（应用数学专业论文）无穷维hamilton算子特征函数系的完备性研究.pdf

75 i0_63 ，iiii1-y 董是主一 no_o乏6i认主u 雯拿一青之6l菱6l于量s1支秀辛妻 争伽曼6i奎量。m要耋彳乏 萋一、6i彳己6i于是 重召习灵萎善j曾斧麦一釜雪a之a2茎銎一 予习r、于要乏| 乎旱冀望之亍习茧乏 宇马妻孚霉墨瞽ilto譬牙曼己穿置乏孑孑乏耋是 c 0 0 i奎蒉一。一u3 才妻国灵 营、乏堇 o nt h ec o m p l e t e n e s s o fe i g e n f u n c t i o ns y s t e m so fi n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i i 刀o n i a no p e r j 气t o r s j i nj i n g s u p e r v i s e db yp r o f e s s o ra l a t a n c a n gp h d s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，010 0 21 m a y ，2 0 1 0 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果。也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我二 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：金嫠指导囊师签名： 同 7 9 拄记己 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权 将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位 论文为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作 者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同 意：若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：垃 日 指- , 9 敦师签名爷a 孛l 础指 教师签名：! ! ! ! ! ! ! 中文摘要 英文摘要 第一章 1 1 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 第三章 3 1 目录 绪论 无穷维h a m i l t o n 算子的研究现状一 基本概念 本文的主要结果 一类偏微分方程导出的算子矩阵特征函数系的完备性5 预备知识5 一类偏微分方程导出的算子矩阵的特征函数系 6 基于 一正交性的特征函数系的完备性6 定理的应用1 0 一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系的完备性研究 1 3 可导向s t u r m - l i o u v i u e 问题的方程导出的无穷维h a m i l t o n 算子特征函 数系基于 正交性的完备性1 3 3 2 两类无穷维h a m i l t o n 算子的本质谱1 7 总结与展望 参考文献 致谢 1 9 2 0 2 4 无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系的完备性研究12 学 导 专 生：金静 师： 阿拉坦仓教授( 博士) 业：应 用数学 摘要 本文研究了一类算子矩阵的特征函数系在不同正交意义下的完备性，并 得到它们之间的内在联系这对研究函数系的完备性问题，扩充完备的函数系 类具有一定意义进一步，得到可导向s t u r m - l i o u v i l l e 问题的偏微分方程所导 出的无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系的完备性此外，还研究了两类无穷维 h a m i l t o n 算子的本质谱，给出若干充要条件 关键词：无穷维h a m i l t o n 算子，完备性，本质谱 中国分类号：0 1 7 5 3 主题分类号：4 7 b m s c ( 2 0 0 0 ) 1 国家自然科学基金项目( 1 0 9 6 2 0 0 4 ) 资助 2 内蒙古自治区自然科学基金项目( 2 0 0 5 0 8 0 1 0 1 0 3 ，2 0 0 9 b s 0 1 0 1 ) 资助 o nt h ec o m p l e t e n e s s o fe i g e n f u n c t i o ns y s t e m so fi n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i i 刀o n i a no p e r a t o r s 1 j i nj i n g a d v i s o r ：p r o f e s s o ra l a t a n c a n g ，p h d ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ) a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ec o m p l e t e n e s so fe i g e n f u n c t i o ns y s t e m so fac l a s so fo p e r a - t o rm a t r i c e su n d e rd i f f e r e n to r t h o g o n a l i t y , a n dt h e i rc o n n e c t i o n sa r eg i v e n t h e s er e s u l t s h a v ec e r t a i ni m p o r t a n c ei ni n v e s t i g a t i n gt h ec o m p l e t e n e s so ft h ef u n c t i o ns y s t e m sa n d e x p a n d i n gt h et y p e so fc o m p l e t ef u n c t i o ns y s t e m s f u r t h e r ，w es t u d yt h ec o m p l e t e n e s so f t h ee i g e n f u n c t i o ns y s t e m so fac l a s so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sd e r i v e d f r o mt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sl e a d i n gt os t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m s i na d d i t i o n ， w er e s e a r c ht h ee s s e n t i a ls p e c t r u mo ft w ok i n d so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p - e r a t o r s ，a n ds o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e n k e y w o r ds ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r ，c o m p l e t e - n e s s ，e s s e n t i a ls p e c t r u m c l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ：( c l ) 0 1 7 5 3 m s c ( 2 0 0 0 ) ：4 7 b 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n au n d e rg r a n t1 0 9 6 2 0 0 4 ，a n ds u p p o r t e d b yn a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fi n n e rm o n g o l i au n d e rg r a n t s2 0 0 5 0 8 0 1 0 1 0 3a n d2 0 0 9 b s 0 1 0 1 l l 内蒙古大学硕士学位论文 第一章绪论 本章简要地综述了无穷维h a m i l t o n 算子理论的研究及其发展概况，为开展本文的研 究工作奠定基础最后，介绍了本文的主要结果 1 1 无穷维h a m i l t o n 算子的研究现状 h a m i l t o n 系统是数学力学的重要研究内容，几乎日常生活的各个方面都涉及到它 h a m i l t o n 本人最初从几何光学着手建立h a m i l t o n 体系( 偶数维h a m i l t o n 系统) 的理 论模式随后，他根据光学和力学之间的深刻联系，将h a m i l t o n 系统应用于力学为 使h a m i l t o n 观点能够应用到广泛存在于实际研究中的奇数维常微分方程组和无穷维系 统，p a u l i 和m a r t i n 分别于1 9 5 3 年和1 9 5 9 年独立发现了广义的h a m i l t o n 系统( 奇数维 h a m i l t o n 系统) 无穷维h a m i l t o n 系统的一般概念在m a g r i ，v i n o g r a d o v 等人1 9 7 8 - 1 9 8 0 年间的工作中首次出现( 【1 】，【2 】， 3 】) 无穷维h a m i l t o n 系统在数学物理，孤立子理论，力 学及工程技术中有着广泛的应用，因此，对它的研究近年来比较活跃很多学者从不同 的角度对无穷维h a m i l t o n 系统进行了研究，如g e l f a n d ( 4 ) ，a z i z o v ( 5 ， 6 】) ，o l v e r ( 7 ) ， k u f i n a ( 8 ) ，钟万勰，张鸿庆等 称如下发展型方程( 组) 为无穷维h a m i l t o n 正则系统 = j 1 罂 其中，= l 一0 ，三l ，舞为变分导数，为h a m i l t o n 泛函 由v a i n b e r g 定理( 【9 】) ，线性h a m i l t o n 正则系统( 有限维或无限维) 可以简化为如下 的变量分离形式 定义1 1 1 设x 是h i l b e r t 空间，h ：d ( 日) cx x _ x x 是线性算子，如 果日满跏硝= 皿其中j = 匕私称发展型方程c 组， 为线性h a m i l t o n 正则系统 1 内蒙古大学硕士学位论文 定义1 1 2 设x 是h i l b e r t 空间，h ：d ( 日) cx x _ x x 是稠定( 线性) 算 | _ 0门 子，如果日满足( j h ) = j 日，其中j = i 一i ，则称h 为无穷维h a m i l t o n 算子 【一10 j 下而给出无穷维h a m i l t o n 算子的另一定义 | 4b 定义1 1 3设x 是h i l b e r t 空间，h = i i ：刃( 日) cx x x x 是 l - c 一j 稠定闭线性算子其中a 为x 上的稠定闭线性算子，为a 的共轭算子，b ，c 均为自 伴算子，则称日为无穷维h a m i l t o n 算子 物理和力学中的许多偏微分方程都可以化为无穷维h a m i l t o n 系统对无穷维h a - m i l t o n 系统进行分离变量，可以得到无穷维h a m i l t o n 算子，因此，可以通过研究无穷 维h a m i l t o n 算子来刻画无穷维h a m i l t o n 系统的某些特性这样，有必要研究无穷维 h a m i l t o n 算子理论国内，内蒙古大学的无穷维h a m i l t o n 算子讨论班，较为系统地研究 了无穷维h a m i l t o n 算子理论，包括谱理论( 1 0 - 1 8 1 ) ，可逆性( 1 9 】) ，特征函数系的完备性 ( 2 0 一2 5 】) 等国外，以k u r i n a ，a z i z o v ，m a r t y n e n k o ，d i j k s m a 和g r i d n e v a 等人从不同角 度开展了研究工作，所得成果涉及有界性，可逆性以及非负无穷维h a m i l t o n 算子的条件 可约性等问题，具有代表性的文章有( 5 】) 和( 【8 】) 等另外无穷维h a m i l t o n 算子在最 优控制理论，弹性力学理论等很多领域都有着重要的应用对此，本文不再详细叙述 如前所述，已发现无穷维h a m i l t o n 算子的辛正交特征函数系在c a u c h y 主值意义下 的完备性经深入研究，我们发现如下事实：( 1 ) 辛正交特征函数系在c a u c h y 主值意义 下的完备性不是通常意义下的完备性，其本质为选定系数( 通过辛正交性选取) 的展开级 数通过适当组合之后的收敛性；( 2 ) 注意到j + = 一j 这一事实，辛正交特征函数“，v 满 足一种特殊的关系( 仳，j v ) = 一( j u ， ) ，从而在内积中左乘j 和右乘j 不影响内积的非 零性；( 3 ) 鉴于j 的非退化性，相应的辛形式具有非退化性本文拟从上述三个方面对辛 正交特征函数系在c a u c h y 主值意义下的完备性进行初步推广对( 1 ) 的推广可将无穷 维h a m i l t o n 算子特征函数系的完备性与发散级数的研究联系起来；对( 2 ) 的推广可以扩 充完备的特征函数类；对( 3 ) 的推广有助于进一步揭示非退化性在某些研究中所起的本 质作用，从而在某些问题的研究中可以采用退化形式刻画非退化性限于时间，本文将j 取为以( 见第二章引言部分) ，研究了两类微分方程导出的算子矩阵或h a m i l t o n 算子特征 函数系的完备性问题 2 内蒙古大学硕士学位论文 1 2 基本概念 本节给出一些基本的定义，在以后各章节中经常用到它们 定义1 2 1 设x 是b a n a c h 空间，a ：d ( a ) cx _ x 是闭线性算子，称集合 p ( a ) = a c ：( a ，一a ) _ 1 存在且冗( a j a ) = x ) 为a 的预解集p ( a ) 中的元素称为a 的正则值称a ( a ) = c p ( a ) 为a 的谱集谱集 可以分以下三个部分 其中 a ( a ) = a p ( a ) uc r c ( a ) u “( a ) a p ( a ) = a c ：( a i a ) _ 1 不存在) 为a 的点谱 c r c ( a ) = 入c ：( a i a ) _ 1 存在，冗( 入，一a ) = x 但n ( m a ) x ) 为a 的连续谱 为a 的剩余谱 西( a ) = 入c ：( 入，一a ) - 1 存在，但r ( m a ) x ) 定义1 2 2 设t 是b a n a c h 空间x 到b a n a c h 空间y 的闭算子，如果n ( t ) = d i m n ( t ) o o ，d ( t ) = d i m y r ( t ) 具有如下的 一正交关系： 证明： c 碱，= 娃平， 当n 2 仇2 ， 当n = 士m ，1 ( ( z ) ， ( z ) ) = s i n n r x ( b + h ) s i n m r c x d x ，o = 矸丽z 1 s t n s t n 槲z 如 = 丢而j 1 c o s ( m n7 1 x - - c o s ( m 刊叫出 结论得证 性 当n 2 m 2 ， 当n = 士m ( 2 3 4 ) 推论2 3 1 算子矩阵h 的特征函数系 五。( z ) ) 具有 - 正交蕴含其具有以正交 证明：设 扛) ) 具有以正交关系注意到 ( ) ( z ) ，如j 厂m ( z ) ) = ( j ，n ( z ) ，j x ) ( z ) ) 一( j ( z ) ，以) 厶( z ) ) ， 因此，特征函数系 ( z ) ) 具有以正交关系 定理2 3 2 算子矩阵日的特征函数系 ( z ) ) 之问具有如下的正交关系，即 8 z 丌n 言i 鸭 m + 出 p 1 i 1 1 ，-、【 平 吼 士 ，j(1l、 内蒙古大学硕士学位论文 ( x c x ) ，j i h x m ( x ) ) = 0 ， 当m 2 凡2 时 证明：因 ( ( z ) ，j 1 h x m ( z ) ) = ，( 一丽0 2 ) ) + 6 ，g m ) ， ( 2 3 5 ) 根据定理2 3 1 可知，当m 2 扎2 时，上式= 0 _ 定理2 3 3 基于五正交性，算子矩阵日的特征函数系 ( z ) ) 在函数空间z = l 2 ( o ，1 ) xl 2 ( o ，1 ) 中完备( 柯西主值意义下) ，即对任意( ，9 1 ) t z ，存在，c 一。使得 其中 即 豳 = ( + c 一竹x n ) ， n = 1 ：丛坐等垫型， ：垃坐等垫堂 证明：由定理2 3 1 ，对于任意的( ，9 1 ) t z ，取 c n2c 匕 ，以k ，c 灶n ，一c 咒n ，以，c c n2 ) ( ，g i x , , ) ( j 1 x ) 一( 以，) ( 咒n ， ) cgfll k ，c ，一c 以巴 ，c ， k ， ( x ) ( ，) 一( j 1 x k ) ( ， ) ：丛坐等垫型 ：垃坐等垫型 9 ( 2 3 6 ) |-j 仇 内蒙古大学硕士学位论文 下面证明 = 熙( c n p n - t - c 卅一n ) ， n = l ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 由于 ， ic n m + c 一棚n = ( 2 片f ls i n n t r t d t ) s i n n t r x ， i + c n g n = ( 2f o 夕ls i n n t r t d t ) s i n n t r x 而 薹c 2 0 1 s i n n t r t d t ，s t n 几丌z ，三0 0 c 2f o i q ls i n n t r t d t ，s i n 凡丌z 分别为 和9 1 按正交函数系 s i n n r x ：，展开的f o u r i e r 级数，从而得到证明 触2 s 4 鼾腓肚l _ 6 2 _ - b 嚆b 1 卜硒躲惜政i 一6 2 一q 筹 j 。 性在c a u c h y 主值意义下完备，蕴含其基于如正交性在c a u c h y 主值意义下完备 证明：设日的特征函数系 k ( z ) 基于以正交性在c a u c h y 主值意义下在空间z 中完备由推论2 3 1 可知， ( z ) 】具有如正交性注意到 坐竺：竺兰州竺悭 ( ， ) ( x ) ( 以，) ( x j 1 )( k ，j 2 x n ) 世竺竺竺盟竺悭 ( x j 1 ) ( ，) 一( x ) ( ， k )( x 如k ) 2 4定理的应用 根据前述定理和方程解的叠加原理，可以得到方程( 2 2 2 ) 的解的形式( 取q = 1 ) u ( t ，z ) = ( u ( ，z ) ， ( t ，z ) ) t ， 1 0 n g n c+ f 1 量l = 9 据方程( 2 2 1 ) 中的边界条件，得到 ( c 概( z ) + c 一卯一n ( z ) ) = 妒，( z ) ， n = 1 又由于 ( ( z ) + e - n q n ( z ) ) = 妒2 0 ) 0 0 0 0 妒( z ) = ( c 知。( z ) + t 舻一n ( z ) ) ，妒z ( z ) = ( 兹( z ) + c ，二。q n o ) ) n = l u ( t ，z ) = 同理可知 v ( t ，z ) + n = l o n e k t ( c n p n ( z ) e 入n 2 + c n p n ( z ) e a n 。) c 一。如( 2 3 6 ) 所示，将，c n ，p 士n ( 妒2 ( ) 一6 厂1 ( f ) ) s i n 礼丌必s i nn 7 r z ( e a n 。一e a t t 。) 妒1 ( ) s i n 佗7 r d s i nn 7 r z ( e a n 。+ e - k t ) ( c n g 。( z ) e a n 。+ c - h a n ( z ) e a n 。) ( 2 4 1 0 ) 薹z 1 ( 圭眯m 胀) 一鼽锄渤嘣蜓s i n n ，r x ( e x n t _ e - x n t ) ( 2 a 1 1 ) + 薹知，s i n n z r 武s i nn l r x c e x t - i - e - x n t ， 1 l 脚 l胆 = 。 = ， 言言 耐 = 喜z 1 姒小胁删s i n n ，r x p ”t ) ( 2 4 1 2 ) + 喜从1 咖嗽s i n n 丌x c e x n t + e - a t ， 式( 2 4 1 2 ) 恰为调和方程传统分离变量法导出的解，而b 可取任意常数，故( 2 4 1 0 ) 式 包含更广的分离变量解，此外式( 2 4 1 1 ) 还给出了v ( t ，z ) 的表达式，这是传统的分离变 量法做不到的 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 第三章一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系的完备性研究 本章内容是将上章q 为复数的情形推广到一般情形，即利用上章定义的以一正交性， 讨论分离变量后可化为s t u r m - l i o u v i l l e 问题的偏微分方程所导出的无穷维h a m i l t o n 算 子特征函数系的完备性问题，并证明其特征函数系基于以正交性在柯西主值意义下完 备 3 1可导向s t u r m - l i o u v i l l e 问题的方程导出的无穷维 h a m i l t o n 算子特征函数系基于山正交性的完备性 ls ( z ) 器= 爱眵( z ) 爱】，0 0 ，s ( x ) 0 由( 1 ) ，( 2 ) 易知存在p o 0 ，s o 0 使得p ( x ) 1 9 0 0 ，s ( x ) 8 0 0 众所周知，对于方 程( 3 1 1 ) 应用传统的分离变量法求解，则此方程的求解可以转化为s t u r m - l i o u v i l l e 问 题的求解我们将探讨此方程导出的无穷维h a m i l t o n 算子的特征函数系在巩一正交性下 的完备性为了引入h a m i l t o n 体系，令 秽2 瓦， 代入方程( 3 1 1 ) 得 窑= s ( z ) 1 瓦0 囟( z ) 爱】， 这样方程( 3 1 1 ) 可化为如下的无穷维h a m i l t o n 系统 裘o 醒】： i 其中 如果 鹾( o ，1 ) 中的无穷 矽c 日，= t 豳z ：u c 。，= 钍c l ，= 。，u 绝对连续，。l 2 c 。， z = l 。2 ( o ，1 ) l 2 ( o ，1 ) 引理3 1 1 称函数系u m ) ，m = 4 - 1 ，士2 ，为l 2 ( o ，1 ) 中的正交规范函数系， 1 u r n ( z ) s ( z ) ( z ) 如= k n 引理3 1 2 问题( 3 1 1 ) 导出的无穷维h a m i l t o n 算子h 的特征函数为 r、匝 u m ( z ) 2v a 仇7 r 臂面( 7 ) 一d r s i n 竺q 竺型 f ( 7 ) 一 + o ( m 一1 ) ( m 一) ， 且日的所有特征值都是纯虚数并关于实轴对称，h 的特征值记为= h i t m ，其相应于士t 的特征函数分别为 ：i “功l ，仇：1 ，2 ， i i q m u 仇( z ) l 于是，h 的所有特征函数系可记为 ：iu i r a l ( 动 ，m ：士1 ，士2 ， ( 3 1 2 ) ii u i mj ( z ) 系 证明：见 2 4 】 定理3 1 1 无穷维h a m i l t o n 算子日的特征函数系 “扛) 具有如下 正交关 c c z ，以 ，= z k 。= ，雪：兰二： 内蒙古大学硕士学位论文 证明：直接计算得 ( ( z ) ，以( z ) ) = 詹u ( z ) s ( z ) i u h i ( x ) d x = i 詹u 川( z ) s ( z ) u i 。i ( x ) d x = i 如n 推论3 1 1 无穷维h a m i l t o n 算子日的特征函数系 以( z ) ) 具有 一正交性蕴含 其具有如一正交性 证明：由定理3 1 1 知，特征函数系【巩( z ) ) 具有 一正交关系，而 ( u k ( z ) ，如u m ( z ) ) = ( ( z ) ， u m ( z ) ) 一( u 赢( z ) ， u k ( z ) ) ， 从而，特征函数系 砜0 ) ) 具有如正交性_ 定理3 1 2 无穷维h a m i l t o n 算子的特征函数系 ( z ) ) ，在函数空间z = 髦( 0 ，1 ) 鼋( o ，1 ) 中基于以正交性完备( 柯西主值意义下) ，即对任意( ，9 1 ) r z ，存在，c n 使得 广1 h ：壹( + c 一“) p 1 j n = l 其中 卜幽嚆羰群铲， ( 3 1 3 ) 卜= 鲢掣糕蒜糍擀幽 证明：由定理3 1 1 ，对于任意的( f i ，9 1 ) ? z ，取 c f 1 , j ，u n ) ( j 1 u - n , u n ) - ( u - n , j 1 u n ) ( j 1 舭 ( ， ) ( n 。，) 一( ，) ( n n ，j 1 ) cn：弋(f瓦1了j1而vn而)(j而1un习un丁)-可(j丽l(=f1瓦u丽n)(iun而j1u厂n)gl g l 内蒙古大学硕士学位论文 从而得到 下面证明 由于 卜幽絮然锚紫， 卜= 鲢鹊糕蒜器铲剑 n = 3 骢( c n 钍n + c - n u n ) ， ( 3 1 4 ) n - - - - 1 n 9 1 = 0 骢( c n i 一c n i 仳n ) ( 3 1 5 ) n = l c n + c _ n u 竹= ( ( z ) ，s ( x ) u n ( x ) ) u n ( z ) ，( 3 1 6 ) c r i t + c - n i = ( g l ( x ) ，s ( z ) u 。( z ) ) 让n ( z ) 向 ( ( z ) ，s ( z ) u n ( z ) ) ( z ) ，( 夕，( z ) ，s ( z ) ( z ) ) 让n ( z ) 分别为 和9 1 按正交规范系 ( z ) ) 箍l 展开的f o u r i e r 级数因此，h 的特征函数系 基于 一正交性在柯西主值意义下在l ：( o ，1 ) 鹾( o ，1 ) 中完备_ 定理3 工3 在空眦札确维n 删t o n 鼾肚k 一。妊塌” 特征函数系 ) ) 基于以正交性在c a u c h y 主值意义下完备蕴含其基于如正交性在 c a u c h y 主值意义下完备 证明：设日的特征函数系 ( z ) ) 基于 正交性在c a u c h y 主值意义下在空间z 中完备由推论3 1 1 可知， ( z ) ) 具有如正交性注意到 c 匕 ， 巩，c 以n 竹，巩，一c n n ， ，c 匕 ，巩，一c 匕 ，如n n ， i u l rt n ，j t l 【i rt n ，i , i j t l u t ? 一n ，u l f t n ，、一j t l u tt n ，u tt n ，u rt n ，j t l u tt n ，i l tt n ，t 2 u rt n ， 1 6 c 小砜， ( 虬n ，如) 3 2 两类无穷维h a m i l t o n 算子的本质谱 本节研究上( 下) 行占优无穷维h a m i l t o n 算子的本质谱，在一定条件下采用类似于 s c h u r 补的算子矩阵的本质谱刻画原h a m i l t o n 算子的本质谱 广1 定理 设：i a b321h i ：d ( a ) v ( b ) zxz 为无穷维h a m i l t o n 算子 定理 设= i i ：) ) 为无穷维 算子 1c a + l 若a p ( a ) n p ( b a ) 且r ( h ，a ) b 在v ( b ) 上有界，则a a e ( h ) 当且仅当0 c r e ( m ) ； 则入a e ( h ) 当且仅当一a c r e ( 尬) 其中m = b 一一入，+ ( 入j a c ) r ( h ，a ) b ， m 1 = a 一b 一( h i a c ) r ( h ，a ) b 证明：由 日一入j = r ：a ，一a ：a l 且入p ( a ) np ( b 一小) ，知 j = 酗 a 兰奠一 = 二习 。a 一入j 二，r 。入，a ，0 aia j 跚 ：兄( a ，b = ( a - h i + 三r 。入，a ，一，习 a ：入j 爿墨r ( 入r 1 卅批琊羽， 内蒙古大学硕士学位论文 注意到f ，o i 和i ，以入枷bl 均有有界逆，且 lc 冗( a ，a ) ill 0i l r c 墨羽r ( a , a ) bl 咧。叫小即印， 可知r ( h 入，) 闭当且仅当r ( m ) 闭，且h a j 为闭算子当且仅当m 是闭算子这 也m c 日一a ，= 垅m aia j 三 = 反m c m ， 从而，d i m n ( h 一入j ) = 0 0 当且仅当d i m n ( m ) = o 。记h a ，的因子依次为r ，t 和 s ，则 ( h a ) + = ( r t s ) + = s + ( 磁1 ) + = s t + r + ， d i m r ( h 一入j ) 上= d i m n ( h a ，) + = d i m n ( s + t + r + ) = d i m n ( t + ) = d i r e r ( m ) 上 从而，d i m r ( h a j ) 上= o o 当且仅当d i m r ( m 上) = 因此，由本质谱的定义有a 吒( 日) 当且仅当o c r e ( m ) ，当且仅当一a 民( 尬) - 类似地，可平行得到下行占优的结果，不再赘述对于一类对角占优的无穷维h a m i l - t o n 算子，有如下定理 日：| - 三一b a 。1 是定义为d ( c ) v ( a + ) zxz 上的无穷维h a m i l t o n 算子若0 p ( b ) np ( c ) 且r ( a ，c ) a 在d ( a + ) 上有界，则0 ( 日) 当且仅当一1 c r e ( b 一1 a c 一1 a ) ；若0 p ( b ) n p ( c ) 且兄( a ，s ) a 在v ( a ) 上有界，则0 o r e ( 日) 当且仅当一1 ( c 一1 a + b 一1 a ) 证明：证明从略 内蒙古大学硕士学位论文 总结与展望，d ：日j 哼芏 本文研究了一类偏微分方程混合问题导出的算子矩阵特征函数系基于不同正交性的 完备性，并证明了它们之间的联系进一步，研究了由s t u r m - l i o u v i l l e 偏微分方程导出 的无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系的完备性问题这些结果对研究特征函数系的完备性 问题，扩充完备的特征函数系具有一定的意义此外，还研究了两类无穷维h a m i l t o n 算 子的本质谱 由于作者学识和时间有限，本文对无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系的研究才刚刚 开始，还有很多问题探讨，如： 1 无穷维h a m i l t o n 算子的特征函数系基于 正交性在其它意义下的完备性又是 怎样的? 基于其它正交性完备性如何? 它们有何联系? 2 如何把这些正交性推广到更一般的无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系中? 1 9 内蒙古大学硕士学位论文 参考文献 1m a g r if a s i m p l em o d e lo ft h ei n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ne q u a t i o n m a t h ，p h y s 1 9 7 8 , 1 9 ： 1 1 5 6 - 1 1 6 2 【2 】m a g r if a g e o m e t r i c a la p p r o a c ht ot h en o n l i n e a rs o v l a b l ee q u a t i o n s l e c t u r en o t e si n p h y s i c sn o1 2 0 s p r i n g e rv e r l a g n e wy o r k l 9 8 0 【3 】v i n o g r a d o va m h a m i l t o n i a ns t r u c t u r ei nf i e l dt h e o r y s o y m a t h d o k l 1 9 7 8 1 9 ：7 9 0 - 7 9 4 【4 】g e l f a n di ma n dd o r f m a n i y h a m i l t o n i a no p e r a t o r sa n da l g e b r a i cs t r u c t u r er e l a t e dt o t h e m f u n c a n a l a p p l 1 9 7 9 , 1 3 ：2 4 8 2 6 2 【5 1 5 a z i z o vt y a a n di o k h v i d o vi s l i n e a ro p e r a t o r si ns p a c e sw i t ha ni n d e f i n i t em e t r i c j o h nw i l e ya n d8 0 n 8 ，n e wy o 代，i9 8 9 【6 】a z i z o vt y a d i j k s m aa a n dg r i d n e v ai v o nt h eb o u n d n e s s o fh a m i l t o n i a no p e r a t o r s p r o c a m e r m a t h 8 0 c e o o e , 1 3 1 ( 2 ) ：5 6 3 - 5 7 6 【7 】o l v e rp j a p p l i c a t i o n so fl i eg r o u p st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( g t m v 0 1 to y n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a 9 。i 9 8 6 【8 】k u r i n ag a i n v e r t i b i l i t yo fn o n n e g a t i v e l yh a m i l t o n i a no p e r a t o r si nah i l b e r ts p a c e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 1 ，3 7 ( 6 ) ：8 8 0 - 8 8 2 【9 】v a i n b e r gmm v a r i a t i o n a lm e t h o d sf o rt h es t u d yo fn o n l i n e a ro p e r a t o r st r a n s l a t e df r o m 1 9 5 6r u s s i a n m o n o g r a p h h o l d e n - d a y s a nf r a n c i s c 0 1 9 6 4 【1 0 la l a t a n c a n ga n dh u a n gj u n - j i e t h es p e c t r u mo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a - t o r s j s p e c t r a lm a t h a p p l v 0 1 2 0 0 & 3 7 - 4 5 【1 1 】阿拉坦仓，黄俊杰一类无穷维h a m i l t o n 算子的谱分布大连理工大学学报，2 0 0 4 ， 4 4 ( 3 ) ：3 2 6 - 3 2 9 【1 2 】阿拉坦仓，黄俊杰，范小英l 2 l 2 中的一类无穷维h a m i l t o n 算子的剩余谱数学物 理学报，2 0 0 5 ，2 5 f ，矽：加彳d 一_ f 0 4 5 2 0 内蒙古大学硕士学位论文 1 3 】范小英无穷维h a m i l t o n 算子的谱硕士论文( 指导教师：阿拉坦仓教授) ，呼和浩 特：内蒙古大学理工学院数学系，2 0 0 1 f 1 4 】黄俊杰，阿拉坦仓，范小英无穷维h a m i l t o n 算子的谱结构中国科学a 缉：数学，2 0 0 7 , s t ( i 2 1 ，i l 一， 8 【1 5 j 黄俊杰，阿拉坦仓上三角无穷维h a m i l t o n 算子的连续谱南京理工大学学报( 自然 科学版) ，2 0 0 5 , 2 9 俐? 2 4 0 彩7 f l 吲黄俊杰，阿拉坦仓非上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的连续谱见戴世强主编，现代 数学和力学，上海，上海大学出版社，2 0 0 4 ：6 1 1 6 1 3 【17 】黄俊杰，阿拉坦仓一类二阶算子矩阵的谱内蒙古大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 3 , 3 毒( 3 ) ：2 4 9 - 2 5 1 1 8 】黄俊杰，阿拉坦仓剩余谱为非空的l 2xl 2 中的无穷维h a m i l t o n 算子内蒙古大学 学报( 自然科学版) ，2 0 0 3 , 影俐：5 1 1 6 1 3 f 19 h u a n gj