（基础数学专业论文）（ic）l余拓扑空间的i（l）诱导化与预拓扑空间中的kkm型定理.pdf

( i c ) l - 余拓扑空间的i ( l ) 诱导化与 预拓扑空间中的k k m 型定理 伏文清 摘要w e i s s 和l o w e n 分别于1 9 7 5 和1 9 7 6 年提出了诱导，拓扑空间( 又叫 拓扑生成的j 一拓扑空间) 的概念，1 9 8 0 年m a r t i n 定义了弱诱导l 拓扑空问( 它 是诱导拓扑空间的一种自然推广) 本文的第一部分研究( i c ) 空间，它是比弱 诱导空间更广泛的一类l 拓扑空间我们提出了l 余拓扑空间的内( i c ) 化和外 ( i c ) 化以及厶余拓扑空间的i ( l ) 诱导化等概念，研究了l 余拓扑空间的( i c ) 化 与i ( l ) 诱导化的关系 1 9 0 9 年，b r o u w e r 发表了曲面上一对一的映为自身的连续映射等一系列 论文，创立了不动点理论从2 0 世纪3 0 年代起，人们开始关注集值映射的不动 点问题1 9 3 7 年，冯诺依曼用集值映射的不动点这一概念研究了对策论的基本 定理( 即鞍点定理) 1 9 9 1 年，张石生定义了广义k k m ( 即k n a s t e r - k u r a t o w s k i - m a z u r k i e w i c z ) 映射从此，人们开始研究不动点定理的推广及其在经济学中的应 用本文的第二部分研究预拓扑空间中的k k m 型定理，我们引入了预有限连续空 间( 简称预f c - 空间) 的概念，证明了预有限连续空间中的k k m 型定理和重合点 定理以及预f c - 空间中抽象广义矢量平衡问题的解的存在性 本文的要点及主要内容如下t 一、首先定义了( i c ) l 余拓扑空间的概念并给出了( i c ) 上广余拓扑空间的几 种等价刻画随后定义了l 余拓扑空间的外( i c ) 化和内( i c ) 化( 即包含该l 余 拓扑空间的最小( i c ) l 余拓扑空间和包含在此l 余拓扑空问中的最大( i c ) l 余 拓扑空间) 在定义l 余拓扑空间的i ( l ) 诱导化概念的基础上，得到了对于一个 厶余拓扑空间进行i ( l ) 诱导化与外( i c ) 化的顺序是可交换的，但对于i ( l ) 诱导 化与内( i c ) 化的顺序是不可以交换的结论 二、首先定义了预有限连续空间( 在文中简称为顶f c - 空间) ，p r e f c - k k m 类， 广义对角拟关系等概念在此基础上证明了预f c - 空间中的k k m 型定理和重合 点定理，并进一步给出了预f c - 空间中四种抽象广义矢量平衡问题的解存在的几 个充分条件这些结果改进了前人的工作 关键词l 余拓扑空间的( i c ) 化；l 余拓扑空间的i ( l ) 诱导化；预f o 空间；k k m 型定理和重合点定理；抽象广义矢量平衡问题 t h e ，( l ) 一i n d u c i f i c a t i o no f ( i c ) l c o t o p o l o g i c a ls p a c e sa n d t h ek k m t y p et h e o r e m si np r e t o p o l o g i c a ls p a c e s f uw e n q i n g a b s t r a c ta ni n d u c e di - s p a c eo ra t o p o l o g i c a l l yg e n e r a t e d - s p a c ew a sd e f i n e d b yw e i s sa n dl o w e ni n1 9 7 5a n d1 9 7 6 ，a n dh a sb e e np r o v e dt ob eav e r yi m p o r - t a n tc l a s so fl - t o p o l o g i c a ls p a c e sf o ra na p p r o p r i a t el a t t i c el i n1 9 8 0 ，an a t u r a l g e n e r a l i z a t i o no fi n d u c e d - s p a c e s ，n a m e l yt h ew e a k l yi n d u c e d - t o p o l o g i c a ls p a c e s ， w a sg i v e nb ym a r t i n ( i c ) l - c o t o p o l o g i c a ls p a c e ss t u d i e di nt h ef i r s tp a r to ft h i s p a p e ri sat y p eo fl - e o t o p o l o g i c a ls p a c e sw h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no ft h e s ei n d u c e d - s p a c e sd e s c r i b e db e f o r e t h e ( i c ) 一i n t e r f i c a t i o n s ，t h e ( i c ) 一e x t r a l l c a t i o u sa n dt h e i ( l ) i n d u c i f i c a t i o no fl - e o t o p o l o g i c a ls p a c e sa r ed e f i n e d ，t h e nt h er e l a t i o no ft h e m i sd i s c u s s e d i n1 9 0 9 ，b r o u w e rp u b l i s h e das e r i e so fp a p e ms u c ha s “c o n t i n u o u sb i j e c t i o u s w h i c hm a pac u r v e ds u r f a c et oi t s e l f 。t oe s t a b l i s ht h ec o i n c i d e n c et h e o r e m s f r o m t h e3 0 si nt h e2 0 t hc e n t u r y , t h ep e o p l es t a r t e dt op a ya t t e n t i o nt ot h ep r o b l e m s o ft h ec o i n c i d e n tp o i n t so ft h es e tv a l u e df u c t i o u s i n1 9 3 7 ，y o n n e u m a n nu s e dt h e d e f i n i t i o no ft h ec o i n c i d e n tp i o n t so fs e tv a l u e df u n c t i o n si nh i sr e s e a r c ho ft h eb a s i c t h e o r e mi ng a m et h e o r y ( t h es a d d l ep o i n t st h e o r e m ) i n1 9 9 1 ，c h a n gs h i u s e ng a v e t h ed e f i n i t i o no fg e n e r a l i z e dk k m ( t h a ti sk n a s t e r - k u r a t o w s k i m a z u r k i e w i c z ) t y p e h m c t i o n s f r o mt h e n ，p e o p l eb e g a nt os t u d yt h eg e n e r a l i z a t i o na n dt h ea p p l i c a t i o n i ne c o n o m i co ft h ec o i n c i d e n c et h e o r e m s i nt h es e c o n dp a r t ，t h ea u t h o rd e f i n e s t h ep r e p a r a t o r yf i n i t ec o n t i n u o u ss p a c e ( p r e f c - s p a c e ) ，a n dp r o o v e st h ek k mt y p e t h e o r e m sa n dc o i n c i d e n c et h e o r e m si np r e f c - s p a c e s ，f u r t h e r m o r et h ee x i s t e n c eo f t h ee q u i l i b r i u mp o i n t sf o ra b s t r a c tg e n e r a l i z e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m si ss h o w e d i np r e f c - s p a c e s t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： 1 f o l l o w i n gt h ed e f i n i t i o n so f ( i c ) l - c o t o p o l o g i c a ls p a c e s ，s o m ec h a r a c t e r i - z a t i o u so f ( i c ) l - c o t o p o l o g i c a ls p a c e sa r eg i v e n t h e ( i c ) 一i n t e r f i c a t i o u s ( t h a ti st h e b i g g e s t ( i c ) l - c o t o p o l o g i c a ls p a c ec o n t a i n e d i nt h e g i v e no n e ) ，t h e ( i c ) 一e x t r a i i c a t i o n ( t h a ti st h es m a l l e s t ( i c ) l - c o t o p o l o g i c a ls p a c ec o n t a i n i n gt h eg i v e no n e ) a n dt h ei ( l ) i n d u c i f i c a t i o no fl - c o t o p o l o g i c a ls p a c e sa r ed e f i n e d t h e nb a s e do nt h ed e f i n i t i o no f t h e ，( 三) i n d u c i f i c a t i o no fl - c o t o p o l o g i c a ls p a c e sw eo b t a i nt h ec o n c l u s i o nt h a tt h e i i o r d e ro ft h e ( i c ) 一e x t r a f i c a t i o na n dt h ei ( l ) i n d u c i f i c a t i o no fl - c o t o p o l o g i c a ls p a c e s i sc h a n g e b a l e ，b u tt h eo r d e ro ft h e ( i c ) 一i n t e r f i c a t i o n sa n dt h ei ( l ) i n d u c i f i c a t i o no f l - c o t o p o l o g i c a ls p a c e si su n c h a n g e b a l e 2 a tf i r s t ，p r e t o p o l o g i c a ls p a c e ，p r e f c - s p a c ea n dp r e f c - k k mc l a s s e sa l ed e - f i n e d ，t h e ns e v e r a lk k mt y p et h e o r e m sa n dc o i n c i d e n c et h e o r e m si np r e f c - s p a c e s a r ep r o o v e d ，f u r t h e r m o r et h ee x i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n t sf o ra b s t r a c tg e n e r - a l i z e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m si ss h o w e di np r e f c - s p a c e s t h e s er e s u l t sh a v e i m p r o v e dt h ew o r ko ft h ep r e d e c e s s o r s k e y w o r d s ( i c ) 一f i c a t i o no fl - c o t o p o l o g i c a ls p a c e ；i n d u c e dj ( l ) 一c o t o p o l o g i c a l s p a c e ；p r e f c - s p a c e ；k k mt y p et h e o r e ma n dc o i n c i d e n c et h e o r e m ；a b s t r a c tg e n e r - a l i z e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意 作者签名近日期：迎由! 玺! o 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大学 本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大 学，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电子版和 纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、 院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版 作者签名丛至i l日期：垫虫! 生塑 前言 w e i s s l l 】和l o w e n l 2 j 分别于1 9 7 5 和1 9 7 6 年提出了诱导l 空间或称为拓扑生 成的j 一空间的概念，并且被证明对于合适的格l 上述空间是一种非常重要的l 拓扑空间1 9 8 0 年，一种l 空间的自然推广t 弱诱导空间由m a r t i n a l 提出在 此之后，包括王和徐1 4 l 的弱诱导空间的s t o n e z e c h 紧化( 其中l 是h u t t o n 代数) 在内的一系列工作相继出现了( 见参考文献f 5 - 8 ) ，本文在第二章中定义了一种比上 述弱诱导空间更广泛的一类l 拓扑空间；( i c ) 空间，并在此基础上定义了上广余 拓扑空间的外( i c ) 化，内( i c ) 化和t ( l ) 诱导化，讨论了一些相关问题 1 9 0 9 年，b r o u w e r 发表了曲面上的一对一的映为自身的连续映射等一系 列论文，创立了不动点理论从2 0 世纪3 0 年代起，人们开始关注集值映射的不动 点问题1 9 3 7 年，冯诺依曼在研究对策论的基本定理( 即鞍点定理) 时就已用到 了集值映射的不动点这一概念( 见参考文献1 9 】) 之后，k a k u t a n i ，b o h n e n b l u s t 和 k a r l i n ，g l i c k s b e r g 把不动点定理推广到集值映射的情形( 见参考文献【1 0 ，1 1 】) 1 9 9 1 年，张石生【1 2 l 定义了广义k k m 映射从此，人们开始研究不动点定理的推广及 其在经济学中的应用( 见【1 3 - 1 6 1 ) 因此，经济学研究的方法从静态走向动态从均 衡走向演化、从定性到定量( 例如研究数理模型，挖掘、分析、利用经验数据等) 标 志着经济学的某些部分从传统政治经济学走向数理科学现代经济学中的均衡问题 的数学根源就是数学中的不动点理论，而k k m 定理则用在众多不动点定理的证明 中因此，k k m 定理在现代经济学中的地位也是相当重要的这一方面已有的研 究所涉及的空间为度量空间或它的推广( 拓扑空间) 然而用发展的眼光看，信息社 会中的许多问题在预拓扑空间( 即拓扑空问的一种推广) 中研究才是比较合理的( 参 见文f 1 7 0 因此本文在范围更广的预f g 空间中引入了p r e f c - k k m ( x y ) 集值映 象类，证明了预f g 空间中一些新的k k m 型定理和重合点定理，并证明了预f g 空间中的抽象广义矢量问题平衡点的存在性这些结果推广和改进了文1 8 - 2 6 的 部分工作 本文的结构和基本内容安排如下t 第一章预备知识主要介绍了文中将会用到的若干基本概念和相关结论，如 偏序集，完备格，完全分配格，逆序对合对应，l 值z a d e h 型函数集值映射。 预拓扑空间等 第二章首先定义了( i c ) l 拓扑空间以及( i c ) l 余拓扑空间的概念，并给 出了( i c ) l 余拓扑空间的若干等价刻画然后给出了l 余拓扑空间的外( i c ) 化 和内( i c ) 化的定义和上广余拓扑空间的i ( l ) 诱导化的概念，在此基础上讨论了对 1 于一个l 余拓扑空间进行i ( l ) 诱导化，外( i c ) 化，内( i c ) 化的顺序是否可以交 换 第三章定义了预有限连续空间( 在文中简称为预f c - 空间) ，p r e f c - k k m 类，广义对角拟关系等概念，在此基础上证明了预f c - 空间中的k k m 型定理和重 合点定理，并进一步给出了预f c - 空间中四种抽象广义矢量平衡问题的解存在的 几个充分条件，这些结果改进了前人的工作 2 第一章预备知识 1 1 模糊集与格论的基本概念与结论 本节给出本文所需的格论和模糊集方面的基本知识和基本结论( 请参阅文f 2 7 2 9 0 定义1 1 1 1 2 t i 设x 是非空集，是x 上的二元关系，如果 ( i ) 是自反的，即z 曼z ( v x x ) ； ( i i ) s 是传递的，即z y ，y z 辛z z ( v x ，y ，z x ) ； ( i i i ) 是反对称的，即z y ，y z 号z = y ( v x ，y x ) ， 则称为x 上的偏序关系，称( x ，) 为偏序集在不致引起混淆的情况下，也把这 偏序集简写为x 设4 c x ，若对a 中任二元a 和b ，都存在c a 使a c ，b c ， 则称a 为上定向集 定义1 1 2 1 2 7 1 设( x ，) 是偏序集，a c x ，a x a 叫做a 的上界，若对任 意的z a ，都有z n 若 有一最小上界口，即n 是a 的上界，且对a 的任一 上界b 总有a b ，则称a 为a 的上确界，记作n = s u p x a 在不致引起混淆的情 况时。也把a 的上确界简记作s u p a 或v a 对偶地，可以定义a 的下界与下确界i n f xa 或i n f a ( 或 a ) 定义1 1 3 设x 是偏序集，若对x 的任二元。与b ，s u p a ，b ) 与i n f a ，b ) 恒存在，则称x 为格，这时s u p a ，”和i n f a ，6 ) 可分别简记为o vb 与a ab 习 惯上一般用字母l 表示格 定义1 1 4 吲设x 是偏序集，若x 的每个子集a 都有上确界以及下确界， 即对任意的acx ，s u p a 与i n f a 恒存在，则称x 为完备格 特别地，完备格x 一定有一最大元与一最小元，即s u p x 与i n f x ，今后把它 们分别记为1 和0 由以上两个定义易知，凡完备格都是格 定义l 1 5 吲设l 是完备格，：l 一l 是l 到自身的映射，如果 ( i ) 是对合对应，即( a p ) = n ( v a l ) ； ( i i ) 是逆序对应。即a b 蕴涵6 ，a i ( v a ，b l ) ， 则称为三上的逆序对合对应，简称为逆合对应 定义1 1 ，6 设l 1 与l 2 是完备格，：l 1 _ ，l 2 是映射， ( i ) 如果对l ，的任二元a 与b ，asb = 号，( n ) s ，( 6 ) ，则称，是保序映射( 或 递增映射) ； 3 ( i i ) 如果对l 1 的任二元n 与b ，a b ，( s ，( o ) ，则称，是逆序映射( 或 递减映射) ； ( i i i ) 如果对厶的任一子集a ， ( s u p a ) = s u p ，( a ) ，则称，为保并映射( 前式 也常写作f ( v a ) = v ，( a ) ) ； ( j v ) 如果对l 1 的任子集a ， ( i n f a ) = i n f ，( a ) ，则称，为保交映射( 前式也 常写作f ( a a ) = ，( a ) ) 定义1 1 7 f 2 7 】( 1 ) 设l 是完备格如果以下两个等式成立，则称为完全分配 格： 八( v 啦，) = v ( 八啦刷) 矧j 铀 1 5 娶l l 这里v i i 以及 ，a i d l ，且i 毋， 0 ，可证两个式子等价，称为完全 分配率 ( 2 ) 特别地， a a ( v6 j ) = v ( 6 j ) j e jj e j 称为第一无限分配律； a v ( 八b j ) = v ( n 幻) j jj e j 称为第二无限分配律 可以证明第一无限分配律与第二无限分配律不等价满足第一无限分配律的 完备格叫完备h e y t i n g 代数，l o c a l e 或f r a m e 满足第二无限分配律的完备格叫 c o l o c a l e 或c o f r a m e ( 3 ) 分配律是指 a a ( b vc ) = ( a a6 ) v ( n ac ) 及 a v ( b a c ) = ( a vb ) a ( a v c ) 这两式等价将满足分配律的格称为分配格 定义1 1 8 【2 7 i 设l 是完备格，0 和1 分别为l 的最小元和最大元 ( j ) o l 一 1 ) 叫素元，若对l 的任意有限子集，当a2a j 时有j j 使 a j l 中的素元的全体记作n ( l ) ； 4 ， n v 斛 ( 八兀 托 i l 力 毗 八触v 州 ( i i ) l 一 1 ) 叫交既约元，若对l 的任意有限子集，当= j 时有j j 使o = j l 中交既约元的全体记作m ( l ) ； ( i i i ) l 一 o 叫余素元，若对l 的任意有限子集t ，当o v 3 时有j j 使j l 中余素元的全体记作c o ( l ) ( i v ) o l - o ) 叫并既约元，若对l 的任意有限子集j ，当= v j 时有j j 使n = j l 中并既约元的全体记作t ，( l ) 定义1 1 9 1 2 7 1 设x 是非空集，l 是完备格，其最大元和最小元分为1 和0 则 称映射a ：x _ + l 为x 上的l 集，x 叫论域，l 叫值格x 上的全部l 集 按照映射的大小顺序构成一个完备格l x ，其最大元和最小元分别用1 x 和0 x 来表 示 一个l 集a l x 如果满足 ( z ) = q 0 且a ( 可) = 0 ( x 一 z ) ) ，则称 a 为l 点，记为兄又，p xla ( 正) o 叫a 的承集，记作s u p p a ，z 叫l 集 的承点，q 叫它的高( 或值) 对于每个n l ，记。l 。( a ) = 缸xia ( x ) 差q ) ， 又( a ) = z xia ( z ) q ) 容易证明，对于a l x ，a c 叩r ( l x ) ( r e s p ，j ( l x ) ，p r ( l x ) ，m ( l x ) ) 当且 仅当a = ，其中，z x ，a c o g r ( l ) ( r t - p ，( l ) ，p r ( l ) ，m ( l ) ) 定理1 1 1 0 设l 是完备格，q ，p l 则 ( 1 ) 乜p ：l x - + 2 x 保任意并，厶：l x 一保任意交，从而两者都是保 序映射； ( 2 ) 当p 所( l ) 时，l ，p ：l x + 2 爿保有限交； ( 3 ) 当q c o p r ( l ) 时，乳：l x 2 x 保有限并 证明( 1 ) 设 a ) 涮cl x ，首先证明。l ，( v 科a ) = u e ，。l ，p ( a ) ，若z i - l ，p ( v 叫a ) ，则v 叫a ( z ) gp ，从而存在i i ，使得a ( z ) 基p ，因此，z l 护( a ) cu jb l ，p ( a ) ，从而有l 护( v i e ia ) cu 叫l 口( a ) 另一方面，设 u 。f l ，p ( a ) ，则存在i i ，使得z 札，( a ) ，即a ( z ) gp ，从而v 州a ( z ) g p ，因 此，z l ，p ( v 鲥a ) ，进而有u 叫i l 口( a ) c l ( v i ，a ) 综合两方面的包含关系 有u 。jc l 一( a ) = ( v 州a ) 下证n t j 。乙( a ) = 。嚣( 训a ) ，设z 。既( 人划a ) ，则a 州a ( z ) n ，从 而对任意的i i ，有a ( z ) 口，因此，对任意的i ，有z o p ( a ) 所以，。 n 。j 。叩口( a ) ，从而有。叩d ( 州a ) cn 。，墨( a ) 另一方面，设z n 鲥。嚣( a ) ， 则对任意的i i ，有z 产l ( a ) ，从而有对任意的，有a ( z ) q ，因此， 划a ( z ) q ，故有z 叩0 , a ( 列a ) 这说明n 吲。乙i ( a i ) c 印0 ( 。j a ) 综合 两方面的包含关系有n 。，。乙( a ) = c 乳( 划a ) 5 ( 2 ) 设a i l x ，i = 1 ，2 ，几，z c l ，p ( 翟1 a ) ，则 墨l a ( z ) gp ，从而对任 意的i 1 ，2 ，n ) ，有a ( z ) gp ，则对任意的i 1 ，2 ，礼) ，z 。l ，p ( a ) ，故 z n 警1 乜，p ( a ) 这说明l ( 鍪1 a ) cn 墨1 l 口( a ) 另一方面，设z n 銎l 乜p ( a ) ， 则对任意的i 1 ，2 ，礼 ，有z 。l 一( a ) ，从而对任意的i 1 ，2 ，几) ，有 a ( z ) 区p ，由p p r ( l ) 可知， 冬1 a ( z ) gp ，从而有z 札( a na ) ，这说 明n 圣1 。l ( a ) c 。l ，p ( 翟l a ) 综合以上两方面的包含关系有，n 各1 。l ，( a ) = 札，p ( 冬1 a ) ( 3 ) 设a l x ，i = 1 ，2 ，凡，乳( v ；n1 a ) ，则v 銎1 a ( z ) q ，从而由 q c o p r ( l ) 可知，存在i 1 ，2 ，n ) ，使得a ( z ) q ，从而z 己( a ) ，故 z 唣l 。l 口( a ) 这说明。l ，p ( v 銎1 a ) cu 墨1 l p ( a ) 另一方面，设z u i = 1 o l ! o 。( a ) ， 则存在i l ，2 ，n ) ，使得z b o p ( a ) ，从而a ( z ) 2n ，进而有v 翟1 a ( z ) 口， 从而有z c 乐( v 鍪。a ) ，这说明u 警l 。品( a ) c 。乙( v ；nl a ) 综合以上两方面的包 含关系有，l 瑶1 甚。( a ) = 。乳( v ；n1 a 。) 定义1 1 1 1 设l 是完备格，：x + y 是通常映射v a l x ，令 ，( a ) ( ) = v a ( z ) i ，( z ) = ) ，可y ，则可得一映射， ：l 爿，l 7 ，称为l 值 z a d e h 型函数，r 的右伴随记作，f 可以证明，f ( b ) = v ai ，r ( a ) b ) = b o l ( v b l y l 定理1 1 1 2 设l 是带有逆合对应7 的完备格，：x 一+ y 为通常映射，则 ( i ) ，f 保任意并； ( i i ) ，f 保任意并，任意交和逆合对应； ( i i i ) v a l “，a ，f ，f ( a ) ； ( i v ) v b l 7 ，- 行( b ) sb ； ( v ) ，( 0 x ) = o y ；l - ( 时) = 0 x ；z - ( i v ) = l x 证明( i ) 设 ai ，) cl x ，则v y y ， ，f ( va ) ( g ) i e i 从而仃( v a ) = v ，f ( a ) i e l i e l = v ( v a ) ( z ) i l ( x ) = 掣) i e l = v v a i ( z ) i ，( z ) = ! ，) i e l = v v ( a ) ( z ) i ，( z ) = ) i e l = v ，f ( a ) ( 掣) 6 ( i i ) 设 b ii i 】cl y ，b l y ，贝0 比x 丘一( ) ( z ) = b ( ，0 ) ) = 【b ( ，扛) ) 】= 尤一( b ) ( z ) 】= 【j - f ( b ) 】7 ( z ) 所以_ ， ( b 7 ) = 【z - ( 口) 】，即尼一保逆合对应 因为，f 是，f 的右伴随，所以对任意的a 上，有 a ，f ( b ) = = 争f l ( a ) ab i 骨v i i ，f ( a ) b i i e li 6 1 = 争v i i ，a 厂f ( 最) 车= 争as ，f ( 最) i e l 此即a 危一( 鼠) 售净a a 管( 晟) 由a 的任意性，可以取a = a z - ( 且) 和丘一( 人晟) ，所以由此可得 ，f ( 最) = 尼一( 晟) ，这就证明了坛一保任意交 再利用d e m o r g a n 对偶律，有 后( v 最) = 疗【( ab 3 7 】- 【佑( h 倒) 】7 = 【hy z - ( e ) 】 i 6 1i e l讵， = 【 ( i z - ( 最) ) ，】，= v ， ( 晟) i 6 1i e l 这就证明了，f 保任意并 ( i i i ) 由疗疗( ) = v ci 仃( e ) 仃( a ) ) 及厅( a ) 纪( a ) 可得as 坛 f t 舢 ( i v ) 由尼保并可得詹疗( b ) = 仃( v ai 层( a ) b ) ) = v 尼( a ) i ，f ( a ) b ) b ( v ) 由仃保任意并可知詹( 0 x ) = 层( s u p 0 ) = s u p 纪( 0 ) = o y ；比 x ，坛( 1 y ) ( z ) = i v ( ( z ) ) = 1 ，故，f ( i v ) = l x ；再由尼一保逆合对应可得，f ( 0 y ) = 疗一( 1 ；，) = ( ，f ( 1 y ) ) = 1 鼻= 0 x 1 2 集值映射的相关概念与结论 本节给出了本文所需要的有关集值映射以及预拓扑空间的基本知识和结论( 请 参阅文献【3 m 3 3 】) 定义1 2 1 l a o l 设x 和y 是两个非空集合，t ：x 2 y 是一种对应法则，如 果对每一个z x ，通过t 有y 中的一个子集t ( z ) 与之对应，则称t 是从x 到 y 的个集值映射t ( z ) 称为t 在z 处的像或值如果存在至少一个元素z x ， 7 使t ( z ) 非空，则称t 是真集值映射，以后除特别说明，本文中指的集值映射均为 真集值映射，对于真集值映射t ，集合 d ( t ) = 扛xi t ( x ) 叮 称为t 的定义域如果d ( t ) = x ，则称t 是严格的以后如无特别说明，本文中 的集值映射均指严格的集值映射如果对任意的z x ，都有t ( x ) o ，则称t 具 有非空值 设t ：x - ，2 y 为集值映射y y ，b c y 令 t 一1 ( ”) = z xy t ( z ) ) 丁_ ( b ) = 缸xit ( x ) nb 0 ) ， 7 件( b ) = 忙xt ( x ) c 且) ， t _ 1 ( b ) = t 一( b ) o t + ( b ) 表示丁一( b ) 或t + ( b ) 定义1 2 2 【删设x ，y 是两个集合，t ：x - 2 y 为集值映射，kcx ，记 t ( k ) = u x e k t ( 正) ，则有对任意的j g ，k 2c x ， ( 1 ) t ( k lok 2 ) = t ( k 1 ) ot ( j 岛) ； ( 2 ) t ( k 1nk 2 ) = t ( k 1 ) nt ( 鲍) ； ( 3 ) k 1c 配争t ( k 1 ) c t ( k 2 ) 定义1 2 3 设x 为非空集，如果歹c2 x 满足下列条件； ( i ) o ，x 了； ( i i ) 对任意并运算封闭， 则称了是x 上的一个预拓扑，称( x ，了) 是一个预拓扑空间，称j 中的元素为开 集，且称a 7 ( 即a 的补集) 为闭集( v a 歹) ，记了7 = a ia 了 设e c x ，z x ，若存在a 了使得z a c e ，则称e 为z 的邻域若e 是开集，则称e 为z 的开邻域 易见拓扑空间是预拓扑空间但反之不真 例1 2 4 ( 1 ) 设x = t ，b ，c ，歹= ts t 对于h ( i ) 中的任意两个元素a - 和a 2 ，规定 h a 2 = 亭a 1 ( t + ) = a 2 ( t + ) ，a l ( 一) = a 2 ( t 一) 容易验证 一是h ( i ) 上的等价关系用记a 所在的等价类，6 记商集i ( l ) = h ( i ) 一上以 r ，l tlt 研为子基的l 一拓扑，其中r ( ) = a ( 件) ，l t ( 【刈) = ( a 一) ) ( v 日( l ) ) ，则称( ，( l ) ，6 ) 为l 一单位区间( 参见 2 7 ，3 4 3 6 】) 定义2 2 2 1 3 1 设t i ，定义映射o r t ，u c ：j ( l ) x ，工x 具体为：对于任意的 p j ( l ) 盖，a t ( * ) = 尼o p ；u ( p ) = l ：o p 对于任意的l 余拓扑空间( x ，q ) ，令嘴o p ( 叩) = p ( 三) xi 眦( p ) = l ：op 町，v t ，) 则( x ，q z ( ，7 ) ) 是一个j ( l ) 一余拓扑空间，叫做厶余拓扑空间( x ，叩) 的 i ( i ) 诱导化 定义2 2 3 【3 7 i 定义映射 ：l x ，( l ) x 具体为对任意的l ，l x 以及任意 的z x f 旷( z ) ( 件) = 【 1 ，t 0 ； 扩( z ) ，0 t 1 0 ，t 1 对任意的t r 定义映射：x ，( l ) 具体为，对任意的z x 缸) ( s + ) _ k 置 定理2 2 4 1 3 7 1 设( x ，6 ) 是l 余拓扑空间，( x ，q ? ( 6 ) ) 是它的i ( l ) 诱导化， p j ( l ) x ，p l x ，则下列条件等价； ( 1 ) , t 是( x ，q z ( 6 ) ) 中的闭集当且仅当对于任意的t 【o ，1 1 ，岫( p ) 是( x ，6 ) 中 的闭集； ( 2 ) 是( x ，6 ) 中的闭集当且仅当是( x ，a 7 ( 6 ) ) 中的闭集 定理2 2 5 a s l 设，i j ( l ) x ，a 贝4 ( 1 ) ( a ) 一= 手 a 一( v t 【0 ，1 】) ； ( 2 ) p 一= v 蛭l o 1 1 0 ( qo p ) 一+ ) 定理2 2 6 【3 7 l 设p ，( l ) x ，l x ，i 则下列结论成立， ( 1 ) f a ( 盯t ( p ) ) 肛； ( 2 ) f a ( “ ( p ) ) s p ； ( 3 ) 如果t 1 ，则a t ( t , ) = ； ( 4 ) w t ( t , ) = 定理2 2 7 1 3 7 ) 设( x ，6 ) 为l 余拓扑空间，pej ( l ) x ，p l x ，则下列结论成 立： ( 1 ) p 是( x ，q z ( 6 ) ) 中的开集当且仅当对于任意的t i , c r t ( # ) 是( x ，6 ) 中的 开集； ( 2 ) p 是( x ，q z ( 6 ) ) 中的闭集当且仅当对于任意的t l , c d t ( g ) 是( x ，6 ) 中的 闭集； ( 3 ) 一是( x ，d ) 中的开集当且仅当1 z + 是( x ，n 7 ( 6 ) ) 中的开集； ( 4 ) ”是( x ，j ) 中的闭集当且仅当旷是( x ，q z ( 6 ) ) 中的闭集 2 3 ( i c ) 空间的i ( l ) 诱导化 本节介绍一个l 余拓扑空间( x ，6 ) 的( i c ) 化与i ( l ) 诱导化之间的关系设 l 为带有逆合对应的f r a m e ，分别用1 e 和1 e 记集合ecx 在l x 和，( l ) x 中 的特征函数，记i ( l ) 中的最大元与最小元分别为i ( l ) 和o ( l ) 定理2 3 1l 余拓扑空间( x ，6 ) 是个( i c ) 空间当且仅当( x ，q z ( 6 ) ) 是( i c ) 空间 证明设( x ，6 ) 是一个( i c ) 空间，ecx 由定理2 1 4 我们需要证明( 1 层) 一 是一个分明集显然，l ：o l e = i e( v t ( 0 ，1 】) 因为僻，6 ) 是一个( i c ) 空间， ( 耳0 1 e ) 一= 1 言，其中ecx 容易验证( j o l t ) 。= ( 1 雪) + = 1 面由定理2 2 5 ， ( 1 e ) 一= 1 吾 1 5 另一方面，假设( x ，q # ( 6 ) ) 是( i c ) 空间，fcx 由定理2 1 4 我们需要证明 ( 1 f ) 一是一个分明集根据定理2 2 5 ( 1 ) ，我们有( 1 f ) = ( 1 f ) 。再由定理2 2 6 可知( i f ) 一= 耳o ( i f ) 一= l ：o ( 1 f ) ”= l ：。( 1 f ) 一( v t ( 0 ，1 】) 因为( x ，q ? ( 6 ) ) 是( i c ) 空间，所以( 1 ，) 一= 1 卢，其中fcx 从而( i f ) 一= e 0 1 f = 1 卢( t ( 0 ，1 】) 定理2 3 2 设( x ，j ) 是l 余拓扑空间，且1 c o p r ( l ) ，则 ( 1 ) i i ( l ) o q ? ( 6 ) q ? o 屯似) ( 2 ) e t ( l )