（基础数学专业论文）发展型方程的非协调有限元研究.pdf

摘要 有限元方法足当今科学与工程计算中的丰流方向之一由于非协调元与协调元 相比有很多优势，如：对于自由度定义在单元的边上及单元自身上的非协调元来说， 由于每个未知量只涉及两个单元，因此在信息传递上是廉价的，而且容易进行并行 计算相对于协调混合元，非防调混合元更容易构造使其满足l b b 条件，因此非协 调元的研究得到广泛的关注此外，传统的有限元方法要求剖分满足j 下则性条件或 拟一致假设，这些条件在一定程度上限制了有限元的应用在实际应用中，对于窄 边区域上的问题，如果采用传统正则削分，总体自由度的增加将会使计算量非常大 这时采用各向异性剖分，就会使得用较少的自由度而得到同样的估计结果目前各 向异性有限元方法已经成为有限元领域备受关注的热点之一 本文针对不同的发展型方程( 包括s o b o l c v 方程、抛物型积分微分方程、非线 性s o b o l e v 方程、非线性双曲方程、非定常的热传导一对流方程等) ，分别从各向异性 非协调有限元方法、非协调差分一流线扩散方法、非协调混合有限元方法等不同角度 出发，对单元的构造，理论分析及数值计算等方面进行深入系统的探讨 第三章和第四章考虑了具有各向异性特征的低阶非协调单元( 包括矩形元和三 角形元) ，将它应用至u s o b o l c v 方程和抛物型积分微分方程，在半离散格式下得到了l 2 模和h 1 模的最优估计以及1 模的超逼近和超收敛结果而且还给出了e u l e r - g a l e r k i n 格式署u c r a n k - n i c o l s o n g a l c r k i n 格式的全离散分析所给出的大量数值试验也验证 了理论结果的正确性第五章研究了一类对流占优非线性s o b o l c v 方程的经济型差 分一流线扩散非协调有限元方法分别给出了e u l c r - e f d s d 和c r a n k - n i c o l s o n - - e f d s d 格式的最优的精度分析第六章，考虑了一类非线性双曲方程的非协调日1 一g a l c r k i n 混合有限元方法并给出了半离散格式的1 模和h ( d i v ) 模的最优估计第七章还考 虑了非定常的热传导一对流方程的非协调混合有限元方法，在半离散格式下，得到了 关于速度l 2 ( h 1 ) 一模，压力l 2 ( l 2 ) 一模和温度己2 ( 日1 ) 一模的最优误差估计。 关键词：发展型方程；非协调有限元；混合有限元；各向异性，o 最优估计； a b s t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r eo n eo fm a i nf l o w so fs c i e n c ea n de n g i n e e r - i n gc a l c u l a t i o nn o w a d a y s c o m p a r e dw i t ht h ec o n f o r m i n gf i n i t ec l e m e n tm e t h o d s ， n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r ca p p r o p r i a t e ，f o rt h e yh a v et h es t r i k i n g a d v a n t a g e f o re x a m p l e ，f o rt h en o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t sw h i c hd e g r e eo f f r e e d o mi sd e f i n e dw i t ht h el i n e so fe l e m e n t sa n de l e m e n t st h e m s e l v e s ，t h ee v e r y u n k n o w ni sa s s o c i a t e dw i t ht h ec l e m e n tf a c e ，e a c hd e g r e eo ff r e e d o mb e l o n g st o a tm o s tt w oe l e m e n t s t h i sr e s u l t si nc h e a pl o c a lc o m m u n i c a t i o n n o n c o n f o r m i n g f i n i t ee l e m e n t sm o r ee a s i l yf u l f i l lt h ed i s c r e t el b bc o n d i t i o nt h a nc o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e n t s t h e r e f o r e ，n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sh a v ed r a w ni n c r e a s i n g a t t e n t i o n i na d d i t i o n ，t h ec l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sd e m a n dt h a tt h es u b - d i v i s i o n ss h o u l ds a t i s f yt h er e g u l a rc o n d i t i o no rq u a s i u n i f o r m ，w h i c hr e s t r i c t st h e a p p l i c a t i o no ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s i nf a c t ，f o rp r o b l e m si nn a r r o wd o m a i n ， i fw eu s ec o n v e n t i o n a lr e g u l a rs u b d i v i s i o n s ，t h ei n c r e a s eo ft o t a ld e g r e e so ff r e e d o m w i l lm a k et h ec a l c u l a t e da m o u n tb e c o m ev e r yl a r g e h o w e v e r ，i fw eu s ea n i s o t r o p i c s u b d i v i s i o n s ，w ew i l lo b t a i nt h es a m ee s t i m a t e sr e s u l t sa st r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n t m e t h o d sw i t hl e s sd e g r e eo ff r e e d o m a tp r e s e n tt i m e ，t h ea n i s o t r o p i cf i n i t ee l e m e n t m e t h o d sh a v eb e e no n eo ft h eh o tt o p i c si nf i n i t ee l e m e n td o m a i n i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rs o m ek i n d so fe v o l u t i o ne q u a t i o n s ( i n c l u d i n gs o b o l e v e q u a t i o n s ，p a r a b o l i ci n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n o n l i n e a rs o b o l c ve q u a t i o n s ， n o n l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s ，n o n - s t a t i o n a r yc o n d u c t i o n - c o n v e c t i o n ) ，a n ds t u d y t h ea n i s o t r o p i cn o n c o n f o r m i n gf i n i t ec l e m e n tm e t h o d s ，t h en o n c o n f o r m i n gf i n i t ed i f - f e r e n c es t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d s ，t h en o n c o n f o r m i n gm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h - o d s ，e c t ，d i f f e r e n t i a lp o i n to fv i e w ，a n dg i v ed e e pa n dc o m p r e h e n s i v es t u d yf o r mt h e c o n s t r u c t i o no ft h ee l e m e n t s ，t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a lc o m p u t i n g i va b s t r a c t i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，a p p l y i n gak i n do fl o wo r d e ra n i s o t r o p i cn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t s ( i n c l u d i n gr e c t a n g u l a re l e m e n ta n dt r i a n g u l a rc l e m e n t ) a r eu s e d t oa p p r o x i m a t es o b o l e ve q u a t i o n sa n dp a r a b o l i ci n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e o p t i m a le s t i m a t e so fl 2 - n o r ma n dh l _ n o r ma n dt h es u p p e r c l o s ea n ds u p p c r c o n v e r - g c n c er e s u l t sa r eo b t a i n e du n d e rs e m i d i s c r e t es c h c m e a n df u l ld i s c r e t ea n a l y s i s o fe u l e r g a l e r k i ns c h e m ea n dc r a n k - n i c o l s o n g a l e r k i ns c h e m ea r ed c r i v e d n u m e r i c a lr e s u l t ss u p p o r tt h ea c c u r a c yo fo u rt h e o r e t i c a la n a l y s i s i nc h a p t e r5 ，t h e n o n c o n f o r m i n ge c o n o m i c a lf i n i t ed i f f e r e n c e - s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d sf o rac l a s s o fs o b o l e ve q u a t i o n sw i t hc o n v e c t i o n d o m i n a t e dt e r mi ss t u d i e d t h eo p t i m a la c c u r a c ya n a l y s i so fe u l c r - e f d s ds c h e m ea n dc r a n k - n i c o l s o n - - e f d s ds c h e m ea r e g i v e n ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r6 ，n o n c o n f o r m i n gm i x e dh 1 - g a l e r k i nf i n i t ee l e m e n t m e t h o df o rak i n do fh y p e r b o l i ce q u a t i o n si sc o n s i d e r e da n dt h eo p t i m a le s t i m a t e s o fhl _ n o r ma n dh ( d i v ) 一n o r ma r co b t a i n e du n d e rs e m i d i s c r e t es c h e m e i nc h a p t e r 6 ，an o n c o n f o r m i n gm i x e df i n i t ee l e m e n ts d m m ei sp r o p o s e df o rt h en o n s t a t i o n a r y c o n d u c t i o n c o n v e c t i o np r o b l e m ，t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e so fl 2 ( 日1 ) 一n o r mf o rt h e v e l o c i t y , l 2 ( l 2 ) 一n o r mf o rt h ep r e s s u r ea n dl 2 ( 日1 ) 一n o r mf o rt h et e m p e r a t u r ea r e d e r i v e d k e yw o r d s ： e v o l u t i o nt y p ee q u a t i o n s ；n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ；m i x e d f i n i t ee l e m e n t ；a n i s o t r o p i ce l e m e n t ；o p t i m a le r r o re s t i m a t e s ； 原创性声明 本人郑重卢明：所呈交的学位论文，足本人在导师的指导下，独立进行研究所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文储朝匆协嗍纠年月歹同 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权! ，l 属郑州大学。根 据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机 构送交论文的复e l l p l ：和电了版，允许论文被企阅和借阅；本人授权郑州大学可以将 本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该学位 论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为郑州大学。保密论文在解 密后应遵守此规定。 学位论文作者： 翮冬 同期： 钿飞同 第一章前言弟一早日i ji 有限元方法是求解偏微分方程数值解的一个非常重要的方法有限元方法开始 广泛应用于工程结构、传热、船舶、机械、巨型建筑和水利设施的设计以及用于解 决流体学、电磁场等非应力分析问题，并在气象、地球物理、医学等领域得到应用 和发展目前有限元方法已经成为理论分析系统比较完善，应用广泛的数值计算的 重要组成成份，成为了数学、物理、力学、工程和科学计算的宅流方向，并且有广阔 的前景 发展型方程，又称为演化方程或进化方程广义的说，是包含时问变数的许多 数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学或其他自然科学中用来描述随时问而演 变的状态或过程诸如波动方程、热传导方程、声波与弹性波方程、s c h r s d i n g e r 方 程、流体动力学方程、k d v 方程、反应扩散方程等，以及由这些方程通过适当方式 耦合而得到的耦合方程组 随着科学技术的不断发展，发展型方程的求解问题得到越来越受到人们的关注 在大多数情况下，发展型方程的解足不能用解析式直接表达出来的或表达式过于复 杂，因而需要采用数值方法来计算它们的近似解进几十年来，针对不同类型的发 展型问题，探求可靠的高效高精度的数值计算方法的努力始终没有问断过，如差分 法【1 1 9 】、最小二乘法【1 1 3 】、有限体积法【1 1 7 、变网格法f 1 1 4 】、时空有限元法【1 1 7 、 迎风有限元法f 3 5 1 、特征线法【1 1 7 、流线扩散法f 3 7 - 4 3 ，4 9 - 5 5 ，1 0 1 一1 0 5 、问断有限 元法 1 1 3 】、质量集中法 1 1 3 等但仍有许多关键和困难的热点问题亟待解决 有限元空间逼近真解空问y 的程度决定了有限元解札 逼近真解u 的好坏当 v hcv 时，称为协调有限元，当坛正v 时，称为非协凋自限元在计算流体学 应用中，非协调有限元方法有着惊人的经济使用的优点，特别足对于自由度定义在 剖分单元自身和它边上的有限元来 兑，由于未知函数仅与单元的边( 或面) 有关，每 一个自由度至多与两个单元有关，使得这种方法可以用较少的计算量就可以得到 较高的精度而且这种方法还可以推广到高性能的m i m d 计算机计算此外，非防 2 第一章前亩 调有限元空问很容易满足离散l b b 条件【27 】，因此非防凋元的研究得到广泛的关 注 3 0 ，3 2 - 3 4 ，4 4 q 7 ，5 0 ，5 l ，5 4 ，5 瑚2 ，6 4 ，6 6 - 7 9 ，8 5 9 2 ，9 5 - 9 8 1 众所周知，在传统的有限元方法的基础性条件是要求区域q 剖分满足正则性条 件或拟一致假设【1 2 ，即要求剖分满足笔c 或鲁m 警c ，其中h k 是单元k 的最 大直径，p k 足k 的最大内切圆直径，h m 簖= m 。，a 。xh g ，h m 讯= m i n ，h k ，玩是区域q 的一个剖分族这主要是因为经典的估计方法是在参考单元上使用s o b o l e v 空间多 项式插值定理，其过程就是先从一般单元变换到参考单元，使用插值定理，然后再从 参考单元变换到一般单元，最后估计逼近阶在来回的变换过程中需要用到正则性 条件【13 1 和【1 4 ，1 5 】考虑l a g r a n g e 型协调有限元逼近时，分别独立地发现正则性条 件可以放松最近一些研究成果表明正则性条件对许多的有限元格式都足不必要的， 即可通过其他的手段在不依赖于j 下则性条件下得到同样的逼近结果这种方法就是 当前流行的各向异性有限元方法，关于各向异性特征的验证条件有【1 弘1 5 ，5 7 5 9 】， 特别足f 5 7 ，5 8 】提出的方法更为实用便捷 本文的研究丰题足发展型方程包括抛物型积分微分方程f 1 _ l l ，9 3 ，9 4 ，9 9 、s o b o l e v 方程 1 6 ，1 9 ，9 l ，9 9 ，1 0 0 ，1 1 8 1 2 0 1 ，非线性s o b o l e v 方程【1 7 ，1 8 ，1 0 2 ，1 2 1 】、非线性双曲 方程【7 2 1 、非定常的热传导对流方程【7 4 】等分别从各向异性非协调有限元方法、 非协调差分一流线扩散方法、非协调混合有限元方法等方面研究首先，考虑具有各 向异性特征的低阶非协调单元对抛物型积分微分方程和s o b o l e v 方程的应用在半 离散格式下得到了l 2 模和日，模意义下的最优估计以及h 1 模意义下的超逼近和超 收敛结果而且还给出了e u l c r - g a l e r k i n 格式和c r a n k n i c o l s o n - g a l e r k i n 【2 1 2 4 】格 式的全离散分析此外还得到了半离散格式下各向异性非协凋c a r e y 元的l 2 模和何1 模意义下的最优的误差估计而且还给出了大量数值试验验证了理论结果的正确性 其次，研究了一类非线性s o b o l e v 方程的经济型差分一流线扩散非协调有限元方法 分别给出了e u l e r - e f d s d 和c r a n k - n i c o l s o n g a l e r l ( i n e f d s d 格式下的最优的精 度分析然后，考虑了一类非线性双曲方程的非协调h 1 一g a l e r k i n 混合有限元方法，在 半离散格式下给出口1 模季t l h ( d i v ) 模的最优估计最后还考虑了非定常的热传导一对 流方程的非协凋混合有限元方法，利用单元自身的特殊性质，在半离散格式下，得到 了关于速度l 2 ( 1 ) 一模，压力l 2 ( l 2 ) 一模和温度l 2 ( h 1 ) ，模的最优误差估计 本文的具体写作安排如下： 第二章介绍与本文相关问题的预备知识包括s o b o l c v 空问的一些结论；常用 第一章前言 3 的不等式和部分重要的定理；有限元方法的基本理论和重要结果；各向异性有限元 和混合有限远方法简介 第三章针对s o b o l e v 问题在各向异性网格下研究了一个非协调矩形有限元的收 敛性首先，在半离散格式下给出了离散问题的解的存在惟一性的证明，相应的误 差估计以及超逼近结果其次，在e u l c r - g a l c r k i n 格式和c a n k - n i c o l s o n g a l c r k i n 格 式两种全离散格式下分别给出了误差估计，超逼近结果和整体超收敛性此外，还 得到了半离散格式下各向异性非协调三角形c a r e y 元的l 2 模和1 模意义下的最优 的误差估计最后，我们给出了相应的数值结果，验证了我们的理论分析的正确性 第四章针对抛物型积分微分方程研究半离散格式下的非协调各向异性有限元 逼近方法，得到了与传统方法相同的最优误差估计，并且导出了超逼近性质通过 构造适当的插值后处理算子，得到了各向异性网格下的整体超收敛结果而且还研 究了e u l c r - g a l c r k i n 格式和c a n k - n i c o l s o n g a l e r k i n 格式两种全离散格式的非协凋 有限元方法，给出l 2 模和h 1 模意义下的最优估计以及h 1 模意义下的超逼近结果 此外还得到了半离散格式下各向异性非协调三角形c a r e y 元的l 2 模和h 1 模意义下 的最优的误差估计最后，给出的数值试验也验证了理论分析的结果以上两章的分 析表明，传统有限元分析所依赖的前提条件即要求剖分满足的正则性条件的确足不 必要的 第五章主要研究了一类对流占优型非线性s o b o l e v 方程的经济型差分一流线扩散 非协调有限元方法。分别给出了e u l e r e f d s d 和c r a n k - n i c o l s o n - - e f d s d 两种经 济型差分一流线扩散非协凋有限元格式，并证明了这两种格式稳定性，最后还给出了 两种格式下稳定的最优的误差结果 第六章研究了一类非线性双曲方程的日1 - g a l c r k i n 非协调混合有限元方法，利 用，1 - g a l e r k i n 方法的特点以及所选空问的特点，给出了半离散格式下的关于1 模 和h ( d i v ) 模的最优的估计结果 第七章毛要研究了非定常的热传导一对流方程的低阶c r o u z e i x - r a v i a r t 型非协 调矩形元有限元方法在半离散格式下，得到了关于速度l 2 ( h 1 ) 一模，压力l 2 ( l 2 ) 。模 和温度l 2 ( 1 ) 一模的最优误差估计 第二章预备知识 有限元方法数值解的逼近理论足建立在s o b o l e v 空问 1 2 2 】理论之上的，而且解 的存在唯一性，j 下则性和收敛性都足和s o b o l e v 空间密切相关的因此本章我们给 出关于s o b o l c v 空问的一些结论及有限元方法的一些理论结果 其中 2 1s o b o l e v 空间的一些结论 本文所采用的记号与 1 2 2 卜。致 w ”巾( q ) = u ：d 口u l p ( a ) ，i a l m ) ， 砌2 硒磬面，| 7 l = ，m 空问w m 巾( q ) 的范数和半范分别记为 纛上酬p 蛐】1 p ， 川m , p , f l 一- - - 。暑z 删p 蚓m 简记 h m ( f 2 ) = w i n , 2 ( 2 ) ，日孑( q ) = w 守2 ( 2 ) ，1 1 1 i 仇= l | i i m ，2 ，i i m = i i m ，2 ，】孑( q ) = t ，| i i ”( q ) ，d n a n = 0 ：i q l 7 ，l ， 且其对偶空间为日一”( q ) = ( 叼( q ) 7 ，范数为 i i l l - m , n = 倒s u 删p 需，w eh -(i 蚍 h 齐l sz l i v l | 丌l ，10 6 第二章预备知识 定理2 1 1s o b o l e v 嵌入定理f 1 1 7 】 设l 0 为整数，1 p o 。，设q 是有 界区域，其边界a q 是局部l i p s c h i t z 连续的，m ，k 为非负整数，则下面嵌入关系成立 w m ，p 。一 l p ( q ) ， 三9 ( q ) ， c o , m - ；( q ) ， c o , o t ( q ) ， c 0 , 1 ( q ) ， 定理2 1 2 迹定理 1 2 】 11m礼 p+pp 7 p v q 1 ，o 。) ， m 2 ；叫 册p 2 1 ，g2o 。， 一 m 一+ 1 ， p p v 0 q 0 ，e 0 ) q 1 卜 七 缈v 商 1 一 n 仍 “伽 + 风 1 是有限元插值算子，满足 臧( f l o ) = 疵( 舀) ，i = 1 ，2 ，m 怕p a = ( q 1 ：o t 2 ，n 。) 是一个多重指标，则d n 户也是露上的多项式空间，设d i m d q 户= r ， 反，i = 1 ，2 ，r ) 足d 。户的一组基则d 。( n o ) d 。户可表示为 d q i f o ) = 疵( 西) d 。房= 绣( 西) 岛 i = 1 j = l 显然，岛是 西。丘) ? 的线性组合，而伤( o ) 是 厩( 移) ) r 的线性组合。设 竹l 岛( 痧) = 啦疵( 毋) 堡一：；：丝三兰量堕鱼垒塑墨：；：；：；一 则由上面两式我们有 定理2 3 1 【1 3 1对某个正整数七0 和m 0 ，假定w ，p ( 霞) qw ” q ( k ) 且n c ( w 2 十1 ，p ( 露) ；w ”t a ( 霄) ) ，满足 f l 少= 声，坳r ( 露) 则存在常数c ( 矗，露) 使得 i o n o l 。，口，霞c ( n ，k ) i o l l + l p ，霞 定理2 3 2 【13 】 设0 1 是一个多重指标，忍( 露) cd q ，矗：w l a + 1 p ( 露) 一 p 是上述定义的插值算子满足f l c ( w l 口l + l + 1 ，p ( 詹) ；w i d i + m ，叮( 露) ) 且+ 1 ，p ( 詹) q w m ，q ( 詹) 若存在插值算子于z ( w 伊( 詹) ；w m ，。( 詹) ) 且 。 d f i 移= 于d 。移，v 移w i a i + 件1 ，p ( 露) ( 2 3 2 ) 则存在常- 数c ( f i ，詹) 使得 i b 。( 谚f i o ) l m ，。，詹c ( n ，k ) i b 。移l h l ，p ，霞，坳w l “l + 件1 p ( 詹) ， ( 2 ，3 3 ) 定理2 3 3f 1 4 】假定插值算子f l 满足定理2 彳2 的假定，若存在线性泛函最：i = 1 ，r 满足 r ( w + 1 ，p ( 露) ) 7 ，i = 1 ，r ， 只( d 。( 谚一n 毋) ) = 0 ，i = 1 ，t v 毋w i 。十1 ，p ( 露) ， 西户，r ( d q 西) = 0 ，i = 1 ，r ，= 令b n 仿= 0 ( 2 3 4 ) 构造满足上述的条件的有限元空间一般来说并不是容易的【5 7 ，5 9 】作了进一步 的改进工作，使得各向异性的验证更简单 定理2 3 4 倍向异性基本定理) f 5 7 ，5 9 】在上述表达下，如果传( 移) 能表成 岛( 谚) = 弓( d q 西) ，1 j m ? 其中乃( s ( 詹) ) 7 ，1 i ，j 仇，同时r ( 露) cd a 户，z s 一1 ，则存在常数c ( 霞) 满足： i l d a ( 矗一由也) l f t 露c ( k ) l b q 砬l f + 1 ，霞，0 f + 1 ，抛h i q j + + 1 ，k 传 = ” n m o m ：l = 口 m 汹 | l 岛 2 4 混合有限元理论 1 3 2 4混合有限元理论 有限元方法就是将微分问题转化为相应的变分问题，再利用分片多项式离散 但对同一微分问题，可以有不同的变分形式；混合有限元方法则是用离散的有限元 空帕j 里的函数逼近上述混合变分形式利用混合有限元方法求解，可同时求出压力 和速度，提高了离散解的精度此外，像s t o k e s 等一些问题本身自然的g a l c r k i n 逼近 只能采用混合有限元方法 混合有限元方法已有很多研究 1 9 ，2 4 ，2 7 】，这种方法通常所涉及两个有限元逼 近空问，但是这两个空f b j 并不足任意选取的，需要满足所谓的i n f - s u p 条件或l b b 条 件这对协调元来说不容易做到，如对二维的n a v i c r - s t o k c s 方程来说，若使用三角形 元，速度的近似采用分片线性元，压力的近似采用分片常数，贝j l b b 条件不满足；若 速度的近似改为分片二次元，l b b 条件成立，但速度的误差估计损欠一阶而非坍 调元可以在一定程度上较易的克服此困难；另外，对于自由度定义在单元的边上或 单元自身上的非协调元来说，由于每个未知量只涉及两个单元，因此在信息传递上 足廉价的，而且容易进行并行计算 混合变分形式：求( u ，p ) x m ，使得 ， n ( u ， ) + 6 ( 哪) = ( ，口) ， 协x ， ( 2 4 1 ) l6 ( u ，p ) = ( g ，口) ， v g m ， 其中x 和m 为h i l b e r t 空间，o ( ，) ，f ，( ，) 分别为x x 和x a i 上的连续双线型， ( ，) ，( 9 ，) 分别是x 和m 上的线性泛函 定理2 4 1 【1 1 4 】若混合变分问题满足 p jn ( ，) 在x x 上是正定的，即存在常数理 0 使 a ( v ，t ，) q m 暇，v v z ， 其中z = t ，x l f j ( t ，q ) ，均m ) 1 4第二章预备知识 例6 ( ，) 在xx 上满足l b 膝件，即存在常数p 0 使 似s u p 獬 z l l 口 m , v q em 则混合变分问题有唯一解( u ，p ) x m 设，地为x 和m 的有限元逼近空间，若x h x 且慨肘则成为协调元 空问，否则称为非协调元空间 对于协调元，混合变分问题的离散变分形式为： 求( u ，p h ) x h 满足， 2 n ( u h ，v h ) + 6 ( m ) = ( ，) ， 帕 x n ， ( 2 4 2 ) ib ( u h ，p h ) = ( g ，q h ) ， v q ，| 靠， 对于协调元，离散的混合变分问题( 2 4 1 ) 有如下结论： 定理2 4 2 f 11 4 】 若双线性型n ( ，) ，6 ( ，) 满足 以，jn ( ，) 在x _ i x h 满足强制性，即存在q 0 使 a ( v ，t ，) a i | t ，| l 曼，v x h ， 俐6 ( ，) 在x _ l 慨上满足己胎条件，即存在常数 0 使 眯s u x p 。黼 - - d l l q h l m ， 则离散格式偿彳砂有唯一解( u ，i ，p h ) x ，l 慨并且与连续变分形式俾彳j 的解之 间有误差估计 l l 牡一u h l l x + l i p m i i m c 一x i n 。f m ( 1 1 私一i x + i i p q l i m ) o h hq hh t 匕竹 若有限元空问是非协调的，即x _ i x ，m h m 至少有一个不成立 此时离散格式为 善( 汕帅m 柚刈胁) 胁柞 ( 2 4 3 ) h ( u 帕) = ( 蛐) ，v 吼慨 卜一 定理2 4 3 【1 2 】若双线性型r ，( ，) 厶(