物理习题中的辅助圆.pdf

1 物理辅助圆之等时圆专题 巧构辅助圆妙解物理题 浙江海盐元济高级中学（314300）王建峰 浙江海盐高级中学（314300）马永芬 解物理习题时，若能巧借辅助圆，将会产生意想不到的效果。辅助圆按其作用与功能可分为“矢量 圆、等时圆、等势圆、动态圆、谐振圆”。本文试想通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。 1 矢量圆 矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量 圆”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。 例 1 一条宽为L 的河流，水流速为u，船在静水中划行的速度为 v ，且 vu。要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？ 解析水流速 u、船在静水中的速度v 与船的合速度v 1 构成一矢量 三角形，且船在静水中的速度v 大小不变，方向不定，构建如图1 所示 的矢量圆。显然，当AD 与矢量圆相切时，船航行的位移最短。由图可 得船的航向与河岸的夹角 u v arccos。 2 等时圆 如图 2 所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑弦加速下滑，其下滑 的时间相等， 且时间 g R t 4 （R 为圆环的半径， g 为重力加速度） ，这样的圆环称 之为“等时圆” 。在解决有关动力学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而 且能激发学生的解题思维。 例 2 两光滑斜面的高度都为h，OC、OD 两斜面的总长度都为l，只是 OD 斜面由两部分组成，如 图 3 所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球 先到达斜面底端？ 解析（解法 1）本题往往采用 v-t 图象求解，作 出 物 体 分 别 沿 OC、 OD 斜面运动 的 v-t 图象（如图 所示4） ，由图象 可 得 乙 球先 到 达 斜面底端。 （解法 2）构建如图5 所示的等时圆，交OC 于 A 点，交 OD 于 B 点。由“等时圆”可知， BOAtt0 。 由机械能守恒定律可知： AB vv， DC vv， 所以 ACBD vv。 又因为两斜面的总长度相等，所以 ACBD ss， 根据 t s v得， ACBD tt，所以有 乙甲 tt，即乙球先到达斜面底端。 3 等势圆 点电荷的等势面是以点电荷为圆心的圆面组成，这样的圆面称之为“等势圆”。借用等势圆来解题能化 A D v u v 1 图 1 L 图 2 R B D C 甲 乙 图 5 A O O D C 甲 乙 图 3 图 4 t v t乙 t甲 VC 2 难为易。 例 3 （ 2002 年江苏等省理综第30 题）如图 6 所示，直角三角形的斜边倾角为30，底边 BC 长为 2L， 处在水平位置， 斜边 AC 是光滑绝缘的， 在底边 中点 O 处放置一正电荷Q，一个质量为m，电 量为 q 的带负电的质点从斜面顶端A 沿斜边滑 下，滑到斜边上的垂足D 时速度为 v。则：该质 点运动到非常挨近斜边底端C 点时速度vc为多 少？没斜面向下的加速度ac为多少？ 解析点电荷沿斜面AC 下滑时，电场力 在不断变化， 无法利用动能定理及能量守恒关系 直接列式求解，从而使解题陷入困境。 由几何关系可引入图7 所示的等势圆， 由于 D、C 二点位于同一等势圆上，电荷从 D 运动到 C 电场力 做功为零，只有重力做功，所以电荷在D 点的机械能与C 点的机械能相等，即： glvvCDmgmvmv CDC 330sin 2 1 2 1 20 22 对电荷在C 点受力（如图8 所示） ，由牛顿第二定律得： mac L Qq kmg30cos30sin 2 ，解得： 2 2 3 2 1 ml kQq gaC 。 4 动态圆 带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子 在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“动态圆”，构建系列动态圆 能化俗为奇。 例 4 半径为 R=10cm 的圆形匀强磁场，区域边界与y 轴相切于坐标 原点，磁感应强度B=0.332T ，方向垂直纸面向里。在原点O 处有一放射 源 S，可沿纸面向各个方向射出速率均为smv/102.3 6 的 粒子，已 知已知 粒子的质量为Kgm 27 1064.6，电量cq 19 102.3，试 确定 粒子通过磁场的最大偏向角。 解析粒子在磁场中作半径为r 的匀速圆周运动，可得： cmm qB mv r20 332.0102.3 102.31064.6 19 627 从而可构建一系列半径为20cm 并交于O 点的旋转动态圆（如图9 所示） ，由各动态圆不难得到要使 粒子的偏向角最大，必然 粒子在磁场区域内的弦最长。 所以 粒子的最大偏向角 0 60arcsin2 r R 例 5 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子 约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装 置） 。如图 10 所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度 不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为 R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比 为 q/m=4 7 10C/，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算 （ 1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 图 9 x y o A B C O 。 D 图 6 A B C Q D 图 7 图 10 r1 R1 R2 图 8 N 3 （ 2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。 解析（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，在磁场区域中作圆周运动，由于粒子的速度大小不定， 构建如图10 所示的半径不同的动态圆，要使粒子不能穿越磁场，从各动态圆中不难得到粒子的临界动态 圆必须与外圆相切。 由图中知 2 12 2 1 2 1)(rRRr ，解得mr375.0 1 由 1 2 1 1 r V mBqV得sm m Bqr V/105.1 7 1 1 所 以 粒 子 沿 环 状 的 半 径 方 向 射 入 磁 场 ， 不 能 穿 越 磁 场 的 最 大 速 度 为 smV/105.1 7 1 。 （2）所有粒子在磁场中作半径不定，圆心也不定的动态圆，在所有动态圆中粒子以V2的速度沿与内 圆相切方向射入磁场且动态圆与外圆相切时，则以 V2速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界 （如图 11 所示）。由图中知m RR r25.0 2 12 2 ，算出对应的速度sm m Bqr V/100.1 7 2 2 ，这一速 度即为所有粒子不能穿越磁场的最大速度。 5 谐振圆 当一个物体（质点）在一平面上做匀速圆周运动时，它的投影点的运动是简谐运动，这个圆通常称为 “谐振圆”。利用谐振圆，可以把振动这部分知识融为一体，而且它利用学生相对熟悉的圆周运动为起点， 降低了学生的认知难度。利用谐振圆，能使问题直观明了，在求解振动的时间问题时尤显优势。 例题 6 如图 12 所示，一只椭球形的鸡蛋长轴是6cm，短轴是4cm，鸡蛋在 x 轴上做简谐运动，运动 过程中椭球的焦点在x 轴上，鸡蛋的端点正好不碰到A、 B 两点，即在A、 B 之间往复运动，现有一支枪固定在支 架上，以垂直于 x 轴的方向射出子弹正好瞄准x=12cm 处， 子弹可看成质点，子弹的速度比鸡蛋的速度大得多，现有 一个瞎子扣动扳机，那么他击中鸡蛋的概率是多大？ 解析鸡蛋中心在cmxcmx2121到之间作简 谐运动，但只有在cmxcmx159到之间时能被击中。构建如图13 所 示的谐振圆，要击中鸡蛋相当于质点位于弧CD 之间。 其对应的相位为 21 9 arccos C , 2 1 1 5 a r c c o s D 则击中鸡蛋的概率为 21 15 arccos 21 9 arccos DC p 辅助圆在解中学物理习题时有其独特的魅力，不仅能使抽象的物理问题更形象、直观，求解过程简洁 明了，而且还具有创新意识，对提高解题能力和发展求异思维无疑有很大的帮助。 图 11 O1 O2 21 x/cm 15 9 0 C D 图 13 0 x/cm A 24 -24 v 图 12 12 B 4 “等时圆”模型的基本规律及应用 （此文章已发表于考试杂志） 前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。而在物 理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。基 于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下： 一、何谓“等时圆” 如图 1 所示， ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周 的最高点， d 点为最低点。 每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出） ，三个滑环分别从a、b、c 处释放 （初 速为 0） ，用 t1、t2、t3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（） A.t1t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径 为 R，由牛顿第二定律得， mamg cos 再由几何关系，细杆长度cos2 RL 设下滑时间为t，则 2 2 1 atL 由以上三式得， g R t2可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。 由此题我们可以得出一个结论。 结论： 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆 周 最 低 点的时间相等。 推论： 若将图 1 倒置成图2 的形式，同样可以证明物体从最高点由静 止 开 始 沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。 象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 二、 “等时圆”的应用 1、 可直接观察出的“等时圆” 例 1： 如图 3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分 别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位 置 所 构 成的面是（） A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定 解析： 由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。 例 2：如图 4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖 直墙上另一点B与M 的连线和水平面的夹角为60 0， C是圆环轨道的圆心， D是圆环上与M靠得很近的 一点（ DM 远小于 CM ）。已知在同一时刻：a、 b两球分别由A、 B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道 运动到 M点； c球由 C点自由下落到M点； d球从 D 点静止出发沿圆环运动到M 点。则：（） A、 a球最先到达M 点B、 b球最先到达M 点 C、c球最先到达M 点D、d球最先到达M 点 图 2 图 1 x y mg 图 3 A 5 解析： 设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta= g R4 =2 g R ，tb ta；c做自由落体运动t c= g R2 ；而 d球滚下是一个单摆模型，摆长为 R， td= 4 T = 2g R ，所以 C正确。 2、运用等效、类比自建“等时圆” 例 3： 如图 5所示，在同一竖直线上有A、 B两点，相距为h， B点离地高度为H，现在要在地面上寻找 一点 P，使得从 A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和 B沿木板下滑到 P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP 。 解析 ：由“等时圆”特征可知，当A、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设 要求。 如图 6所示，此时等时圆的半径为： 1 2 h RO PH 所以 22 ()() 2 h OPRHHh 例 4： 如图 7， AB 是一倾角为 的输送带， P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P 与 AB 输送 带间建立一管道（假使光滑），使原料从P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为 多大？ 解析： 借助“等时圆” ，可以过 P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB 相切，如图所示，C 为切点， O 为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达“等时圆” 的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P 处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC 建立管道。由几 何关系可得：PC 与竖直方向间的夹角等于/ 2。 三、 “形似质异”问题的区分 1、还是如图1 的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为，小滑环分别从a、b、c 处释放 （初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？ 解 析 ： bd的 长 为2Rcos ， bd面 上 物 体 下 滑 的 加 速 度 为a=gcos - gsin ， A B 图 7 P P A B 图 8 C O A B C D M 图 4 A B P H h O 图 5 图 6 A B P H h O O1 6 tbd= sincos cos4 gg R =2 tangg R 。可见 t 与有关。 2、如图 9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上