（运筹学与控制论专业论文）累积和控制图参数选取方法.pdf

摘要 控制图是监控生产过程状态、保证过程质量的一种重要的统计过程控制工 具。为了提高控制图对过程小波动监控的灵敏性，p a g e 于1 9 5 4 年提出了累积和 控制图。累积和控制图把过程的小波动累加起来以达到放大的效果，所以当过程 发生小波动时，它能够及时地监控出来，从而提高控制图的监控效率。关于累积 和控制图的研究主要集中在三个方面：累积和控制图理论的完善；累积和控制图 应用的拓展；累积和控制图的算法实现技术。控制参数的设计是累积和控制图理 论的关键。本文对累积和控制图的参数k 和日进行了研究和分析。 本文首先介绍了累积和控制图的数学原理序贯概率比检验和构造累积 和控制图的两种方法：v 型模板法和列表法。并给出了两组参数k 、日和d 、0 的关系，k 为参考值，日为判定距，d 为前置距离，0 为v 型半角。然后，讨 论了根据累积和原理来选取参数k 和，详细论证了当质量特性服从正态分布、 二项分布、几何分布、指数分布、泊松分布时参数的选取，并分别给出了它们的 结果。又以平均运行长度为标准来讨论参数k 和日的选取，介绍了国外两种计 算平均运行长度的方法：经典积分法和马尔可夫链法。给出了基于平均运行长度 选取参数的准则。最后在经济意义下考虑累积和控制图的设计，介绍了l v 经济 模型，并建立了累积和控制图的经济模型。找到了获取最优参数足和日的一种 优化搜索算法遗传算法，给出了遗传算法的求解过程。 本文的特色与创新之处主要表现在：利用序贯概率比检验原则，确定出 最优参数：建立了累积和控制图的经济模型；利用遗传算法，求解出最优 参数。 关键词：累积和控制图参数选取平均运行长度经济模型遗传算法 a b s t r a c t c o n t r o lc h a r t s ，w h i c hc o n t r o lt h ep r o d u c t i o np r o c e s sc o n d i t i o na n dg u a r a n t e e t h ep r o c e s sq u a l i t y , a r et h ei m p o r t a n ts t a t i s t i c sp r o c e s sc o n t r o lt o o l s i no r d e rt o i m p r o v et h es e n s i t i v i t yt h a tc o n t r o lc h a r t sm o n i t o rt h es m a l lu n d u l a t i o no f t h ep r o c e s s ， p a g ep r o p o s e dt h ec u m u l a t i v es u m ( c u s u m ) c o n t r o lc h a r t si n1 9 5 4 t h ec u s u m c o n t r o lc h a r t sa c c u m u l a t et h es m a l lu n d u l a t i o no ft h ep r o c e s st oa c h i e v et h e m a g n i f i c a t i o ne f f e c t ，t h e r e f o r ew h e nt h ep r o c e s sh a st h es m a l lu n d u l a t i o n , i tc a l l p r o m p t l yf i n do u t , t h e ne n h a n c et h em o n i t o r i n ge f f i c i e n c yo ft h ec o n t r o lc h a r t s t h e r e s e a r c ho ft h ec u s u mc o n t r o lc h a r t s m a i n l yc o n c e n t r a t e o nt h r e e a s p e c t s ： c o n s u m m a t i n gt h et h e o r yo ft h ec u s u mc o n t r o lc h a r t s ；d e v e l o p i n gt h ea p p l i c a t i o no f t h ec n s u mc o n t r o lc h a r t s ；r e s e a r c h i n gt h ea l g o r i t h mr e a l i z a t i o nt e c h n o l o g yo ft h e c n s u mc o n t r o lc h a r t s t h ed e s i g no ft h ec o n t r o lp a r a m e t e ri st h ek e yo ft h ec u s u m c o n t r o lc h a r t st h e o r y t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e sa n d a n a l y z e st h ed e s i g no fk 、h w h i c h i st h ep a r a m e t e ro f t h ec u s u mc o n t r o lc h a r t s i nt h i sp a p e r , w ef i r s ti n t r o d u c et h em a t h e m a t i cp r i n c i p l eo f t h ec n s u mc o n t r o l c h a r t st h a ti st h es e q u e n t i a ll i k e l i h o o dr a t i ot e s ta n dt w om e t h o d so fc o n s t r u c t i n gt h e c u s u mc o n t r o lc h a r t s ：t h ev - m a s km e t h o da n dt h el i s tm e t h o d a n dw eg i v et h e r e l a t i o n sb e t w e e nt w og r o u p so fp a r a m e t e r sk 、ha n dd 、0 ，w h e r eki st h e r e f e r e n c ev a l u e ，hi st h ed e t e r m i n a n td i s t a n c e ，di st h el c a dd i s t a n c e ，0i st h e h a l f a l l g l e o fvm a s k a n d t h e n , w e协i l 【o nh o wt oc h o o s e p a r a m e t e r k a n d h a e c o r d i n gt ot h em a t h e m a t i ct h e o r yo ft h ec u s u m w h a t sm o r e ， w ep r e c i s e l yp r o v et h es e l e c t i o no fp a r a m e t e rw h e nt h eq u a l i t yc h a r a c t e r i z a t i o n s u b j e c t st on o r m a ld i s t r i b u t i o n 、b i n o m i a ld i s t r i b u t i o n 、e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n 、 p o i s s o nd i s t r i b u t i o n ，a n dg i v et h e i rr e s u l t sr e s p e c t i v e l y w ea l s ol o o ko na v e r a g ea m l e n g t h ( a r l ) a sac r i t e r i o n , t ot a l ka b o u tp a r a m e t e rka n dhs e l e c t i o n , s u m m a r i z i n g t w om e t h o d so fc a l c u l a t i n ga r e ：t h ec l a s s i c a li n t e g r a lm e t h o da n dt h em a r k o vc h a i n m e t h o d w eg i v et h ep a r a m e t e rs e l e c t i o nr u l e so nt h eb a s i so fa r l f i n a l l y , w et a k e i n t oa c c o u n tt h ed e s i g no f t h ec u s u mc o n t r o lc h a r t su n d e rt h ee c o n o m i c a ls i g n i f i c a n c e ， i n t r o d u c et h el ve c o n o m i cm o d e la n de s t a b l i s ht h ee c o n o m i cm o d e lo ft h ec u s u m 2 c o n t r o lc h a l t s w ef i n dt h eo n ek i n do f o p t i m i z e ds e a r c ha l g o r i t h mo f g a i n i n g t h em o s t s u p e r i o rp a r a m e t e r ka n d hw h i c hi sg e n e t i ca l g o r i t h m ，a n dp r o v i d et h es o l u t i o n p r o c e s so f g e n e t i ca l g o r i t h m t h ec h a r a e t e r i s t i c sa n dt h ei n n o v a t i o no ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ：f i r s t l y , u s i n gt h es e q u e n t i a ll i k e l i h o o dr a t i ot e s tt od e t e r m i n et h em o s ts u p e r i o rp a r a m e t e r ； s e c o n d l y , e s t a b l i s h i n gt h ee c o n o m i cm o d e lo f t h e c u s u mc o n t r o lc h a r t s ；f i n a l l y , u s i n g t h eg e n e t i ca l g o r i t h mt og a i nt h em o s ts u p e r i o rp a r a m e t e r k e y w o r d s ：c u m u l a t i v es u m c o n t r o lc h a r t ，p a r a m e t e rs e l e c t i o n , a v e r a g er u nl e n g t h ， e c o n o m i cm o d e l ，g e n e t i ca l g o r i t h m 3 第一章绪论 累积和控制图是监控过程的小波动的一种有效的统计工具。控制参数的设 计是完善累积和控制图理论的关键。本文对累积和控制图的参数k 和日进行了 研究和分析。本章主要介绍论文研究的背景及意义，以及国内外研究现状和论文 的主要内容及框架。 1 1 研究背景及意义 在产品的制造过程中，产品质量特性值总是波动的。为了减少制造过程的波 动，要对生产过程进行统计控制。统计过程控制( s p c ) 理论源于上世纪二十年代 美国的贝尔电话实验室。经过研究，休哈特博士提出了过程控制理论及监控过程 的工具一控制图。此后休哈特控制图获得了广泛应用，并取得了巨大的经济效益。 休哈特控制图的缺点是只利用了过程当前点子的信息，而没有充分利用整个过程 的样本信息，故对过程小波动的监控不够灵敏。为此，1 9 5 4 年e s p a g e 1 1 最早应 用序贯分析原理，将一系列样本点子的微小信息累积起来，提出了累积和控制图， 从而可提高控制图对生产过程小波动的监控灵敏度。 在监控过程发生小波动时，累积和控制图要比休哈特控制图的效果明显。一 旦，过程发生小的偏移时，累积和控制图就能很快的地发出警报。在产品制造过 程中，累积和控制图是一种很有效的监控工具。所以，对它的理论设计也尤为重 要。一般的休哈特图都是在3 盯原则上建立的，而累积和控制图则以序贯概率比 检验为依据构造的。国内外学者对累积和控制图的设计不少，但是从经济意义下 来设计累积和控制图的却很少。作者在考虑了这些因素之后，决定从它的数学理 论基础和经济意义下来讨论它的设计，而设计累积和控制图重要的是参数k 和 的选取，其中足为参考值，h 为判定距。所以，在本文中作者就对累积和控 制图参数选取的方法进行了深刻的讨论。 1 2 国内外及相关研究 自从p a g e 于1 9 5 4 年提出累积和控制图以来，英国和美国的一些数理统计 专家如w d e w a n f 2 1 、k w k e m 【3 1 、n l j o h n s o n & e c l e o n e 4 1 等先后对其进行了 研究。使其理论得到更进一步的补充和完善。国外对累积和技术的理论和应用研 究一直没有停止过，近年来又有新的成果出现，如b o u r k e ( 1 9 9 1 ) 提出了基于连续 合格品数的c u s u m 控制图；k a m i n s k y 等( b e n n e y a n ，d a v i s 和b u r k e ，1 9 9 2 ) 分析 了基于几何分布的控制图；q u s e n b e r r y ( 1 9 9 5 ) 提出了控制过程方差的c u s u mq 控制图；s h i n glc h a n g t h o m a sr s a m u e l l 5 ( 1 9 9 8 ) 黜了使用c u s u m 控制图 的一种新的方法一控制点方法；j a m e sc f u 等【6 j ( 2 0 0 2 ) 用马尔可夫链法计算了 c u s u m 控制图与e w m a 控制图的平均运行长度，并分别给出了运行长度分布； a l b e r t ol u e c n o & j a i m ep u i g p e y 刀( 2 0 0 2 ) 用高斯方程法算出了运行长度的概率分 布和平均运行长度。 近年来国内对累积和理论的研究又有新的发展，如崔恒斟8 1 ( 1 9 9 7 ) 研究了控 制过程方差的c u s u mq 图，对用于监控过程离散特性变化的累积和理论作了研 究；孙静、张公绪【9 】( 1 9 9 8 ) 以连续不合格品数为控制对象，设计了几何c u s u m 控制图，并分析论证了它是最优的；孟祥新、廖永平【i o l ( 2 0 0 0 ) 通过比较c u s u m 图和p n 图的平均运行长度，得出c u s u m 图的性能优于p n 图：濮晓龙 h i ( 2 0 0 1 ) 对过程参数未知时的连续检验问题进行研究，讨论当过程方差未知时，用近似服 从标准正态分布的统计量来作为检验统计量；濮晓龙【1 2 】( 2 0 0 3 ) 提出了累积和 ( c u s u m ) 检验的一种新的改进方法；王殊轶【1 3 】( 2 0 0 4 ) 研究了c u s u m 控制图 的一种优化设计方法，提出了一种以田口质量损失函数最小为目标的c u s u m 控 制图；王前洪、张宇【1 4 1 ( 2 0 0 6 ) 研究了应用c u s u m 控制图监控过程变差，提 出了三种主要的监控过程变差方法，并结合案例比较指出各自的不足。 1 3 主要研究内容与框架 本文首先介绍了累积和控制图的数学原理序贯概率比检验。然后讨论了 根据序贯概率比检验选取参数k 和日，分别给出了当质量特性服从正态分布、 二项分布、几何分布、指数分布、泊松分布时参数k 和日公式的选取。又以平 均运行长度为标准来讨论参数k 和日的选取，给出了基于平均运行长度选取参 数的准则。最后在经济意义下考虑累积和控制图的设计，建立了累积和控制图的 经济模型。找到了获取最优参数足和日的一种优化搜索算法一遗传算法，给出 了遗传算法的求解过程。 本文的主要研究框架如下： 第一章绪论该章主要介绍研究背景及意义、国内外及相关研究、本文基本 的框架结构和创新点。 第二章累积和控制图的原理及方法主要介绍了累积和控制图的数学原理 一序贯概率比检验，讨论了累积和控制图常用的两中方法：v 型模板法和列表法， 给出了两组参数的关系。 第三章基于序贯概率比检验的参数选取方法讨论了质量特性服从正态分 布、二项分布、几何分布、指数分布时参数足和日的选取。 第四章基于平均运行长度参数选取方法介绍了计算平均运行长度的两种 方法：经典积分法和马尔可夫链法。给出了基于平均运行长度参数k 和圩选取 的准则。 第五章基于l v 经济模型的参数选取方法介绍了l v 经济模型，建立了累 积和控制图的经济模型。并给出了求解最优参数k 和日的算法遗传算法。 1 4 研究特色与创新之处 本文重点研究累积和控制图参数选取的方法，讨论了基于三种刁i 同原则的参 数选取方法。建立了累积和控制图的经济设计模型，给出了获得最优参数的算法。 本文的研究特色与创新之处在于以下三点： ( 1 ) 把累积和控制图的数学原理序贯概率比检验作为选取参数的一种原 则，继而根据命题1 推导出当质量特性值服从几种常见分布时，参数k 和日的 公式。 ( 2 ) 在设计累积和控制图时，考虑它的经济意义，在l v 经济模型的基础上 建立了累积和控制图的经济模型。 ( 3 ) 在对累积和控制图的经济模型求解最优参数时，由于它是一个很复杂的 非线形模型，一般的优化算法不适用，所以选用功能很强的优化搜索算法遗传 算法来求出最优参数。 7 第二章累积和控制图的原理及方法 在生产过程中，用控制图对产品的质量特性值进行监控取得了良好的效果。 普通休哈特控制图得到了广泛的应用，而它是对当前的产品质量特性值进行描 点，观察该点是否在控制界限内。如果在控制界限内则说明过程受控，生产继续； 如果在控制界限外说明过程失控，控制图报警。对于一般的波动，休哈特控制图 很容易检测出来，但是当波动比较小时，则不容易检测出来。累积和控制图是把 以前的信息累加起来，对小的波动检测效果很好。但是，累积和控制图的构造并 不像休哈特控制图那样简单，它们所依据的原理也不相同。本章主要讨论累积和 控制图的数学原理以及它的构造方法。 2 1 累积和控制图原理 控制图实际上是一种重复不停的假设检验。例如在x 控制图上，每一个点子 都是在对“均值是等于图的中心线”的假设进行检验。如果画上去的一个点子落 在控制界限内，那么就接受这个假设；反之就否定。若采用3 a 为控制界限，则 第一类错误盯为0 0 0 2 7 累积和控制图则以序贯概率比检验为其主要依据，也即 是说累积和控制图的数学原理为序贯概率比检验。下面主要介绍序贯概率比检验 和根据累积和控制图原理建立传统的累积和控制图。 2 1 1 序贯概率比检验 序贯概率比检验是每次只从需检测的一批产品中抽检一个样本的产品，然后 根据过去抽检的各样本的测试结果，比较在两种不同假设瓯，q 时出现上述序 ， 贯测试结果的概率，以这两种概率的比值_ i i m 一( 统计上称为q 对h o 的似然比) o m 作为判断的依据。如果概率比远大于1 ，说明e 成立的可能性大；如果概率比远 小于1 ，说明风成立的可能性大。如果两种假设下的概率相差不大，则继续抽 检下一个样本，再重复上述过程，直到能明确做出接受或q 的假设为止。 p 回给出一个很重要的命题： 命题l ： ， 若a ( 一为远大于l 的数) ，则接受q ： 0 m ， 若b ( b 为远小于l 的数) ，则接受峨； l o m 若口 寻t 1 0 ) 其中为样本石的均值，发生第一类错误和第二类错误的概率分别为和p 我 们不能接受风或q 如果满足以下条件： t 3 ( 卜n ) t o ) ，所以4 对h o 的 似然比为： 丘： 则由命题1 可知： 即 = e x p l 。2 仃1 - - 匕。 z 黔驴础2 c x p 专 z 打风，_ m a 2 警 1 4 喜薯丢l n l - _ _ 口p p + 所+ 尹a ( 3 ) 时，接受此时，均值发生了偏移从胁改变到“，说明过程发生异常，累积和控 制图报警。式( 3 1 ) 判定准则可以用( x ，- k ) h 来表达。将式( 3 1 ) 变形为： i = l ；( 玉分丢2 一n 警 2 ， 所以，由式( 3 2 ) 检验方案参数可以确定： 足= 风+ 会，日= 丢，n 半 3 1 2 样本容量疗 1 时的参数选取 当样本容量胛 1 时，顺序测得的样本均值为i ( i - l ，2 ，m ) 要求检验均值 由风到“= 脶+ 的改变，标准差仃已知。此时i 的密度函数为 币纠= 丽i 唧惨卅 其中吒= o r 二原假设为u o ：= 风，备则假设为：p = a = p o + a ( 1 1 1 0 ) ， 所以q 对风的似然比为： 。一 ，o 。 ( 风) “e x p一上羔( i 一“) 2 2 0 - i = l ( 风) 一e 冲一上兰( i 一风) 2 2 t y - i _ l 、 则由命题l 可知 一? 目2 秆计。 唧斟弦计础2 半 即 喜i h 半+ 帆+ 尹a s ， 时，接受啊此时，均值发生了偏移从风改变到“，说明过程发生异常，累积和控 制图报警。式( 3 3 ) 判定准则可以用( i 一足) 日来表达。将式( 3 3 ) 变形为： 喜( i 一分手h 半 4 ， 所以，由式( 3 4 ) 检验方案参数可以确定： k = 鸬+ 会，= 詈b 半 甘( g a n , 1 9 9 1 ) 【17 】用数值计算验证了当利用累积和对正态均值进行控制时， 使用序贯概率比检验方法得到的参数佰k 是最优的。 3 2 二项变量累积和控制图的参数选取 在生产过程中，产品的质量特性值有可能服从二项分布，比如产品的不合格品 率和不合格品数均服从二项分布。下面就分别讨论样本容量疗- - 1 和样本容量疗 l 时，二项变量累积和控制图参数和足的选取。 3 2 1 样本容量n = l 时的参数选取 在标准p 图上所绘点子的纵坐标通常被看作是二项分布变量的观测值。假 定( i = l 2 ) 是独立随机变量，当样本容量打= 1 时其分布为： p 薯= 1 ) = p ，p = 0 ) = l - p ( o s p s l ) 原假设为风：p = p o ，备则假设为q ：p = p 。( p o 所以，由式( 3 6 ) 检验方案参数可以确定： l n 上笠 肛墨壶一 p o ( 1 一p 1 ) l n ! - p 口 l n 旦! ! 二鱼! 岛( 1 一p 1 ) 3 2 2 样本容量n 1 时的参数选取 当样本容i - n l 时，令z 为顺序取得的样本中的不合格品数，则 j p ( x = ) = c = ；p 。( 1 - p ) ”叫( o p 1 ) ( 3 6 ) 原假设为h o ：p = p o ，备则假设为h i ：p = p l ( p o l 时，几何变量累积和控制图参数日和k 的选取。 3 3 1 样本容量n = l 时的参数选取 假设生产过程受控，产品为不合格品的概率为p ，产品彼此独立，则每一个 产品都是一个参数为p 的贝努里随机过程的试验。令x 表示观察到第一个不合 格品时所检测的合格品数，则x 服从参数为p 的几何分布： e ( x = 石) = p ( 1 - p ) 1 ( 0 p 1 ) 原假设为风：p = p o ，备则假设为q ：p = p 。( p o 1 时的参数选取 当样本容量疗 l 时，设子样五，恐，为样本规模为聍的随机样本，并且 每个五( f = 1 ，甩) 均服从几何分布： 尸( x = ) = v ( 1 - p ) 4 ( o p 1 ) 则玉，而，相互独立，服从同一几何分布的随机变量。每个样本中观察到最后 一个不合格品时所检测的合格品数总数用统计量r 表示，则t - - - - x 1 + 而+ + ， 9 它是由相互独立月具有相同几何分布的随机变量之和构成，从而是一个服从负二 项分布的随机变量。则它的概率分布为： e ( r = f ) = 皑一。1 , o - p ) ( o p i ) 原假设为h o ：p = p o ，备则假设为h i ：p = p 。( 风 p j ) ，所以h i 对h o 的似然比为： i l i r a f i 苗锱c i n 葛一- 。i 岛p l ( ( | l 一- - p 0 p 1 ) ) t f 则由命题l 可知： 耳 魂c 焉i _ l p l 而( 1 - - p 1 ) t p l l - _ 盯_ a 即： l n 业一朋池旦 i = i 。l l n 生盟 l 一风 ( 3 1 1 ) 时，接受q ，则认为过程发生异常，控制图报警。式( 3 i i ) 判定准则可以用 卅 ( 一k ) 日来表达。将式( 3 1 1 ) 变形为： j = l 所以，由式( 3 1 2 ) 检验方案参数可以确定： 础盟 k ：坠 l n 生盟 l 一 l n 业 朋2 盎i n i - p - 。 1 - p o 3 4 指数变量累积和控制图的参数选取 ( 3 1 2 ) 在生产过程中，产品的质量特性值x 也有可能服从指数分布。下面就来讨 2 0 ，( x ) = 勉如( a 为一常数) 原假设为凰：五= 凡，备则假设为h 。：a = 丑( 矗 h 来表达。将式( 3 1 3 ) 变形为： f = l 。l n 争l n 坐 善 一看净看 。1 4 所以，由式( 3 1 4 ) 检验方案参数可以确定： l n 查 足= 了每， o - - l l n 业 日： 垡 3 o - 3 5 泊松变量累积和控制图的参数选取 在生产过程中，产品的质量特性工也有可能服从泊松分布。下面就来讨论 当样本容量为1 ，x 服从泊松分布时，累积和控制图参数的选取。当x 服从泊松 分布时，它的概率函数为： p ( z ) = - u e 一4 ( a 为一常数) 2 1 原假设为h o ：a = 凡，备则假设为h i ：五= a ( 垡 一- n 砉 所以，由式( 3 1 6 ) 检验方案参数可以确定： k 2 铲菁 ( 3 1 6 ) 总结：本章主要介绍了根据累积和原理一序贯概率比检验来选取参数置和 日，讨论了质量特性服从正态分布、二项分布、几何分布、指数分布、泊松分 布时参数的选取。并且分别给出了参数k 和日的取值。 一一一 笙掣一笪掣 。 = “一 兰盯 一一一 种一掣一望引 。兀h 第四章基于平均运行长度参数选取方法 常用的控制图评价标准是平均运行长度a r l ( a v e r a g er u nl e n g t h ) ，其定义 为：在给定的质量特性水平下，控制图从开始打点直到发出警报为止，所抽取的 平均样本数。首先我们要区分受控状态的平均运行长度a r 厶和失控状态的平均 运行长度a r 厶受控状态的平均运行长度a r l o 是指对某个确定的质量特性水 平，从开始用控制图监控直到发出第一个出界点为止控制图上所描的点的平均个 数；失控状态的平均运行长度a r 厶是指过程中出现了一个偏移开始到控制图上 出现第一个出界点为止控制图上所描的点的平均个数。 对一般的休哈特控制图来讲，假设在一个固定的状态下描点出界的概率为 p ，则第s 个点为第一个出界点的概率为p ( 1 一p y 一，于是产生第一个出界点所需 的描的点的个数服从以下几何分布： p ( z = s ) = p ( 1 一p ) 1 我们根据几何分布来求它的期望值就可以得到平均运行长度： a r l ：e 化) ：一i p 当过程处于稳定状态时，点子落在控制界限外的概率就是虚发警报的概率， 即p = 口；当过程处于异常状态时，点子落在控制界限内的概率就是漏发警报的 概率，即p = l - # 因此，没有发生偏移时，受控平均运行长度彳兄k = 二；当过 口 程发生了偏移时，失控平均运行长度爿码= i 与 对于一般的休哈特控制图，如果知道虚发警报的概率口和漏发警报的概率 则可以分别计算出爿碰日和一彪1 但是累积和控制图的平均运行长度是关于参数 和k 的函数，计算比较困难。对于连续变量，利用计算机求解积分方程或通 过仿真，可以得到a r l 值。下面就着重介绍求离散变量的累积和控制图的平均 运行长度的两种方法。一种方法为“经典法”，也即是把检验方案看着w a l d 序贯 概率比检验的序列，通过分析得到积分方程，并将其转化为一组线性代数方程， 从而用精确方法得到方程组的解。另一种方法是把检验方案看作一个马尔可夫 链，获得链的转移矩阵后，根据矩阵的属性来确定所选方案的运行长度，然后求 其期望值就得到平均运行长度a r l 这种方法被称为马尔可夫链法。 4 1 经典积分法 在过程控制中，对一个检验方案来说，平均运行长度是过程质量的函数。为 了方便，我们用表示a r l 当过程受控时，用l o 表示a r l o ；当过程失控时， 用厶表示a r l l - p a g e t l 砌和k e m p 州带固定控制界限的累积和控制图作了深刻的 研究与分析，把它看作一个特殊的w a l d 试验并给出了数值解。下面主要介绍用 积分方程来求解a r l 首先考虑控制过程上偏的累积和控制图，此时它的检验方案可以看作w a l d 序贯概率比检验的序列。定义每一个w a l d 检验如下：累积和为s = 墨一。+ ( 而- k ) ， 上界限为日，下界限为0 ，当o 墨 h 时，继续检验；当从s = z ( o z l 所以“受控试验”个数的期望值 僻驷( 。脚叫。) ) = 器 设对应控制过程上偏的累积和控制图的平均运行为u o ) ，则 砌) 甜( r ) 1 ( o ) “2 ( 。) 2 器忡) + 2 ( 。) 一p ( o ) l ( o ) + i - p ( o ) n 2 ( 0 ) i - p ( 0 ) ：盟 ( 4 1 ) 1 - p ( o ) 由式( 4 1 ) 可知：知需求出( o ) 和p ( o ) 就可以得到控制过程上偏的累积和控制 图的平均运行长度“o ) p a g e 和k 锄p 在6 0 年代求出芒竿茜的数值解，但这 种方法很烦琐。随着计算机的发展，另一种方法被广泛使用，构造一个关于u o ) 和( z ) 的积分方程，用计算机来近似求解。具体过程如下： 设f ( 工) 表示观测值工的分布函数。如果初始累积和为z ，考虑从z 开始的 w a l d 检验，求关于p ( z ) 、n ( z ) 和( z ) 的公式。 取下一个观测值x ，它有三种可能的情况，如下： ( 1 ) 当x k z 时：新的累积和为0 ，检验终于下界限； ( 2 ) 当k z 工日+ k z 时；新的累积和为z + x k ，检验继续进行； ( 3 ) 当x 日+ k z 时：新的累积和为，检验终于上界限。 发生( 1 ) 的概率是f ( k z 1 ；如果( 2 ) 发生，则对每个y = z + x k ，0 0 ，q o ，p + q = l 为了求出t ( 0 1 的值，需要分别令( 4 2 ) ，( 4 3 ) ，( 4 4 ) 中的z = o ，然后 利用计算机可以直接列出线形方程组，求得( o ) 也即是方案( h ，k ) 确定时， 求解积分方程，就可得到控制过程上偏的累积和控制图平均删f f l ( 0 1 同样，可以得到控制过程下偏的累积和控制图平均运行长度值( 0 ) 对于双侧检测方案，k e m p 1 9 l 于1 9 6 1 年给出了平均运行长度的公式： 三：上上 l 厶厶 此处厶为控制过程向上偏移方案的a r l ，厶为控制过程向下偏移方案的a r l ， 工为同时控制两侧偏移时方案的a r l 4 2 马尔可夫链法 b r o o k 和e v a n s t 2 0 在1 9 7 2 年提出了一种新的计算平均链长的方法一马尔可 夫链方法。该方法把检验方案看作一个马尔可夫链，获得链的转移概率矩阵后， 用矩阵的属性来确定所选方案的链长，这种方法可以用于任何离散分布情形。同 时，它也可以近似求出当随机变量服从连续分布时的平均运行长度。 考虑当随即变量服从离散分布的情形。设善为整数随机变量，k 和日为正整 数值，则随机变量最= ( 磊一k ) 只能取o ，l h 中的整数值。如果& = f ，则决 i = 1 策区间方案处于状态e 方案的每次实现( 即从一个状态到另一个状态) 都被认 为是在状态磊，置9o o 9 之间的一次随机漫步。假定过程最初在昂状态，晶是吸 收状态。 状态巨( i = o 1 日) 的转移概率可以通过的手概率分布唯一获得，具体如下： p ，。= p ( 耳- 日) = p ( 善k - z ) p v = 尸( 置_ 髟) = p ( 善= k + _ ，一i ) p s = p ( 易 ) = p ( f k + 日一i ) 这样就构成了一个马尔可夫链。给定日和k ，马尔可夫链的转移概率矩阵可以 根据手的概率分布来构造。从而可以确定运行长度。令 p r = p ( 孝一k = ，) ，c = e ( e k r ) 则转移概率矩阵p 的形式如下： p = 磊a岛 只i p op l p i p j l jn ip 2 - j p 知 p 日一l q1 - 一l 。 量岛一h p l 乃- ( ) 风 l 一只 0oo00l 从矩阵p 中划掉最后一行和一列，得到的矩阵r 称为基础矩阵。对矩阵r 进行计算，可以得到我们所需要的一些结果。其中，r 的特征值即为p 的特征值。 令置为从状态弓开始第一次到达状态的步数，0 为置的第s 阶阶矩， - r 之 卜卜 此处 ”= e z ”】= e 置( 墨一) ( 置一s + ) ) 考虑一步以后的马尔可夫链，有 肚扩如_ ，) = 扩丢h - i 鳓p ( 巧一) = 篓岛”】 ( j = 2 3 ；扛o ，l ，h ) 用矩阵形式上式可表示为： ( ，一r ) “：田( j ：2 ，3 ，) ( 4 5 ) 此处r 是从转移概率矩阵p 中划掉最后一行和一列得到的矩阵，i 是h x h 单 位矩阵，) 是随机变量氙，x l ，一。的第s 阶阶乘矩向量。当s ：l 时很容易导 出如下方程： ( ，一r ) = 1 ( 4 6 ) 此处向量1 中所有日个元素都为1 向量中第一个元素给出了初始状态为0 的 累积和控制图的平均运行长度，第i 个元素给出了初始状态为辱( f - o 1 h 一1 ) 的 运行长度分布的均值。 利用矩阵求逆，方程( 4 6 ) 中的很容易求解，从而得到平均运行长度。 4 3 基于平均运行长度参数选取的准则 对一个给定参数( 日，k ) 的过程检验方案来说，用累积和检验方案对过程 的不同质量水平进行检验，其效果表现在它的平均运行长度值。反之，对于一个 具有不同质量水平的过程来说，要求在给定平均运行长度值的情况下( 如三。或 值) ，能推导出适合的检验方案( h ，k ) 在前面我们已经介绍了平均运行长度的定义，可知彳r 厶为过程处于受控状 态下，发出一次错误警报所需的观测点数的期望值；a r 厶为过程失控状态下， 从发生变异到被检测出来所需的观测点数的期望值。也即是彳兄k 反映控制图的 2 8 稳定性，而爿甩则反映控制图的灵敏性a 所以，在优化设计累积和控制图时， 总希望过程处于稳态时，4 兄k 越大越好，而当过程出现异常时，a t 越小越好。 本节就是根据平均运行长度a r l 来进行控制图的设计即选取参数( h ，k ) 一般设计控制图时，都先固定a 尼l o 值，再根据固定偏移量万，让控制图对 此偏移万作检测，求其4 碰，又因为4 碰1 反映控制图的灵敏性，则设计控制图 时，4 r 越小越好。所以，基于平均运行长度参数选取的规则是：固定彳兄k 值 的前提下，选取参数( 日，k ) 使得4 r 厶越小越好。 一般在使用休哈特均值控制图时，常设计控制图的上下限为： u c l = + 3 盯 l c l = 一3 g 此时，产品的合格率为9 9 7 3 ，则实际的4 心计算如下： 4 瓯= i 1 = 丽1 = 3 7 0 p i u - y y ，j 所以，在一般文献上，有关控制图的研究均假定爿兄k = 5 0 0 在本节中我们仍然先 固定a r l o 的值为5 0 0 根据以上分析，得到基于平均运行长度参数选取的步骤： ( 1 ) 确定万的值。 ( 2 ) 固定爿兄k = 5 0 0 ，根据平均运行长度的计算公式找出累积和控制图的参 数k 和h 的组合。 ( 3 ) 分别计算这些参数组合所对应的一兄，从中找出使a 碰1 值达到最小的 参数k 和日 总结：本章主要介绍了控制图的评价标准一平均运行长度的定义，以及求 解平均运行长度的两种方法：经典积分法和马尔可夫链法；最后讨论了本节的重 点，即基于平均运行长度参数选取的准则。 第五章基于l v 经济模型的参数选取方法 在用控制图对产品的生产过程进行质量控制时，有时需要考虑它的经济效 益，也即是根据每种控制图的特点建立它的经济模型；在经济设计的情况下，控 制图参数的选取是使得控制过程的费用最小。控制图的经济设计最早是由 d u n c a n 2j 于1 9 5 6 年提出的，首先是对最普通的均值控制图进行经济设计，他提 出的经济模型包括四部分：一、过程受控的时期。二、过程失控时期。三、抽样 和理解结果的时期。四、寻找原因的时期。对于不同的控制图需要算这几种时期 的费用，然后建立损失函数。另一个提出经济设计的是l o r e n z e n 和v a n c e z 2 2 i ( 1 9 8 6 年) ，他们所提出的经济模型也使用于各种控制图。由于这种经济模型更 能使控制图达到比较理想的经济效益，许多学者在研究控制图的经济设计时都倾 向于使用该模型。这种经济模型被称为l v 经济模型。本文所要讨论的是累积和 控制图，作者就根据l v 经济模型，建立正态变量样本均值累积和控制图的经济 模型，然后再根据此模型选取最优参数。 5 1i 经济模型 用控制图来监控产品的生产过程，如果生产过程稳定，就没有异常原因发生， 此时过程处于受控状态：如果生产过程不稳定，就有异常原因发生，控制图一般 会报警，此时过程处于失控状态。当控制图失控时，我们就要查找原因，然后再 纠正原因，使过程重新处于受控状态。所以，学者们习惯把过程从受控状态到失 控并且发现异常原因并消除它看成一个周期。在这个周期内，考虑控制图的费用 损失函数的期望值。这是一个关于控制图参数的函数。然后让此函数最小化就可 以找到控制图参数的最优值。近而对控制图达到经济设计的目的。 l v 经济模型所考虑的控制图的一个周期包括以下五部分：一、产品处于受 控阶段。二、产品处于失控阶段。三、寻找错误警报阶段。四、抽样和理解结果 阶段。五、寻找异常原因和纠正过程阶段。根据不同的控制图需要算这五部分的 期望费用以及期望时间，最后建立费用损失函数。要建立该模型首先要对过程有 几个假设： ( 1 ) 假设过程开始时处于受控状态； ( 2 ) 失控前保持受控时间服从指数分布； ( 3 ) 在每个抽样间隔内，最多存在一个异常原因发生使过程失控。在抽样时， 异常原因不发生。 5 2 基于l v 经济设计的参数模型 在l v 经济模型所考虑的一个周期上计算正态变量样本均值累积和控制图所 对应的费用函数，建立关于四个参数：样本容量竹、抽样间隔h 、参考值k 和判 定距h 的模型。首先对此模型有几个数学上的假设；最后在这些假设的条件下 建立参数模型。 5 2 1 模型假设 在建立模型之前，要有几个假设，以便该模型能用