（基础数学专业论文）第三类cartanhartogs域上的极值问题.pdf

摘要 单复变函数论中的r i e m a n n 映射定理解决了复平面上单连通区域的分类问题 找到极值 m = p a p i f ) l q ) ) ，亍( n ) 是证明硒锄l a n n 映射定理的关键其中，q 是c 。上至少有两个边界点的单连通区 域，是把q 跌到单位躅盘的全纯函数，箩( q ) 表示所有这样的函数的集合多复交函 数论中的r i 锄1 a n n 映射定理是不成立的，但类似的这种极值问题，仍有重要的研究 价值本文讨论了第三类c a r t 衄一h 到魄域与单位超球间的c a r a t h d o d o r y 极值问题， 其主要结果是得到了从第三类c a r t 8 班h 8 f t 。窜域到单位超球的c 嚣七h 幻d o 耐爱值映 照、极值和极值距离第三类c a r t a n - h a r t o g s 域的形式如下； m ( ，口，k ) ：= c ，z g j ( 口) ：0 t j 0 搿 0 其中m = 2 蜒。然后根据h f f ( 编x ) 的最小外切和最大内切h e r m i t i a n 椭球在不 同情况下的具体形式得到了以下结论： ( 1 ) 当o 2 嘲时，得到从( ，吼耳) 到单位超球曰+ 盯c a m t h d o d o r y 极值 映照、c a r a t h 每0 d o r y 极值和c 盯砌1 6 0 曲r y 极值距离 关键词：c a r a t h d o d o r y 极值c a r t a a - h a r t o g s 域h e r m i t i a n 椭球 a b s t r a c t i nt h et h e o r yo fo n ec o m p l e xv a t c i a b l e , r i e m a n nm a p p i n gt h e o r e mh a sr e s o l v e d t h ep r o b l e ma b o u tt h ec l a s s i f i c a t i o no fs i m p l yc o n n e c t e dd o m a i n si nt h ec o m p l e x p l a n e w h i l et h ek e ys t e po fp r o v i n gt h er i e m a n nm a p p i n gt h e o r e mi st of i n dt h e e x t r e m a lf u n c t i o no ft h ee x t r e m a lp r o b l e m m = s u pt i ，汹) i q ) ) ，j n ) w h e z eq i sa s i m p l yc o n n e c t e dd o m a i ni nc w i t ha tl e a s tt w o b o u n d a r yp o i n t sa n d f ( n ) i 8t h ef a m i l yo fa l lh o l o m o r p h i cf u n c t i o n sfs u c ht h a t ，m a p sqc o n f o r m a l l y o n t ot h eu n i td i s k t h es i m i l a re x t r e m a lp r o b l e mi ss ms i g n i f i c a n tt os t u d yj nt h et h e o r yo f8 e v - e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s i nt h i sp a p e r 啪s t u d yt h ee x t r e m s lp r o b l e mb e t w e e nt h e c a r t a n - h a r t o g sd o m a i no ft h et h i r dt y p ea n dt h eu n i th y p e r b a l l w eo b t a i nt h e c a r a t h d o d o r ye x t r e m a lm a p p i n g s ，t h ec a r a t h d o d o r ye x t r e m a la n dt h ee x t r e m a ld i s - t a i t c e sf r o mt h ec a r t a n - h a x t o g sd o m a i no f t h et h i r dt y p et ot h eu n i th y p e r b a l l h e r e t h ec a r t a n - h a r t o g sd o m a i no ft h et h i r dt y p ei sf o l l o w i n g ： m 盯( g ，叼：= 伽c ，z 豫玎( q ) ：0 埘 0 ， w h e r e m = 啦掣 t h e na c c o r d i n gt ot h ec o n c r e t ec o m p u t i n g 聊o b t a i nt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： ( u w h e n0 2 【割，w eo b t a i nt h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a lm a p p i n g ，c a r a t h - 6 0 d o r ye x t r e m a lv a l u ea n dt h ec a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a ld i s t a l l c ef r o my m ( n ，q ，k ) t ot h eu n i th y p e r b a l l k e yw o r d s ：c a r a t h 6 0 d o r ye x t r e m a l ，c a r t a n - h a r t o g sd o m a i n ，h e r m i t i a u e l l i p s o i d 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集俸 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体。均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名，礼j 囊j 蕊 l ” 日期一刁年年月舟日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名。翻缸 1 日期硼年年月培日 序言 在单复变函数论中，r i e m a n n 映射定理解决了复平面上单连通区域的分类问题 而证明r i e m a n n 映射定理的关键是找到极值 m = s u p i ，( 翔) i ( z o q ) ， ，f ( n ) 其中，n 是c 。上至少有两个边界点的单连通区域，是把q 映到单位圆盘的全纯函 数，膏( q ) 表示所有这样的函数的集合虽然m e m a n n 映射定理在多复变函数论中不 成立，但类似的这种极值问题在多复变函数论中，仍有重要的研究价值设m 是c t i 中 的一个域，p 是m 中的一个点，我们把这样的域点对( m ，p ) 称为“点域”，且记为 易 对于两个点域 和 k ，记h o l ( ，。) 为由所有将m 映) k n ，且将点p 1 映为点p 2 的 全纯映照所组成的集合对于一个映照，h o l ( ， k ) ，如果成立 i d e t d 白1 ) i = s u p l d e t d a 慨) i ：g h o l ( 纽， k ) ) ， 则称f 为c a x a t h d o d o r y 极值映照，而称id e t d 0 1 ) i 为c a r a t h 6 0 d o r y 极值，且分别简称 为。极值映照与g 极值根据d 极值映照可以定义两个“点域”间的极值距离： p ( 。，) = i n f 一l o g i 五o ，白1 ) 1 ) ， 其中，h o l ( ，：) ；g h o l ( ， ) ，且均为d 极值映照 o 极值问题可以看作是复平面上的s c h w a r z 2 j l 理在高维的一个推广1 1 研究伊中 的两个域之间的c a r a t h d o d o r y 极值问题，主要是研究这两个域问的。极值映照和g 极值计算问题c a r a t h d o d o r y 首先研究了这个问题，并于1 9 3 2 年得到了从多圆柱到 单位超球伊的。极值【2 】k u b o t a 利用级数展开的方法得到了从c a f t a n 域到单位超 球伊的g 极值【3 】，并进一步对所有有界对称域上的这类问题做了讨论旧 m ad a o w e i 得到了复椭球与b _ 嘲，强拟凸域与伊【习间的极值距离在估计。上 的域的k o b a y a s h i 度量，c a r a t h 6 0 d o 被量，s i b o n y 度量和e i s e n m a n 体积形式的研究 中，极值距离是一个有力的工具 1 9 9 8 年，殷慰萍和g a o o s 弓l 进了四类域称为c a r t a n - h a z t o g s 域n 第三类c a r t 衄 h - t o g s 域为； ，新( ，p ，k ) ：； 埘c ，z 嘶盯( 口) ：i i 叫0 2 k d e t ( 1 一j 旁) ) ， 这里嘶，( 口) 代表华罗庚意义下的第三类c - t a n 域，z 是q 阶斜对称方阵，表示z 的 转置，z 表示z 的共轭，d e t 表示矩阵的行列式，为正整数，k 为正实数一般情况 下，c a r t a n - h a r t o g s 域既不是齐性域也不是r e i n h a r d t 域 苏简兵给出了第一类c a r t a n - h r t o g s 域到单位超球伊的。极值映照和g 极值 及当k l 时这两个域间的极值距离【9 1 并且得到了第一类广义华罗庚域到单位 超球伊的g 极值映照和g 极值【1 0 】赵昕给出了第二类c a r t a n - h 缸删到单位超 球伊的。极值映照和d 极值及当k l 时这两个域间的极值距离本文讨论了第 三类c a r t a n - h m - t o g s 域与单位超球间的c a r a t h 6 0 d o r y 极值问题第一章叙述了本文 所要用到的一些定义与定理，第二章讨论了第三类c a r t a n h a r t 0 铲域的最大内切和 最小外切h e r m i t i a n 椭球的形式，第三章，第四章分情况具体求出最大内切和最小外 切h e r m i t i a n 椭球，第五章给出了从第三类o a r t a n - h a r t o g s 域到单位超球的。极值映 照，d 极值和g 极值距离一般情况下，g 极值映照并不是唯一的，我们只是求出 其中的一个线性映照 第一章准备知识 在这一部分，我们先给t c a z a t h d o d o r y 极值、极值距离和h e r m i t i a n 椭球的定 义，然后给出一个域的最大内切和最小外切h e r m i t i a n 椭球的特性及有关的一些命 题 定义1 对于两个点域m 。，cc 8 ，定义伪m 矾白如r 撇r c 搬值，如下： 厶。( ，) ：= s u p l d e t d g 圳：g h o i ( ，) 记为所有点域( m ，p ) 组成的集合，设 ，：q 。，若存在双全纯映照， h o l ( m m ， k ) ，则称 纽和 k 是双全纯等价，且记为 一 k 显然，一是一个等 价关系，令石。= q 。一下面给出c 缸灿6 0 d o r y 极值距离定义 定义2 定义映照p ：磊蕊一【一，+ 】为 p ( 磁。，厩) = i n f ( 一1 0 9 l 知，j ：f h o l ( m ，。，翔) ，g h 0 1 ( g 阳，) ， 这里m ，nc ，j ，：= d e t d ( p ) ，我们称p ( 瓦，弦) 为瓦到厩c a r a t h d o d o r y 极 值距离伶极值距离声 在不致于弓l 起混淆的情况下，我们分别记瓦，弦为 ，雌。如果m ，都包 含原点，则： p ( ，n o ) = 一l o g ( ，) 厶。( n o ，u o ) 1 命题1 若d l d 2 是中的两个完全圆型域，d 2 是一个全纯域，则对任一全纯 映照，h o i ( ( d 1 ，o ) ，( d 2 ，o ) ) ，必有够( o ) ( d 1 ) cd 证明见参考文献【6 】 由命题1 可知两个完全圆型域的c a r a t h d o d o r y 极值有如下结果： 厶。( d 1 ，d 2 ) = s u p l d e t l i ：l g l ( n ，c ) ，f ( d 1 ) cd 2 下面我们给h j h e r m i t i a n 椭球的定义和体积形式 定义3 一个e k m l i “佣椭球是指如下形式的域 0 ：z 4 旁 1 ) ， 这里a = f a j k ) ) - - - - 个正定的函m i 缸口硼! 阵 命题2 胁m i 蚍椭球s = d c “：蛳刁磊 1 ) 的体积是 j ，k = l y ( 研= 面b ， 其中是摊单位超球的体枫 证明 因为( 哟 ) 是一个n 阶正定的h e r m i t i a n 矩阵，则存在酉矩阵u ，使得 ( 咏) = 矿a 2 以 其中，a 为对角矩阵，即： 那么 a = 俩0 0 0 厩0 00 瓶 ( z 1 ，磊) ( 蛳) ( - 1 ，磊) k ( 2 l ，) 矿a 2 u ( - 1 ，磊) 作线性变换 z ：s _ 伊 亿，钿) 一伍，) 矿a 设占_ 的体积为，则 呻) = f s a v ( s ) = 厶南彤( = 翮1 u 0 从而c z 勒盯( g ) 进一步得到 d e t u z 方) d e t ( i c z ( c - 2 ) ) ， 所以 0 c t t ，0 2 k 0 仰0 2 x d e 吨( 1 一五f 矛) d e t ( 1 一呀( 苫劢) 综上所述，y m ( n ，玑) 是完全圆型域 命题6 对于中的有界域d 1 和d 2 ，记p ( 屁) 为d 的最小外切“肌椭球0 = 1 ，2 ) ，l ( d ) 为觑的最p t 4 z l h e r m i t i a n 椭球如果l g l ( n ，c ) ，且使得l ( d 1 ) = d 2 ， 则我们有： i ( p ( d 1 ) ) = p ( d 2 ) ； 妒i c l ( d 1 ) ) = 工( d 2 ) 证明( i ) i j 2 t 是如下极值问题的一个解： s u p i d e t t l ：t g l ( 竹，c ) ，( d 1 ) c 召。 ， 由命题3 ，t - 1 ( 母，i ) 必为d l 的最小外切h e r m i t i a n 椭球即；p ( d 1 ) = t - 1 ( 占f i ) 因为z a l ( n ，c ) ，i l l ( d , ) = d 2 ，所以”- 1 ( f ( d 1 ) ) cb “k t i - 1 是如下极值问 题的一个解： s u p i d e t 叫：t g l ( n ，c ) ，t ( 1 ( d 1 ) ) c 县r i ， 所以p ( f ( d 1 ) ) ；p ( d 2 ) = ( t l 一1 ) 一1 ( b ”) = l ( t 一1 ) ( z p ) = i ( p ( d 1 ) ) ( i i ) 设丁是如下极值问题的一个解： b u p i d e c p i ：p g l ( n ，c ) ，p ( b “) cd 1 ) ， 则t ( f ) = 工( d 1 ) 为d 1 的最大七) j h e r m i t i a n 椭球 因为z o l ( n ，c ) ，且z ( d 1 ) = d 2 ，所以2 t 是如下极值问题的一个解： s u p i d e t 8 i ：s g l ( n ，c ) ，s ( 伊) ci ( d 1 ) = d 2 ) ， 且j t ( i p ) 是d 2 的最大内切h e r m i t i a n 椭球即z t ( f p ) = 工( d 2 ) 所以f t ( b t 。) = l ( l ( d 1 ) ) = l ( d 2 ) 下面我们给出在后续章节中经常用的两个引理 引理1 设鼹两个他日卜正定的h e r m i t i a n 矩- 阵，如果 仁c ，i ：z a z 旁, 1 ) = 如：z 删 1 ) 则a = 且 证明见参考文献【9 】 引理2 设d l ，n 2 ，a n 一1 ，且所有非零数的符号相同，则我们有： ( 1 + 口1 ) ( 1 + a 2 ) ( 1 + ) 1 + a l + a 2 + + 注记1 记z = ( 铷) 1 9 ，k 口是g 阶斜对称矩阵，将z 中元素按如下顺序排成c m 中 的一个向量： 。= ( z 1 2 ，z 1 3 ，z l 口，锄，锄，- ，z q , 口一1 ) ， 则2 = ；打( 痃l 第二章 y m ( n ，q ，k ) 的最大内切和最小外 切h e r m i t i a n 椭球的形式 这一章里，我们根据命题6 ，找到四个从m ，j ( ，q ，) 到y m ( n ，g 耳) 的线性映 照，再h e r m i t i a n 椭球的形式和引理1 ，最后得出m ( ，g ，厕最大内切和最小外 切h e r m i t i a n 椭球的统一形式 命题7k 盯( ，口，k ) 最小外切争最大内切醌删“8 椭球都有如下形式： 这里， 或写为： s ( a ) = ，z ) c + m ：( 坝z ) a ( _ ，- ) 。 0 证明对于，z ) y i i i ( n , 口，k ) ，叫= ( l ，t | j 2 ，w n ) ，现考虑如下映照： 1 也：y m ( n ，q ，k ) 一k 盯( ，口，k ) i = 1 ， ( t o ，z ) + ，z ) 吼 这里，电= j ( + 聊一2 e i i ，其中j r ( + f ) 为+ m 阶单位矩阵，层。为第m 行第n 列 的元素为1 ，其余元素为o 的n 阶矩阵 2 如：( ，q ，k ) 一( ，口，k ) 1 7 6 n ( 叫，z ) _ + ( 伽，z ) 垂w 其中，圣巾= i 讲+ m 1 一e ”一e u + e 啊+ e h 3 机：y m ( n ，吼k ) _ d n ( n ，g ，k ) 牡= 1 ，q ( 仰，z ) _ ( 叫，z ) 皿。 其中，虬= ( 7 ：r ) 1 k ) ，屯= 扣，一z e m x a 础表示方阵a 的斜对称直乘积，它为一掣阶方阵设a = ( ) 口。q ，把 指标组( r ，歹) ( r j ) 按照( 1 ，2 ) ，( 1 ，3 ) ，( 1 ，口) ，( 2 ，3 ) ，( 2 ，口) ，q 一1 ，g ) 排成 一单次序，而似卅拈的第( r s ) 行0 忌) 列( r s , j k ) 的元素o ( 哪o ) 定义为： a ( r s ) ( j k ) 2 叼口睹一a r k a s j 文献f l q 指出，若x = ( 巧 ) 是一斜对称口口矩阵，经交换y = a t x a ，所得方阵 也是斜对称的，此即： 口 彬；叼r s c l s k = x , o ( a ，a a , k 一叼) ，彬七；乙b 巧= 乞 一a 畦n 巧j ， n 0 = 1r o 若设 x = ( z 1 2 ，z 1 3 ，z l 口，2 3 ，z q - - 1 。口) ， y = ( y m ，y x 3 ，饥q ，y 2 3 ，一1 冉) ， 则上述变换可写成= 引a a i 咖 肌耻“一， 知： 庐w ( m j j ( ，口，) ) = 巧j f ( ，口，) ，1 7 6 n 札( m ( q ，k ) ) = ( ，吼) ，t = 1 ，2 ，口 妒o ( m 盯( ，g ，k ) ) = y m ( ，g k ) ，1 盯 f 口 设s ( a ，6 ) 为域y m ( n ，吼厕的最大内切或最小外切h e r m i f i a n 椭球，则由命题6 咖( s ( 口，6 ) ) = s ( a ，6 ) g = i ，2 ，) ，口啊( s ( 口，6 ) ) = s ( a ，砷( 1 7 6 n ) 设s 。，= t c 埘，z ，d 材：c 伽，z ，( ；三) c 萄，动 0 ( 2 1 ) 第三章 y m ( n ，q ，k ) 的最大内切h e r m i t i a n 椭球 在这一章，我们仅给出了k 2 时y m ( n ，g ，) 的最大内切h 锄咀i t i a 椭球的具 体形式 命题8 当k 2 时，单位超球b + 是y m ( n ，口，耳) 的最大内o j h e r r n i t i a n 椭 重i 证明先证b + fcy m ( n ，q ，k ) 也就是证v ，z ) a b n + f 即i l 训1 2 + l l z l l 2 = 2 + 拶1 刃) = 1 时，j 一刃圳 i i 驰 0 h j v ( w ，z ) 粥( ，g ，聊，有a l l 1 1 2 + b l l z l l 2 1 取e = ( 0 ，o ，1 ，o ，o ) c n + mi = 1 ，2 ，n ，则恻1 2 = 0 ，i i , 1 1 2 = 1 故d 1 1 切1 1 2 + b 4 z l l 2 1 = 争口1 取e = ( o ，0 ，l ，0 ，o ) 。c n i m j = n + 1 ，+ m 贝l j l l z l l 2 = l ，1 2 = 0 故a l l w u 2 + b l l z l l 2 1 净b 1 且y ( s ( n ，6 ) ) = a - n b - m “啊+ j i f y ( b + f ) = 出，+ m 则b + m 是 锄( ，口，) 的最大内切椭球又b + m - 与y m ( n ，吼k ) 均为完全圆 型域，所以由命题4 知： 当k 2 时，b + 肘是h j ( 口，k ) 唯一的最大内切椭球 第四章 y i i i ( n ，q ，k ) 的最小外切h e r m i t i a n 椭球 本章我们分四节讨论在不同情况下m j j ( ，q ，) 的最小外切h 鲫皿i t i 壮椭球 第一节s ( 口，b ) k y m ( n ，q ，k ) 外切椭碌的条件 引理3 如秉f , y i i i ( n ，g ，k ) cs ( 口，6 ) ( s ( 。，6 ) 见( 2 1 ) ) ，则。 a l k a 睡】0 ， 则t r ( z 芽) = 2 ( a i + 遐+ + a 萄) 2 【鄯，且有： a l l w l f 2 a l l w l l 2 + b l l z l l 2 = a m 2 + ；b t r ( z y ) l ， ；姗( 刀) n i i 叫1 1 2 + b l l z i l 2 = n i i 酬2 + l b t r ( 刀) 1 所以o 1 * l u l l 设珈【o ，1 】，使，”( 珈) 2 器简9 ( 9 ) 1 则( 缸，o ，z o ) a 坼盯( ，q ，k ) 如( 4 1 ) 所 取，i 面a l l w o l l 2 + b l l 翔1 1 2 = 巩。舯( 3 1 0 ) 1 与m ，( ，口，k ) cs ( a ，6 ) 矛盾 2 。假糅鼢 ( 们 1 则对于任意的m ，z ) c o y m ( n ，口，i ：) n o s ( a ，6 ) ，l z pl l w l l 2 一d e t ( i z 穷) 且n l i 似1 1 2 + b l l z l l 2 = l 这与d 怕1 1 2 + b l l z i l 2 嚣躏9 ( 口) 1 矛盾 由引理4 ，就与2 团的大小关系，我们分3 节具体讨论口，6 的取值每节都是先 第二节k = 2 嘲时】，h f ( ，q ，k ) 的最小外 j h e r m i t i a n 椭球 引理5 当= 2 醒】时，s ( a ，6 ) 是巧( ，玑) 的外切椭球当且仅当：b = 击，0 口1 ；或n = 1 ，0 b 击 证明当= 2 【判时，巩。棚( v ) = a ( 1 一们+ 6 【割= n + ( 6 嘲一。妇 ( 1 ) 0 口啪】时，y 嘁t ：t u , i j ( 缈刮1 ) _ 6 【护1 ，故6 2 南0 如1 ( 2 ) 。6 吲时v m e o a j j g ( 州 ) 29 ( o ) 2 口乩蜘 6 亩 定理1 当k = 2 吲时，y i i i ( n ，q ，) 的最小外切磊k 砸挽口硼自球是： ( 埘，2 ) c + f ：i i 叫0 2 + 击0 z i l 2 0 又由命题2 ，h e r m i t i a n 椭球s ( a ，6 ) 体积为： y ( s ，6 ) ) = a - n b - m 蛳+ j i f 由引理5 ， 扣筘哪郴( n ，6 ) ) = 郴( 1 扣2 ( 扩叭盯； 磊，郴( d 6 ) ) 圳踯，静_ ( 【扩 取n 一1 ，6 = 酉1 ，则s ( 1 ，南) 即为当= 2 【判时，k 以，g ，k ) 的最小 外切h e m i t i 觚椭球 ! 塑兰! 堑l 墨坚：旦堕墨尘堑塑旦竺墅! ! 竺燮 1 7 第三节k 2 聊时k 玎( ，口，) 的最小外切h e 皿i t i 衄椭球 引理6 b ( 等一f 】时，s ( 口，b ) 是y m ( n ，g ，脚的外切椭球当且仅当： 南堋- - - - 1 , 0 2 a 。 2 嘲，故可署当牙 。，i o 0 当妒【0 ，1 ) 时，眈m 0 ) 0 ，则鲰。( 可) 在 0 ，1 ) 递减 所以嚣黼g ( d 朋( 计= 9 ( o ) 一口= 1 ，且o 6 晏 ( 2 ) 若o 2 嘲，y i i i ( n ，g ，耳) 的最小外切胁 埘抗伽椭球是： 阻堙-勉缸一晰，k ，_ 扪缈 1 8 兰婴兰堑丝f 盟! ! ! 丝2 堕墨尘丛塑里竺型! ! 竺竖 tc叫，。，c+盯：量堑墅尘垒三雾芸：器乒#穿u叫旷 + 器端k q ( q 忙酽 琅。卧2 k +一1 ) ) ”。一p 证明d i l ( n ，口，k ) 最小外切h 蚴i t i 柚椭球体积为： y ( s ( 口，6 ) ) = o 一6 一 f 帅 f ， 则求最小外切h e r m i t i a n 椭球需考虑如下最小值a ( a ，6 ) = ：a - 1 v b 一 f ( 1 ) 当o 2 a b k ，考虑如下函数的最小值 带有限制条件 由限制条件得 a ( a ，6 ) = ：a - n b - m 唾母( 嚣) 嘲呻： 口= 萼6 譬( 1 “【扣学( 等一【争) 半 ( 4 2 ) g ( 0 ，6 ) = 隆掣( - _ 6 【学( 等却半 6 一掣 = ( 等) 州6 一业茹业( 1 一呦俎学( 等一【争) 型弘= ：g ( 6 ) g ，( 6 ) = k - n - 1 2 一1 ( 萼一【争) 型丢业( 1 6 争) 蛐苎兰兰 6 一苎丛2 ；妄! 噎世一1 6 【；】( k 口( g 一1 ) + 2 n k ) 一( 4 1 2 n + k g ( 口一1 ) ) 令g ，( 一o ，由限制貅( 等邶( 等) 南+ 6 【挣，得 6 【；1 1 k = 器揣 当0 b 6 0 时，g ，( 砷 o ；当6 0 0 ，考虑g ( 口，6 ) = ：a - n b - 肘在限制条件： 口= 1 。r a i n 。g ( 咖卜r a i n 燎a ( 删= g ( ，要) = ( 等) 劓 利用，( z ) = ( 1 + z ) ；+ 1 的单调递增性以及2 譬 2 胬群可得： ( 州精j 2 【弘口；a o ，b = b o 时，g ( a ，6 ) 取极小值，且y ( 口，6 ) ) 最小 则s ( 知，6 0 ) = ，z ) c n + m ：n 0 0 1 1 2 + 6 0 l l z l l 2 1 是y i i i ( n ，q ，耳) 的最小外 第四节0 k 2 嘲时6 h ( n , q ，j f ) 的最小外切h 朗咀i t i a n 椭球 引理7 当o k 2 时，s ( a ，6 ) 是k 盯( ，g ，耳) 的外切日e m 纸。脯球当且仅 当：6 【判= 1 ，0 o 6 曙j ；或d = 1 ，口6 f ；】 证明当o k o ( 1 ) 0 2 a b k ，则珈 0 ，g ( ) 在【o ，1 ) 单调递增，且当暑，【o ，1 ) 时，吼。m ( 暑，) 巩a 舯( 1 ) 所 ，m 删a x g ( 。m ( ”) 2 鲰却( 1 ) = 6 【争2 1 ( 2 ) 2 a b k j ，0 y o 1 ，鲰舯( 暑，) 在珈取得极小值所以： ，m 【o a ，x l j g ( 4 ，6 ，( 们= 瑚x f 鲰朋( o ) ，巩。朋( 1 ) ) = m a x 0 ，6 争) 当。6 团，刚m a ，l j xg ( = ，2 8 = 1 当警口 6 阻踊( ) - 6 国= 1 所以，当o k 2 【鄹时，综上所述，o o 时，s ( 口，b ) 是y m ( n ，g ，耳) 的外 切h 跚匝t i a n 椭球当且仅当口= 1 定理3 当o k 2 嘲时，巧盯( ，甄k ) 的最小外切胁靠记浦球是 则 ( ”，力c n + m ：o 叫j j 2 + 壶o z ij 2 1 ) l 2 j 证明 由命题2 ，s ( a ，6 ) 的体积为： y ( s ( o ，6 ) ) = a - 2 v b m “w + _ l i f 括筘埠哪( 口 6 ) ) 圳即，南) ) _ ( 【扩帅材 ；m 扩i l l ，v ( 卿 6 ) ) 圳即宙) 刘扩岍肘 取口= 1 6 2 酉1 ，则s ( 1 ，亩) 即为当o k 2 【鄹时，y m ( n , 口 k ) 的最小 外切h e r m i t i a n 椭球 ，1 、 由第二节、第三节、第四节我们知道，当o k 2 【割时，s ( 1 ，击) = ，z ) c n + 材：i 咖1 1 2 + 击叫1 2 2 围时，s ( a o ，b o ) = ( 伽，z ) c n + m ：n o l l w l l 2 + b o l l z l l 2 1 是y i l l ( n ，q ，k ) 唯一的最 小外切h e r m i t i a n 椭球( a o ，b o 见( 4 4 ) ( 4 3 ) ) 第五章极值映照与极值 定理4 当o k 2 【割时，从域y 西( ，口，k ) 到单位超球b + 材的c 搬值映照 h = ( 7 7 孟。加) 8 l l p l d e 七d l ( o ) f ：a t ( o ) g l ( n ，c ) ，d f ( o ) ( 碍盯( ，吼嗣) cb n + 盯) s ( t ，南) = c 毗z ，c 州洲训2 + 南例2 - ) ， 则由命题3 知，( 概( o ) ) - 1 ( b 肿 f ) = s ( 1 ，南) ，即以( o ) ( s ( a ，南) ) = b + 盯而 b + 肘= ( 埘，名) c + m ：1 1 w l l 2 + i i z l l 2 2 【刭时，从域m j j ( ，g ，) 到单位超球。+ f 的d 极值映照是： h ：y i i i ( n ，q ，k ) _ b + 材 m ，z ) ( t o ，z ) h 日= 一一以俐式 一一一 g ：b + m _ y m ( n ，q ，k ) ( 叫，z )