用连续均匀等基本假设，多限于小变形的情 形。通常认为材料处于自然状态，即在外界因素作用之前，没有初应力和应变。 由于通常从时间为零起考虑粘弹性受外部载荷，因而把t = 0 一应力和应变认为是 零。此外，在本构关系的研究中，一般没有考虑材料老化的因素与影响。 2 2 粘弹性本构关系和对应原理 连续介质力学的重要内容之一是研究物质的物理性态及其力学行为，探求 物质性能的本构关系b 4 ，3 5 3 6 1 。为了确定粘弹性物质在外部因素下的应力与应变的 6 上海大学硕士学位论文 关系，像连续体力学其他分支一样，除考虑一般物质变形与运动必须遵循的质量 守恒、动量守恒、能量守恒等基本原理和变形几何条件以外，需要给定物体的粘 弹性本构关系。 物质本构关系是在材料试验和工程实践时间基础上，将物质的力学与相关热 电行为过程加以抽象化和公理化的数学表达。本构关系是描述物质宏观性质的数 学模型，通常是描述物质的应力一应变一时间一温度等相互关系的方程式，因而又 称为材料本构方程。 为了研究线粘弹性物体的本构关系，有很多不同途径和方法。譬如：为了便 于理解，可以从简化的机械模型出发，抽象的组合体现物质的时间相关性行为， 从而表征应力一应变一时间关系的微分型本构关系；通过b o l t z m a n n 的线性叠加原 理，通过遗传积分表述积分型线粘弹性本构关系；以不可逆热力学为基础，通过 物质的热力学分析和内变量理论，经过一定的物理假定和数学推演得出材料各物 理量之间的微分方程组：从一般公理化原理出发的理性力学方法，得到粘弹性物 质的各种本构关系7 1 。 与连续介质力学一般问题一样，研究粘弹性体受外部载荷作用下的位移、应 力和应变转态，必须建立平衡微分方程、几何方程和本构方程这三个基本方程， 这些方程体现物体内任何一点处各力学量所必须满足的普遍规律与内在联系。由 于基体物体的外部形状不一样，所受的载荷与外部因素各有差别，所以应力应变 还必须满足研究物体所特定的边界条件和仞始状态。 粘弹性体与弹性体的边值问题主要差别在于物性方面，它们有各自的本构方 程，而弹性应力应变关系是粘弹性本构方程的一种特殊情形。在等温条件下，线 粘弹性边值问题的一般提法如下： 设给定物体边界面为b 、体积力为z ，作用于吃边界的面力为互，作用于吃 边界的位移为a i ，t 涮i n j ，是材料的松弛模量张量。这样有 平衡微分方程： ，+ z = 0 ( 2 一1 a ) 几何方程： 勺= 丢( u i , j 1 u j , i u y ) ( 2 _ 1 b ) 勺2i ij lz l b 上海大学硕士学位论文 本构方程： 在初始状态： 边界条件f o rt 0 ： = f ( ) 触a 。r 盟d r ( 2 - 1 c ) u it ) = ( f ) = 0 f o rt 0 ( 2 一i d ) o v n i = z 在吃上 u f = 仓在色上 ( 2 一1 e ) ( 2 一1 f ) 上式中“，、毛分别是位移分量、应力分量、应变分量。上述方程( 2 1 a ) ( 2 1 f ) 是线粘弹性力学问题所必须满足的基本方程、初始条件和边界条件。 在具体求解过程中，这些微分积分方程不一定都全部使用，往往是根据实际研究 的情况，较灵活地运用相应的本构、几何和平衡方程以及有关的条件。 在准静态条件下选用的对应原理是准静态粘弹性一静态弹性对应原理。尽管 粘弹性混合边值问题中的( x ，t ) 、勺( x ， ) 都是时间t 的依赖函数，但由于时间 变化率不大，以致惯性力可以忽略不计，这种受力情况称为准静态。准静态粘弹 性一静态弹性对应原理又称经典对应原理，其适用条件：a ) 本构方程是线性的， 即b o l t z m a n n 叠加原理成立。b ) 准静态假设，即惯性力可以忽略不计。c ) 起始 状态处于自然状态，即t , s i n 矽c o s 矽) ( 3 1 b ) z 硝+ 。- 。( ：2 = ( 1 + z ) ( 一瓦s i n 矽c o s 矽+ ts i n 矽c o s 矽+ 略( c o s 2 矽一s i n 2 矽) ) 上式可以简写为： z = j l l h 2 z 矛n + 子心 = ( 1 + z ) 【r 】 厅) ) = ，列，- ( 1 ， t p ) = ，堪馥， t = 互，嘭，元 t ic o s 2 矽s i n 2 矽 e r ( 矽) - i = i s i n 2 矽c o s 2 矽 | _ s i n 矽c o s s i n o c o s ( 3 1 c ) ( 3 - 1 d ) ( 3 - 1 e ) ( 3 - 1 f ) ( 3 1 g ) ( 3 - 1 h ) ( 3 - 1 i ) 在而j ，。z 。局部坐标系中，选取含有基体裂纹的夹层的某一单元体作受力分析， 如图3 3 所示，单元体的微观应力平衡方程如下： 矽渺锄 s m n o x 鬟 m 洫痧 减也毋 上海大学硕七学位论文 ( 3 - 2 a ) ( 3 - 2 b ) 1 、t 2 分别表示界面之间x l 、y 。方向的剪应力，2 h 2 是夹层即层的厚度。 畦+ 鲁妙 的剪应力一、乞可以用1 层与2 层之间的位移差和剪切滞后系数( f ，j = 1 ，2 ) 表 2 = 乏：篙： 喜i j 二喜i ：； c 3 3 ， 印、1 分别表示1x l 、y 。方向的平均位移，历f 、2 分别表示2 层五、 y 方向的平均位移。 硝2 芒( 缟+ 绋_ ) l z 2 钏如+ 绋( 3 - 4 a ) 仃磐芒( j ；1 2 + 绋_ ) 也喇如+ ，( a - 4 b ) o o l l l i 王如 垒吃 + + 仁幢 仁砣 _ 仉 _ 仃 旦蛾旦毗 上海大学硕上学位论文 f 2 1 q 3 2 z l f 2 ) 2f ， 吒3 2 z i 恐 z l i j l z 2 z l i 饬 巧，乞 2 ) 3 图3 4 ：面外剪应力随层合板厚度的线性分布 ( 3 - 5 a ) ( 3 - 5 b ) 结合( 3 4 ) 、 ( 3 5 ) 式，面外应力应变关系，以及应变和位移的关系，求得 位移的平均值，代入( 3 3 ) 式，可以得到剪切滞后系数( 附录a ) ： 6 建；矗f2 ( 或? ) ，z l 饬+ 亘5 n 5 ( 或；以( 以一3 啊) 一2 巍? 鼻j i z 2 ) ) 4 ( 窃巍j i z ：) 一( 2 酬啊一窃i h , ( h r 一3j f z i ) ) ( 2 d ? 啊7 2 2 一d ；h r ( h , 一3 扛) ) 3 - 6 = 彳l 二，- 二，_ l 一( a ) k 1 22k 2 l2 k 2 22 6 戗鲋5 50 1 1 ；h ，j i z l ( 以一3 啊) 4 ( d j | z l j i z 2 ) 2 一( 2 鲋j | z 1 7 1 2 一疗( 2 ) 4 厶r ( 7 z r 一3 啊) ) ( 2 磋执如一d h r ( h r 一3j l z l ) ) ( 3 - 6 b ) 6 戗矗 ( 2 ( 或? ) 2j l z l + 创( 磋；以( 以一3 啊) 一2 彦? j i z l j l z ：) ) 4 ( 幺? 啊红) 2 一( 2 鲋忆一戗h r ( h r 一3j 1 1 ) ) ( 2 巍? i f i i 如一龟 i ( 以一3j f l l ) ) ( 3 - 6 c ) 彭、孝( f ，j = l ，2 ，6 ) 分别是1 层和2 层在五y 。z 。局部坐标系中的刚度矩阵。 把( 3 3 ) 式代入( 3 2 ) ，对y 。求导可得： + 竺坚【互兰二墨i ! ! ：竺! ( 兰! 二墨i 尘：o 研d 2 = ( 2 )+ 型塾型：型型二型：o ( 3 - 7 a ) ( 3 - 7 b ) 在x l y 。z 。局部坐标系中，如图3 2 所示，2 层是正交各向异性材料，其本构 1 4 爿 生昕 上海大学硕士学位论文 关系是： 并； 霞 惑 帮帮0 罐铿0 0 0 罐 文； 馥 馥) ( 3 - 8 a ) 由于1 层跟2 层有一个角度差，所以1 层的本构关系转换到而m z 。局部坐标 系中后就成了各向异性： 爿： 础 崭! 爿： 就 卫 是 鲫 建? ( 3 - 8 b ) 这里的 雪( 1 】、【( 2 分别是1 层和2 层的柔度矩阵。对于正交各向异性材料， 柔度矩阵 ( 1 】可表示为： 刘 _ ( 3 - 9 a ) 在x l y 。z 。局部坐标系中1 层柔度矩阵可通过下式求得： 1 】= 丁( 缈一矽) 7 2 丁( 缈一) ( 3 - 9 b ) 这里弹性模量邑和e r 、泊松比2 、剪切模量皖r 是单向板的材料参数，右上标r 表示矩阵的矩阵转置。 为了求解酬；，假设1 层和2 层是理想的连接，所以有如下的限制条件： 爿：= 哥； ( 3 一i o ) 把应力一应变关系( 3 - 8 ) 式代入到限制条件( 3 1 0 ) 式：然后结合层合板的平衡 方程( 3 1 ) 可求出爿：的表达式： 爿；= 口。o - 。( 2 2 + 口2 彦+ q 五+ q 嘭+ 吒 ( 3 1 1 ) 这里 一蠡( 3 - 1 2 a ) o o 。一 也巨上岛。上t丘巨。 上海大学硕士学位论文 q 2 口v2 a w2 铲一黼 ( 1 + z ) ( 鲋c 。s 2 矽+ 韶s i n 2 矽一掣s i n 矽c 。s 矽) 掣+ z 鼋； + z ) ( 掣c 。s 2 痧一船s i n 2 矽+ 2 ( 蝌一谢) s i n 矽c 。s 矽) 叠：+ z 爿； ( 3 1 2 b ) ( 3 1 2 c ) ( 3 - 1 2 d ) ( 3 - 1 2 e ) 把( 3 1 1 ) 式和本构关系代入到( 3 7 ) 式中可得到裂纹的剪应力孑譬和其 法向方向的应力乏；的关系式： 砰d 2 罐一叩弘唰h + 甲。，哆) 瓦2 。( 3 - 1 3 a ) 砰d 2 趔一q ：。掣一q ：。- ：( 2 ：) 一( 甲：，+ 物。+ 坳：) t 2 。( 3 - 1 3 b ) 上式的q ，、甲 ，是由层合板的柔度矩阵系数南、厚度比z = 啊红和铺层角度来 表示的参数，可参见附录b 。其中口l = 厅，( 9 = x ，口2 = 瓦瓦。 为了求解微分方程( 3 1 4 ) ，我们对( 3 - 1 4 b ) 再求两次导数，然后耦合方 程( 3 1 4 a ) 可以得到： 砑d 4c ，一：( ：2 ) 一( q 。+ q ：， l 妙d 2 。：。二：( ：2 ) 一( q ：。q 。：一q 。q ：) 乏；+ 尺t = 。( 3 - 1 4 ) 这里r = ( q 。( 甲2 i + 甲2 2 口。+ 甲：3 口2 ) 一q ：。( 甲。+ 甲。2 口。+ 甲。3 口2 ) ) 因为裂纹表面的应力是零，即边界条件是： - ( 2 i y l = + b - - o- 2 i y l = + b - = o 这样解微分方程( 3 - 1 4 ) 可得到： 牡( 4 面c o s h ( 丽丑y , ) + e 测+ g 卜 趔= 卜面c o s h ( 丽 y , ) dc o s h ( 五y 1 ) 鸠潲 c o s n i 厶d i 1 6 ) + c 2l t 1 ( 3 一1 5 ) ( 3 1 6 a ) ( 3 1 6 b ) 上海大学硕上学位论文 其中以、如是耦合后方程的两个特征根。4 、b 、q ( = l ，2 ) 是由参数q 矿、甲f ，表 示的一个系数，可参见附录c 。 如果1 层和2 层是正交铺层，那么在这里有： q 2 i = q 1 2 = 0 ( 3 1 7 ) 所以上面方程的解就是 剞哥捌卜 趔= 斗2 勰卜 甲：= 一( 甲1 1 + 甲1 2 口i + 甲1 3 口2 ) y ：= 一( 甲2 i + 甲2 2 口l + y 2 3 a 2 ) ( 3 一1 8 a ) ( 3 1 9 a ) ( 3 1 9 b ) 这样我们就求得了面内的微观应力和微观应变，在随后的部分是根据所求的 应力和应变来计算含有裂纹层的刚度矩阵，利用经典层合理论讨论整个层合板的 刚度退化现象。 3 2 嬲l f r 刚度退化理论 复合材料的损伤主要有四种形式：基体开裂、分层、纤维断裂、纤维与基体 脱落。在实际工作中，发现层合板的基体开裂是起始最早且最常发生的一类损伤。 z h a n g 瞳毗提出了一种宏观和微观相结合的复合材料损伤理论，即等效约束模型： 如果某一层开裂，在约束层的影响下，层合板并不会马上失效，只是认为开裂层 的刚度降低，而降低的多少就用损伤参数人盯来表示。所以在五m 刁局部坐标系中 有： p ) = 矽弦2 ( 3 2 0 ) q ( 2 = l 一 ；纠；0 澎娥0 0 0 熊 ( 戗) 2 人：鲋珧人： o 鱿人：2鳆a 2 ：0 00 线人6 6 ，、 1 7 ( 3 - 2 1 ) 上海大学硕上学位论文 这里 q 2 ) 是含有裂纹层的刚度矩阵， 露) 是2 层没有发生任何损伤的刚 度矩阵。 a 2 2 。1 一硒渤2 - 2 2 曲 鬲( ) k 斗薪 层合板2 层的宏观应力 厅2 和应变 手2 ) 分别是微观应力 矛2 ) 和微观应 变 害2 ) 在所选裂纹单元中横向方向的平均。这样我们根据( 3 1 1 ) 和( 3 1 6 ) 可得到： 爿；= q 蘸+ 口：司；+ q 五+ q 哆+ ( 3 2 3 a ) 砖，：，4 掣+ e 掣+ c 1 t i 1如 j 叫4 半+ 垦半+ c z 卜 这里： 斗= 去 d c = 1 2 b 表示裂纹密度a 。乃 l = 2 2 d c 在这里假设1 层和2 层的宏观应变相等： 荆= 非虿。= 万1 聃妙。 6 2 2 - ( 2 ) = 霞= 乏：= 万1 础妙。 席= 蔻= 万：= 万1 惑妙。 ( 3 - 2 4 ) ( 3 2 5 a ) 把( 3 - 2 3 ) 和( 3 - 2 5 ) 代入( 3 - 1 ) ，可整理得到宏观平均应变： ) 蚋z 一1 ( ( 1 + z ) 丁( ) 一 手2 ) ( 3 - 2 6 ) 这里的转换矩阵 r ( ) 是( 3 1 ) 所提及的。宏观应力和宏观应变都得到了，代 入损伤系数的公式，我们就可以得出裂纹层的刚度矩阵以及其跟裂纹密度的关 上海大学硕士学位论文 糸。 最后，在x y z 坐标系中裂纹层修正的刚度矩阵f 互2 i 与x l y 。z ，局部坐标系中 的修正刚度矩阵q ( 2 有如下的关系： 引丁( 矽) h q 2 r ( 明叮 ( 3 2 7 ) 采用复合材料的经典层合理论h 2 1 ，整体坐标系x y z 中层合板总的拉伸刚度 彳 可以通过下式求得： 彳 = k 砂k k = 1 ，2 ( 3 2 8 ) i 百1 i 是l 层在整体坐标系x y z 中的面内刚度矩阵，h k 是层k 的厚度。 3 3 应变能释放率嘶3 假设在一个长为l ，宽为w 的层合板中，在局部坐标系下，总的应变能可由 拉伸和剪切两部分组成 泸) = 川2 ) + 啡) - 2 枷( 帮帮) + - u 2 1 - - ( ：2 ) 吃- ( 2 ) 啦w ( 三武叫( 3 - 2 9 ) 在复合材料应变蠢情况下，均匀无限大层内应力应变如下： 总的裂纹面积彳为 哥； 竣 惑 ( 3 - 3 0 ) f c o s 2 = 纠 s i 却 瓦 净3 1 ) l2 s i n # e o s o 彳- 2 2 吃南娜i n 外砬啦比砬 净3 2 ) 把公式( 3 3 0 ) 和( 3 - 3 1 ) 代入( 3 2 9 ) ，然后对总的裂纹面积a 求偏导整 理可得应变能释放率： 1 9 磊 缈石y d，啪 s 1 矽衍矽 吼 m 上海大学硕士学位论文 g ，= 一 a u l 2 )辱( 警c o 蹦碱k 椰c o s 2 朋；) s i n 4 矽冶c 0 a 2 - - - - z 2 净3 3 ， g ，= 一警否- 2 始a ( 2 咖c o s 2 矽 g = g ，+ g u 单位应变能释放率可根据下式定义可得： ( 3 - 3 4 ) ( 3 - 3 5 ) ( 3 - 3 6 ) 监啦 一珐q 一艺 = 旦砭 上海大学硕士学位论文 第四章准静态条件下的粘弹性基体开裂 4 1 单向板的材料参数 有两种可行的方法来决定粘弹性层合板的性能。第一种方法是“直接”从层 合板的蠕变或者松弛实验中总结性能；第二种方法是采用微观力学模型，结合纤 维和基体的性能来获得层合板的性能的评估。由于复合材料i m 7 8 3 2 0 的实验数 据不是很充分，所以这里采用的是第二种方法。 这里研究选择的微观力学模型是h a s h i n 和r o s e n 于1 9 6 4 年提出，通常被称 作c c a 模型或者简称为柱体复合材料模型。最初这种模型是因弹性复合材料而 提出来，后来在1 9 7 0 年h a s h i n 为了表达粘弹性复合材料的复模量而进行了傅立 叶变换，其模型的表达式是l a p l a c e 空间的。下面给出的表达式是模型的一种特 殊情况，因为y 。和纤维的所有性能被假设随着时间的变化是恒值，而且纤维和 基体的性能均假设为各向同性。这里右下标m 、厂分别代表着基体和纤维，l 、 丁分别表示纤维方向( 纵向) 和层片内和纤维垂直的方向( 横向) ，上标c 表示 c a r s o n 变换。 依据以上的假设，粘弹性的微观力学模型在经过c a r s o n 变换后单层板性能 如附录d 。 表4 1 ：i m 7 8 3 2 0 的纤维和基体的性能啪1 纤维基体 一=