（应用数学专业论文）dysonmorrisaomotoforrester常数项恒等式.pdf

摘要 摘要 基于粒子物理学中的问题，f j d y s o n 于1 9 6 2 年猜测出一个常数项恒等 式，此等式称为d y s o n 猜想。在d y s o n 的文章发表之前，其猜想分别被g u n s o n 与 诺贝尔奖获得者w i l s o n 给予了证明。之后不久，g o o d 应用l a g r a n g e 插值给出了 此猜想一个优美的递归式的证明。此外，运用v a n d e r m o n d e 行列式恒等式与多 重竞赛图，z e i l b e r g e r j 丕给出了此猜想的一个组合证明。 自d y s o n 猜想被提出以来的数十年间，其产生了许多推广与变化( 例 如，q - d y s o n 猜想、m o r r i s 与a o m o t o 恒等式、f o r r e s t e r 猜想) ，这些推广与变 化都较原始d y s o n 猜想复杂的多。 a n d r e w s 于1 9 7 5 年给出t d y s o n 猜想的q 模拟，并注意f u n = 3 时q - d y s o n 猜 想等价于众所周知的恒等式一q 模拟d i x o n 定理。但是q - d y s o n 猜想在此后的十 年间一直没有得到证明，直至u 1 9 8 5 年z e i l b e r g e r 与b r e s s o u d 给出了此猜想的组合 证明。又经过二十多年，基于l a u r e n t 级数与多项式的观点，g e s s e l 与辛国策给 出了此猜想的第二种证明。 m o r r i s 常数项恒等式首先出现在m o r r i s 的博士论文中。通过扩展其等价 形式( s e l b e r g 积分) ，a o m o t o 给出了m o r r i s 等式的一个推广一a o m o t o 常数 项恒等式。m o r r i s 等式的另一个推广是f o r r e s t e r 猜想。f o r r e s t e r 证明了此猜 想的两种特殊情况：a = b = 0 ( 惫，n o ，扎i 任意) 与惫= 1 ( a ，6 ，n o ，死l 任 意) 。k a n e k o 证明了礼1 = 2 ，3 与n 1 = 他一1 三种情况。此外，f o r r e s t e r 与b a k e r 还给出了此猜想的q 模拟。 另一方面，一些数学家推广了g o o d 证$ j d y s o n 猜想的方法。令大家感兴趣 的是计算d y s o n 乘积的关于单项式m ：= n i r l ；, o 甄b 的系数，其中：o6 = 0 。运 用g o o d 的思想，k a c l e l l 亥1 画出了如何计算m = ，x _ 1 ，m = 黑与m = 弩时 的d y s o n 系数。顺着这一思路，z e i l b e r g e r 与s i l l s 描述了一个如何自动猜测并证 明d y s o n 系数的算法。此算法的可靠性并未给予严格的数学证明。应用此算 法，s i l l s 猜测并证明了m = 鲁，m = 警与m = 缝时的d y s o n 系数。最近，吕 仑、辛国策和周岳通过推广g e s s e l - x i n 证明口、d y s o n 猜想的方法，得到了分母中 不含平方项的d y s o n 系数。 在本篇论文中，我们讨论了系列著名的常数项恒等式：d y s o n ，m o r r i s ， 摘要 a o m o t o 与f o r r e s t e r 常数项恒等式。本篇论文的主要贡献如下： 首先，我们给出了d y s o n ，m o r r i s ，a o m o t o 常数项恒等式一个统一的初等的 证明。由于这些常数项恒等式从某种意义上来说可以看作多项式，因而可以通 过验证足够多个值的方法来证明它们( 通常我们选择验证使其归零的负整数 值) 。进一步地，我们的方法可以证明f o r r e s t e r 猜想的一些特殊情况。 在证明上述常数项恒等式的过程中，我们的想法是：首先固定除一个参 数外的所有参数，这样这些常数项恒等式就可以看作是关于此参数( 例如a ) 的最高次数为d 的多项式。其次，我们容易验证a = 0 时，这些常数项恒等式左 右两边相等。最后，验证取其余d 个值时，等式成立，此步骤根据不同的等式 证明过程有所不同。在证明m o r r i s ，a o m o t o 与f o r r e s t e r 常数项恒等式过程中， 我们需要处理重根问题。应用多项式的观点我们证明了没有重根的情况。基 于d y s o n 型常数项的有理性( 臣l l m o r r i s ，a o m o t o 与f o r r e s t e r 常数项可以看作关于 其所有参数的有理函数) ，我们将其无重根的情况推广到一般情形。 其次，通过推广g o o d 证明d y s o n 猜想的方法，本文首次给出了关于鬈与羔 的d y s o n 系数的闭形式。进一步地，我们还构造了一种直接计算上述d y s o n 系 数的方法。此结果自然地延续7 z e i l b e r g e r 与s i l l s 所求的分母中不含有平方项 的d y s o n 系数的工作。利用上述结果，我们还构造出了几个有趣的d y s o n 型常数 项恒等式。 最后，我们证明了一个有理性的结论。一方面，此有理性结论在证 明m o r r i s ，a o m o t o 与f o r r e s t e r 常数项时被用来处理重根问题。另一方面，此 结论在求解d y s o n 系数时具有基础性作用。需要指出的是，一些研究者( 例 如，s i l l s ，z e i l b e r g e r ，吕仑，辛国策和周岳) 已经给出了某些d y s o n 系数( 例 如，m = 磬，m = 警，m = 裟，m = 鬟与m = 羔) ，他们的结果均暗 示t d y s o n 型常数项的有理性。 关键词：d y s o n 猜想，d y s o n 乘积，m o r r i s 常数项恒等式，a o m o t o 常数项恒等 式，f o r r e s t e r 猜想 i i a b s t r a c t a b s t r a c t i n1 9 6 2 ，b a s e do nap r o b l e mi np a r t i c l ep h y s i c s ，d y s o nc o n j e c t u r e dac o i l - s t a n tt e r mi d e n t i t y , w h i c hw a sc a l l e dd y s o n sc o n j e c t u r e d y s o n sc o n j e c t u r ew a s p r o v e di n d e p e n d e n t l yb e f o r eh i sp a p e rw a sp u b l i s h e db yg u n s o na n db yn o b e l - p r i z ew i n n e rw i l s o n l a t e r ，b ya p p l y i n gt h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ，a l le l e g a n t r e c u r s i v ep r o o fw a sp u b l i s h e db yg o o d 。m o r e o v e r ，b yu s i n gv a n d e r m o n d e sd e - t e r m i n a n ti d e n t i t ya n dm u l t i t o u r n a m e n t s ，z e i l b e r g e rg a v eac o m b i n a t o r i a lp r o o f h o w e v e r ，o v e rt h ey e a r s ，d y s o n sc o n j e c t u r eh a si n s p i r e dm a n yg e n e r a l i z a - t i o n sa n dv a r i a t i o n s ( e g q - d y s o nc o n j e c t u r e ，t h ei d e n t i t i e so fm o r r i s ，a o m o t o ， a n dt h ef o r r e s t e rc o n j e c t u r e ) w h i c ha r em u c hm o r ed i f f i c u l tt ob ep r o v e dt h a n t h eo r i g i n a ld y s o n sc o n j e c t u r e i n1 9 7 5 ，a n d r e w sc o n j e c t u r e dt h eq - a n a l o go fd y s o n sc o n j e c t u r ea n do b - s e r v e dt h a tt h ec a s e 死= 3f o l l o w e df r o maw e l l - k n o w ni d e n t i t y ( t h eq - a n a l o go f d i x o n st h e o r e m ) b u tt h eg e n e r a lf o r m u l ah a dr e m a i n e do p e nf o rad e c a d eu n t i l i tw a sp r o v e d ，c o m b i n a t o r i a l l y , b yz e i l b e r g e ra n db r e s s o u di n1 9 8 5 m o r e o v e r ，i t t o o kn e a r l yt w o m o r ed e c a d e sf o ras e c o n d ，m o r ee l e m e n t a r y , p r o o fo ft h eq - d y s o n c o n j e c t u r et ob ef o u n da n dt h i sp r o o fw a sd u e t og e s s e la n dx i n ，w h og a v eav e r y d i f f e r e n tp r o o fb yu s i n gp r o p e r t i e so ff o r m a ll a u r e n ts e r i e sa n do fp o l y n o m i a l s t h em o r r i sc o n s t a n tt e r mi d e n t i t yf i r s ta p p e a r e di nm o r r i s p h dt h e s i s a g e n e r a l i z a t i o no ft h em o r r i si d e n t i t yw a sg i v e nb ya o m o t o ，w h oe x t e n d e d i t se q u i v a l e n tf o r m ，t h es e l b e r gi n t e g r a l ，t oo b t a i nt h ea o m o t oc o n s t a n tt e r m i d e n t i t y a n o t h e rg e n e r a l i z a t i o no fm o r r i s c o n s t a n tt e r mi d e n t i t yw a sc o n j e c t u r e d b yf o r r e s t e r ，w h op r o v e dt h es p e d a le a s e sa = b = 0 ( f o r a l lk ，n o ，a n dn 1 ) a n d k = 1 ( f o ra l la ，b ，n o ，a n d 佗1 ) k a n e k op r o v e dt h es p e c i a lc a s e sn l = 2 ，3a n d 礼12 死一1 m o r e o v e r ，f o r r e s t e ra n db a k e rf o r m u l a t e daq - a n a l o go ff o r r e s t e r s c o n j e c t u r e o nt h eo t h e rh a n d ，g o o d si d e ah a sb e e ne x t e n d e db ys e v e r a la u t h o r s 。t h e c u r r e n ti n t e r e s ti st oe v a l u a t et h ec o e f f i c i e n t so fm o n o m i a l sm ：= 兀函z ，w h e r e 吕钆= 0 ，i nt h ed y s o np r o d u c t k a d e uo u t l i n e dt h eu s eo fg o o d si d e af o r i i i a b s t r a c t mt ob e 等，i 釜a n d 蛩a l o n gt h i sl i n e ，z e i l b e r g e ra n ds i l l sp r e s e n t e da c a s es t u d yi ne x p e r i m e n t a ly e tr i g o r o u sm a t h e m a t i c sb yd e s c r i b i n ga l la l g o r i t h m t h a ta u t o m a t i c a l l yc o n j e c t u r e sa n dp r o v e sc l o s e d f o r m u s i n gt h i sa l g o r i t h m ， s i l l sg u e s s e da n dp r o v e dc l o s e d - f o r me x p r e s s i o n sf o rm t ob e z _ a 蛩a n d 鬻 t h e s er e s u l t sa n dt h e i rq - a n a l o g sw e r er e c e n t l yg e n e r a l i z e df o rmw i t has q u a r e f r e en u m e r a t o rb yl v ，x i na n dz h o ub ye x t e n d i n gg e s s e l - x i n sl a u r e n ts e r i e s m e t h o df o rp r o v i n gt h eq - d y s o nt h e o r e m i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s san u m b e ro fw e l l - k n o w nc o n s t a n tt e r mi d e n t i t i e s ： t h ed y s o n ，m o r r i s ，a o m o t o ，a n df o r r e s t e rc o n s t a n tt e r mi d e n t i t i e s o u rm a i n c o n t r i b u t i o n si nt h i st h e s i sa r es t a t e da sf o l l o w s f i r s t l y , w ei n t r o d u c ea ne l e m e n t a r ym e t h o dt og i v eu n i f i e dp r o o f so ft h e d y s o n ，m o r r i s ，a n da o m o t oi d e n t i t i e sf o rc o n s t a n tt e r m so fl a u r e n tp o l y n o m i a l s t h e s ei d e n t i t i e sc a nb ee x p r e s s e da se q u a l i t i e so fp o l y n o m i a l sa n dt h u sc a nb e p r o v e db yv e r i f y i n gt h e mf o rs u f f i c i e n t l ym a n yv a l u e s ，u s u a l l ya tn e g a t i v ei n t e g e r s w h e r et h e yv a n i s h o u rm e t h o da l s op r o v e ss o m es p e c i a lc a s e so ft h ef o r r e s t e r c o n j e c t u r e h la uo ft h ep r o o f so fa b o v ec o n s t a n tt e r mi d e n t i t i e s i ti sr o u t i n et os h o w t h a ta f t e rf i x i n ga l lb u to n ep a r a m e t e r ，t h ec o n s t a n tt e r mi sap o l y n o m i a lo f d e g r e ea tm o s tdi nt h er e m a i n i n gp a r a m e t e r ，s a ya ，a n dt h a tt h el e f ts i d ea g r e e s w i t ht h er i g h ts i d ew h e n8 = 0 。t h ep r o o f st h e nd i f f e ri ns h o w i n gt h a tb o t hs i d e s v a n i s ha tda d d i t i o n a lp o i n t s i np r o o fo fm o r r i s ，a o m o t oa n df o r r e s t e rc o n s t a n t t e r mi d e n t i t i e s w en e e dt od e a lw i t hm u l t i p l er o o t s w el l s et h ep o l y n o m i a l a p p r o a c ht op r o v et h ec a s e si nw h i c ht h er o o t sa r ed i s t i n c t ，a n du s ea n o t h e r a r g u m e n t b a s e do i lt h ef o r mo ft h ec o n s t a n tt e r ma sar a t i o n a lf u n c t i o no fa l l t h ep a r a m e t e r s ，t oe x t e n dt h er e s u l tt ot h eg e n e r a lc a s e s s e c o n d l y ，t h ec l o s e d - f o r me x p r e s s i o n sf o rt h ec 。e f f i c i e n t so f 蓦a n d 差i n t h ed y s o np r o d u c ta r ef o u n db ya p p l y i n go , ne x t e n s i o no fg o o d si d e ai nt h i s t h e s i s m o r e o v e r ，w eg i v ead i r e c tw a yt oc o m p u t et h ec o e f f i c i e n t so f 誓a n d 去i n t h ed y s o np r o d u c t t h e s et w oc l o s e d f o r me x p r e s s i o n sn a t u r a l l yc o n t i n u e 一 卅 r e c e n tw o r kb ys i l l sa n dz e i l b e r g e r a sc o n s e q u e n c e s ，w ef i n ds e v e r a li n t e r e s t i n g d y s o ns t y l ec o n s t a n tt e r mi d e n t i t i e s i v t h i r d l y ，w ep r e s e n ta r a t i o n a l i t yr e s u l t ，w h i c hi sn e e d e di no u ra p p r o a 血的 t h em o r r i 8 ，a o m o t o ，a n df o r r e s t e rc o n s t a n tt e r m st od e a lw i t hm u l t i p l e r o o t s m o r e a v e r t 1 1 i sr e s u i tl a y st h ef o u n d a t i o no ff i n d i n gc o e f f i c i e n t s i nt h ed y s o n p r o d u c t w er e m a r kt h a tm a n yp e o p l e ( e g s i l l s ，z e i l b e r g e r ，l u ni v , g 1 1 0 c e x i n a n dy u ez h o u ) h a | v ef o u i l de x p l i c i tf o r m u l a sf o rs o m eo ft h ec o e f l j i c i e n t so ft h e d y s o np r o d 喊e g m t ob e 嚣，孑，魏，蓦a n d 磊) t h e i rr e s u l t s s u g g e s t t h er a t i o n a l i t vo ft h ed y s o ns t y l ec o n s t a n tt e r m s k e yw o r d s ：d y 8 。nc 。n j e c t u r e ，d y s o np r o d u c t ，m o t r i sc o n s t a n tt e 鼬i d e n t 吼 a o m o t oc o n s t a n tt e r mi d e n t i t y , f o r r e s t e rc o n j e c t u r e a m ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) ：0 5 a 3 0 ，3 3 d 7 0 - v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：、星企 秒，p 辞j 月口日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名；学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：汪佥 沁7 年f 月弓p 日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d 1 1 1 d y s o n sc o n j e c t u r e i n1 9 6 2 ，b a s e do nap r o b l e mi np a r t i c l ep h y s i c s ( d i s t r i b u t i o no fe n e r g yi n c o m p l e xs y s t e m s ) ，f j d y s o n 【1 5 】c o n j e c t u r e dt h ef o l l o w i n gc o n s t a n tt e r mi d e n - t i t y ： t h e o r e m1 1 ( d y s o n sc o n j e c t u r e ) f o rn o n n e g a t i v ei n t e g e r sa l ，a 2 ，口n ， c x t 蹦x ，a ) = 号高i 笋， w h e r ex ：= 0 1 。，i t n ) ，a ：= ( a l 。，t z n ) ，c t x ，( x ) m 死st ot a k et h ec o n s t a n t t e r mi nt h ez ，s 盯t h es e r i e s ( x ) a n d d n ( x ，a ) ：= 1 毋哆s 竹 1苁丫 卜i ( d y s o np r o d u c t ) d y s o n sc o n j e c t u r ew a sp r o v e di n d e p e n d e n t l y b e f o r eh i sp a p e rw a sp u b l i s h e d b yj g u n s o n 2 3 】a n db yn o b e l - p r i z ew i n n e rk g w i l s o n 【5 6 】l a t e r ，i j g o o d 【2 2 】g a v ea 1 1e l e g a n tr e c u r s i v ep r o o fb ya p p l y i n gt h el a g r a n g ei n t e r p o l a - t i o n b yu s i n gv a n d e r m o n d e sd e t e r m i n a n ti d e n t i t ya n dm u l t i t o u r n a m e n t s 【1 9 ， ac o m b i n a t o r i a lp r o o fw a sp u b h s h e db yd z e i l b e r g e r 【5 9 o t h e ra p p r o a c h e s t o w a r dd y s o n sc o n j e c t u r ea p p e a r e di n 【2 ，2 0 ，2 6 13 4 ，5 4 ，5 7 1 g e a n d r e w s 【l 】c o n j e c t u r e dt h eq - a n a l o go ft h e o r e m1 1 i n1 9 7 5 ： t h e o r e m1 2 ( z e i l b e r g e r - b r e s s o u d ) f o rn o n n e g a t i v ei n t e g e r sa l ，呶， c t x l i j n( 考l ( 罢g l 2 w h e r e ( 名) n ：= ( 1 一z ) ( 1 一名g ) ( 1 一z q n 一1 ) ( g ) 口l + d 2 + + 西； ( g ) 口。( g ) 口：( g ) g 。e 。a n d r e w s o b s e r v e dt h a tt h ec a s e 死= 3o ft h e o r e m1 2f o l l o w e df r o m aw e l l k n o w ni d e n t i t y ( t h eq - a n a l o go fd i x o n st h e o r e m 【1 3 ) r p s t a n l e y 【5 2 ，5 3 】 r e f o r m u l a t e dt h eq - d y s o nc o n j e c t u r ei nt e r m so fs y m m e t r i cf u n c t i o n sa n dp r o v e d al i m i t i n gf o r mo ft h ec o n j e c t u r e u s i n ga na p p r o a c ha n a l o g o u st og o o d s ，k w j k a d e l l 3 0 】p r o v e dt h ec a s e 几= 4 b u t t h eg e n e r a lf o r m u l ah a dr e m a i n e do p e n f o rad e c a d eu n t i li tw a sp r o v e d ，c o m b i n a t o r i a l l y , b yd z e i l b e r g e ra n dd m b r e s s o u df 6 1 1i n1 9 8 5 l a t e r ，d m b r e s s o u da n di p g o u l d e n 【1 0 1e x t e n d e dt h e z e i l b e r g e r b r e s s o u da p p r o a c ht os o m eg e n e r a l i z a t i o n so fq - d y s o nc o n j e c t u r e ，a n d j r s t e m b r i d g e 【5 5 】g a v ea ne l e g a n tr e c u r s i v ep r o o f o ft h ee q u a lp a r a m e t e rc a s e m o r e o v e r ，i tt o o kn e a r l yt w om o r ed e c a d e sf o ras e c o n d ，m o r ee l e m e n t a r y , p r o o f o ft h eq - d y s o nc o n j e c t u r et ob ef o u n da n dt h i sp r o o fw a sd u et oi m 。g e s s e la n d g x i n 【2 1 ，w h og a v e av e r yd i f f e r e n tp r o o fb yu s i n gp r o p e r t i e so ff o r m a ll a u r e n t s e r i e sa n do fp o l y n o m i a l s o nt h eo t h e rh a n d ，g o o d si d e a 2 2 】f o rp r o o fo fd y s o n sc o n j e c t u r eh a sb e e n e x t e n d e db ys e v e r a la u t h o r s t h ec u r r e n ti n t e r e s ti st oe v a l u a t et h ec o e f f i c i e n t s o fm o n o m i a l sm ：= n ：oz ，w h e r e 玩= 0 ，i nt h ed y s o np r o d u c t k w j k a d e l l 3 3 】o u t l i n e dt h eu s eo fg o o d si d e af o rm t ob e 嚣，且z n - l z n a n d 学a l o n g t h i sl i n e ，d z e i l b e r g e ra n da v s i l l s 【5 1 】p r e s e n t e dac a s es t u d yi ne x p e r i m e n t a l y e tr i g o r o u sm a t h e m a t i c sb yd e s c r i b i n ga na l g o r i t h mt h a ta u t o m a t i c a l l yc o n j e c - t u r e sa n dp r o v e sc l o s e d f o r m u s i n gt h i sa l g o r i t h m ，a v s i l l s 【5 0 】g u e s s e da n d p r o v e dc l o s e d - f o r me x p r e s s i o n sf o rm t ob e 嚣，蛩a n d 等 p r o p o s i t i o n1 3 l e t7 ，s ，ta n d 珏b ed i s t i n c ti n t e g e r sw i t h1sr ，s ，t ，锃na n d 2 亿4 t h e n c t x 。d ( x 一( 击) 嘶， 旱差蹦x i a ) - c x t 舭x r x s 。仇( x ，a ) 。 = 两a 三筹警a 嚣带a 妥a t 习) ， = - - - - - - - - - - - - - - - - - - 二- 二二二一，、 ( 1 + 一毗) ( 1 + 一) ( 1 + 一一o u ) 。忆、4 ， w h e r ea ：= a l + a 2 + + a na n d g ( a ) ：一( a a n + l f n 2 a 2 + ! - - 训+ a n p r o p o s i t i o n1 3a n di t sq - a n a l o g sw e r er e c e n t l yg e n e r a l i z e df o rmw i t ha s q u a r ef r e en u m e r a t o rb yl l v ，g x i na n dy z h o u 4 0 】b ye x t e n d i n gg e s s e l - x i n sl a u r e n ts e r i e sm e t h o d 2 1 】f o rp r o v i n gt h eq - d y s o nt h e o r e m p r o p o s i t i o n1 4 l e t ，：= i 1 ，i s ，) b eas e tw i t hl i 1 ，i 2 ，i ，l n a n d 歹l ，j pg ，b ed i s t i n c tp o s i t i v ei n t e g e r sw i t h1 j l , j 2 ，j l ，礼t h e n 甥吃 1 z i l z t 2 z i m仉( x a ) = ( - 1 ) d 万磐丽g ( a ) ， g # t c 一一 。、，_ 1 w h e r et h ep sa r ep o s i t i v ei n t e g e r sw i t h ：l p i = m ，t ：= 【t 1 ，t d i sad e l e m e n ts u b s e to ia n d 盯( t ) ：= a t l + a t 2 + + 吼d t h ec a s e sf o rm h a v i n gas q u a r ei nt h en u m e r a t o rw e r em u c hm o r ec o m p l i c a t e d i n ( 3 9 】，b ye x t e n d i n gg o o d si d e a ，w eo b t m n e dc l o s e df o r m sf o rt h e s i m p l e s tc u s e sm = 骞a n d m = 熹 1 1 2t h em o r r i s ，a o m o t o ，a n df o r r e s t e ri d e n t i t i e s o v e rt h ey e a r s ，d y s o n sc o n j e c t u r eh a si n s p i r e dm a n yg e n e r a l i z a t i o n sa n d v a r i a t i o n s ( e g t h ei d e n t i t i e so fm o r r i s 【4 6 ，a o m o t o 【3 ，3 3 ，a n dt h ec o n j e c t u r e s o ff o r r e s t e r 1 7 a n dm a c d o n a l d 【4 1 】) w h i c ha r em u c hm o r ed i f f i c u l tt ob ep r o v e d t h a nt h eo r i g i n a ld y s o n 8c o n j e c t u r e 4 6 】 t h em o r r i sc o n s t a n tt e r mi d e n t i t yf i r s ta p p e a r e di nw g m o r r i s p h dt h e s i s 3 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h e o r e m1 5 ( m o r r i sc o n s t a n tt e r mi d e n t i t y ) f o r8 ，b ，n ( t h en o n n e g a t i v e i n t e g e r s ) ，d e f i n e 日c z 。，z - 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