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摘要 基于谱风险度量的投资组合优化模型研究 摘要 近年来，金融风险成为国际金融界、理论界和监管机构共同关注的对 象。特别的2 0 0 8 年爆发了罕见的全球金融危机，引发人们对自由竞争市 场结构和金融创新产品监管更进一步的思考。 风险度量是风险管理中最为核心的部分，在金融自由化的国际背景下 研究风险度量对于风险的有效管理、我国风险管理研究的发展，乃至我国 金融体系的建设都具有十分重要的意义。 本文的主要研究对象是谱风险度量( s p e c t r a lr is km e a s u r e s ) ，谱 风险度量是由风险度量e s ( e x p e c t e ds h o r t f a l l ) 生成的一大类一致性 风险度量，是e s 的推广。谱风险度量只是一致性风险度量中的一个子集。 在谱风险度量的集合里，e s 是最小的风险度量。 谱风险度量是一种现代化风险管理方法，以统计学、数理知识为主要 研究工具。本文基于由c a r l oa c e r b i ( 2 0 0 2 ) 提出的谱风险度量，研究 了生成谱风险度量的e s 的一些性质，给出了谱风险度量的建立过程和一 些性质，同时还提供了一种构造风险谱函数的方法，据此构造出了两种具 体的谱风险度量一指数谱风险度量和幂指数谱风险度量。通过实证分析说 明尽管两种风险厌恶系数不一样，但是选择幂风险谱函数还是指数风险谱 函数对谱风险度量值的影响并不大。 一致性谱风险度量在投资组合优化模型中具有凸的风险表面，风险表 面的凸性在最优化计算中寻找到最小的风险有非常重要的意义，这也是一 致性谱风险度量的优良特性之一。尽管一致性风险度量的极小化问题总是 i 摘要 凸的，e s 的最小化也不是那么简单的。文章建立了最小化e s 的线性规划 模型，极大的减少了模型计算量，通过一个实例计算说明了e s 在投资组 合优化模型中的应用。 最后文章采用谱风险度量，建立风险一收益模型来解决投资组合优化 问题。分析结果表明，对于同一个投资组合，每个投资者对风险的主观态 度不同，不同投资者有不同的风险承受力，表现为谱风险度量值不同，从 而他们会做出不同的投资决策，也相应的得到不同的投资回报。总体而言， 能承受的风险越大，其投资回报越多，符合一般经济学规律。采用谱风险 度量进行分析为投资行为的多样化提供了理论依据，具有一定的实际意 义。文章结尾对进一步的研究方向进行了展望。 关键词：v a r ，e s ，一致性风险度量，谱风险度量，指数谱函数，幂指数 谱函数，投资组合 摘要 a n a iy s i so fi n v e s t m e n t sp o r t f o l i om o d e l b a s e do ns p e c t ra i ，i u s km e a s u r e s a b s t r a c t f i n a n c i a lr i s k sm a n a g e m e n ti sah o tt o p i ci nf i n a n c i a li n s t i t u t i o n s ， a c a d e m i a ，a n df i n a n c i a ls u p e r v i s o r sf o rr e c e n ty e a r s e s p e c i a l l y , ag l o b a l f i n a n c i a lc r i s i sb r o k eo u ti n2 0 0 8 ，w h i c hf o r c e du st or e t h i n kt h ep r o b l e mo f t h es t r u c t u r eo ff r e ec o m p e t i t i v em a r k e t sa n df i n a n c i a li n n o v a t i o n s r i s k sm e a s u r e m e n ti st h ec o r eo fe f f e c t i v er i s k sm a n a g e m e n t t h e r e f o r e ， i ti ss i g n i f i c a n t l yi m p o r t a n tt os t u d yr i s k sm e a s u r e m e n ti nt h eb a c k g r o u n do f f i n a n c i a l g l o b a l i z a t i o n r e a s o n a b l e r i s k sm e a s u r e m e n ti sf u n d a m e n t a lf o r c h i n a s r i s km a n a g e m e n ts t u d y , a sw e l la sc h i n a sf i n a n c i a lm a r k e t s d e v e l o p m e n ta n dc o n s t r u c t i o n i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s ss p e c t r a lr i s km e a s u r e s ，w h i c hg r o wf r o m e x p e c t e ds h o r t f a l la n dg e n e r a l i z ei t s y n c h r o n o u s l y , s p e c t r a lr i s km e a s u r e sa r e as u b s e to ft h ec o h e r e n tr i s km e a s u r e ss e t sa n de si st h es m a l l e s tr i s k m e a s u r e s a sam o d e r nr i s k sm e a s u r e m e n t ，s p e c t r a lm e a s u r e so fr i s ks e t sa r e b a s e do ns t a t i s t i c s ，m a t h e m a t i c a la l g o r i t h m s ，c o m b i n e dw i t he n g i n e e r i n g s c i e n c ea n dc o m p u t e rs c i e n c e b a s e do nt h er e s e a r c ho fc a r l oa c e r b i ( 2 0 0 2 ) ，w es t u d i e ds o m ep r o p e r t i e s o fe sa n ds p e c t r a lr i s km e a s u r e s ，i n t r o d u c e dt h ef o r m a t i o no fs p e c t r a lr i s k m e a s u r e s ，a n dd e s i g n e do n em e t h o dt og e tt h er i s ks p e c t r u m ，w h i c hc o u l d r e f l e c ti n v e s t o r sr i s ka v e r s i o n w eg o tt w ok i n d so fr i s k - a v e r s i o n ，t h e i i i 摘要 e x p o n e n tr i s ks p e c t r u ma n dp o w e r r i s ks p e c t r u m t h e nw em a d eat e s ta n d f o u n dt h a tt h ed i f f e r e n ts e l e c t i o n so ft h et w of u n c t i o n sw o u l dn o ta f f e c tt h e v a l u eo fs p e c t r a lr i s km e a s u r e s c o h e r e n tr i s km e a s u r e sh a sc o n c a v er i s ks u r f a c ei nt h ei n v e s t m e n tp o r t f o l i o m o d e l ，w h i c hm a k e si m p o r t a n ts e n s ei ns e a r c h i n gf o rt h em i n i m u mr i s kv a l u e a n di so n eo ft h ee x c e l l e n tp r o p e r t i e so fc o h e r e n tr i s km e a s u r e s a l t h o u g ht h ep r o g r a m m i n go fm i n i m u mc o h e r e n tr i s km e a s u r e si sa l w a y s c o n v e x ，t h ep r o b l e mo fm i n i m u me si sc o m p l i c a t e d w ee s t a b l i s h e dal i n e a r p r o g r a m m i n gm o d e lo fm i n i m u me sw i t ht h eh e l po fa na u x i l i a r yf u n c t i o n w h i c hs i m p l i f i e dt h ec o m p u t a t i o n w et o o ka ne x a m p l et oi n t r o d u c et h e a p p l i c a t i o no ft h i sm o d e li ni n v e s t m e n tp o r t f o l i o t h e nt a k i n ga d v a n t a g eo fs p e c t r a lr i s km e a s u r e s ，w es e tu pt h er i s k - r e w a r d m o d e lt os o l v et op r o b l e mo fi n v e s t m e n tp o r t f o l i o t h er e s u l t si l l u s t r a t e dt h a t f o ro n ep o r t f o l i o ，o n ei n v e s t o r sa t t i t u d et or i s ki sd i s t i n g u i s hf r o ma n o t h e r s a t t i t u d e s od i f f e r e n ti n v e s t o r sw i l lf o r md i f f e r e n ts p e c t r a lr i s km e a s u r e sa n d w i l ln o tm a k es a m ei n v e s td e c i s i o n s g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h em o r er i s k sa n i n v e s t o rc a nt o l e r a t e ，t h em o r er e t u r no nt h ei n v e s t m e n th ec a ng e t ，w h i c hi s t h eu n i v e r s a le c o n o m i cr u l e s t h em e t h o dp r o v i d e da ni n t e r p r e t a t i v ep a t hf o r d i v e r s i t yo fi n v e s t m e n tb e h a v i o ra n dh a db o t hp r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a lv a l u e a tt h ee n do ft h i sp a p e r ，w ep r o s p e c t e dt h ef u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：v a r ，e s ，c o h e r e n tr i s km e a s u r e s ，s p e c t r a l r i s km e a s u r e s ， i v 摘要 e x p o n e n t i a lr i s k a v e r s i o nf u n c t i o n ，p o w e rr i s k - a v e r s i o nf u n c t i o n ，i n v e s t m e n t p o r t f o l i o v 符号说明 v a r c v a r e s s r m 口 仃n ) 中( ) 驴( ) u 口 符号说明 v a l u ea tr i s k 的简称，是指处于风险中的价值 c o n d i t i o n a lv a l u ea tr i s k 的简称，是指损失超过v a r 的条件均值 e x p e c t e ds h o r t f a l l 的简称，指期望亏损 s p e t r a lr i s km e a s u r e s 的简称，指谱风险度量 置信水平 投资组合x 的期望收益率 投资组合x 的收益率的标准差 证券组合的协方差矩阵 标准正态分布的分布函数 标准正态分布的密度函数 效用，指心理的满足程度 风险厌恶因子 x 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：4 王土杰 日期： 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在时解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名：4 a 杰 日期： 塑z ：主：超 导师签名：翅丢兰逝 日期： z 笪望。：查翌 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 风险管理是金融机构从事的全部业务和管理活动中最核心的内容之一，但风险是 一个很模糊的概念，美国经济学家k n i g h t 在其名著风险、不确定性及利润中， 分析了风险和不确定性的关系，k n i g h t 认为，风险不仅取决于不确定性因素的大小， 而且还取决于收益函数的性质。因此，风险被认为是由于不确定因素而造成的损失。 金融风险产生于金融变量的波动，通常金融风险可以分为五类，市场风险、信用风险、 流动性风险、操作风险及法律风险。金融风险管理一直是金融界的核心问题，对金融 风险的识别、计量、决策与监控，以减少不确定性，达到资源的优化配置。 近几年来，随着经济全球化，金融一体化步伐的加快，国际和国内金融市场飞速 发展，各种金融产品，金融衍生产品在金融市场上逐渐丰富起来。信息技术的高速发 展使各国经济开发程度逐步提高，国际金融市场资金和信息的流通效率也大大提升， 各国金融市场相互影响，金融机构面临着更加复杂的金融风险，金融风险在不同的市 场传导，并被放大。在过去的几十年间，已爆发了数次大规模全球金融危机。2 0 世纪 9 0 年代中期以巴林银行倒闭为代表的微观金融风险事件和以墨西哥金融尾机、亚洲金 融危机为代表的宏观经济现象，引起了人们对金融风险的普遍关注。眼下我们正在经 历的就是一次震惊全球的金融危机，此次由美国次贷引发的金融危机，更深层次的诱 因来自于自由市场竞争的失败和对金融创新产品监管的严重缺失。从2 0 0 2 年到2 0 0 6 年，美国经济快速发展，特别是房产市场持续火爆，房价不断上涨，带动经济繁荣， 大批收入较低、信用记录较差的人群加入了购房大军，他们的房屋贷款被称为“次贷。 放贷机构在借出一笔“次贷”后，将其“卖给房利美和房地美这样的机构，后者再 将购买来的“次贷”打包成一种证券化的投资产品，卖给全世界的投资者。这个过程 被称为“资产证券化，一度被认为是一项重要金融创新。 金融创新可以分散和转移风险，但不能消灭风险。金融创新和金融监管是一对孪 生兄弟。随着金融创新的推进，金融监管从来就不能说完美无缺。回顾美国自1 9 2 9 年金融大崩溃以来的金融监管演变可见，伴随着经济的起伏，先后经历了由自由放任 加强管制金融创新加强监管放松监管等多次转折。金融监管严重滞 后，缺乏对这些复杂的创新产品自身所暗藏的巨大风险强有力的外部约束为危机的爆 发埋下隐患。如今，无论金融机构的风险管理手段多么完善，都难以避免因为机构内 部原因或市场外部的变化而遭受风险事件的影响，这是由现代金融市场和金融机构的 北京化工大学硕士学位论文 高杠杆率、高关联度、高不对称性的特性所决定的，现代金融体系内的风险产生和传 递呈现出了新的特征。 在市场失灵、集体失去理性时，政府必须及时出手积极干预。现代史上，几乎没 有哪次金融危机离得开政府的干预。这次美国金融危机及其所酿成的世界金融动荡也 是如此。如美国证交会( s e c ) 采取临时紧急措施，暂时禁止卖空7 9 9 家金融股，以保 护证券市场品质、强化投资人信心；英国金融监管部门采取了暂时禁止建立新的空头 做空2 9 家金融公司股票的干预措施，要求持股超过0 2 5 的空头每日进行披露；俄罗 斯政府为遏制金融市场暴跌暴涨、防范银行倒闭，数次下令市场暂停甚至停止交易。 这种政府出台禁令，避免市场环境急剧恶化的举措，对我们应对极端情形下的市场危 机，不无借鉴意义。 这场发端于美国的金融危机正在演变为席卷全球的金融和经济危机。这场危机表 明，美国作为全球第一大经济体，仍对世界经济有着举足轻重的影响。美国和世界其 他经济体在金融业及实体经济方面存在的紧密联系，是造成金融危机不断扩散的根本 原因，而世界其他经济体各自存在的缺陷，则为金融危机的扩散提供了条件。金融危 机使得世界经济放缓，对我国经济也产生了一定的影响。 我国证券市场经过近2 0 年的发展取得了举世瞩目的成就，在筹资资金，资本定 价，资源配置等方面发挥了重要作用。但长期以来，我国证券市场都处在粗放式的管 理模式下，证券公司对自身定位不清，内部控制建设薄弱，风险控制水平低下，企业 内部风险逐渐开始暴露，2 0 0 4 年南方证券被行政接管充分体现出我国证券市场的内部 问题。由于金融体系本身的内在属性，决定了金融风险是无可避免的。金融风险管理 成为金融行业可持续发展的关键。风险计量是金融市场风险管理的基础，高质量的风 险计量很大程度上决定了金融市场风险管理的有效性。对金融资产进行风险度量，可 以提高金融市场中信息的均衡性，促使金融市场的风险信息在金融产品价格中得以及 时快速地反映，促成了交易的实现，不仅提高了金融市场信息的完全性，更可以实实 在在地保护普通投资者的利益。合理而有效的金融风险度量还对金融机构的利益有着 切实的保护和提高。 此次危机体现出的监管理念变化，对中国来说有多处值得借鉴。首先，金融监管 须更多强化功能监管，监管体系有必要从过去强调针对机构进行监管的模式向功能监 管模式过渡，即对各类金融机构的同类型的业务进行统一监管和统一标准的监管，以 减少监管的真空和盲区。其次，金融监管应更贴近市场第一线，从金融机构业务末梢 上出现的小问题抓起，以防从个别向普遍演变，形成大范围的经营隐患，使监管更具 前瞻性和有效性。此外，加强监管机构之间的职能协调也尤为必要。在金融市场全球 化、金融创新和衍生产品r 益复杂的今天，传统金融市场之间的界限日趋模糊，跨部 门的监管协调和监管合作显得日趋重要。应正确认识和把握金融创新和风险控制的平 衡关系。 2 第一章绪论 本文以谱风险度量为主要研究对象，这是个新兴的风险度量方法，在国外的研究 也刚刚兴起。谱风险度量根源于期望亏损e s ，概括了包括e s 在内的一大类一致性风 险度量，在一致性已成为一个好的风险度量标准的今天，相信会在金融行业中得到广 泛的应用。本文试图解决以下几个问题：( 1 ) 介绍如何以e s 为基础建立谱风险度量； ( 2 ) 研究谱风险度量的性质，得到数学上的阐释以加深其经济意义；( 3 ) 设计谱风险 度量的谱函数，寻找到产生谱函数的一般方法；( 4 ) 建立最小化e s 和谱风险度量的 投资组合模型；( 5 ) 将谱风险度量方法应用于金融风险管理，在给定收益水平下使投 资风险最小化。笔者期待通过本文的研究，对我国学术界在谱风险度量研究领域有所 贡献，促进谱风险度量在金融市场的世纪应用，因此本文的研究具有重要的理论意义。 1 2 研究现状 金融危机给世界经济造成了巨大的破坏，促使人们对金融风险的管理和控制问题 越来越关注风险评估在经济活动中扮演的角色越来越重要。在学术界，以金融理论和 金融工程为核心的金融风险管理研究成为热点。最初的风险度量是使用一些简单的指 标，如证券的票面价值( f a c ev a l u eo rn o t i o n a la m o u n t ) 来衡量风险，这种方法也 称票面价值法。但是这类方法有两个很大的缺点n 1 ：一是其不能区分做空头寸和做 多头寸；二是其不能反映价格的波动和价格之间的相关性。之后比较流行的方法是因 子的灵敏度分析法( f a c t o rs e n s i t i v i t ym e a s u r e s ) ，将灵敏度表示为存续期和凸曲 度的函数n ，灵敏度分析法的另一种形式希腊字母法，其各表达式均以希腊字母 命名，但这些方法还是具有一些缺陷，首先就是其具有不可加性；其次，它们不能直 接地被应用于资本的风险度量，而且不方便进行风险控制，难以全面的反映风险覆盖 情况。 方差是风险度量的一种重要方法，其最早的模型为1 9 5 2 年m a r k o w i t z 口1 提出的均值 一方差模型，这一模型开创了五十年代的资产管理策略。在m a r k o w i t z 的投资组合均 值方差模型d 1 中，方差为风险函数，在期望收益水平一定的条件下，追求方差最小。 由于模型中需要求出所有风险资产之间的协方差，计算起来很困难。为此，人们一直 试图改进模型的风险度量方法。实践证明，采用不同的风险度量方法，得到的结果并 不一致。1 9 6 4 年，s h a r p e 以“均值一方差模型为基础，提出了著名的芦值模型h 1 ， 即用卢值表示单个证券相对于整个证券市场的易变程度，度量单个证券投资的系统风 险h 3 ，从而形成了资本资产定价理论。到2 0 世纪8 0 年代，这两种理论成为证券投资风 险度量的两种基本理论，在实际中得到广泛的应用。但是在这种方法中，没有将收益 中的盈利和损失两部分区分开，故对此做出了改进，开始使用单边矩方法，即只考虑 3 北京化工大学硕上学位论文 损失部分。单边矩度量方法得到了广泛的应用，其中最常用的改进有两种，一种是相 对于期望的单边矩，p q 。) 一- e p 】+ 口( e p 【僻一e ，瞵】) ! 】) l 障1e h f i s c h e r 于2 0 0 3 年首 次提出；另一种是d e n n e b e r g 在1 9 9 0 年提出的相对于中位数的单边矩， 成仁) 一一e p 】+ 以p 【l x 一巧1 ( 1 2 ) 1 】1 这种度量方法与f i s c h e r 提出的相比满足共单 调可加性晦1 。可以证明，以上的两种方法满足次可加性，正齐次性，变换不变性，单 调性，是一致的风险度量。 上世纪九十年代被广泛应用的风险度量方法是在险值( v a l u ea tr i s k ) 口1 。它成 功地克服了希腊字母法不能用于资本风险度量的缺陷，将资产或投资组合的风险归纳 为单一的指标来衡量，使风险度量的结果更便于理解和使用。v a r 实际上所表示的是 在某一置信水平下，持有一个有价证券或投资组合在某一时期内可能遭受到的最大损 失值口1 。v a r 满足正齐次性，变换不变性，单调性，协单调可加性和法则不变性，但由 于v a r 不满足风险度量的次可加性陋1 ，并在投资组合优化模型中不具备凸性，约束了v a r 在金融市场的应用范围。次可加性是一个很重要的性质，其经济学意义在于对于一个 投资组合的整体风险至多不超过所有投资产品风险的总和。只有当所有的投资产品风 险来源和表现都相同时，投资组合的整体风险与所有投资产品风险的总和相同，其它 情况下，整体风险都严格小于风险总和，这是检验一个投资组合风险度量是否是相合 的一个重要标准。因此v a r 在分散风险方面有不足之处，学者们一直在v a r 基础上，寻 求更加理想的风险度量方法或工具。a r t z n e r 等在1 9 9 9 年嘲提出的风险度量的公理化体 系为这项改进提供了新的道路。公理化要求风险测量满足相容性( c o h e r e n t ) 条件， 包括正齐性、变换不变性、单调性和次可加性。 定义1 风险度量 设v 是一实值随机变量集合，满足下列条件的函数p ：y r 被称作风险度量： ( 1 ) 单调性：x ，y e v ，y 苫x 号p sp ( x ) ( 2 ) 次可加性：x ，y ，x + y e v 净p ( x + y ) sp 僻) + p 0 0 ( 3 ) 正齐性：x e v ，h 0 , h xe v 与p ( h z ) = h p 伍) ( 4 ) 变换不变性：x e v ，a e r 辛p ( x + 口) 一p 僻) 一口1 作为v a r 的改进，c o n d i t i o n a lv a r ( c v a r ) ，e x p e c t e ds h o r t f a l l ( e s ) n 叼等风险 度量方法被提出来了，它是基于分位数风险度量的很典型一类的方法。c v a r 方法是指 损失超过v a r 的条件均值，也称为平均超额损失，它代表了超额损失的平均水平，反 映了损失超过v a r 阀值时可能遭受的平均潜在损失的大小，较之v a r 更能体现潜在的 风险价值。c v a r 满足致性风险度量标准的四个公理，因此是一致性风险度量 c v a r 的计算可以通过构造一个功能函数而转化为一个凸函数的优化问题，在数学上易 4 第一章绪论 于处理，并且在计算c v a r 的同时，相应的v a r 值也可同时得到。后来，p a l m q u i s t 、 u r y a s v 、k r o k h m a l ( 1 9 9 9 ) 探讨了关于c v a r 的约束问题，并对投资组合最优化问题进 行了研究。e s 与c v a r 方法没有本质区别，特别当随机变量的分布函数是连续函数时， e s 与c v a r 等价。e s 与c v a r 都是一致性的风险度量。事实上，e s 是最小的满足相容 性要求的风险度量u 引。 一般来讲，投资者对于风险的偏好是不同的。对于只依靠v a r 或c v a r 等风险度 量工具求得的投资组合不能反映出投资者的风险偏好，未必能够满足所有投资者的风 险规避要求。所以，引入一个用来刻画投资者风险偏好的效用函数n 纠6 1 是有必要的。 当然，不同投资者的效用函数也有所差异，研究表明，一般人的效用函数都是上凸型 的保守型效用函数，即风险厌恶的。因此，在投资组合中引入上凸型效用函数，在一 定程度上可以体现投资者对风险的规避要求。 2 0 0 2 年，由a c e r b i 提出的谱风险度量( s p e c t r a lr i s km e a s u r e s ) 嗍，它是一个关 于收益分布函数分位数的加权平均值。权重函数是一个满足允许性的，可以反映出投 资者的风险态度的函数。谱风险度量除了满足相容性的四条公理化条件之外，还满足 规律不变性和共单调可加性n 7 1 。而且，由s r m 构成的空间是完备的m ，即：任何满足 相容性、规律不变性和共单调可加性的风险度量均是s r m 。s r m 的优点不仅表现在理 论方面，凡是满足许可性条件的谱都可以用来构造s r m 。而且，在实际应用中，通过 谱函数构造，能够很好地反映投资者对风险的厌恶程度。目前，在谱函数的构造过程 中，对谱函数所需要满足的条件尚缺乏深入细致的讨论，基本上是研究者主观地进行 选择与应用。在实际的使用中，指数风险厌恶函数n 町、截断函数n 钉和利用顺序统计量 直接构造的谱函数都已经很好地应用于各金融领域中。 另外一种度量方法称之为失真风险度量( d i s t o r t i o nr i s km e a s u r e ，o rd r m ) ， 它首先被应用于保险当中。d r m 的思想是将一个失真函数作用于投资组合收益的分布 函数上，从而调整风险的概率分布，并进一步有效地改变风险的允许概率，给高风险 事件赋予更高的权重。其形式为： n+ p 1 ( x ) 4 _ j 二x d ( f 。e 工x x ) 。t 。【1 一厂( 1 一目o ) ) 】出+ 工厂( 1 一巳o ) ) 出 其中，是失真函数，是一个非减凹函数，满足，( 0 ) 。0 ，( 1 ) ；1 。对于失真函数的 选择，比较有代表性是w a n g t r a n s f o r m 咖1 ，其失真函数为f ( p ) ；量【m 。1 p ) 一a 】， p 【0 ，1 】。 5 第二章建立一个风险度量的基础- t h ee x p e c t e ds h o r t f a l l 第二章建立一个风险度量的基础一t h ee x p e c t e ds h o r t f a i i 在v a r 的基础上寻找一致性的风险度量，但同时不能与v a r 相差太多。在这部分 将进一步考察v a r 的定义，在这个定义的基础上将得出一致的风险度量。 2 1 进一步考察v a r 定义2 口一v a r 在未来一段特定的时期t 内，口( 0 ，1 ) 是一个选定的置信水平， 玩g o = - i n f xi j o ) 口) t 一吼( x ) 表示给定置信水平下一个持有期内的最坏预期损失晗订 可以看出v a r 的本质是一个分布函数某一置信水平下的分位数。y a r 将风险概括 为一个简单的数字，拥有如下优点陇3 ：1 ) y a r 可以测量不同市场因子、不同金融工具 构成的证券组合的总体市场风险暴露；2 ) 由于v a r 提供了一个统一的方法来测量风 险，因此为高层管理者比较不同业务部门的风险暴露大小、基于风险调整的绩效评估、 资本配置、风险限额设置等，提供了一个简单可行的方法；3 ) y a r 概念简单、理解容 易。给出了一定置信水平下、特定时间内，证券组合的最大损失，比较适宜与股东、 外界沟通其风险状况；4 ) v a r 充分考虑了不同资产价格变化之间的相关性，这可以体 现出投资组合分散化对降低风险的贡献；5 ) 特别适合监管部门的风险监管。巴塞尔 银行监管委员会规定y a r 作为风险度量的工具，使得v a r 得到了广泛的应用。 但是，v a r 也有很多缺陷：1 ) 它是一种向后看的方法一对未来的损失是基于历史 数据，并假定变量过去的关系在未来保持不变，显然，许多情况下，这不符合实际； 2 ) v a r 是在特定的假设条件下进行的，如数据分布的正态性等，有时这些假定与现实 可能不符；3 ) v a r 的计算有时非常复杂；4 ) y a r 只是市场处于正常变动下市场风险 的有效测量，它不能处理金融市场处于极端价格变动的情形，如股市崩盘等。理论上 讲，这些缺陷的根源不在v a r 自身，而在于其所依据的统计方法；5 ) v a r 不是一致性 风险度量。因为它不满足次可加性，这就意味着用v a r 来度量风险，证券组合的风险不 一定小于各证券风险之组合，这与风险分散化的市场现象相违背，从经济意义上讲是 不合理的；6 ) v a r 不一定满足凸性，故在基于v a r 对证券组合进行优化时，可能存在多 个局部极值，对整体优化，在数学上难以实现，这是将v a r 模型用于投资组合研究时的 主要障碍；7 ) y a r 只依赖于单一的损失函数的分位数，虽能以较大概率保证损失不超 过之，但不能表明损失一旦超过v a r 这种极端情况发生时的潜在损失的大小( 尤其是在 厚尾时) ，并且容易通过特定的、狡诈的交易策略操纵和篡改要报告的y a r 值。 6 北京化工大学硕士学位论文 2 2v a r 的改进：t h ee x p e c t e ds h o r t f a li 和c o n d i t i o n a iv a r 针对v a r 的缺陷，一个改进的方法便是用口一加以的某个估计值代替分位数的值。 很自然就想到用1 0 0 a 最坏情况的均值来代替分位数的值。 定义3a - e x p e c t e ds h o r t f a l l 在未来一段特定的时期t 内，a e ( o ，1 ) 是一个选定的 置信水平 e 咒 ) = 0 一口) - 1 c 露1 冲捌 ( 2 1 ) 表示1 0 0 a 最大损失的平均值。 从e s 的表达式( 2 1 ) 可以看出，e s 是一个分布函数尾部的均值。需要注意的是， 定义中平均的界限是一个概率阀值口，而不是损失阀值。e s 计算了超过1 0 0 a 最大 损失的平均值，而不是超过某一分位数的平均值。在这一点上，可以将e s 与c v a r 区 分开。 定义4c v a r 在未来一段特定的时期r 内，口( 0 ，1 ) 是一个选定的置信水平， c v a r 。- e ( x i x v a r ( 2 2 ) 表示给定其损失严格超过其v a r 值的条件期望损失。 从c v a r 的表达式( 2 2 ) 可以看出，c v a r 是尾部损失的均值，它将所有大于v a r 的损失值计算在内，因此它对尾部损失的度量是充分的。 事实上，e s 与c v a r 的差别很小，当分布函数连续时，e s 与c v a r 等价。 性质1 1 如果概率分布函数b o ) 是连续的，则哦 ) = c v a r 。o ) 。 为了简单起见，我们仅研究最 ) 连续的情况，因此e s 与c v a r 等价。 2 3e s 的一致性 性质2 对于任何口【o ，1 】，任何x ，】，e s 是次可加的，即： e s a ( x ) + e s o o o 苫e s 。体+ y ) 证明见附录。 性质3e s 是单调的，正齐次的和变换不变的。 证明：对于任何p e o ，1 】，任意x ，】， 若y 乏x 号耳1 0 ) 之巧1 0 ) 因此碱( y ) ( 1 一口) 一i 巧1 p 冲苫e s o ( x ) 。( 1 一口) 一1 j 。f 。- 1 ( p ) d p 7 第二章建立一个风险度量的基础t h ee x p e c t e ds h o r t f a l l 若j i l 苫0 辛巧：( p ) = j l 巧1 ( p ) 因此巩m ) = ( 1 一口) 一z 硭。冲= j l 砜o ) ；( 1 一口) 一1 j ：f 。- 1 ( p ) d p 若y a e r 辛巧：。( p ) ；巧1 q ) + 口 因此e s o ( x + 口) = 0 一口) 一i 巧乞( p ) d p = 0 一口) 一1 j ：f - 1 ( p ) d p + 口 推论e s 是一致性风险度量。 2 4e s 的估计与计算 2 4 1e s 的离散化估计 设随机变量x 的r 1 个等概率样本k k j ，定义其经验分布函数为 碟o ) 一p x s z 卜= 万1 ；n 1 墨“ 要在此经验分布的基础上计算e s 的值，先引入顺序统 计量， 置w k 也，使得x 1 ：s x 2 ：j i rs s x 。 则， e s y 僻) = 一而1 善n a 置w 。 【l 其中【n a 表示n a 的整数部分。 ( 2 3 ) 性质4 如果随机变量x 有经验分布函数硭o ) = e x s z 2 专；1 蜀一 ，则 1l nl =霹(x)；一忐(荟_ffaeso(x) x m 一) 五帅州) 如果口为自然数，则矾( x ) 一志善置 性质5 令b 是随机变量x 的一般分布函数，碟是由独立同分布的样本 置k ，所得 的经验分布函数，醪，( x ) 是由经验分布函数计算出的e s ，则对于大数n ，e s ( f ) ( x ) 8 北京化工大学硕士学位论文 e s 。( x ) 的一致估计，即嬲( x ) 呻e s 。( x ) 。 性质6 如果随机变量x 的分布函数为碟。) = p xs z ；万1 乏n1 五。 ，则 v a r y ( x ) = v a r 8 ( x ) = 一五j + 埘 性质7 令兄是随机变量x 的一般分布函数，掣是由独立同分布的样本 五 f 。所 得的经验分布函数，玩硝( 工) 是由经验分布函数计算出的口一v a r ， 如果砌吃仁) = v a r 。( x ) ，则对于大数n ，阮碟( x ) 是的妇r ( x ) 一致估计，即 玩硝似) 呻v a r o ( x ) ； 如果肠见僻) 一v a r 。僻) ，则肠碟伍) 不收敛，而是在w n o ( x )v a r 。( x ) 之间间 断。 2 4 2e s 的线性计算方法 设， ，y ) 是关于决策向量x 和随机向量y 的一个损失函数( 】【，y 加黑表示向量) ， 其中z 瞅， ，r ”。x 可以理解为投资组合，用x 表示可行投资组合集合；y 代表 不确定性，例如：可以反映损失的市场参数。当损失为负数时，表示收益。 对于每个x 损失函数f ( x ，) ，) 是一个关于y ，在r 上存在分布函数的随机变量。设 y 在r “上分布的密度函数为p ( y ) 。事实上可以证明这种方法不需要p ( y ) 的具体表示 式。函数妒( x ，f 1 ) 2 正( 埘瑚p ( y ) 方表示损失函数厂g ，) ，) 不超过阀值声的概率。固定决 策向量x ，作为卢的函数妒o ，f 1 ) 是损失关于x 的累计分布函数。这个函数完全决定了 随机变量，也是定义v a r 和c v a r 的基础。妒o ，声) 是一个关于声非减，右连续的函数。 由于概率的跳跃性缈o ，f 1 ) 不需要左连续。为了简单，假设概率分布函数没有跳跃，即 妒o ，f 1 ) 关于声出处连续。 对于损失函数随机变量x 和任一概率口( 0 ，1 ) ，玩吃，c 肠吃的值可以用 成 ) ，丸o ) 表示： 9 第二章建立一个风险度量的基础t h ee x p e c t e ds h o r t f a l l 成o ) = m i n 恤r ：妒o ，3 ) 口 ，九o ) = ( 1 一口) 一i ( ，) ：以( ，) f ( x ，y ) p ( y ) d y 由于妒o ，) 关于卢连续、非减，成( x ) 实际上是使得妒 ，卢) 一口的的非空区间 的左端点。而使得妒o ，p ) 一口的卢可能不唯一，所以要选择最小的那个；第二个式子 中f ( x ，) ，) 芑成o ) 的概率是1 一a ，因此九( x ) 表示损失不小于成( x ) 的条件期望。 这种方法的关键在于将成o ) 和九o ) 联系到一起，定义s x x r 上的函数兄 c o ，) = 声+ ( 1 一a ) 一i a 。【，o ，y ) 一卢】+ p ( y ) d y ( 2 4 ) 其中当， ；t , t o i 。 定理1 的函数乞o ，卢) 是凸函数，且连续可微。对于任何x e x ，损失函数c v a g a 可由以下式子表示：c o ( x ) = m 蚀i n 只o ，卢) 。 设的最小值可以得到，定义以0 ) = a r g m i n 只 ，卢) 是一个非空的，有界闭区间。损 失函数v a r a 可以表示为成x ) 一以o ) 的左端点。特别有，成( x ) a r g m i n c ，) 九( x ) = 只0 ，成o ) ) 。 易见，定理中公式的优点在于疋似) 是一个连续可微的凸函数，使得它可应用 于最小化的数值问题。更让人高兴的是，可以省去计算复杂的v a g 直接计算c v a r 。 的值，而砌疋也可以附带产生。 有很多方法可以计算兄o ，) 定义中的积分，例如根据y 的密度函数p ( y ) ，将其 分布函数样本化，设样本变量为m ，y ：。以，e ，) 相应的近似为 t ) = 户+ 石1 面毫【舷儿) 卅+ ( 2 5 ) 只o ，卢) 是一个凸的，关于线性的函数。 定理2 对于x x ，损失函数c v a r a 的最小化问题等价于0 ，o e xx r ，最小化 e o ，) 的问题，即嘧九o ) = k m 卢彤i n 。r 只o ，声) 1 0 北京化工大学硕士学位论文 o ，p ) 满足等式右边最小化当