（机械设计及理论专业论文）张拉整体结构的找形和稳定性分析.pdf

咖y 帆2 0 叭6 叭帆7 m 3 眦6 帆5 眦 摘要 本文以张拉整体结构为研究对象，研究了找形、刚度和稳定性分析。具体研 究内容及成果如下： 1 ) 介绍了张拉整体结构在国内外的发展历程和现状，分析了张拉整体结构的 自应力特性及找形的方法，并进行了比较。 2 ) 研究了基于最小势能原理的张拉整体结构找形方法。建立了张拉整体结构 的势能平衡静力学模型，利用最小势能原理对平面和空间张拉整体结构进行了找 形和刚度分析。根据张拉整体结构的非线性几何约束，提出了一种改进的力密度 法应用于张拉整体结构的找形。 3 ) 研究了张拉整体结构的刚度及稳定性。推导了张拉整体结构刚度矩阵，根 据刚度矩阵的正定性提出了判断张拉整体结构稳定性的条件，并根据稳定性条件 给出了具有零刚度的张拉整体结构。 关键词：张拉整体结构自应力找形刚度稳定性 a b s t ra c t t h i sp a p e rp r e s e n t st h es t a t i ca n a l y s i so ft e n s e g r i t ys t r u c t u r e s m o r e o v e r , t h e f o r m f i n d i n g ，s t i f f n e s sa n ds t a b i l i t yo ft e n s e g r i t ys t r u c t u r e sa lec o n d u c t e d f u r t h e r m o r e ， t h em a i nr e s u l t sa r ec o n c l u d e da sf o l l o w s 1 t h ed e t a i l e dh i s t o r ya n do p e np r o b l e m so ft e n s e g r i t ys t r u c t u r e sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r1 a f t e r w a r d s ，t h es e l f - s t r e s sp r o p e r t ya n d f o r m f i n d i n gm e t h o d so f t e n s e g r i t ys t r u c t u r e sa r ea n a l y z e da n dc o m p a r e d 2 t h es t a t i cm o d e li se s t a b l i s h e du s i n gt h ep r i n c i p l eo fm i n i m u mp m e m i me n e r g y t h e n , t h ef o r m - f i n d i n go fap l a n a ra n ds p a c i a lt e n s e g r i t ys t r u c t u r e si sp e r f o r m e do nt h e b a s i so ft h ep r i n c i p l eo fm i n i m u mp o t e n t i a le n e r g y f u r t h e r m o r e ，a ni m p r o v e df o r c e d e n s i t ym e t h o di sa p p l i e dt of i n d t h es t a t i cc o n f i g u r a t i o n so ft e n s e g r i t ys t r u c t u r e s a c c o r d i n gt on o n l i n e a rg e o m e t r i cc o n s t r a i n t so ft e n s e g r i t ys t r u c t u r e s 3 n l es t i f f n e s sm a t r i xi sd i s c u s s e db yc o m b i n i n gt h es t i f f n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h e t e n s e g r i t ys t r u c t u r e m o r e o v e r , t h es t a b i l i t yc o n d i t i o n so ft e n s e g r i t ys t r u c t u r e sa le o b t a i n e da c c o r d i n gt ot h ep o s i t i v i t yo ft h es t i f f n e s sm a t r i x a f t e r w a r d s ，az e r os t i f f n e s s t e n s e g r i t ys t r u c t u r ei sg i v e n i na c c o r d a n c ew i mt h es t a b i l i t yc o n d i t i o n s k e y w o r d s ：t e n s e g r i t ys t r u c t u r e s s e l f - s t r e s s f o r m f i n d i n g s t i f f n e s s s t a b i l i t y 第一章绪论 第一章绪论 1 1 张拉整体结构的概念 张拉整体( t e n s e g r i t y ) 的概念是在2 0 世纪4 0 年代，由美国发明家、结构工程师、 建筑大师富勒( r b f u l l e r ) 首次提出的，t e n s e g r i t y i i 一词是由“t e n s i l e ”( 张拉) 和 “i n t e g r i t y ( 整体) 缩写而成。他的这种思想是受大自然的启发而产生的，他认为 宇宙的运行是按照张拉整体的原理进行的，即万有引力是一个平衡的张力网，而 各个星球是这个网中的一个个孤立的点，连续不断的拉力与相互独立的星球形成 了浩瀚的宇宙。根据这个定义，他设想有这样一种结构体系连续的张力网中 存在独立的压杆，即“压杆的孤岛处于拉杆的海洋中”1 2 j ，并第一次提出来张拉整 体概念。这种体系尽可能地减少受压杆而使索处于连续张拉状态，它的刚度是拉 索和压杆单元之间自应力平衡的结果。 富勒提出了张拉整体结构的概念后，他的学生、著名的雕塑家斯耐尔森 张s n e l s o n ) 设计出了第一个张拉整体模型，一个由一些弦把三根独立杆件张紧在 一起形成的稳定体。另外，一些学者也提出了关于张拉整体的概念定义。1 9 6 3 年， d g e m m e r i c h 在他的一项专利中给出了“自应力结构的定义 ： “自应力结构 是由压杆和索组成，它们以这样的方式组合：压杆在连续的索中处于孤立状态， 所有压杆必须被严格地分开，同时由索的预应力连接起来，而不需要外部的支撑 与锚固，整个体系就像一个自支撑结构一样保持稳固。由此就得到了自应力结 构的名称。他的这一定义，强调了压杆的不连续、白应力和自支撑的特点。 1 9 7 6 安东尼保罗在书张拉整体结构介绍中完善了张拉整体结构的定义，即： 非连续的受压构件( 杆件) 和连续的受拉构件( 绳索) 所组成的稳定的空间结构。 张拉整体结构是处于自应力状态下的空间网格结构，所有的构件都是直杆且 截面尺寸大小相同。受拉构件在受到压力作用下没有刚度，不能形成连续整体。 受压构件离散分布，每个节点都和一根压杆相连，且只能和一根压杆相连。在上 述定义中有以下几点需要注意： ( 1 ) 张拉整体结构是空间的网格结构：空间结构体系可能使构件单纯受拉或 受压，“张力结构”是空间网格结构的一个分支，这种受拉构件在压力作用下没有 刚度，这些构件在任何情况下都是受拉的。张拉整体结构也有这种受力特征，所 以属于这类结构。 ( 2 ) 结构处于自应力状态：刚度是通过自应力作用产生的，与外界作用及连 接作用无关。忽略自重的作用，因为自重对结构的初始平衡状态没有影响。 ( 3 ) 所有杆件都是直杆并且截面大小相同。 ( 4 ) 受拉构件在压力作用下没有刚度，并且形成一个连续的整体：这些构件 2 张拉整体结构的找形和稳定性分析 都是由索构成，连续的拉索产生了张拉整体结构的美感。 ( 5 ) 受压构件分散布置：既然所有这种构件总是处于受压状态，可以认为受 压构件受到拉力作用时，不需要考虑刚度要求。在常见的结构中压力必须保证连 续传递，而张拉整体结构抛弃了这种思维方式。 ( 6 ) 每个节点有且只有一根压杆与其相连。 1 2 张拉整体结构的发展 在1 9 2 1 年莫斯科举办的展览会上约翰逊( i o g a n s o n ) 展出了他于1 9 2 0 年完成的一 个雕塑作品：“雕塑结构( 图1 1 ) 。这个结构可以说是张拉整体结构的雏形，它 已经非常接近3 根杆和9 根索组成的自应力张拉整体结构。1 9 4 9 年，富勒在密歇根大 学召开的世纪中叶住宅大会上第一次提出“张拉整体”这个概念，并在1 9 6 3 年发 表完整的定义。富勒的学生雕塑家斯奈尔森( k s n e l s o n ) $ 1 j 造出了第一个真正意义 上的张拉整体结构：用一些弦将4 根独立杆张紧形成的一个稳定体，如图1 2 所示。 之后，他把所设计的张拉整体结构应用到雕塑中，成为现代张拉整体结构发展的 标志，从此张拉整体结构不但有了理论依据，还有了实体模型。 图1 1 约翰逊的雕塑图1 2 约翰逊的雕塑 2 0 世纪6 0 年代初期，富勒在美国申请了专利，同时，埃梅里希在法国申请 了专利，他们在专利中所描述的是同一个结构：三杆九索的张拉整体结构，如图 1 3 所示，只是描述的侧重点不同。富勒认为，张力是现实世界普遍存在的一种力 学现象，张拉整体就是一种较优的结构，它将两种受力单元巧妙的组合起来，最 大限度的发挥材料的承载能力，图1 4 是根据富勒张拉整体思想设计的一个穹项， 取名富勒穹顶。与富勒不同的是埃梅里希更注重结构自应力的研究，他将杆孤立 在连续的索中，压杆被严格的分开通过索与索之间的预应力连接起来，无需支撑 保持一种平衡状态。 第一章绪论 图1 3 三杆九索张拉整体结构图1 4 富勒穹顶 1 9 6 5 年斯内尔森申请了第一个关于自应力体系的专利，并于1 9 6 8 年和1 9 6 9 年建造了两座当时最著名的张拉整体结构针塔( 图1 5 ) 。在此后很长一段时间内， 张拉整体结构没有得到进一步的发展，这在很大程度上归因于设计理论，设计方 法的缺乏。在富勒申请专利的文件中，虽然给出了个构件的长度，但他并没有给 出计算方法。 图1 5 针塔 直到8 0 年代初期，张拉整体的研究才得到了进一步发展，c a l l a d i n e ， p e l l e g r i n o ，v i l n a v ，m o t r o ，h a n a o r 等学者均做出了贡献。他们的研究涉及到： 张拉整体单元的几何形态、找形；单层、双层平板以及穹顶形张拉整体结构；张 拉整体结构的力学性质；可扩展的张拉整体结构等。进入2 1 世纪后，人们对张拉 整体结构的研究侧重于它的静力学特性，主要是对结构找形方法的研究。随着张 拉整体结构中杆和索数量的增加，整个结构也越来越复杂，于是许多学者开始对 4 张拉整体结构的找形和稳定性分析 张拉整体结构拓扑图进行研究。最近十年，人们开始将研究重点转移到了动力学 方面【3 1 ，随着研究的不断深入，特别是有了张拉整体结构在动力学方面的研究基 础，人们开始了将张拉整体结构应用于机器人的研究，这是一个全新的研究领域， 对张拉整体结构的研究也进入了新的阶段。 1 3 张拉整体结构的工程应用 受富勒穹顶和张拉整体结构的启发，美国工程师盖格( g e i g e r ) 发明了索穹顶结 构，这种结构由索一压杆组成的整体网格固定在一个巨大的受压杆上面，好像膜 被张紧固定在梁上。从严格定义上讲索穹顶不属于张拉整体结构的范畴，因为这 种结构由两种受压构件：垂直的受压和受压的环( 图1 7 ) ，受压环是结构体系的边 界而不是位于体系的内部。 图1 7 索穹顶的基本原理图 在索穹顶结构出现以前，张拉整体结构仅限于理论研究，最多是作为一件艺 术品供人欣赏。1 9 8 6 年盖格公司将这种索穹项结构第一次应用到汉城奥运会的体 操馆和击剑馆，并获得巨大成功。韩国体操馆是一个可以容纳1 5 0 0 0 人的大型体 育场馆，索穹顶用隔热膜材料覆盖，跨度达1 2 0 m ，如图1 8 所示。 图1 8 韩国体操馆 第一章绪论 在这之后，索穹顶结构的建筑得到长足发展，最为著名的是美国在1 9 9 2 年建 造的世界上最大的索穹顶体育馆一乔治亚穹顶( g e o r g i ad o m e ) ，这件后来被誉为 l e v y 型的索穹顶结构是由美国著名设计师李维( 1 e v y ) 设计，他一改前人放射状的设 计理念，设计出稳定性和冗余度更高的双曲抛物面型索穹顶结构。乔治亚穹项不 但设计新颖，而且在用材上也极少，用钢量不到3 0 k g m 2 ，其结构如图1 9 所示： 图1 9 乔治亚索穹 页 索穹顶结构源于张拉整体结构，但它没有并没有完全实现结构的自支撑、自 应力原则，离不开下部受压环梁的支持，所以说彻底的大跨度张拉整体结构还没 有真正建成。 由于张拉整体结构具有质量轻、可变形、更易调整自身的形态等优点。所以 张拉整体机器人提供了传统轮式和腿式机器人所没有的形状和性质。但也正是由 于这种结构变形的灵活性使对它的控制难度加大，所以将其用于机器人是个全新 的研究领域。张拉整体结构向我们提供了一种高度超静不定机械结构，给结构任 意一方向施加作动会影响其他方向的运动，所以，需要给结构提供一种高度容错 控制。图1 1 0 是美国康奈尔大学还处于实验阶段的一个张拉整体结构机器人。 图1 1 0 张拉整体机器人 6 张拉整体结构的找形和稳定性分析 对于张拉整体结构机器人的研究是一个全新的领域，由于张拉整体结构可以通过 调整自由节点坐标实现结构的变形，杆长或索长的变化控制整个整体张拉结构的 运动。通过设定各个索和杆的位置参数实现张拉结构机器人沿直线，矩形等轨迹 的运动。 单个构件的运动变化可以带动其他多个构件发生运动，有些构件的损坏对整 体结构的影响不会很大。张拉整体结构这种较好的结构可调性和鲁棒性可以为机 器人运动提供一种合适的运动平台，也展示了它可观的容错能力1 4 儿1 1 。 1 4 本文的主要工作 本文主要通过建立张拉整体结构的静力学模型，对张拉整体结构进行了找形、 刚度及稳定性分析，具体工作安排可分为以下几个方面： 第一章：主要介绍了张拉整体结构的定义以及国内外的发展状况，以及张拉 整体结构的在工程的应用。 第二章：介绍了张拉整体结构的基本理论，揭示了张拉整体结构内应力与形 状和刚度的关系。通过求解平衡矩阵的秩，得到了张拉整体结构的自应力状态数 和独立机构位移数。分析了张拉整体结构找形的几种方法，并进行了比较。 第三章：详细叙述了张拉整体结构静力学模型的建立，首先利用势能方程建 立了结构的静力学模型，然后利用最小势能原理，对结构的找形、刚度进行了分 析。并以平面和空间张拉整体结构为例进行了静力学分析。根据张拉整体结构的 非线性几何约束，提出了一种改进的力密度法应用于张拉整体结构的找形。 第四章：研究了张拉整体结构的刚度矩阵及稳定性。根据刚度矩阵的正定性， 给出了判断结构稳定性的条件，并根据稳定性条件给出了具有零刚度的张拉整体 结构。 第五章：对本文的研究内容及结果进行了总结，并展望了进一步的研究工作。 第二章张拉整体结构的形态特性 第二章张拉整体结构的形态特性 2 1 引言 张拉整体结构由一系列不连续的受压构件和一系列连续的受拉构件相互作用 形成的具有稳定结构的整体。因此，它的每个构件只能受压或受拉。对于所有的 可能外形，受力的性质不变。绳索和弹簧可以用来作为受拉杆件，这样不仅可以 减轻重量，而且可以收缩到一个较小的空间中，一旦给绳索拉力，张拉系统就可 以展开并稳定下来。根据张拉整体结构定义可知这样的结构中存在预应力，也就 是说张拉整体结构需要一个合适预应力。在引进预应力之前，其几何形状是不确 定的【。对于传统的刚性结构来说，结构的几何形状在结构设计之前就已经确定了。 此外，张拉整体结构的几何形状的任何微小变化都可能引起结构性能的较大变化。 本章将重点介绍张拉整体结构的自应力特性。 2 2 张拉整体结构的力学特性 张拉整体结构可以在没有支撑的情况下平衡，这种状态称为自平衡状态，其 单元应力称之为自应力。由于张拉整体结构的索具有单向刚度，所以结构刚度都 是来自单元的内应力。自应力张拉整体结构，其单元内应力必需满足节点静力平 衡，这种平衡关系不仅与单元内力有关，还依赖于结构的几何形状。故与传统的 几何形状已知的刚性结构不同，张拉整体结构的几何形状的确定需要满足节点平 衡关系。所以张拉整体结构的形态包括几何形状和自应力状态。张拉整体结构具 有结构的一般特点，并呈现出其自身特定的结构性状和特征： ( 1 ) 结构的预应力和刚度：张拉整体结构的刚度由受拉单元和受压单元之间 的平衡预应力提供，预应力越大刚度越大。在施加预应力之前，结构几乎没有刚 度，并且初始预应力值对结构的形状和刚度的大小起决定性作用。施加预应力后 结构自身能够平衡，不需要外力作用即可保持应力不流失。 ( 2 ) 自适应：自适应能力是结构自我减少物理效应、反抗变形的能力，在不 增加结构材料的前提下，通过自身形状的改变从而改变自身的刚度，达到减少外 荷载的作用效果，所以只要所施加的外力在结构所能承受的力的自然波动范围之 内，张拉整体结构刚度会随着外荷载的增大而增大，体现了其良好的自适应性。 ( 3 ) 恒定应力态：张拉整体结构中杆元和索元汇集到节点达到力学平衡，称 为互锁状态。互锁状态保证了预应力的不流失，同时也保证了张拉整体结构的恒 定预应力状态，即在外力的作用下，结构的索元保持拉力状态，而杆保持压力状 态。 8 张拉整体结构的找形和稳定性分析 ( 4 ) 非线性：张拉整体结构中的张力是连续的，局部内力的改变往往会引起 结构整体的调整。所以，即使在较小的外荷载作用下，张拉整体结构也容易发生 较大的位移，虽然构件的轴向应变还处于小变形的范围内。因此，张拉整体结构 的力学分析一般需要考虑几何非线性的影响。 ( 5 ) 可展开性与冗余性：由于杆件之间是通过绳索等柔性结构相连的，所以 存在可展开性，这在空间结构中是非常重要的，特别是对于可展开天线；张拉整 体结构各构件可以同时充当传感器，激励器和负荷运行者的角色，所以即使其中 某个构件损坏，其它构件也可以代替损坏构件完成任务。 张拉整体结构的力学分析一般分两部分：一是找形，即求解张拉整体结构初 始平衡形态的过程，这个过程可以获得使预应力平衡的几何形状；二是结构的静 力和动力分析，求解荷载作用下结构的内力及节点位移。在静动力分析之前，还 要进行自应力状态与独立机构位移的分析。 2 3 张拉整体结构自应力状态 从张拉整体结构的定义中可以看出，张拉整体结构在没有预应力存在的情况 下不稳定【5 1 。但是由于自应力状态的存在，在特定的几何形状下，使结构获得刚度 成为可承受荷载的结构，这是它区别于传统结构的本质特点。正是由于这一本质 特性，使得张拉整体结构的内力和形状高度相关。 2 3 1 小变形机构的稳定性 张拉整体结构在载荷的作用下，各节点会发生位移，如果构件节点之间的距离 不发生变化，那么相应的位移就称为大变形( “非延展性变形 ) ，该结构是几何 可变结构。如果构件单元的长度会发生微小变化，变化值比节点位移低一个数量 级，该结构就称为小变形结构。 c 图2 1 小变形机构 如图2 1 所示，小变形机构。杆a c 和杆b c 铰接，初始位于水平位置，k = k ， l 弛+ l b c z l a c 七l b c o 预应力可以使小变形机构保持稳定状态。对该结构施加两种预应力：预拉力 和预压力。首先施加预拉力，在外力作用下，结构发生变形，c 点由初始平衡位置 第二章张拉整体结构的形态特性 9 运动至c 点，结构的总势能增加。如果撤去外力的话，节点c 将会回到初始平衡 位置。如果施加预压力，在外力作用下，结构发生变形，节c 点由初始平衡位置运 动至c7 点，此时杆件内部无应力，结构的总势能为0 。如果撤去外力的话，节点c 将会处于新的位置而不会回到初始平衡位置。如果回到初始位置，结构的总势能 将增加。通过这个例子说明，根据结构所处的不同应力状态可以判断结构发生小 变形位移时是否处于稳定状态。 2 3 2 张拉整体结构的自应力状态和独立机构位移 一般意义上的自应力体系可由其平衡方程【6 1 定义为： a t = p ( 2 1 ) 其中a 依赖于体系几何参数的平衡矩阵，t 是结构各个构件的应力组成的内力向 量，p 是节点载荷向量。 相应的协调方程为： bd=e ( 2 - 2 ) 其中b 为协调矩阵，d 是节点位移向量，e 是构件变形向量。 通过虚功原理【7 1 可得： b = a 。 ( 2 3 )： p 如果空间自应力体系有b 根构件，n 个自由节点数。则平衡矩阵a 为3 n b 矩阵；其自应力状态数和独立机构位移数可由下两式计算得： 自应力状态数： s = b 一， ( 2 - 4 ) 独立机构位移数： m = 3 n 一，一6 ( 2 - 5 ) 其中，是平衡矩阵的秩。根据平衡矩阵的秩，的大小，可将体系分为四类。 ( 1 ) s = 0 ，m = 0 ，为静定，动定体系。此时矩阵a 、b 满秩，平衡方程( 2 1 ) 和 协调方程( 2 - 2 ) 均有唯一解。既通常所说的静定体系。 ( 2 ) s 0 ，m = 0 ，为静不定，动定体系。对任意载荷模式，平衡方程( 2 1 ) 有无 穷解；对特定载荷模式协调方程( 2 2 ) 有唯一解，否则无解。既通常所说的超静定 体系。 ( 3 ) s = 0 ，m 0 ，静定，动不定体系。对特定载荷模式，平衡方程( 2 1 ) 有唯一 解，否则无解；对任意载荷模式，协调方程( 2 2 ) 有无穷解。 ( 4 ) s 0 ，r n 0 ，静不定，动不定体系。对特定载荷模式，平衡方程( 2 1 ) 有 无穷解，否则无解。对特定载荷模式，协调方程( 2 2 ) 有无穷解，否则无解。 在外荷载作用下，自应力平衡体系是通过其构件间自应力来获取平衡的，这种 1 0 张拉整体结构的找形和稳定性分析 体系可以是动定的或动不定的。动定体系不需依赖预应力；而动不定体系一般需在 施加外荷载之前，施加一定的预应力。一般情况下，张拉整体结构为第3 和第4 种类 型。这说明在分析张拉整体结构的时候，不仅要判断自应力状态是否满足使小变 形机构稳定的预应力要求，还要考察自应力状态能否满足压杆受压、拉索受拉的 条件，因为拉索只具有单向的受拉刚度，无法承受压力，这是张拉整体结构独有 的特性。 ( a ) 组合方式1( b ) 组合方式2 ( c ) 组合方式3( d ) 组合方式4 图2 2 柱形张拉整体组合结构 图2 2 给出了柱形张拉整体组合结构的组合方式，表2 1 列出了不同组合方式 时，张拉整体结构的自应力状态数和独立机构位移数。 表2 1 平衡矩自应力独立机构 组装方式构件数节点数自由度 阵秩状态数位移数 a1 261 2 1l 1l b2 292 l2 02l c3 21 23 02 93l d4 21 53 93 841 2 3 3 平衡矩阵的奇异值分解 在线性代数理论中一个线性方程有唯一解则方程是确定的；有解但不唯一是 第二章张拉整体结构的形态特性 不定的；无解则是过定的；张拉整体结构的平衡方程、协调方程都是线性的。并 且可以利用平衡矩阵的分解进一步得到张拉整体结构自应力向量和独立机构位移 向量。 对于任意平衡矩阵a ( ) ，假设其秩为r ，则可将平衡矩阵a 作奇异值 分解得： a ：u c r v r 其中：u 是阶正交矩阵u = ， ，u r u = i v 是阶正交矩阵矿= u ，v ，；， ，v r v = i 仃是，；l 阶矩阵，仃= 0 ( 2 6 ) ，0 仃，盯2 仃1 是矩阵a 彳哆= u 仃矿7 v = u 方 啊 、 7 _ = u 仃 _ 得到下面两式： ：u 仃 彳谚：仃， 。 o 彳7 材：q _ 。 0 矩阵u 、v 可分解为两部分： = 嘲 f = 1 ， i = ，+ l ，乇 f = l ， i = 厂+ 1 ，屹 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) 张拉整体结构的找形和稳定性分析 u q 一， ，u = 一，蚱】，- ，- h 。 矿= 巧一， ，杉= 【耵一，咋】，- - - - v r + l , v r = 则平衡矩阵a 可以由图2 3 所示 r m - 二 七一 r m ( 2 - l o ) ( 2 1 1 ) 卜 图2 3 矩阵分解 对比分析( 2 1 ) 式和( 2 8 ) 式，可知前r 个向量和仃，分别对应内力向量t ，和 外载荷向量p ；前r 个线性无关并且正交的向量系1 ，的线性组合构成内力向量空 间；余下的s 个向量h 对应自应力体系，余下的1 1 1 个向量仃，珥则是在当前形状下 的非平衡载荷。 对比分析( 2 2 ) 式和( 2 9 ) 式，可以知r 个向量和仃，分别对应节点位移向量 d ，和构件形变向量e ；前r 个线性无关并且正交向量系m 构成节点位移向量空间； 余下的m 个向量对应零形变模式( 结构应变能为零) ，余下的s 个仃。v 。向量则是 与体系不相容的构件形变。 2 4 张拉整体结构的找形方法 对于张拉整体结构来讲，由于结构的几何形状和尺寸必须满足结构的稳定的 要求，所以找形需要实现两个目的：几何形状和自应力【8 】。找形方法要优先考虑 力学方面的要求，但是任何一种找形方法都不可能只考虑一方面的要求而实现找 形的目的。所以，在应用有关找形方法进行找形时，必须同时应用应力参数和几 何参数。其找形方法主要有：静力平衡法，动了松弛法，非线性有限元法，力密 度法等。 2 4 1 静力平衡法 静力法找形分析适用于形状简单、对称的结构1 9 , 1 0 。利用节点静力平衡和结 构的对称形可以找到既满足几何条件又满足平衡条件的状态。 第二章张拉整体结构的形态特性 f f ， 图2 4 自应力平衡体 如图2 4 所示3 杆9 索自应力平衡体，取c 1 点进行静力分析，它必须位于 平衡状态。该节点受到多个外力作用，外力的方向取决于节点间联系的方向。因 为张拉整体结构的构件均只受两个方向的力，且均沿节点方向。根据结构的对称 性，c i c 2 和c i c 3 上的力可以等效为一个力，它位于角c 2 c i c 3 的角平分线上。此时 节点c l 受到c i d ( d 是c 2 c 3 的中点) 、c 1 a l 和c 1 a 2 三个方向的力。为了能使c l 点保 持平衡状态，三个力的作用线就必须处于同一平面p ( c i a l a 2 构成的平面) 上。由于 c 1 d 位于上平面，a 1 a 2 位于下平面，两个平面平行而且c 1 d 、a i a 2 又处于平面p 上， 所以c 1 d 平行于直线a 1 a 2 。 由此可得上下平面转角： 驴2 三+ 詈 ( 2 - 1 2 ) 推广至一般情况： = 要十三 ( 2 1 3 ) 其中e 是上下平面多变形的边数。 2 4 2 动力松弛法 动力松弛法以有阻尼和无阻尼体系的动力松弛，1 2 1 为理论依据。通过虚拟质 1 4 张拉整体结构的找形和稳定性分析 量以及粘滞阻尼将静力学问题转化为动力学问题，跟踪结构动力行为，直到稳定 在静力平衡状态。动力松弛法不需要形成结构的总体刚度矩阵，也不会造成累积 误差。在找形过程中，可修改结构的拓扑和边界条件，计算可以继续并得到新的 平衡状态，该方法用于求解给定边界条件下的平衡曲面。 在动力松弛法的动力平衡方程中有三个参量：时间增量、阻尼系数和虚拟质 量。阻尼系数对算法的收敛速度影响较大，阻尼系数越大，收敛速度越快，但其 又不影响计算的稳定性。时间增量也要选择合理，过小的时间增量使得迭代次数 增加，过大的时间增量又有可能引起迭代不收敛。对于节点较少的结构，动力松 弛法具有较好的收敛性，但是随着节点数的增加，收敛变的较为困难。 2 4 3 非线性有限元法 非线性有限元法1 1 3 - 1 5 】广泛应用于各工程领域，同样也可以应用于张拉整体结 构的找形。在非线性有限元法中，首先要确定找形分析中所有参数。假定参数很 难满足结构位形的平衡要求，于是在节点上就会产生不平衡力。在不平衡力的作 用下，结构产生位移，各点的位移加入节点原始坐标，就得到结构新的位形。节 点不平衡力经反复迭代趋近于零，给定迭代的终止准则，判断前后两次位形差符 合允许误差，近似认为结构达到平衡。此时结构的几何形状就是结构的初始平衡 状态，其有限元基本方程为： k d = p 一，- ( 2 - 1 4 ) 其中 k = k e + k g ( 2 - 1 5 ) 上面两式中k f 是单元弹性刚度矩阵，磁是单元几何刚度矩阵，d 是节点位 移矢量，尸是外荷载，是节点不平衡力。求解初始平衡问题的过程就是要消除不 平衡力，的过程。 虽然初始平衡问题是一个纯粹的静力问题，与材料的本构关系没有关系，但 是非线性有限元在计算单元刚度时，却要用到材料的本构关系，否则可能导致迭 代不收敛。用非线性法求解初始平衡问题时，最终的平衡形状及结构的应力分布 都较难控制，而且求解比较费时。但是非线性有限元的一个显著特点是荷载分析 和找形分析可以通用一个程序，随着计算机技术的发展其求解费时的问题也比较 好解决，因此非线性有限元法应用仍然很广。 非线性有限元法找形过程中，重点要解决的是收敛性问题，围绕这个关键性 问题提出了直接施加初始应变法、温度荷载施加应变法和多余约束法等方法，虽 然这些方法可以解决大多数张拉整体结构的找形问题，但是复杂结构的找形不易 第二章张拉整体结构的形态特性 实现，特别是没有有效的通用程序。 2 4 4 力密度法 力密度1 6 。8 1 ( q j = t j ，) 方法是七十年代发展起来用于索网及膜结构的找形 方法，在给定结构拓扑条件及边界条件下，是求解杆系结构找形问题的有效方法， 也适用于带有索单元的空间结构的找形分析。力密度方法应用各个节点都满足静 力平衡的条件，将非线性问题转化为线性问题进行求解。 张拉整体结构是一种自平衡体系，自应力的作用下保持平衡，外力矢量为0 ， 忽略重力影响，在自应力状态下结构保持稳定，即张拉整体结构所受的外力为0 ， 则其平衡方程可以写成： c ：q c f x f + c ：q c g x g = 0 q - 1 6 c ；q c f y f + c j q c g y g = 0 q 一1 7 、) q q q 乃+ q q c g 乙= 0 ( 2 - 1 8 ) 其中：q 为n 阶对角方阵，对角元素是构件对应的力密度值。 r ，吼、l q = l 1 ，其中劬= o ，j 2 1 m ( 2 一1 9 ) lg 。j 拓扑矩阵c 1 定义为： f + 1f ( p ) = 1 1 c ( 纠5 一lj ( e ) 。1 ( 2 2 0 ) 【0其他j 式中，i ，j 是节点号，从1 n ， = 1 f + n g ，为自由节点，唿为固定节点；e 是单元号，从1 4 - m 。【c 】有m 行和n 列，对应于_ 和，可分块成为 qc g 。 用式( 2 - 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 和( 2 - 1 8 ) 基本方程，用力密度法可以完成参数找形。对于一个给 定的结构拓扑矩阵，首先选择力密度值，索单元受拉，力密度值为正；杆单元受 压，力密度值为负，再就是确定几何要求的固定节点。这样就可以通过求解方程 ( 2 - 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 和( 2 - 1 8 ) 来获得相应的初始形状。但是因为张拉整体结构的力密度矩 阵q 中元素不全为正，不能保证联结矩阵c ；q c ，正定，可能出现两种情况： ( 1 ) 联结矩阵c ；o c g 满秩，有唯一解，结构几何由所选定q 值控制。特殊情 形，当所有节点点共面时，解也成为同平面的，成为无意义解。 ( 2 ) 联结矩阵c ；q c 非满秩，式( 2 1 6 ) 、( 2 一l7 ) 和( 2 一1 8 ) 无解或无穷解。 为了使张拉整体结构找形不局限于某一直线或平面，自由节点应满足捍，4 1 6 张拉整体结构的找形和稳定性分析 且不共面，得到的张拉整体结构的形状为空间结构。 将力密度法用于张拉整体自应力结构的找形，可以归结为以下几个步骤： ( 1 ) 根据拓扑关系建立拓扑矩阵。 ( 2 ) 调整力密度值使联结矩阵q 瞩和q q c i 的秩满足要求 ( 3 ) 选取自由节点求解平衡方程得到张拉整体自应力结构的形状。 2 5 本章小结 本章详细介绍了张拉整体结构的力学特性，揭示了张拉整体结构内应力与形 状和刚度的关系。通过求解平衡矩阵的秩，得到了张拉整体结构的自应力状态数 和独立机构位移数。介绍了张拉整体结构找形的几种方法，并进行了比较。 第三章张拉整体结构的找形分析 第三章张拉整体结构的找形分析 3 1 引言 因为张拉整体结构中大量使用了质量较轻，惯性较小的材料如绳索和弹簧， 所以它的应用得到了极大的发展。张拉整体结构的初始状态是一种自平衡状态， 它由形状参数和内力参数两组参数确定。在给定边界条件下，所施加的预应力的 分布和大小同所形成的结构初始形状是相互关联的。通过改变张拉整体结构某些 连接构件( 拉索或压杆) 的长度可使原有结构变成机构。本章就对张拉整体结构的 静力学特性利用最小势能原理进行研究( 外力忽略) 。由于方程属于非线性方程， 采用n e w t o n r a p h s o n 法解决。迭代求解时，利用静力平衡法得到了张拉整体结构 初始参数和结构几何形状的解析公式，并得到结构的工作边界和工作空间。 3 2 1 最小势能法 3 2 能量法找形分析 宇宙万物，如果其势能未达到“最小( 局部概念) ，它总要设法变化到其“相 对最小的势能位置。举个例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有正 的势能( 非最小) ，因而它总有向地面运动的“能力”( 向地面“跃迁 ) ( 其力学本 质是其处于一种不稳平衡状态) 。因此，它试图( 也只有) 向下运动，才能保证其达 到一个相对平稳的状态。举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的 最低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡。 最小势能原理般表达式为： 6n 。= 0 ( 3 1 ) 最小势能原理的数学描述为：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分是正定 的( 大于零) 。一般表述为：在所有可能的位移中，真实位移使势能取得最小值， 反之，使势能取得最小值的可能位移就是真实位移。最小势能原理适用于所有线 弹性结构。将最小势能原理应用到张拉整体结构中就是在分析过程中用最小化势 能的方法来判定体系平衡，当势能达到最小值时就可以获得平衡状态下的节点坐 标和单元内力，这就是所谓的最小势能法。 3 2 2 坐标系的建立 结构的变形可以用它的节点位置相对变化来描述，表述节点位置需要选定一 个坐标系，把所有节点的位置及其变化用一定的函数关系来表示。 张拉整体结构的找形和稳定性分析 空间中刚体有6 个自由度，描述刚体在空间中的位姿则需要6 个广义坐标。 刚体在三维空间中的有限转动，可依次用三个相对转角表示，即进动角仅、章动 角b 和自旋角丫，这三个转角统称为欧拉角。选则欧拉角作为描述刚体空间姿态 的广义坐标。选取刚体某节点位置坐标( x ，弘z ) 作为描述刚体空间位置的广义坐 标。这样结构第f 个构件可以用( 一，y i ，z i ，a ，卢，y ，) 这6 个广义坐标来描述它在空间 中的位姿，即用广义坐标吼= ( 薯，以，刁，a ，尼，y ，) 表示，如图3 1 所示。 b 点的坐标为： 3 2 3 系统平衡方程 图3 1 空间欧拉角 b 料小 薯哥引 。p 2 ， 系统势能分为两部分，一部分为整个系统的外力势能，另一部分为索中的弹 性势能。系统势能表达式为 n = u + w ( 3 - 3 ) 式( 3 3 ) 中：u 为体系的弹性势能，形为体系的外力势能。 第三章张拉整体结构的找形分析 1 9 求解张拉整体结构的势能时，作如下假定： ( 1 ) 张拉整体结构单元可以被视为线弹性体。 ( 2 ) 根据张拉结构的拉压特性，索单元认为理想柔性，不能抵抗弯曲，杆单 元不考虑弯曲作用，故结构中没有弯曲势能和扭转势能。 ( 3 ) 结构只受节点载荷作用，不考虑自重影响，单元呈直线形。 张拉整体结构的势能表达式为： u = 去u ，= el i k ，x 址，2 ( 3 - 4 )u 1 j j j - j = l 厶j = l 厶 w = 彬= 掣， ( 3 5 ) 其中k ，是第j 个构件的弹性系数，址，是第j 个构件的长度变化量，p 是结构上 加在节点的载荷，为载荷对应的位移。 单元n l 两端节点为i 和j ，用托表示节点在初始状态下的坐标，有 厶o = i x o 厂x o ，i ( 3 6 ) 单元在载荷作用下的长度为： 厶= 厶o + m - m 。l x ，一五i ( 3 7 ) 由式( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可得： 皈= i 一z | _ i 厂x o ，i ( 3 - 8 ) 因此，结构的总势能可表示为节点位移坐标的函数即： r i ( q ) = 寺u ( 留) + 彬( g ) = ，1k a l j ( q ) 2 + 舻，( g ) ( 3 9 ) 势能n 是广义坐标g 的函数，根据势能最小原理，势能兀对广义坐标留的一阶导 数应该取驻值，则有： 掣：0 ( 3 - 1 0 ) 叼 式( 3 1 0 ) 是含有广义坐标的方程组，通过求解，可以得到广义坐标值，从而确定 结构的形状。因为方程组为超越方程组，故该方程组是非线性的，用普通方法无 法求解。为了求解非线性方程组( 3 - l o ) ，选择n e w t o n r a p h s o n 法。 3 2 - 4 n e w t o n r a p h s o n 法 n e w t o n r a p h s o n 法 1 9 2 0 】是一种有效地使总势能最小化的方法。令广义坐标在 第k 次迭代时的增量表示为曲。将g 处的梯度用泰勒级数展开为 张拉整体结构的找形和稳定性分析 嚣= 罢+ 瓦0 瓦0 1 q 玩+ 五1 瓦a 瓦a 瓦a n ) ) ) 6 2 吼 一= 一十一i m 朋t 十一i t i 一，u u o 、 ， i 、o 一，一、j 一+ 一” 朝k “o q ko qka q kz ! o q k0 q ko q k + 夏1 a a a 瓦a n ) ) ) ) 艿3 吼+ 忽略其3 次或更高的项，式( 3 1 1 ) 可以写为： m v aa l饥a ，铘、 瓦2 瓦+ 瓦瓦饥 假定善里：o ，式( 3 1 2 ) 变为 d 饥+ l 铘a 2 兀 - o q k 一可6 吼叼 ( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) ( 3 1 3 ) 其中可c 3 2 1 - i 为h e s s i a n 脯令器= 也 故仔第k 次迭代后的广义坐标值增量为 吣卅嚣 ( 3 1 4 ) 因此 。 q 川= 吼+ s q k ( 3 1 5 ) 方程( 3 1 0 ) 采用n e w t o n r a p h s o n 法求解，迭代是否收敛取决于在广义坐标吼 处，h e s s i a n 矩阵的正定性。如果条件不满足，迭代方法发散。另外，初值的选 择对迭代结果的收敛也有影响。例如空间结构选择屈初值为0 ，则迭代后得到结 果为平面结构，如果选择屈初值为要，则迭代后无解。这两种情况都对应着空 间结构的奇异形状。 为了计算迭代时方程收敛，具体步骤是： ( 1 ) 为了迭代计算时方程收敛，将初形是杆长参数y 。( l g t ，l g z ，l g s ) ，与目 标杆长参数i f ，之间做等量离散化处理。( d = o ，1 ，2 ，刀，l f ，j = l f ，) ( 2 ) 令外力f = o ，从初始形态的参数9 0 开始迭代，直到得到劬。其中y d 对 应着劬一。 ( 3 ) 同理，将外力厂等量离散化处理，以= f ( e e ) 。( p = 1 ，2 ，3 ，e ) 。 ( 4 ) 迭代过程以第( 2 ) 步中劬为初值，z 对应着乳。 第三章张拉整体结构的找形分析 2 l 3 2 5 实例分析 ( 1 ) 2 杆3 索l 自由度平面张拉机构分析 张拉整体机构如图3 4 所示，由2 根受压杆a c 、b d 和3 根受拉弹簧a d 、b c 和d c 组成。杆a c 和b d 的长度等于l ，连杆a b 可以调整自身长度p ，且a e 和b e 同步运动。弹簧a d 和b c 的刚度分别为k 和k 且相同既墨= k 3 ，机构形状左右 对称，d 、c 两点的高度y 相同，并且z c a b 和z d b a 相等。机构自由度f = i ，机 构形状由1 个广义坐标参数决定，选取o l 为广义坐标。 图3 2 平面1 自由度张拉整体机构 1 、机构能量法找形 如果把p 看作输入，把y 看作输出，不同的p 值对应不同的y 。此结构中， 输入与输出的关系不仅依赖于机构的几何形状而且依赖于机构的内力。根据结构 的几何关系可得弹簧长度： 厶= 厶2 f s i n 2a + ( p l e o