（基础数学专业论文）四元数体上a型李代数的mad子代数的共轭性.pdf

ad i s s e n a t i o ns u b m i t t e dt ot b n g j iu n i v e r s i t yi nc o n 幻r m i t yw n ht h er e c i u l 陀m e n t sf o rt h ed e g r e eo fm a s t e ro fs c i e n c et h ec o n i u g a c vp r o b i e mf o rt h em a dv，s u b - a l g e b r a so ft h el i ea i g e b r a s0 ft y p eao v e rt h eq u a t e r ni o n s( m en a m r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i l l ag r 觚t 1 0 6 71 1 4 2 )n a m e ：z h a o d o n g1 址s t u d e n tn u m b e r ：0 7 2 010 2 0 0 3s c h o o l d e p a n m e n t ：1 b n 百iu n i v e r s i t y d e p a r t m e n td i s c i p l i n e ：m a j o r ：s u p e r v i s o r ：o fm a t h e m a t i c sm a t h e m a t i c sp u r em a t h e m a t i c sp r o f q u a n q i nj i i lm a r c h ，2 0 1 0学位论文版权使用授权书本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以盈利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。学位论文作者签名钢郾c q 年弓月7 日同济大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。学位论文作者签名：台謦郝毒、矽髀乡月l 罗日同济大学硕士学位论文摘要摘要众所周知，复数域上有限维单李代数分为如、玩、g 、仇四类典型李代数和玩、西、风、凡、g 2 五个例外李代数。复半单李代数的结构与表示均已有完整的结果。在复半单李代数的结构理论中，c a 姗子代数的共轭性定理起到至关重要的作用。作为复半单李代数的推广，由于其在数学其他分支以及理论物理等其他学科中的重要应用，仿射型k a c m o o d y 代数理论亦得到很好的发展。其中仿射型k a c m o o d y 代数的c a r t a n 子代数的共轭性定理已于1 9 8 3 年由p e r t e r s o n 和k a c 得到【1 】。作为有限维单李代数和仿射k a c m o o d y 代数的推广，扩张仿射李代数( e x t e n d e da m n el i ea l g e b r a ) 的表示理论亦引起很多代数学家的兴趣并得到很大发展。但扩张仿射李代数c a n a n 子代数的共轭性问题，至今悬而未决。尽管扩张仿射李代数可以通过量子环面c 口上的典型李代数得以实现，但量子环面岛是非交换的，而且其中大部分元素都没有逆元，与复数域上的情形有着本质的区别，至今量子环面c 口上李代数c a n a n 子代数的共轭性问题也没有任何进展，即便是最简单s z ( 2 ，e 口) 也没有人能够证明。尽管如此，数学家们并没有放弃努力。2 0 0 7 年，加拿大数学家s 卸h e nb e m 柚和日本数学家j u nm 嘶t a 对唯一分解整环上的典型李代数的c a r t a n 子代数的共轭性进行了证明【2 】。虽然唯一分解整环中的元素未必有逆元，但它仍是一个交换代数。本文考虑四元数体h 上的典型李代数。虽然四元数体h 中的元素都存在逆元，但它却是不可交换的。类似于复数域的情形，我们定义s 厶= m 孵跏i f r 似) = 0 z d d ( h ，明) l由于四元数体的非交换性，对李代数s 厶( 正噩) ，我们引入m a d 子代数的概念。对于复半单李代数，m a d 子代数就是通常的c 训肌子代数，m a d 子代数是c a n a n 子代数的一个合理替代物。本文的主要结论是：四元数体上a 型典型李代数s 厶( 1 ) 的所有m a d 子代数都是共轭的。关键词：四元数体，典型李代数，c a r t a n 子代数，m a d 子代数，共轭t o n 街iu i l i v e r s i t ym a s t e ro fs c i e n c ea b s t r a c ta b s t r a c ti t sw e l lk n o w n 廿1 a tt 1 1 ef i n i t e d i m e n s i o n a ls i m p l el i ea l g e b r a so v e rt h ec o m p l e xf i e l da r ed i v i d e di n t 0f o l l rc l a s s i c a l 哆p e so fl i ea l g e b r a s ( a 万，玩，c _ ，工k ) a n dn v ee x c e p t i o n a ll i ea l g e b r a s 慨，历，风，4 ，g 2 ) r i 1 l es 口u c t u r ea n dr e p r e s e n 雠o nt i l e o r yo ft l l ec o m p l e xs e i i l i - s i m p l e “ea 培e b r a sh a v eb e e nw e ns t u d i e d h lm es 眦t i l r et 1 1 e o r yo ft l l ec o m p l e xs e m i - s i m p l el i ea l g e b r a s ，t l l ec o n j u g a c yt l l e o r e mo fc a r t 柚s u b - a l g e b f a u si sv e r yi m p o r t a n t n e 恤0 r yo fa f i i n ek a c m o o d ya l g e b r a si sag e n e 础z a t i o no fm ec o m p l e xs e m i s i m p l el i ea l g e b r a s ，a 堇l dh a sb e e nv 盯yw e l ld e v e l o p e db e c a u s e0 fi t si 1 1 1 p o r t a n ta p p l i c a 缸o n si l lo t l l e rb r a n c h e so fm a t l l e m a t i c sa n dr e l a t e dd i s c i p l i n e s ，s u c ha st h e o r e t i c a lp h y s i c s t l l l ec o n j u g a c yt l l e o r e mo fc a r t a ns u b - a l g e b r a sf o rt 1 1 ea m n ek a c m o o d ya l g e b r a sw a sp r 0 v e nb yp e n i 贸s o na i l dk a ci l l19 8 3 a sag e n e r a l i z a t i o no fm ea f h n ek a c - m o o d ya l g e b r a s ，t l l ee x t e n d e d 缅n el i ea l g e b r a s ( e a l af o rs h o n )撇a c tm a j l ym 劬e m a t i c i a n sa j l dg o tag r e a td e v e l o p m e n t b u tt l l ec o n j u g a c yp r o b l e mf b rc a r t a l ls u b 一址g e b r a so ft l l ee a l a sh a sn o tb e 即鲥v e d d e s p 抛吐1 ee a l a sc 锄b er e a l i z e db yc l a s s i c a ll i ea j g e b r a so v e rt l l eq u a i l t u mt o d ，t h en o n - c o m m u t a t i v i t yo ft h eq u a n t u mt o r ia n dt t l en o n - i i l _ v e r p r o p e f t y0 fm o s te l e m e n t si n 硷q u a l l t u mt o r ib r ：i n gl o t so fd i f i i c u l t i e si i ls o l v i n gt l l ec o i l j u g a c yp r o b l e mf b rt i l ec a r t a ns u b a 培e b r a so ft l l ee a l a s n o n e t h e l e s s ，m a t l l e m 撕c i a n sn e v e rg a v eu p c a n a d i a i lm a t 量l e m a 缸i 锄s t e p h e nb e 册a 1 1a n dj a p a n e s em a t h e m a t i c i a nj u nm o r i t as o l v e dm ec o n j u g a c yp r o b l e mf b rt l l ec a n 锄s u b a l g e b r a so ft l l ec l a s s i c a ll i ea l g e b r as 如0 、惯觚a l g e b r aw h i c hi sau f di n2 0 0 7 t 1 l o u g hm o s te l i 咖e n t sm a yh a v en 0m e r s ei i l l e 岫i q u ef 犯t o d z a t i o nd o m a i n ，m e ya r ec o m m u t a 帆e t h i sp a p e rd e a l sw i t i lt l l ec l a s s i c a ll i ea l g e b r a s0 nt h eq u a t e m i o n s t l l l o u g he a c he l e m e n th 弱m v e r s ee l e m e n t ，t l l e ya r en o tc o m m u t a 缸v e s i m i l a rt 0t i l ec o m p l e xf i e l d ，w ec a nd e f i n e ：s 厶( h ) = 似孵期l f 厂( a ) = o 肋d ( 阻，正玎) ln en o n c o m m u t m y 埘0 fhl e a d su st 0d e 丘n e 也em a ds u b a l g e b r ao fs 厶( 哪f 0 ft l l es e m i s i i i l p l el i ea l g e b r 习i s0 、h 玎m ec 伽p l e xn 啪b t i l em a ds u b a l g e b r 舔r i i ) n 由iu i l i v e r s i l ym a s l e ro fs c i e n c ea b s t r a c tc o i n c i d e sw i t l lu s u a lc a j 切l ns u b a l g e b r a s 0 u rm a i n 陀s u l ti s ：t 1 1 em a ds u b a l g e b r a s0 fc l a s s i c a ll i ea l g e b r a0 ft y p ea0 v e rt l l eq u a t e m i o n sa r ea l lc o n j u g a t e k e yw o r d s ：t t l eq u a t e m i o n s ，c l a s s i c a ll i ea l g e b r a s ，c a r t a i ls u b - a l g e b r a s ，m a ds u b a l g e b r a s ，c o i 】【j u g a t e同济大学硕士学位论文目录目录第l 章引言1第2 章李代数基本知识2第3 章四元数体4第4 章四元数体h 上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性l o致谢1 9参考文献“2 0个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果2 1i v第1 章引言第1 章引言二十世纪六十年代末，k a c 和m 0 0 d y 通过推广单李代数的s e r r e 定义关系式的构作方法，分别独立地构作了一类无限维李代数，现在称之为k a c m o o d y 代数。其中仿射k a c m o o d v 代数，包括其具体实现，c a n a i l 子代数的共轭性及自同构理论等，由于在理论物理和数学其它分支中的重要应用而得到人们越来越大的重视并取得了大批研究成果。1 9 9 0 年，h p e g h 心o h n 和t o n - e s 锄i 用公理体系定义了一类复李代数【3 l ，称之为拟单纯李代数( q u a s i s i m p l el i ea l g e b r a s ) ，它是仿射k a c m o o d y 代数的自然推广。1 9 9 7 年，美国数学会出版了b a l l i s o n ，s a z 锄，s b e 册a n ，y g a o 和a p i a i l z o l a 的专著e x t e l l d e da 伍n el 论a l g e b r 鹤a j l dt h e i rr o o ts y 咖m s 【4 】。他们系统研究了扩张仿射根系( e x t e n d e da 币n er o o ts y s t e m ) ，并改称拟单纯李代数为扩张仿射李代数( e x 劬d e da 伍l i ea l g e b r a ) 。可以说，扩张仿射李代数的构作是由有限维单李代数构造仿射k a c m o o d y 代数的方法的推广。扩张仿射李代数的理论已经建立了大的框架，很多学者如加拿大y b r k 大学的郜云教授，厦门大学的谭绍宾教授，上海交通大学的姜翠波教授，华东师范大学的胡乃红教授等，他们利用顶点表示，对扩张仿射李代数的模进行了比较深入的研究，并取得了丰富的成果。但关于扩张仿射李代数的一些很重要的问题，如c a n a n 子代数的共轭性和自同构理论等问题，目前很少有人涉及。鉴于其对扩张仿射李代数理论本身的重要性，仍值得大家去研究和探讨。扩张仿射李代数可以通过量子环面上的矩阵来实现。而通常的有限维复单李代数可以通过复数域上的矩阵来实现。由于量子环面是不可交换的，而且并不是每一个元素都有逆元，因此，证明量子环面上典型李代数的c a n a i l 子代数的共轭性这一猜测具有极大的挑战性，目前我们还没有找到合适的方法，仍在探求之中。因而我们退而求其次，首先考虑四元数体( 仍不可交换，但每一非零元素均有逆元) 上线性李代数的c a n a n 子代数的共轭性问题。一方面我们对四元数的了解相对多些，可通过其与复数和实数的联系来考虑问题；另一方面，也为我们进一步解决量子环面上李代数的c a r t a n 子代数的共轭性提供可借鉴的经验。本文的主要结果就是证明了四元数体上a 型线性李代数的c a n a i l 子代数的共轭性。本文中符号r ，c ，h 分别表示实数域，复数域和四元数体，而煳，c 联库，咿跏分别表示元素为实数、复数和四元数体上的n 阶方阵同济大学硕士学位论文四元数体上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性第2 章李代数基本知识本节回忆李代数的一些基本知识，可参看文献嘲、【6 】、【7 】或者【8 】。定义2 1 ：设l 是域f 上的一个向量空间，l 上的一个双线性运算 ，】：l l _l 如果满足：( 1 ) 反交换性：【z ，胡= o ，对所有工厶( 2 ) j a c o b i 恒等式：h ，陟，z 】+ 【) 7 ， z ，加】+ 【z ，【x ，朔】= 0 ( z ，y ，z l ) ，则称l 是f 上的李代数。定义2 2 ：如果k 是李代数l 的子空间，并且k 对李运算 ，】封闭，即对任意工，) ，k ，有k 力足，则称k 为l 的子代数。如果，是李代数l 的子空间，并且对于任意的戈，y 厶有 五y 】，称，为l 的理想。定义2 3 ：李代数l 的子代数日称为可解子代数，如果h ( 砂= o ，其中日( n ) 如下归纳定义：日( o ) = e 日( 1 ) = 【且明，日( 2 ) = 【日( n ，日( 1 】，印“1 ) = 【肼匀，日( 1 ) 】。定义2 4 ：李代数的子代数日称为幂零子代数，如果h 拜= o ，其中如下归纳定义：俨= e 日1 = 阻加，日2 = 暇1 ，日】，日“1 = 【，明。设日是李代数的幂零子代数，对j l l 日，令础：l 一厶砌( 力=【j 7 l ，加，则谢日= 础1 7 l 日l 是作用在l 上的幂零线性李代数【8 1 。于是l 可以表示成口d 日的广义权空间的直和：l = o ，饿弘u o l其中屹日= x 引( 砌一口 ) 耽) x = o ，讹日n z l ，a 是日上的权函数。由日的幂零性，易见日e 屹日。于是零权存在，相应的权为零的( 广义) 权空间也存在，记为非零权构成的集合，并简记屹日为，于是上述直和分解可以写成：= 碍。o 瑶2第2 章李代数基本知识定义2 5 ：设日是李代数的幂零子代数，如果日= 罐，则称日为李代数l 的一个c a n a n 子代数。联于c a r t a j l 子代数矧约分解l = 碍。0 碍口称为l 关于日的c a r t a n 分解。定义2 6 ：李代数l 称为单纯李代数，如果除了它自身和o 以外没有其它理想，且【厶朋o 。设s 是l 的一个极大可解理想，则它是唯一的，称为l 的根基。若l o ，且它的根基等于o ，称己为半单纯的。下面简要回忆一下复数域c 且型典型李代数的定义，以及其c a 咖l 子代数的具体形式详见【5 1 。令s z ( 力，c ) = a c 露n i 丁r ( a ) = 0 1 由于在复数域上对v a ，b c 麒刀，我们有z 厂似曰) = 丁“鲋) 成立，易见，订( ，l ，c ) 在运算【a ，明= a b 一鼢之下构成李代数。而且可以证明：s 炳，c ) 是复数域上的单纯李代数。其c a r t a i l 子代数为玎p o 日= d 良穆( 口l ，口2 ，锄) i 口f c ， ：口f = o 百定义2 7 ：李代数l 上的一个一一映射矿：上，l 如果满足讲五y 】= p ( 工) ，矿】，则称矿为李代数l 的一个自同构，李代数己的自同构的集合记为a z f ( d 。李代数l 的两个子代数日l 和h 2 称为共轭的，如果存在矿a “f ( d ，使得矿( 日1 ) = 胁。关于复数域上有限维李代数的c a n a n 子代数，我们有以下结论：定理2 1 ：【5 】设l 是复数域c 上的有限维半单纯李代数，则l 的所有c a r t a n 子代数都是相互共轭的3同济大学硕士学位论文四元数体上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性第3 章四元数体本节简单介绍四元数的一些基本知识【9 1 ，并证明几个简单结论。定义3 1 ：设留= a + 所+ 町+ d 七，以，6 ，c ，d r ，其中f ，工七满足f 2 = 户= 肛= 一1 ，玎= 一j 哺= 七，北= 一足j = i ，七f = 一次= 工l _ ，2 一，l = 庀，庀。一庀，= l ，庀l = 一z 尼= ( 3 1 )我们称形式为( 3 1 ) 的数为四元数，而称以为四元数口= 口+ 所+ 玎+ 蹴的实部，记为尺p ( g ) = 口；称历+ 町+ 蹴为q = 口+ 所+ “+ 出的虚部，记为砌( 日) = 所+ “+ 班定义四元数q 的模为吲= 诟万而四元数的全体记为h ，即h = 口= d + 所+ 盯+ 舭陋，玖c ，d r 1 两个四元数日l = 口l + 仇f + c l 歹+ 西k 驰= 口2 + 统f + q j + 噍七eh 的相等，加法与乘法分别规定如下：( 1 ) 口l = 眈铮口l = n 2 ，6 l = 如，c l = q ，西= 如，( 2 ) 留1 + q 2 = ( 口l + 矗2 ) + ( 6 l + 如) f + ( c l + c 2 ) 歹+ ( 西+ 如) 七，( 3 ) 留1 啦= ( 口l 口2 6 1 6 2 一c l c 2 一d l 如) + ( 口1 如+ a 2 易1 + c l 如一c 2 d 1 ) f+ ( 口l c 2 + 口2 c l + 跣西一易l 如) j + ( n l 如+ 口2 d l + 6 1 q 一统c 1 ) 七定义3 2 ：设鼋l ，啦为任意两个四元数，若存在非零的四元数石，使得明1 r l = 驰，则称四元数日l 与q 2 相似，记为q l q 2 命题3 1 ：【9 】设留= 口l + 眈f + j f + 鳓七( 口1 口2 ，仍，国r ) 为任意四元数，则必存在一个复羝= 口1 + l l f ，os 矗r ，使得口一z 4第3 章四元数体证明四元数q 的复表示为口= z l + z 2 工其中z l = 订l + 口2 f ，z 2 = 口3 + 姒f c 当口3 = m = o 时，留= 口l + 啦f c ，若订2 o ，则取x = l ，于是有w z 一1 = g ，即取z = 留，使得目z ；若以2 0 当仍，锄不全为零时，我们试图寻求如下形式的四元数：工= 伽f + a 3 j + m 七，郦一1 = z = n 1 + ，o j z r ，其中c z o 待定令则有石= z o + z 2 j 由于于是有一z 0 = 伽z ，z o = 一伽l ，一z l = 口l + a 2 z ，z l = 口l 一口2 l ，一z 2 ：彩+ m l ，z 2 = 固一砸l ，x - l = 奔= 寿面一栅zi 工r 。砂1 = 寿+ z 2 力( z l + z 2 烈- o _ z 2 力= 弃l _ z 2 2 2 ) z o + ( z 2 z l 恂z 2 ) z 2 1“( z 2 三l + z o z 2 ) z o 一( 动z l z 2 三2 ) z 2 】j f l2 寿 ( 酬2 z l 嘞1 2 而砌1 2 毛吨1 2 z o )呼t z o + 考_ z l z o + b 1 2 ) z 2 刃= 帮i z 0 | 2 z l + i z 2 1 2 ( z o 0 + 毛) 】要使明r 1 c ，则必须有( 三l z 1 ) z o + 磊+ l z 2 1 2 = o ，5( 3 2 )( 3 3 )同济大学硕士学位论文四元数体上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性即( 一物2 f ) 0 0 d + ( c z o d 2 + + 西= o 也就是，故磊一物2 咖一o ；+ 蠢) = o 伽：竺：圭堑! 掣( 舍去负值)伽= _ - 一t 百太叭但j= a 2 + 、乒丢雨= 口2 + ( 3 4 )于是，由式( 3 2 ) 和( 3 4 ) 得到，妒1 = ”压疆丽”纸h = 压疆i o 而且工= ( 口2 + ，1 ) f + 口3 j + 锄七h ，r k 一去一赤歹一东七m命题证明完毕凸命题3 2 ；【9 ，1 0 1 设a 彤加，则必存在可逆矩阵p 彤加，使r 1 a p 是上三角矩阵，即，l a p ：其中a 。= 口。+ j l 。f ( 庇。o ) c ，s = 1 ，2 ，靠对于复数域上的两个以阶方阵a 和b ，有丁舭b ) = r ，( 融) ，但在四元数体上，这一结论并不成立。但我们有命题3 3 ：设a 和b 是四元数体h 上的两个，l 阶方阵，则尺p ( z ，( a b 一鲋) ) = o 6第3 章四元数体证明设a 和b 的复矩阵表示为a = a l + a 2 工b = b l + b 2 只其中a l ，a 2 ，b 1 ，晚e 似拧于是有所以r r ( a b ) = ( a l + a 2 j ) ( _ b 1 + 晚j ) = 似l b l a 2 j 5 i 2 ) + ( a l 晚+ a 2 曰1 ) 工丁“z m ) = ( 鼢l + 吃力( a l + a 2 力= ( b l a l b 2 a 2 ) + ( 曰l a 2 + 晚a 1 ) 工尺p ( 丁厂似b j f i a ) ) = 尺p 丁，( a l b l 一曰1 a 1 ) + 丁r ( 眈a 2 一a 2 眈) = r p ( r ，( 眈a 2 一a 2 晚) )= r 已( 丁r ( j 5 i 2 a 2 ) 一丁，似2 晚) )= r p ( 丁r ( b 2 a 2 ) 一r ，( 毋a 2 ) )= 尺p ( 丁r ( 晚a 2 ) 一丁“召2 a 2 ) )=尺p ( 丁，( b 2 a 2 ) 一z ，( b 2 a 2 ) )=o口对于，z 阶复数矩阵a 和8 ，若a 与b 相似，即存在可逆矩阵p 使得a = p b r l ，则丁，似) = 丁“朋r 1 ) = r “功但对于，z 阶四元数矩阵a 和曰，当a 与曰相似，即存在可逆矩阵p 使得a = j p j 5 i p 一1 时，一般来说丁r ) = 丁r ( p j 5 i r l ) = 丁厂( b ) 不再成立但我们有命题3 4 ：龇和b 为，l 阶四元数数矩阵，若存在可逆矩阵p 使得a = p b r l ，则月p ( 丁厂) ) = 尺p ( 丁厂( p 8 尸1 ”= 月p ( 丁“动)证明设a 、b 、p 礤跏，则a 、曰可唯一表示为a = a l + a 2 工b = b 1 + 晚工尸= p l + 恐j f其中血、玫、r 厅，七= 1 ，2 7同济大学硕士学位论文四元数体上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性记r 1 = c l + q 工其中c l ，q e n 期，则即：所以我们有：于是p - 1 p = ( c l + c 2 力( p l + p 2 力= e( c l p l 一( 乏p 2 ) + ( c 1 p 2 + c 2 p 1 ) 歹= ec l p l c 2 p 2 = e ，c 1 p 2 + c p l = o a= p b p i= ( p l + 兄d ( 玩+ 魄力，1= ( ( p l b l p 2 现) + ( p l 眈+ 恐b 1 ) j f l p 叫= ( 尸l b l 一致b 2 ) + ( 尸l 吃+ p 2 8 1 ) j f ( c l + c 2 j )= ( p l b l 一p 2 晚) c l 一( p l 历+ p 2 8 1 ) c 2 l + ( p 1 8 l n 恐) q + ( p l 如+ p 2 8 1 ) c l 工注意到事实：对于a ，b 秽煳，有丁，似曰) = 丁r ( 鼢) ，由( 3 5 ) 和( 3 6 ) 得：( 3 5 )( 3 6 )尺p ( 丁r ( a ) )=尺p ( 丁厂( p b p 叫) )= 尺p 丁r ( p l b l 一p 2 曰2 ) c l 一( p l 晚+ 尸2 j 5 i 1 ) c 2 = 尺e 丁，( p lb lc 1 ) 一丁r ( p 2 晚c 1 ) 一r “p l 眈c 2 ) 一丁厂( p 2 b lc 2 ) l= 尺p 【丁，( p lb 1c 1 ) 一丁r ( p 2 b lq ) 】一【丁“心曰2 c 1 ) + 丁，( p l 眈c 2 ) 】j= 尺p 【丁r ( c lp 1b 1 ) 一丁，( p 2 j 5 i lc 2 ) 】一【丁“c lp 2 眈) + r ，( p l 眈c 2 ) 】l= 足p ( 【r “b 1 ) + 丁“c j p 2 曰1 ) 一丁“恐b 1 c 2 ) 】一【一z ，( c 2 p l 眈) + z “p l 历( 1 2 ) 】l= 尺p 【丁“b 1 ) + 丁，( p 2 j 5 1 1 ( 2 ) 一r 厂( 恐b lq ) 】一【一r ，( p 1j 5 i 2 ( 1 2 ) + z ，( p l 跳( 2 ) 】8第3 章四元数体= 尺p ( 丁r ( b 1 ) ) + r p 丁“p 2 曰l c 2 ) 一丁r ( p 2 b l c j ) 】l 一尺p e 彳厂( p l b 2 c 2 ) + 丁“p l b 2 c 2 ) 】l=尺p ( j r t 厂( b 1 ) )=尺p ( 丁厂( b l + b 2 j ) )=尺p ( 丁r ( 曰) ) 口9同济大学硕士学位论文四元数体上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性第4 章四元数体正上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性由于四元数体h 是非交换的，容易知道【正丑，h 】= 陋，纠= 动一施k ，易h l =r l + 酞歹+ 龇因此，我们不能像在复数e 上定义s 从，z ，e ) 那样定义5 z ( 以，h ) ，因为如此定义的s z ( 刀，h ) 在运算【a ，明= a b 一鲋下根本不封闭。为此，我们定义s z ( ，l + l ，h ) = a h ( 肿1 ) ( 肿1 i f r ( a ) 三0 ( m o d ( h ，h 】) ，根据命题3 3 ，容易验证，s z ( ，l ，h ) ，在运算陋，明= a b 一鼢下构成李代数，我们称之为h 上的a 型李代数容易看到，作为实数域r 上的李代数，d i m s 砌+ l ，h ) = 4 ( ，l + 1 ) 2 1令靠+ l p o b = d i a g ( n l ，晚，1 ) i ：口i = o ，口i r ，f = l ，2 ，咒+ 1 ) 百容易验证，它是s 必，l + l ，h ) 的一个，z 维子代数众所周知，特征o 的代数闭域上有限维单李代数的最重要的结论之一，就是它的所有c a n a n 子代数都是共轭的这是有限维单李代数的核心理论之一而在不是代数闭的域上，有限维单李代数的所有c a n 锄子代数并不一定是共轭的因此，近来有一些学者引入了一个子代数【2 l l _ 1 5 】，称为m a d 。引入m a d 子代数以后，李代数也可以有所谓的c a 姗分解。对于复数域c 上的复半单李代数，m a d 子代数就是通常的c a n 锄子代数，因而可以说m a d 子代数是c a r t a l l 子代数的一个替代物。因而，研究m a d 子代数的共轭性就是一个十分重要的问题。定义4 1 ：设卿是j 炳+ 1 ，哪的一个子代数，如果对v z 卿，李代数s z 研+ l ，h ) 有一组由a d z 的特征值向量组成的r 基，则称妍为a d 可对角化的。给定一个可交换的a d 可对角化的子代数研，若令s 砌+ l ，正i ) 口= a s 勋+ l ，h ) l 【z ，a 】= 口( z m ，v z 妍l ，1 0第4 章四元数体h 上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性其中口卿+ = 肋，豫( 卿，r ) ，则s z ( ，z + 1 ，h ) = 目s z 铆+ l ，h k 睢q 舻定义4 2 ：设尹是s z 铆+ l ，h ) 的所有可交换的a d 可对角化的子代数组成的集合厂中的元素卿如果关于厂的包含关系是极大的，则称卿为一个极大的可交换的a d 可对角化的子代数，简称为m a d ( m a x i m a la b e l i a l la d d i a 9 0 n a l i z i b l e ) 子代数命题4 1 ：对于任意可逆矩阵p 彤期，a d ( p ) ：s z + 1 ，h ) 专s z ( ，z + 1 ，h ) ：a d ( p ) ( z ) = 尸z ，1是李代数s z 仍+ 1 ，h ) 的一个自同构。证明由命题3 4 ，a d ( p ) 的确是李代数s z 铆+ 1 ，h ) 上的一个线性映射。又矩阵阿逆，所以a d ( p ) 是李代数s 砌+ l ，h ) 上的一个一一映射。对于任意的墨l ，酊( 咒+1 ，h ) ，我们有：a 政p ) y 】= p j 明p 叫= p ( x y y x ) 尸一= p x p _ 1 p y p _ 1 一p y p - 1 p x r l= a 政p ) ( 的a d ( p ) ( y ) 一a d ( d ( 踟d ( p ) ( x )= 陋d ( p ) ( 的，a 吠p ) ( y ) 】口命题4 2 ：若弧是李代数s z ( 刀+ 1 ，噩i ) 的一个m a d 子代数，则a 烈p ) ( 卿) 也是李代数s 砌+ l ，h ) 的一个m a d 子代数。证明由命题4 1 ，a d ( p ) 是李代数s 砌+ l ，h ) 的一个自同构，所以a 烈p ) ( 妍) 也是李代数订( 以+ 1 ，噩i ) 的一个可交换的、a 小可对角化的子代数。因为a d ( 聊是自同构，败是极大的当且仅当a d ( p ) 娜) 是极大的。口同济大学硕士学位论文四元数体上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性命题4 3 ：设映是s 坳+ l ，正i ) 的一个m a d 子代数，对于卿中给定的元素肘，则存在可逆矩阵p h 斛1 皿n ，使r 1m p 是上三角矩阵，即p l 肘p =其中a 。r ，s = 1 ，2 ，咒+ 1 厶+ 1证明由命题3 2 可知，存在可逆矩阵p l h ( 肘1 ) ( n + n ，使得尬= 巧1 脚l =a l，z 1 2a 2优1 ，l + l，1 2 m + l厶+ l其中a 。= 易，+ 。f ( 办，o ) c ，s = l ，2 ，靠+ 1 由定义4 2 可知，s z 仍+ 1 ，i ) 有一组关于a d m 的r 基根据命题4 2 ，s 坳+ 1 ，h ) 也有一组关于a d 尬的r 基也就是方程【尬，嗣= m l x x m l = 口墨a r ，( 4 1 )( 其中x h 1 ) 1 ) 是一个未定矩阵) 有4 ( 玎+ 1 ) 2 一l 组线性无关的解设x = ( 功) ”1 ) 1 ) ，则方程( 4 1 ) 必然有一个解a = ( 叼) 1 ) 1 ) ，满足0 口斛1 1 r j + l 址，否则方程( 4 1 ) 的解空间的维数至多是4 伽+ 1 ) 2 2 此时有也就是，我们得到厶+ 1 口斛l ，l c k + l ，1 a l = ( 1 口n + 1 ，1 ( 4 2 )( 巩+ 1 + j l ，件l d 口斛l ，l 一锄+ l ，l ( 6 l + | 1 1 d = + l 。1 ( 4 3 )+ l 锄+ 1 ，l + k + l f l l 一锄+ l ，1 易1 一锄+ l ，1 1 f = 伽斛l ，1 ( 4 4 )1 2第4 章四元数体h 上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性由于口玎+ 1 1 r _ + 黜，由上式我们得到进而得到+ l 口疗+ l ，l c k + l ，1 6 l2 ( y 日n + l ，l7 l 再+ l 锄+ l ，l f + 锄+ l ，l l f = o 以+ l + ，l l = 0 ( 4 5 )( 4 6 )( 4 7 )由于j l l f o ，我f f 得至0 肛+ l = i l l = o 下面证明a 2 r 我们用反证法，假设屯莹r 则尼一a 1 o 故存在可逆矩阵使得p 2 =1 器oolo0o1胞= 巧1 尬p 2 =也o尼m l j 件l，1 2 ，i + l厶+ l( 4 8 )( 为了方便起见，上式中除也和0 以外的其它元素经过相似变换后仍用相同的符号)此时，方程【施，加= 尥x x 尥= 口墨口r ，( 4 9 )( 其中x 硼妙1 ) 吣1 ) 是一个未定矩阵) 仍有4 ( 以+ 1 ) 2 一l 组线性无关的解考虑上面方程必然有o a 斛1 。2 r _ + r 七的解a ，也就是有，也就是，a 斛l 口斛l 2 4 | 件1 2 屯= 口l c k + 1 2 口斛1 2 ( 厶+ l 一赴一口1 ) = o 1 3( 4 1 0 )( 4 1 1 )同济大学硕士学位论文四元数体上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性我们得到a 2 = 厶+ l 一口l r ( 4 1 2 )与我们的假设矛盾因此，有也r 同样，我们考虑第三列元素，可以证明也r 否则，有a 3 a l ，a 3 a 2 则存在可逆矩阵p 3 ，使得尬= 巧1 尥p 3 =也oa 20m 1 4o ，咒2 4乃m 3 4山历1 j l + l，1 2 ，l + l哟万+ 1，1 4 弹+ l + l( 4 1 3 )( 为了方便起见，上式中除a f 和o 以外的其它元素经过相似变换后仍用相同的符号)类似于尼r 的证明，可以得到，a 3 = 厶+ l 一眈r 利用数学归纳法，可证存在可逆矩阵只( 4 f ，1 ) 使得m 产曩1 m h p 产om 1 “lo；也m 抖l “l，咒1j l + l，1 3 j l + l，珥肿l五一+ l( 4 1 4 )( 4 1 5 )并且也r 取p = p l p 2 r ，则有矩阵，1 m 职寸角线上的元素也r ，i = l ，2 ，n +口1 4第4 章四元数体上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性命题4 4 ：设渡是s z ( n + 1 ，h ) 的一个m a d ，对于卿中给定的元素肘，则存在可逆矩阵p h ( 肘1 j ( 肘n ，使得，1 肘p = d i a g ( a l ，a 2 ，a 万+ 1 ) ，其中也r ，f = 1 ，2 ，n +1 证明由命题4 3 可知，存在可逆矩阵p l h ( 枷) ( n + n ，使得尬= 巧1 m p l =其中以r ，s = 1 ，2 ，咒+ 1 若a 1 如，存在可逆矩阵使得p 2 =施= 巧1 m 1 p 2 =-二-a l，z 1 2a 2l 善峰o工a 2 一a lvo1o0o1a l0，1 1 3a 2m 2 3也，l l m + l，1 2 - ，l + l厶+ lm lj l + l，1 2 j l + 1，1 3 j l + l厶+ l( 4 1 6 )( 为了方便起见，上式中除a f 和o 以外的其它元素仍用相同的符号)若a l = 屯，考虑方程【尬，鄹= 尬x m = 口墨口r ，( 4 1 7 )( 其中x 硅i ( 斛1 ) 1 ) 是一个未定矩阵) 。由于尬可a d 一对角化，该方程应该有4 + 1 ) 2 一l 组线性无关的解记上面方程的解中元素l ，l o 的解为a ，我们有j l 肘l 口舯l ，l c k “，l 五l = c 比k + l ，lk l 口肿l 2 一西件1 。l m l 2 一口，件l 2 如= 伽肛+ l 2 1 5( 4 1 8 )( 4 1 9 )同济大学硕士学位论文四元数体上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性由于1 1 = a 2 ，我们得到锄+ 1 1 肌1 2 = o 又a 肘l ，l o ，所有，1 1 2 = o 此时取n 为单位矩阵，则仍然得到( 4 1 6 ) 式下面证明存在可逆矩阵p 3 ，使得m 1 3 = m 2 3 = 0 若也，l l ，也也，存在可逆矩阵使得p 2 =胞= 巧1 舰p 2 =-二_lo 嚣ool 惫ooolo-oo01也oa 2om 1 4om 2 4如m 3 4山m lj l + 1，1 2 斛1，1 3 ，l + l，蔓4 j l + l厶+ l( 4 2 0 )( 为了方便起见，上式中除a f 和o 以外的其它元素仍用相同的符号)若几= 止= a 1 ，方程【尬，嗣= 施x x 尥= 口墨口r ，( 4 2 1 )( 其中x h 1 ) 慨1 ) 是一个未定矩阵) 有4 ( 以+ 1 ) 2 1 组线性无关的解对上面方程的任意解a ，有我们得到a ，件l d h + l ，l 一口开+ l ，l a l = a 口玎+ l ，l + 1 日托+ l ，2 一口n + l 2 a 2 。口口一+ l 2 ( 4 2 2 )a 以+ l 口n + l - 3 一口n + l ，l ，1 1 3 一c k + l ，2 ，抛3 一a 万+ 1 3 也= 口岛件l 3 锄+ l ，1 m 1 3 + 锄+ l 2 厅功= 0 ( 4 2 3 )由于上式是关于锄+ 1 1 ，l 2 的二元方程，必然有m 1 3 = 呦= o 否则，1 6第4 章四元数体醒上a 型李代数的m a d 子代数的共轭性a 疗+ 1 1 ，口肘l 2 是线性相关的，方程( 4 2 1 ) 的解空间的维数不大于4 m + 1 ) 2 4 ，矛盾。此时，取p 3 为单位矩阵，仍可以得到( 4 2 0 ) 式。若a 3 = a 2 a l 或者a 3 = a l 五2 ，类似( 4 1 7 ) 的讨论，式( 4 2 0 ) 成立利用数学归纳法可以证明，存在可逆矩阵一( f = 3 ，力+ 1 ) ，使得，z u 0 = o 令p = p l p 2 p n + 1 ，故有p 一1 m p