（基础数学专业论文）多重非线性抛物方程（组）奇性解的渐近分析.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文主要研究几类多重非线性抛物方程( 组) 奇性解的渐近行为所讨论的问题 包括确定非线性扩散方程组的b l o w - u p 临界指标、考查梯度项对非线性抛物方程解 的b l o w u p 性质的影响，以及研究带有奇异非线性反应项的抛物问题解的q u e n c h i n g 现象 等首先讨论个具有内部吸收项及耦合边界流的非线性扩散方程组通过对模型中非 线性机制之间相互作用的精确分析，我们确定了其b l o w - u p 临界指标其次考虑含梯度项 的非线性抛物模型，探究其中对流项是否并且以何种程度影响解的b l o w - u p 行为最后我 们研究有限时刻q u e n c h i n g 问题对于具有耦合吸收项并附加正d i r i c h l e t 边界条件的非 线性抛物方程组，我们考虑了解的同时与非同时q u e n c h i n g ；而对于具有加权非线性吸收 的热方程，我们描述了解的q u e n c h i n g 时间和q u e n c h i n g 集的渐近行为 第一章概述本文所研究问题的实际背景和国内外的发展现状，并简要介绍本文的主 要工作 第二章考虑内吸收非线性扩散方程( 让m ) t = a u a l u 们，( 俨) t = a v a 2 v o x 经由边 界流繁= 1 2 a 2 v p ，是= “g 仃口：耦合的初边值问题通过引入特征代数方程组以及对所有 八个非线性指标的完全分类，我们得到对该问题b l o w - u p 临界指标的简明而清晰的刻画 由于所考虑模型的一般性，这一工作包含了关于b l o w u p 临界指标的许多已有结果与单 个方程结果的比较可见耦合机制对b l o w u p 临界指标的本质性影响 第三章致力于含梯度项的非线性抛物方程解的b l o w - u p 分析，其目的在于研究 梯度项对解的渐近行为的影响对于具有内部吸收项及正性梯度项的半线性抛物 方程u t = a u + | v 铭 r 一口e 雕附加边界条件是= e 弘的初边值问题，我们证明当 且仅当r 2 时，梯度项对b l o w u p 的形成起本质作用进一步，当r 2 时，对 流项还将显著影响b l o w u p 速率，并且使得b l o w - u p 速率具有关于模型参数的不连续 性( d i s c o n t i n u o u s ) 然而，梯度项对空间b l o w - u pp r o f i l e 并无本质性影响对非线性扩散方 程w t = ( e ( m - 1 ) 埘) + - - a e ( p - 1 灿附加n e u m a n n 边界条件w x ( 0 ，t ) = 0 ，( 1 ，t ) 一e ( q 一嘲( 1 ，t ) 的初边值问题，利用s c a l i n g 方法，我们建立了解的b l o w - u p 速率估计通过适当变换，该 方程等价于一含对流项的多孔介质类型方程虽然此模型中的对流项不改变解的b l o w - u p 速率，但它给问题的讨论带来一定的困难 第四章研究有限时刻q u e n c h i n g 问题，包括非线性抛物方程组u t = a u u 一， 仇= a v 一乱一，( o ，t ) q ( 0 ，t ) 具有正d i r i c h l e t 边界条件的初边值问题，以及带有加 权非线性吸收的热方程u t = 让一m f ( x ) u 一，( z ，t ) ( 一1 ，1 ) ( 0 ，t ) 附加边界条件 u ( 一1 ，t ) = 1 2 ( 1 ，t ) = 1 和初值( z ) 的模型对于前一问题，我们建立了q = b r 径向解的 多重非线性抛物方程( 组) 奇性解的渐近分析 非同时q u e n c h i n g 准则：当p ，q 1 时q u e n c h i n g 必为同时，当p 1 q 或q 2 m o r e o v e r t h eb l o w - u pr a t em a yb ed i s c o n t i n u o u sw i t hr e s p e c tt op a r a m e t e r s i n c l u d e di nt h ep r o b l e md u et oc o n v e c t i o n h o w e v e r ，t h eg r a d i e n tp e r t u r b a t i o n sh a v e n oe s s e n t i a le f f e c t so nt h es p a t i a lb l o w - u pp r o f i l e f o rt h en o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n w t = ( e ( m 一1 灿) 一入e ( p 一1 w i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n sw x ( 0 ，) = 0 ，w x ( 1 ，t ) = e ( q m ) ( 1 ，们，u s i n gt h es c a l i n gm e t h o d ，w ee s t a b l i s ht h eb l o w - u pr a t ee s t i m a t e sf o rb l o w - u p s o l u t i o n s u n d e rat r a n s f o r m a t i o n ，t h i se q u a t i o ni se q u i v a l e n tt oap o r o u sm e d i u mt y p e o n ew i t hc o n v e c t i o n w ef i n dt h a tt h eg r a d i e n tt e r mj u s tl e a d st oam o r ec o m p l i c a t e d d i s c u s s i o nw i t h o u tc h a n g i n gt h eb l o w - u pr a t eo fs o l u t i o n s c h a p t e r4s t u d i e st w oq u e n c h i n gp r o b l e m s ，n a m e l y ，c o u p l e dn o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s - t e mu t = a u - - v 一，v t = a v - - u - qi nq x ( 0 ，t ) w i t hp o s i t i v ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ， a n ds c a l a rh e a te q u a t i o n sw i t hw e i g h t e dn o n l i n e a ra b s o r p t i o n su t 。u 一m ( x ) u 呻s u b - j e c tt ob o u n d a r yc o n d i t i o n su ( - 1 ，t ) = u ( 1 ，t ) = 1a n di n i t i a ld a t a 咖 ) f o rt h ef o r m e r p r o b l e m ，w ec h a r a c t e r i z et h en o n s i m u l t a n e o u sq u e n c h i n gc r i t e r i af o rr a d i a lq u e n c h i n g s o l u t i o n sw i t hq = b r ：t h eq u e n c h i n gi ss i m u l t a n e o u si fp ，q 1 ，a n dn o n s i m u l t a n e o u s i fp 1 qo rq 1 p ；i f p ，q 、2 ，t h e nb o t hs i m u l t a n e o u sa n d n o n - s i m u l t a n e o u sq u e n c h i n gm a yh a p p e n ，d e p e n d i n go nt h ei n i t i a ld a t a i ts h o u l db e m e n t i o n e dt h a tt og e tt h ec o e x i s t e n c er e s u l t ，w eh a v et os k i l l f u l l yc o n s t r u c tas e to fi n i t i a l d a t aa d m i t t i n gr e q u i r e du n i f o r ml o w e re s t i m a t e so nq u e n c h i n gs o l u t i o n s f o rt h el a t t e r m o d e l ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fq u e n c h i n gt i m ea n ds e to fs o l u t i o n sa sm 一十o 。i 8e s t a b l i s h e db yl o c a le n e r g ye s t i m a t e s i ti so b t a i n e dt h a tt h eq u e n c h i n gt i m et 一暑m 以 w i t h 仇2 赢弭币弼1 而a sm _ + o 。i ti ss h o w n a l s oh o wt h eq u e n c h i n gs e tc o n c e n - t r a t e sn e a rt h em a x i m u mp o i n t so f | 妒mf o rl a r g em k e yw o r d s ：m u l t i n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ( s y s t e m ) ；n o n l i n e a rd i f f u s i o n ；n o n l i n e a r b o u n d a r yf l u x ；p o s i t i v ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ；g r a d i e n tt e r m ；i n n e ra b s o r p t i o n ； c h a r a c t e r i s t i ca l g e b r a i cs y s t e m ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；c r i t i c a le x p o n e n t ；b l o w - u pr a t e ； b l o w - u ps e t ；s p a t i a lb l o w - u pp r o f i l e ；n o n s i m u l t a n e o u sq u e n c h i n g ；l o c a le n e r g ye s t i m a t e s i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论 文版权使用规定 ，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 9 1 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本章首先概述本文所研究问题的实际背景和国内外的发展现状，然后简要介绍本文 的主要内容 1 1 问题的背景及发展现状 非线性抛物方程作为一类重要的偏微分方程，它所涉及和研究的问题来源于物 理学、化学、生物学以及医学等领域的数学模型，可用来描述诸如热传导，物质扩散， 生物学中种群的演化与迁徙，人体或动物组织发育形成的复杂过程，以及种种人体生 理学现象等，有着广泛的实际背景非线性抛物方程( 组) 的非线性项可以来自反应 项、对流项、扩散项、边界项以及由它们所形成的各种不同的耦合关系所有这些非 线性项都可能导致解的奇性的产生，例如解在有限时刻b l o w u p ( 爆破) 、e x t i n c t i o n ( 灭 绝) 、q u e n c h i n g ( 淬火) 等，其物理意义分别对应于如( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金 属) 淬火等现象因此，对非线性抛物方程( 组) 奇性理论的研究不仅在理论上是重要的， 而且在实际应用中也很有价值非线性抛物方程( 组) 奇性理论的研究大体涉及两方面的 内容：是研究解的奇性产生的机理；二是研究解的奇性是怎样传播的由于非线性问题 研究的极端复杂性，对于不同的模型不可能给出一个统一的解决方法，但经过众多数学 工作者数十年的努力，关于非线性抛物方程( 组) 解的奇性的产生与传播问题的研究，已 经得到丰富的结果我们简要回顾一下相关的工作 关于b l o w u p 现象的研究始于1 9 6 6 年f u j i t a 的开创性工作i 1 1 ，即对半线性抛物方程 饥= a u + u p 的初值问题得到：( i ) 若1 p p c ，则对小初值存在非 平凡整体解，而对大初值存在非整体解在文献【2 5 】中，a r o n s o n ，h a y a k a w a ，k o b a y a s h i ， w e i s s l e r 等证明了p = p 。亦属予b l o w - u p 情形通常，人们称p 。为临界f u j i t a ( b l o w - u p ) 指标此后，非线性抛物方程( 组) 临界f u j i t a 指标的研究得到了不断的发展例如，对 非线性扩散方程u t = a 让m + 护的c a u c h y 问题有p c = m + 2 n 【6 ，7 】，文献 8 】和【9 ，1 0 】分 别研究了半线性抛物组u t = a u + 矿，仇= a v + u q 及快扩散抛物组地= u m + 伊， 仇= a v n + u 口的初值问题关于临界指标的研究综述可参见文献【1 1 ，1 2 】 对于有界域上的半线性抛物方程毗= a u + f ( u ) 的齐次d i r i c h l e t 边值问题，文 献 1 3 】包含了其解整体与非整体存在的结果当特殊取f ( u ) = u p 时，其b l o w u p 临界指 标结果为：如果0 1 ，则解对大初值在有限时刻b l o w - u p 对于b l o w - u p 解，f r i e d m a n 和m c l e o df 1 4 】在适当的假设条件下分别就区域对称和非对 称两种情形考虑了b l o w - u p 集，并得到b l o w - u p 速率估计为i l u ( ，t ) l l = d ( ( t z ) 声) 多重非线性抛物方程( 组) 奇性解的渐近分析 关于解在b l o w - u p 点附近的渐近行为( 即b l o w - u pp r o f i l e ) ，g i g a 和k o h n 【1 5 】得到，如果 n = 1 ，2 ，或n 3 且p 而n + 2 ，则对b l o w - u p 点口有；i m ( t - t ) p u ( o + y ( t t ) m ，t ) = 在【川c ) 上一致成立，p = 击文献【1 6 - 2 3 】研究了具梯度项的抛物方程u t = a u l v u q + 妒第一初边值问题的b l o w u p 临界指标关于b l o w u p 速率，文献 2 4 2 7 1 表 明，对于次临界情形q 2 p ( p + 1 ) ，在一定条件下，b l o w - u p 速率与不带有对流项的抛 物方程的结果是一致的而2 p ( p + 1 ) q 1 ，则解对任意非平凡初值在有限时刻b l o w - u p 进一步，h u ，y i nf 4 3 1 和h u 【4 4 1 在初值适当的假设条件下，得到b l o w u p 速率估计为 l l 牡( ，t ) l l = o ( ( t 一) 荟痢) ( 1 p 是) ，并证明了b l o w - u p 只能在边界发生此外， 他们还研究了b l o w u p 点附近解的渐近行为对于半线性方程饥= a u a u p 具边界条 件器= 锃a 的初边值问题，当入 0 ( 即反应项为吸收) 时，其临界 指标结果包含在文献f 2 0 ，4 6 ，4 7 j 中；r o s s if 4 8 】考虑了a 0 时一维情形下的b l o w - u p 速 率及p r o f i l e 在文献f 4 9 】中，z h e n g 等研究了具指数型吸收项的方程u t = 牡一o e ”附加 边条件是= e 弘的解的渐近行为对于拟线性方程( u m ) 。= 让嚣边界条件为( o ，t ) = 0 ， ( 1 ，t ) = t a ( 1 ，t ) 的初边值问题，f i l o 【5 0 】得到了解整体与非整体存在的充要条件，以及 部分b l o w - u p 速率和b l o w - u p 集的结果后来，d e n g 和x u 5 1 】对其作了全面的补充在文 献【5 2 ，5 3 】中，z h e n g 等研究了( 仳m ) t = 让+ 妒附加n e u m a n n 边界条件是= 护的临界指 2 大连理工大学博士学位论文 标以及b l o w - u p 速率而对于内吸收方程( 俨) t = a u a u p 具边界条件是= , u q 的初边值 问题，其相关结果见文献【4 7 ，5 4 ，5 5 】( 临界指标) 和【5 6 】( b l o w - u p 速率) s o n g 和z h e n g 在 文献【5 7 】中考虑了拟线性抛物组( 钍m ) = a u + u a a v p x ，( 矿) t = a v + i t q x v b l 附加边条 件嘉= 铲。庐，筹= u q 2 v 虎的初边值问题的临界指标当m = 佗= 1 时，d e n g 【5 8 ， r o s s i 【5 9 1 ，p e d e r s e n ，l i n 【6 0 】，c h e n 6 1 1 ，w a n g 【6 2 ，6 3 1 ，f u ，g u o 【6 4 】及z h e n g 等 6 5 】就各 自情形建立了解的b l o w u p 速率估计对于含有内部吸收项的抛物方程组，z h e n g 等 在【6 6 ，6 7 】中分别研究了边界条件为是= e a 2 计即，是= e q u + 如 的拟线性抛物组u t = e 刖一a l e a ，仇= a e n v a 2 扩l 郇和半线性抛物组u t = a u a l e 口埘，v t = a v a 2 扩l ” 的i 临界指标 另一类涉及抛物方程( 组) 奇性解渐近分析的重要问题是关于q u e n c h i n g 现象的研 究开创性的工作是1 9 7 5 年k a w a r a d af 6 8 1 对具齐次d i r i c h l e t 边界条件的抛物方程u t = z + 击的讨论，这里札在有限时刻q u e n c h i n g 是指存在t 0 ，屈0 ( i = 1 ，2 ) 我 们将通过对模型中非线性机制之间相互作用的精确分析，确定其b l o w - u p 临界指标，并借 助于特征代数方程组 ( q 2 了p 侥：7 ) ( 2 ) = ( ：) ， 其中 p = t l + m + ( 竿) + 一丁l + n + ( 字) + 当舵1 时， p = m 帕- 训+ 一( 字) + 一州风叫+ 一( 盟2 ) + 当。 哪 1 时， p = m 帕z 刊+ 一( 孚) + 一t l + n + ( 宇) + 当。 0 ，q 为r 中具光滑边界锄的有界区域，u o 满足相容性条件我们 4 大连理工大学博士学位论文 将确定该问题的b l o w - u p 临界指标，并且在一维情形下建立b l o w - u p 速率、b l o w u p 集以 及空间b l o w - u p p r o f i l e 结果表明，当且仅当7 - 2 时，梯度项对b l o w u p 的形成起本质性 作用进一步，当7 2 时，对流项还将显著影响b l o w - u p 速率，并且使得b l o w - u p 速率具 有关于模型参数的不连续性( d i s c o n t i n u o u s ) 至于梯度项对空间b l o w - u pp r o f i l e 的影响， 我们观察到p r o f i l e 估计中仅上界系数与r 有关，其指数并不依赖于r 这是因为对边界 点b l o w - u p 而言，内部对流项指标r 与边界奇异性指标相比，对空间p r o f i l e 的影响是次要 的其次考虑非线性扩散方程 1w t = ( e ( m - - i ) 伽) 一a e 一1 细， ，t ) ( 0 ，1 ) ( o ，t ) ， w x ( o ，t ) = 0 ，w x ( 1 ，t ) = e ( q 一) w c l , t ) ，t ( 0 ，t ) ， 1w ( x ，0 ) = 叫o ( z ) ，z 【0 ，1 】， 其中参数q m 1 ，p 1 ，入0 ；叫。非负且满足相容性条件利用s c a l i n g 方法，我们 建立其解的b l o w u p 速率估计，得到当a 0 时，b l o w - u p 速率与吸收项无关；丽当入 0 ，qcr 为具光滑边界的有界区域，初值满足u 0 ，v 0 c 2 ( q ) nc 1 ( q ) ， u o ，铷= 1 于a q ，0 u o ，v 0 1 于q 我们得到解整体存在与有限时刻q u e n c h i n g 的充 分条件，并且讨论q u e n c h i n g 解关于时间导数的b l o w u p 性以及q u e n c h i n g 集作为主要 结果，我们建立q = b r 径向解的非同时q u e n c h i n g 准则：当p ，q 1 时q u e n c h i n g 必为同 时，当p 1 q 或g o ；f c 1 ( 【一1 ，1 】) ，f 0 于( - 1 ，1 ) 且1 ( - i ) = 厂( 1 ) = 0 ，- f 7 ( 一1 ) ，f 7 ( 1 ) 0 ，q t ，屈0 ( i = l ，2 ) ； u o 和是非负有界函数众所周知，( 2 1 ) 中的方程可以看作是具有吸收的快扩散方 程( 仇，n 1 ) ，慢扩散方程( 0 ( m + 1 ) 2 或 a 1 m ，a 2 ( a l + 1 ) 2 ，则( 2 2 ) 的解对大初值在有限时刻b l o w - u p 对于0 ( 1 ：l f l + 1 ) 2 或m 口1 ， 则( 2 2 ) 的解对大初值在有限时刻发生b l o w - u p 其它与问题( 2 2 ) 相关的工作可参 见【5 4 ，8 5 ，8 6 】此外，特殊情形m = 1 ，即具有非线性边界流的半线性抛物方程，也被广 泛研究【2 0 ，4 6 ，s 7 - 0 4 1 对于具有指数型内部吸收的抛物方程组的研究可参见【6 6 ，6 7 】 w a n g 和w a n g 【9 5 ，9 6 】研究具有非线性边界条件的非线性扩散方程组 i ( 钍仇) = a u ， ( v n ) t = a v ，( o ，t ) q ( 0 ，t ) ， 骞咿，舄剐咿， ( 州队( 0 ，t ) ，( 2 3 ) i 乱( z ，0 ) = 咖( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，z q 且m ，佗，p ，q 0 ，口，0 ，得到下列b l o w - u p 准则： 命题2 1( 2 3 ) 的解整体存在当且仅当下列条件之一成立：( i ) 当0 1 时，q ( m + 1 ) 2 ，卢( 佗+ 1 ) 2 ， 一7 多重非线性抛物方程( 组) 奇性解的渐近分析 p q ( ( m + i ) 2 一口) ( ( n + 1 ) 2 一p ) ；( i i i ) 当0 0 使得对任意t t 。，( 2 1 ) 在q t 上存 在非负弱解( 缸，口) 进一步，若t 0 ，有u ，v 占( 或面，移6 ) ，则u 面，型雷 a e 于国t 口 附注2 1 显然，( 2 1 ) 的任一古典下解( 上解) 亦是满足定义2 1 的下解( 上解) 因 此，在本章下文中，我们将对( 2 1 ) 采用精确的古典正上、下解以代替定义2 1 中所述意 义的上、下解 一8 - 大连理工大学博士学位论文 模型( 2 1 ) 包含t - - 种非线性机制，也即非线性扩散、非线性吸收，以及非线性边界 流我们的兴趣在于它们之间的相互作用为了描述( 2 1 ) 的l 临界指标，我们引入下面的 矩阵方程： ( q 2ip 尾：7 ) ( 2 ) = ( ：) ， c 2 4 ， 也即 p l = 再等，以= 再若褊， ( 2 - 鄙 2 万彳万五丽= 两船2 万气再i 而= 两 即 其中 p = 丁l + m + , ( i i - - m + 一下l + n + ( 字) + 当