（计算机应用技术专业论文）两类广义mj集和不确定混沌系统的异结构同步.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 非线性理论由三大理论构成：混沌理论、分形理论、孤立子理论，它们是非线性这 门学科的理论基础。基于非线性理论，本文研究了混沌和分形领域中的若干问题，具体 研究内容如下： ( 1 ) 使用倍增和截去方法建立了任意维的超复数系统，讨论了超复数系统中的加法 和乘法运算是闭的前提条件，并给出了超复数系统中高维广义m a n d e l b r o t - j u l i a 集( 简称 m - j 集) 的定义及构造算法。利用所构造的高维广义m - j 集的2 d 和3 - d 截面，研究了 2 d 和3 d 截面的分形结构特征，并且理论证明了2 d 和3 - d 截面的对称性。 ( 2 ) 阐述了高次复多项式映射的m - j 集理论，给出了参数空间中高次复多项式的类 m 集的位置、大小和方向的计算方法。研究了临界点对应的m 集和广义m 集的分形结 构特征。研究结果如下：理论证明了临界点对应的m 集和广义m 集的对称性；类 m 集有不同类型，它们为复映射f ：z 卜，+ e ( n = 2 ，3 ，4 ，) 的广义m 集的小拷贝；类 m 集的不同类型依赖于对应临界点的重根数；类m 集仅出现在临界点对应的m 集中； 随周期值的增大，类m 集的数量逐渐增大，反映出类m 集的分布是分形的。 ( 3 ) 研究了基于主动控制的不确定异构系统之间的同步和参数辨识问题。基于 l y a p u n o v 稳定性理论，设计了主动控制器和参数更新规则，理论证明了该控制器可使 得两个异构的驱动- 响应系统_ r 6 s s l c r 系统和c h e r t - l e e 系统分别与参数不确定的 g e n e s i o 系统渐进地达到同步，并且可以辨识出响应系统的未知参数。数值模拟结果进 一步证明了该控制器的有效性 关键词：超复数系统；高维广义m i j 集；高次复多项式映射：异结构同步 大连理工大学硕士学位论文 t w ok i n d so f g e n e r a l i z e dm js e t sa n ds y n c h r o n i z a t i o no f u n c e r t a i n d i f f e r e n t s t r u c t u r a lc h a o t i cs y s t e m s a b s t r a c t n o n 1 i n e a rt h e o r yc o n t a i n st l l r e ei m p o r t a n tp a r t s ：f r a c t a l c h a o sa n ds o l i t o nt h e o r y t h e ya r et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no f n o n - l i n e a rt h e o r y b a s e do nn o n - l i n e a rt h e o r e t i c a la n a l y s i s ， t h er e s e a r c hh a ss t u d i e ds o m ec h a o t i ca n df f a c t a lp r o b l e m sa sf o l l o w s ： ( 1 ) w eu s e dt h ed o u b l i n ga n dt r u n c a t i o nt e c h n i q u e st og e n e r a t eah y p e r c o m p l e xn u m b e r s y s t e mo fa n yd i m e n s i o n w ed i s c u s s e dt h ep r e c o n d i t i o no ft h a ta d d i t i o na n dm u l t i p l 【i c a t i o n a r ec l o s e di nh y p e r c o m p l e xn u m b e rs y s t e m ，a n dl i s t e do u tt h ed e f m i f i o na n dc o n s t r u c t i n g a r i t h m g f i co ft h eh y p e r d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e dm a n d e l b r o t - j u l i as e t s ( i na b b r e v i a t e df o r m g e n e r a l i z e dm js e t s ) i nh y p e r c o m p l e xn u m b e rs y s t e m u s i n gt h e2 - da n d3 - d c r o s ss e c t i o n s o f t h eh y p e r d i m e n s i o n s g e n e r a l i z e dm o s e t s , t h ea l l t h o rs t u d i e dt h ef r a c t a lf e a t u r eo f 2 - da n d 3 一dg - t o s ss e c t i o n s a n du s e dt h e o r i e st op r o v et h es y m m e t r yo f 2 da n d3 - dg r o s ss e c t i o n s ( 2 ) 1 1 1 et h e o r yo fm js e t so fh i g l ld e g r e ec o m p l e xp o l y n o m i a l si si n t r o d u o s d ，a n dt h e m e t h o dt oc a l c u l a t et h ep o s i t i o n s ，t h es i z e s ，a n dt h eo r i e n t a t i o n so ft h e s em - l i k es e t so f h i g h d e g r e ec o m p l e xp o l y n o m i a l si np a r a m e t e rs p a c ei sp u tf o r w a r d 圮f r a e t a lf e a t u r eo fm s e t s a n dg e n e r a l i z e dm s e t sc o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n tc r i t i c a lp o i n t si ss t u d i e d 1 1 1 es t u d yr e s u l t s a r es t a t e da sf o l l o w s ：1 1 l es y m m e t r yo fms e t sa n dg e n e r a l i z e dm s e t sc o r r e s p o n d i n gt o d i f f e r e n tc r i t i c a lp o i n t sh a sb e e np r o v e d ； m l i k es e t sh a v ed i f f e r e n tt y p e ，a n dt h e ya r et h e s m a l lc o p i e so f ms e t sg e n e r a t e df r o mf ：z 卜：1 + c ( 邪= 2 , 3 ，4 ) ；0 t h et y p eo f m - l i k e s e t sd e p e n d so i lt h em u l t i p l i c i t yo fc r i t i c a lp o i n t s ；m l i k es e t sa p p e a ro n l yi nt h ems e t so f c r i t i c a lp o i n t s ；0w i t ht h ei n c r e a s eo fp 嘶o d ，t h em - l i k es e t sw i l lb e c o m em o r ea n dm o r e , w h i c hi m p l i e st h ed i s t r i b u t i o no f m 1 i k es e t si sf i a c t a l ( 3 ) s y n c h r o n i z a t i o na n dp a r a m e t e r s i d e n t i f i c a t i o no fu i l c e r t a i n d i f f e r e u t - s t r u c t o r a l c h a o t i cs y s t e mv i aa c t i v ec e n t r e li sr e s e a r c h e d b a s e do i lt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y a l l a c t i v ec o n t r o l l e ra n dt h ep a r a m e t e r su p d a t er u l ea r ed e s i g n e d i ti sp r o v e dt h a tt h ec o n t r o l l e r c a nm a k et h es t a t e so f d i f f e r e n t - s t r u c t u r a ld r i v ea n dr e s p o n s es y s t e m s 。s u c ha sr 6 s s l e rs y s t e m a n du n c e r t a i ng e n e s i o s y s t e m ， c h e n - l e e s y s t e m a n du n c e r t a i ng e n c s i os v s t e m , a s y m p t o t i c a l l ys y n c h r o n i z e d ，a n di d e n t i f yt h ep a r a m e t e r so fr e s p o n s es y s t e m n u m e r i c a l s i m u l a t i o n sh a v es h o w nt h ee f f e c t i v e n e s so f t h ea c t i v ec o n t r o l l e r k e yw o r d s ：h y p e r e o m p l e xn u m b e rs y s t e m ；h y p e r d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e dm js e t s ； h i g hd e g r e ec o m p l e xp o l y n o m i a l sm a p p i n g ；s y n c h r o n i z a t i o no f d i f f e r e n ts y s t e m s i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：型 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：垒煎 导师签名：乏釜之土 竺! ! 年j 月j 生日 大连理工大学硕士学位论文 引言 非线性混沌与分形理论揭示了有序和无序的统一、确定性与随机性的统一。被认为 是继相对论和量子力学之后，2 0 世纪人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领 域的“第三次革命”。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且 具有广泛的应用前景，它几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们 对现实世界的传统看法。一般认为非线性科学的主体包括：混沌、分形、孤子。 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的研究对象是自然界和非线 性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体，它的数学基础是分形几何。自2 0 世纪7 0 年代，著名数学家m a n d e l b r o t 根据j u l i a 和f a t o n 所开创的“复动力系统理论”的思想， 利用计算机构造并研究了复映射z e z 4 + c 陋= 2 ) 的m - j 集以来，分形理论无论是在 数学基础还是在应用方面都有快速发展。在维数的估计与算法，分形集的生成结构，分 形的随机理论，动力系统的吸引子理论与分形的局部结构已获得较深入的结果，其势方 兴未艾f l 】。 混沌是非线性领域的另一重要组成部分，它与分形总有着千丝万缕的联系。控制和 利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一。1 9 8 9 年h u b l e r ) 发表了控制混沌的第 一篇文章 2 1 ，之后，o t t 等人提出了控制混沌的o g y 方法【3 1 ，c a r r o l l 等提出了混沌自同步 方案1 4 。近十年来，随着混沌控制与混沌同步的研究蓬勃发展，这一方向迅速成了混沌 研究领域的重要热剧堋。 为此，本文首先利用倍增和截去方法建立了任意维的超复数系统，并给出了超复数 系统中高维广义m - j 集的定义及构造算法，研究了高维广义m j 集2 d 和3 d 截面的分形 结构特征。然后，阐述了高次复多项式映射的m j 集理论，并给出了参数空间中高次复 多项式的类m 集的位置、大小和方向的计算方法，并研究了临界点对应的m 集和广义m 集的分形结构特征。最后，本文利用主动控制理论，研究了不确定混沌系统的异结构同 步问题，实现了r o s s l e r 系统和c h e n - l e e 系统分别与参数不确定的g e n e s i o 系统渐进地达到 同步，并且可以辨识出响应系统的未知参数。 本文的组织如下：第一章对分形和混沌理论进行概述，并简要介绍了本文中所涉及 的相关基础理论。第二章介绍了超复数系统中高维广义m - j 集的定义及构造算法，并研 究了其分形结构特征。第三章介绍了高次复多项式映射的广义m 集中类m 集。第四章 介绍了基于主动控制的不确定混沌系统的异结构同步。最后给出了全文的结论。 两类广义m - j 集和不确定混沌系统的异结构同步 1 分形和混沌理论概述 1 1 分形理论概述 1 1 1 分形理论的产生和发展 ，分形理论是描述具有无规结构的复杂系统结构形态的一门新兴边缘科学。在过去2 0 多年中，分形理论已成功地应用于许多不同学科的研究领域，并使得一系列研究取得突 破性进展。分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的研究对象是自然界 和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。 。分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶 段的发展过程【l ，l o 】。 第一阶段为1 8 7 5 年至1 9 2 5 年，在此阶段，人们已认识到几类典型的分形集。并力 图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。1 8 7 2 年，w e i e r s t r a s s 证明了一 种连续函数在任意一点均不具有有限或无限导数。1 9 0 4 年k o c h 通过初等方法构造了如 今被称为k o c h 曲线的处处不可微的连续曲线。该曲线是第一个人为构造的具有局部与 整体相似的结构的例予，它被称为自相似结构。之后，p e a n o 又构造出填充平面的曲线， 这导致了后来拓扑维数的引入。1 8 7 2 年，c a n t o r 引入了一类全不连通的紧集一康托尔 三分集。1 9 1 3 年，p e n i n 对布朗运动的轨迹进行了深入研究，明确指出布朗运动作为运 动曲线不具有导数。为此，w i e n e r 建立了布朗运动的概率模型。为了测量上述这些集合， 同时为了更一般的理论，h a u s d o r f f 于1 9 1 9 年引入了h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数。 这些概念实际上指出了为了测量一个几何对象，必须依赖测量方式以及测量所采取的尺 度。 总之，在分形理论发展的第一阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题 并为讨论这些问题提供了最基本的工具。 第二阶段大致为1 9 2 6 年到1 9 7 5 年，在这半个世纪里，人们实际上对分形集的性质 做了深入研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果，而且将研究范围扩大到数 学的许多分支中。尽管在此阶段分形的研究取得了许多重要的结果，并使这一学科在理 论上初见雏形，但是绝大部分从事这一领域工作的人主要局限于纯数学理论的研究，而 未与其它学科发生联系。另一方面，物理、地质、天文学和工程学等学科己产生了大量 与分形几何有关的问题，迫切需要新的思想与有力的工具来处理。正是在这种形势下， m a n d e l b r o t 以其独特的思想，自6 0 年代以来，系统、深入、创造性地研究了海岸线的 大连理工大学硕士学位论文 结构、具有强噪声干扰的电子通讯、月球的表面、银河系中星体的分布、地貌生成的几 何性质等等典型的自然界中的分形现象，并取得了一系列令人瞩目的成功。 第三阶段大致为1 9 7 5 年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形 成独立学科的阶段。m a n d e l b r o t 涉猎众多学科，加上他善于把各学科联系起来，从具体 的、个别问题中发现抽象的、一般的共性，最终产生分形思想1 9 7 5 年，m a n d e l b r o t 将前人的结果进行总结，集其大成，以“分形：形状、机遇和维数”为名发表了他的划 时代的专著。在此专著中，第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。 此专著的发表标志分形几何作为一个独立的学科正式诞生，从而把分形理论推进到一个 更为迅猛发展的阶段。 今天，分形理论已经与计算机科学理论等领域相结合，这种结合使人们对久悬未解 的基本难题的研究取得突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了 巨大作用1 1 1 ，1 2 1 。其作用涉及到几乎整个自然科学和社会科学。分形已被认为是研究非线 性复杂问题最好的一种语言和工具。并受到各国政府及学者的重视和公认，成为举世瞩 目的学术熟点。 1 1 2 分形的定义 什么是分形? 事实上，目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。 粗略地说，分形是对没有特征长度( 所谓特征长度，是指所考虑的集合对象所包含有的 各种长度的代表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征长度) ，但具有一定意义 下的自相似图形和结构的总称。分形( f r a c t a l ) - - 词是由m a n d e l b r o t 最先引入的，意为破 碎的，不规则的，并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合， 或者具有某种意义下的自相似集合【l 】。 1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 给出了分形的一个实用型定义： 定义1 1 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 但这个定义也不够精确和全面。英国数学家f a l c o n e r 认为，分形的定义应该以生物 学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分 形的特性。一般地，称集f 是分形，即认为它具有下述典型的性质： ( 1 ) f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节。 ( 2 ) f 是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述。 ( 3 ) f 通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。 ( 4 ) f 在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数的情况下，f 可以以非常简单的方式来定义，可能由迭代产生。 一3 一 两类广义m - j 集和不确定混沌系统的异结构同步 1 1 3 分形学的主要应用领域 分形几何的应用研究比理论研究更为引人注目，很难再有另外一门学科能在这么短 的时间内渗透到如此多的学科中并产生重要的影响。 一般来说，分形学的主要研究和应用领域包含以下几个方面： ( 1 ) 在图像和数据压缩方面的研究 分形理论在图像和数据压缩技术中发挥了重要作用。c o l l a g e ( 1 9 8 8 ) ，b a m s l e y ( 1 9 9 3 ) 等应用迭代函数系统编码在分形信息压缩方面做了有益的尝试。8 0 年代末，美国数学家 b a m s l e y 提出了一种利用图像本身的复杂性中包含的自相似性进行压缩编码的新方法。 b a m s l e y 和s l o a n 在一篇文章中令人惊讶地宣称，利用他们的方法对静止图像压缩可获 得高达1 0 ，0 0 0 ：1 的压缩比。这当然在从事图像压缩的人群中引起了极大的震动。 分形图像压缩编码方法适用于二值图和灰度( 彩色) 图像，其理论基础是迭代函数系 理论。从目前的实际情况来看，分形图像压缩的效果远非像b a m s l e y 等人所宣称的那样 令人满意。事实上，在分形图像压缩的理论研究方面还存在着不少问题，但作为一种新 的图像编码框架，其前景仍是十分光明的。 ( 2 ) 分形在复杂性刻画方面的应用 分形几何作为非线性科学的一个重要分支，从一开始就与刻画非线性复杂性紧密相 连。近年来，多标度分形和随机分形的研究方兴未艾。国内外学者在利用分形模型进行 复杂性刻画方面的成功例子比比皆是，在此不再赘述。 ( 3 ) 分形在计算机图形学中的应用 作为“t h ef r a c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e ”，分形几何在描述自然界的真实特征和细节 纹理方面具有特殊的作用。因此，分形技术是计算机真实感几何造型方面十分活跃并且 有效的方法和手段。而计算机的应用也大大地推动了分形理论的发展，并形成了一种新 的研究领域：计算机实验数学。p e i t g e n ( 1 9 8 8 ) ，p r i t c h a r d ( 1 9 9 2 ) ，l a p l a n t e ( 1 9 9 3 ) 等在计 算机模拟分形方面做了大量工作，形成一系列有效算法；d e a n g e l i s ( 1 9 9 3 ) 将其应用到生 命科学中；我国许多学者也做出了不少有益的工作。目前，国外已经推出多种不同的以 分形技术为特征的计算机绘图软件，而且，在许多产品设计中也用到了分形的思想和方 法。混沌分形理论在信息压缩、传送及自然景观的模拟中发挥了重要作用。 ( 4 ) 分形生长模型 分形方法提供了一种描述自然界各种生长现象的新的模型。著名的d l a 模型和l 一 系统模型在模拟无机生长现象和植物生长形态描述方面取得了令人鼓舞的成功，各种新 的模型和方法也正在不断发展之中。 ( 5 ) 分形在社会科学中的应用 大连理工大学硕士学位论文 近年来，分形在社会科学中的研究也已经取得了很大的发展。分形作为一种工具和 其它非线性方法一道被用来刻画社会和经济领域中的各种复杂性现象，取得了一系列新 的进展。“分形认识论”和“分形方法论”的正在逐步形成自己的哲学体系 1 1 4 分形学的哲学意义 近半个世纪以来，理论自然科学发展的一个重要特点是研究各种非线性问题。这正 如中国科学院院士、物理学家郝柏林教授在 o ，x , y s ，x # y ， 大连理工大学硕士学位论文 l i n l g l 叫f 。( x ，五) 一f 。( p ，句| 0 ，x e s ，p 为周期点。 此定义中前两个极限说明子集的点x s 相当集中而又相当分散；第三个极限说明 子集不会趋近于任意点与此同时，l i - y o r k e 给出了l 0 9 i s t i c 映射 毛+ l = a ( 1 一) ，毛【o ，1 】，a o ，4 】， 在五= 3 5 7 时出现混沌的例子。 根据l i - y o r k e 定义，一个混沌系统应具有三种性质：存在所有阶的周期轨道； 存在一个不可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接 近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近 周期轨道；混沌轨道具有高度的不稳定性。 混沌现象的发现以及基于上述定义，使人们认识到客观事物的运动不仅是定常、周 期或准周期的运动，而且还存在着一种具有更为普遍意义的形式，即无序的混沌。正是 有了混沌现象，人们发现，在确定论和概率论这两套体系的描述之间存在由此及彼的桥 梁。混沌的发现还使人们认识到，像大气和海洋这样的耗散系统是一个对初始条件极为 敏感的系统，即使初始条件差别微小的两种状态，那么最终也会导致结果的很大差异， 甚至两种结果变得毫无关系，这就是所谓的非线性确定性系统的长期不可预测性。混沌 概念的提出，还使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的和有结构的行为，而不再是 某种外来的偶然性行为。 1 2 3 混沌控制和混沌同步概述 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一，对这一问题的研究具有 重要的理论和实际的意义。其原因是：一方面，在过去的许多年中，人们一般相信混沌 运动既是不可预报的，又是不可控制时。因此，对某些实际系统出现分岔和混沌往往是 不希望的，甚至是有害的。人们希望能够找到一些方法来控制系统中的分岔和混沌行为。 另一方面，混沌在某些环境下是有用的，当系统处在混沌状态时，它包含有各种各样的 失稳的周期和准周期运动。如果能够找到一些方法把系统从混沌运动状态变到所希望的 周期和准周期运动状态，那就为混沌的利用提供了一些方法。因此，控制混沌的主要目 的是消除已有的混沌运动，或降低混沌运动程度。从原则上讲，通过对实际系统进行修 改或施加控制总会影响混沌运动的生存条件，从而可设法消除或抑制混沌运动【6 ，7 1 。但 这些控制方法尚未利用混沌的内在动力学特性，实现中往往要对原系统作较大的修改或 输入较大的控制能量。因此，由于混沌系统有其特殊性，使得系统的预测估计和控制都 比较困难。 一7 一 两类广义m - j 集和不确定混沌系统的异结构同步 近十年来，混沌控制与混沌同步的研究得到了蓬勃的发展，这一方向迅速成了混沌 研究领域的重要热点1 2 ，3 1 。其问，人们尝试各种方法对混沌系统进行控制，并提出了基 于不同角度的各种控制混沌的方法，如o g y 法、偶然正比反馈技术( o c c a s i o n a l p r o p o r t i o n a lf e e d b a c k ，o p f ) 、自适应控制、滑模变结构控制、线性反馈控制、自控制反 馈控制等方法。混沌控制目标也由最初的不动点、低周期轨道镇定发展到高周期轨道、 准周期轨道的镇定；被控对象由最初的低维系统发展到高维系统乃至于无限维系统( 时 空混沌的控制1 ，混沌控制正在日渐形成系统化的理论体系。同时，混沌控制在光学、 等离子体、化学反应、流体、电子回路、人工神经网络、生物系统等大量实验和应用中 得到验证。目前，人们对混沌控制的广义认识是：人为并有效地影响混沌系统，使之发 展到实践需要的状态。这包括：混沌运动有害时，成功地抑制混沌；在混沌有用时， 产生所需要的具有某些特点性质的混沌运动，甚至产生出特定的混沌轨道：在系统处 于混沌状态时，通过控制，产生出人们需要的各种输出。总之，尽可能地利用混沌运动 自身的各种特性来达到控制目的，是所有混沌控制的共同特点。 1 3 分形与混沌的关系 混沌分形学基本思想起源于本世纪初法国科学家庞加莱等，发生发展于六十年代 后，代表人物为美国学者l o r e n z 、y o r k e 、s m a l e 、前苏联科学院院士k o l m o g o r o v 、美 国科学院院士m a n d e l b r o t 和f e i g e n b a u m 等。混沌学的进展，无疑是非线性科学最重要 的成就之一【l o ，1 3 - 1 6 , 埔】。自1 9 7 5 年，“混沌”作为一个新的科学名词开始出现在科技文 献中，混沌动力学己迅速发展成为有丰富内容的研究领域。混沌学研究的重要特点就是 跨越学科界限。混沌现象主要研究非线性系统的时间演化行为，它揭示了由完全确定论 方程描述的系统中，长时间行为对初值非常敏感的依赖关系。混沌状态不是完全无序， 它可能包含着丰富的内部结构，可以出现所谓奇怪吸引子 1 9 , 2 0 。奇怪吸引子具有无穷层 次结构，亦即自相似性 2 1 , 2 2 1 。因此，混沌与分形应该说具有很深的内在联系。如果说分 形几何为描述混沌吸引子的内部结构提供了一个很实用的语言，那么，混沌运动则被认 为是产生分形结构的根源之一。分形与混沌有密切关系，因此，为了更充分地阐述分形 现象，有必要先说明分形与混沌的关系。 在非线性科学中，分形与混沌有着不同的起源。分形起源于对不规则集合的研究( 例 如，弯弯曲曲的海岸线、凸凹不平的路面等自然物表面的几何形状，数学中处处连续而 处处不可微的函数等“逻辑怪物”或“病态”函数。从集合的观点来看，它们都是属于 不规则的点集1 。混沌则起源于非线性动力学的研究。也就是说，混沌是研究非线性确 定性方程所具有的内在随机性在时间上的非周期过程。 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 从研究问题来看，它们又具有类似性。混沌主要研究非线性动力学系统的不稳定的 发散过程，但系统状态在相空间中总是收敛于一定的吸引子。这与分形的生成过程十分 相似。因此，如果说混沌主要研究非线性系统状态在时间上演化过程的行为特征，那么 分形则主要研究吸引予在空间上的结构。混沌运动的随机性与初始条件有关；而分形结 构的具体形式或其无规性也与初始状态有密切关系。混沌吸引子与分形结构都具有自相 似性。所以，它们是从不同侧面来研究同一个问题的。 分形与混沌的这种类似性有着更深刻的根源，或者说它们有着共同的数学祖先 动力系统。动力系统是研究抽象系统随时间变化的动态规律：无：x 寸工。而混沌学是 研究动力学系统随时间变化的规律。如果把逃逸时间算法生成分形的迭代步骤看作一种 时间的话，那么分形的生成也是随时间变化的一种规律。因此从理论上说，动力系统既 与混沌存在着一定的关系，又与分形有着密切的关系。动力系统与混沌的具体关系表现 在，动力系统存在混沌必须满足的三个条件：对初始条件的敏感依赖性、具有拓扑传递 性质以及周期点的稠密性。这三个条件正好对应着产生混沌现象的三个条件：不可预测 性、不可分解性以及有一定的规律成分。具体地说就是，对初始条件的敏感依赖性，在 动力系统中表现为其长期行为的不可预测性；拓扑传递性表明，动力系统不可能被分解 成两个或几个互不影响的子系统；周期点稠密性表明，动力系统产生的混沌并非完全无 序，而是有一定的规律成分的。动力系统与分形的具体关系表现在，从生成分形的迭代 函数系统( i t e r a t i o nf a n c t i o ns y s t e m , i f s ) 出发，可以定义( 随机) 移位动力系统，而移位动 力系统正是一个混沌动力系统。因此，在一定条件下，动力系统的斥性吸引子( 即斥子) 与对应的i f s 的吸引子是重合的，或者说在一定条件下，i f s 中的交换是相应的动力系 统中变换的逆变换。 分形与混沌的关系表明，如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程，那 么由i f s 生成的分形吸引子正好是一个不稳定的收敛过程，因此，可认为：“如果把混 沌广义地看作是具有自相似的随机过程和结构，则分形也可看作是一种空间混沌。反之， 由于混沌运动具有在时间标度上的无规自相似性，它也可以看作是时间上的分形。”简 单地说，分形是空间上的混沌，而混沌是时间上的分形。 两类广义m - j 集和不确定混沌系统的异结构同步 2 超复数空间中的高维广义m j 集 著名数学家m a n d e l b r o t 根据j u l i a 和f a t o n 所开创的“复动力系统理论”的思想， 利用计算机构造并研究了复映射z 卜，+ c 位= 2 ) 的m j 集【1 0 】。2 0 多年来，人们对m j 集已进行了深入研究，发现了其中深藏着规律性的结构【1 1 1 】。在此基础上，l a k h t a k i a 、 g u i 盯和b h a v s a r 基于口r 时广义m - j 集的视觉结构特征提出了几点假设f 2 3 2 s 】；g l y n n 发现了相角口【叫【，7 c ) 时广义m 集的对称演化【2 q ；d h u r a n d h a r 等探讨了口 2 时，称该系统为超复数 系统凰超复数虚部的个数大于一。因为构造n 维广义m j 集的复映射z 卜，+ c 陋购 中包含了加法和乘法运算，所以超复数系统中的加法和乘法运算必须是闭的。超复数可 表示为 z = + q i l + 吃i 2 + + i 。，( 2 1 ) 这里口o ，q ，吒都是实数，l ip i ：，i 。是虚数单位【3 9 】。超复数系统是所有形如式( 2 1 ) 的超 复数所组成的集合。超复数z 对应一个实部，雄个虚部，它们都相当于一个独立坐标， 所以z 的维数是时1 。对于一个给定的n ，定义超复数系统( 2 1 ) 的加法和乘法运算，其 中加法运算是闭的，而乘法运算仅当系统( 2 1 ) 的维数为2 的正整数次幂( 即 n + 1 = 2 p ；p = 1 ，2 ，3 ，) 时才是闭的。 倍增方法可建立超复数系统。一个实数经倍增过程可得一个复数 a + b e 。， ( 2 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 这里口，b 都是实数，e 。是虚数单位。倍增过程应用于复数可得到一个四元数 a + b e 。，( 2 3 ) 这里口，b 都是复数，乞是新的虚数单位。将a ，6 用复数形式来表示，式( 2 3 ) 可扩展为 ( a i + a 2 e d ) + ( 岛+ b 2 e , 2 ) e 。， ( 2 4 ) 这里口l ，口2 ，岛，如都是实数，e c 。和：是复虚数单位，e q 是四元数虚数单位。由式( 2 4 ) 可得 a i + 4 2 e d + 岛e f + 6 2 ( e 。2 e 口) ， ( 2 5 ) 式( 2 5 ) 可表示为四元数形式 a + 6 i + c j + 孤，( 2 6 ) 这里。= i ，e q = j 和e c ：= k 。可见由倍增方法可获得四元数系统，进而形如式( 2 2 ) 的 复数经多次倍增也可获得形如式( 2 1 ) 的超复数。 倍增过程可概括为：对于任意超复数系统拭利用了倍增表达式 + a l e ， ( 2 7 ) 这里，q 日，e 是一个新的虚数单位。 根据倍增表达式，可给出加法和乘法的一般定义。给定两个超复数a 0 + q e 和 b o + 岛e ，加法定义为 。 ( + q e ) + ( + 6 l e ) = ( a o + 6 0 ) + ( q + 岛) e ，( 2 8 ) 乘法定义为 ( a o + q e ) ( 6 0 + 岛e ) 2 ( 6 0 一口i 岛) + ( 6 l + a l b o ) e ， ( 2 9 ) 这里i 是b 的共轭。 超复数式( 2 1 ) 的共轭为 三= a o 一口l i l a 2 i 2 一巳i 。( 2 1 0 超复数式( 2 3 ) ，即四元数的共轭为 u = 口一嵋。 ( 2 1 1 ) 两类广义m - j 集和不确定混沌系统的异结构同步 超复数的加法和平方运算分别定义为 ( a o + g i i + + 吒k ) + ( b o + 岛i l + + 吃i 。) = ( a o + 6 0 ) + ( q + 岛) i i + + ( 吒+ 吃) i 矗，( 2 1 2 ) 和 ( a o + 口l i i + a 2 1 2 + + l 。) 2 = ( 瑶一彳- a ：) + ( 2 a o a i ) i l + ( 2 a o a 2 ) 1 2 4 - - - - + ( 2 a o a ) i 。( 2 1 3 ) 由于倍增过程产生的超复数系统的维数d = 2 p ( p = l ，2 ，3 ，一) ，若要求建立的超复数 系统的维数d 2 p ，则可由倍增方法产生维数为2 ，的超复数z ( 这里d 1 时，厂的临界点为0 ，故取= 0 ，可得z l = c ，乞= ，+ c ，； 当口 o 时，的临界点为，故z 0 = 0 0 ，可得毛= c ，z 2 - - - - c 4 + c ，。因此为避免计 算机溢出，可选取迭代初始点z 0 - - - - c 。值得注意的是，当口【0 ，l 】时，仍用c 作为初始点 迭代，得到的图像不是真正的广义m 集。这是因为：口= l 时，厂无临界点，所以也就 谈不上临界点的轨道；0 s 口 1 ，则称点油斥性的。利用m o n t e l 定理【4 1 1 作为出发点，可以 得出厂的广义j 集j r 为厂斥性周期点的闭包。若c = 0 ，则厂( z ) = z 4 ，f k 0 ) = ：7 ，满足 f p ( m ) = 的点为 唧( 害：o s g 1 ，所以在这些点土有 i u ) ( z ) 卜p i 1 ，即它们是斥性的，是超复数空间h 中的单位圆球i z | = l 。显然当 七寸0 0 时，如果h 1 ，则厂( z ) 专。或o ，但是如果 l z i = 1 ，则厂( z ) 总在上乃是在迭代中分别趋于0 和o o 的点集的分界。当然，在这 特殊的情况下，不是分形。如果c 为较小的超复数，则厂( z ) = 矿+ c 。容易看出，如 果2 也较小，则广( z ) 专或o o ，这里旋f 的接近于零的不动点；而如果z 较大，则 广( 力_ a o 或国。虽然，r 也是2 类不同表现形式的集合之间的分界，但现在却显现出j ， 是分形曲面。 定义2 2 设厂：z + - 矿+ c = 控，土4 ，6 ，；z ，c 奶为超复数空间h 上的超复数映 射，乃表示日中那些轨道不收敛到m 点的点z 的集合，即： 弓= 口日：4 ，( 力1 ) 乙是有界的) ， 称此集为相应于的充满的广义j 集，乃的边界称为复映射厂的广义j 集，记为，即 j f = 西f 定义2 1 和2 2 是利用逃逸时间算法绘制m ，或f 的计算机图像的理论基础1 1 。构造 高维广义m - j 集的逃逸时间算法为： ( 1 ) 己知动力系统 日，乃，给定视窗职矿c 皿或魁，皿和总分别代表参数和动力 超复数空间) 及逃逸半径r 和逃逸时间限制 ( 2 ) 定义逃逸时间函数 荆= 。k 矧1 曲陋磁等1 k 0 时，图中黑色为稳定区，白色为不稳定区；口 0 时，图中白色代表稳定区，黑色代表不稳定区。 2 3 1 广义m j 集的2 d 截面 ( a ) 口= 4口= 6( c ) 口= - 4( d ) 口= - 6 图2 1 1 6 - d 广义m 集的2 - d ( o 1 1 ) 截面：中心为原点，沿轴1 距原点的偏移量为0 2 ，沿轴9 距原 点的偏移量为o 5 5 f i g 2 12 - da o s ss e c t i o n ( o ，1 1 ) o f t h e1 6 - dg e n e r a l i z e dms e t ( o l i v e tf r o mt h eo n g i n0 2a l o n ga x i s1 ， _ o 5 5a l o n g “i s 外 ( a ) a = 4 ，( 0 ，8 ) 截面口= - 4 , ( o 8 ) 截面( c ) a = 4 ，( o ，1 0 ) 截面( d ) a = - - 4 ，( o 1 0 ) 截面 图2 21 7 - d 广义m 集的2 - d 截面：中心为原点，沿轴4 距原点的偏移量为- o 3 5 f i g 2 22 - dc r o s s8 t = c t i o no f t h e1 7 - dg e n e r a l i z e dms e t ( o f f s e tf r o mt h eo r i g i n - 0 3 5a l o n ga x i s4 ) 大连理工大学硕士学位论文 ( a ) 口；6 ( b ) 口= - - 6 ( c ) 口= 6 ( d ) 口= - 6 图2 38 - d 广义m 集的2 - d ( i