（基础数学专业论文）两类模糊随机时间序列预测方法.pdf

摘要 本文研究了经济系统中两类模糊随机时间序列预测方法。分析了这两类方 法的特性，建立了几种线性模糊随机模型。主要内容如下： 1 提出了基于模糊随机过程的平稳模糊随机时间序列预测方法。 ( 1 ) 给出了模糊自相关函数和模糊偏相关函数的概念，并讨论了它们的性 质。 ( 2 ) 研究了平稳模糊随机时间序列预测方法。利用散点图给出了对模糊随 机时间序列进行平稳性判断的方法：建立了三种线性模糊随机模型模糊自 回归模型、模糊滑动平均模型和模糊自回归一滑动平均模型：给出了这三种模型 的识别、定阶、参数估计和检验方法：讨论了某些非平稳模糊随机时间序列：给 出了模糊自回归模型的应用实例。 2 提出了基于模糊线性方程组的模糊随机时问序列预测方法。 ( 1 ) 利用实系数、模糊变量线性方程组建立了一种模糊随机时间序列的模 型，模型求解被转化为一个二次规划问题。 ( 2 ) 利用模糊系数、实变量线性方程组建立了另一种模糊随机时间序列的 模型，模型求解被转化为一个线性规划问题。 关键词模糊随机时问序列：模糊自相关函数：模糊偏相关函数：模糊线性方程组 a b s t r a c t i nt h i st h e s i st h er e s e a r c h e so f t w ok i n d so f f o r e c a s t i n ga p p r o a c h e sf o rt h e 如五 r a n d o mt i m es e r i e si ne c o n o m i c a ls y s t e ma r em a d e t l l ec h a r a c t e r i s t i c s o f t h ef o r e c a - s t i n ga p p r o a c h e sa r ea n a l y z e da n dt h e ns e v e r a lk i n d so fl i n e a rf u z z yr a n d o mm o d e l a r ee s t a b l i s h e d ，t h em a i nc o n t e n t so f t h et h e s i sa r e a sf o i l o w s j 1t h e f o r e c a s t i n ga p p r o a c hf o rt h ef u z z yr a n d o mt i m es e r i e si sp r e s e n t e db a s e d o nt h ef u z z ys t o c h a s i c p r o c e s s e s ， ( 1 ) t h ed e f i n i t i o n so ft h ef u z z ya u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o na n dt h e 如z z vp a r t i a l c o r r e l a t i o nf u n c t i o na r e 舀v e na n dt h e i rb a s i c p r o p e r t i e s a l ed i s c u s s e d ( 2 ) t h ef o r e c a s t i n ga p p r o a c hf o rt h es t a t i o n a r yf u z z yr a n d o mt i m es e r i e si sm s e a r c h e d t a k i n ga d v a n t a g e o fs c a t t e r e dp o i n td i a g r a m , t h e w a yo f j u d g i n gt h es t a t i o n - n a r yp r o p e r t yo f t h ef u z z yr a n d o m t i m es e r i e si sp r e s e n t e d ；t h r e ek i n d sm o d e lo f l i n e a rf u z z yr a n d o m 低f u z z ya u t o r a g r e s s i v em o d e l t h ef u z z ym o v i n g a v e r a g e m o d da n dt h ef u z z ya u t o r e g r e s s i v em o v i n g a v e r a g em o d e l a t ei n t r o d u c e d ；t b e a p p r o a c h e s o f r e c o g n i t i o n ，d e t e r m i n i n go r d e r , p a r a m e t e re s t i m a t i o na n de x a m i r i a t i o no f t h e s em o d e l sa r ep r e s e n t e d a n a p p l i c a t i o ne x a m p l e i sg i v e ni nl i g h to f t h e f u z z y a u t o r e g r e s s i v em o d e l 2 t h ef o r e c a s t i n ga p p r o a c hi sg i v e no nt h eb a s i so ft h ef u z z ys y s t e mo f l i n e a r e q u a t i o n s ( 1 ) o n et y p eo f t h ef u z z yr a n d o m t i m es e r i e sm o d e li sa d v a n c e d t h r o u g hu s i n ga f u z z ys y s t e mo f l i n e a re q u a t i o n sw i t hr e a lt o e 硒c i e n t sa n df u z z yv a r i b l e s 1 1 1 es o l u t i o no f t h em o d e li st r a n s f o r m e di n t oa q u a d r a t i cp r o g r a t m n i n gp r o b l e m ( 2 ) t h eo l h e rt y p eo f t h ef u z z yr a n d o mt i m es e r i e si sp r e s e n t e db y u s i n gaf u z z y s y s t e mo f l i n e a re q u a t i o n sw i t hf u z z yc o e f f i c i e n t sa n dr e a lv a r i b l e s t h es o l u t i o no f t h em o d e li sc h a n g e di n t oal i n e a rp r o g r a m m i n g p r o b l e m k e y w o r d sf u z z yr a n d o mt i m es e r i e s ；f u z z ya u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n ；f u z z yp a r t i a l c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ；f u z z ys y s t e mo f l i n e a re q u a t i o n s 第一章绪论 1 1 随机时问序列预测方法的研究状况 按时间顺序排列的一组随机数据就称为随机时间序列。在实际问题中，经 常会遇到各种随机时问数列。如经济中的年国民生产总值序列，气象中的月平 均气温序列，医学上的脑电波序列，机械系统的振动序列，市场上某些商品的 年销售额序列，等等。 一个随机时间序列，展示了被研究对象在段时间内发展变化过程。所谓 随时间序列预测方法，就是指在所研究对象的组实测时间序列基础上，通过 各种数学的分析处理手段，寻找出序列变化特征、发展趋势与规律，进而对未 来某时刻研究对象的状态做出估计。这样，就把影响研究对象的一切因素由“时 间”综合起来描述了。由于这一方法所需的只是序列本身的历史数据，因此， 近年来它已被广泛应用于我国的气象、天文、地质、农林、生物、化工、医学、 冶金、机械、经济、管理等部门和领域，并取得了很好的效果。 半个多世纪以来，随机时间序列预测方法已逐步发展成为概率统计学中的 一个重要分支。如果我们简单回顾下这一学科的历史发展过程，大体上可以 把它分成两个阶段，早期阶段和以现代谱分析为特征的成熟阶段。早期阶段的 工作主要使用一种比较简单的有限参数模型，包括“滑动和”以及由差分方程 所定义的自回归模型等。用这些模型可以近似地代替一类相当广泛的平稳随机 时间序列，能解决许多实际问题，其主要缺点是精确性不高。从五十年代后期 随机时间序列预测方法进入了一个较高的领域。这一发展阶段的特点是，一方 面它与近代“随机过程论”密切结台，使其理论也走向严格化；同时在处理方 法上，它考虑的是无限维模型，把以前的有限维模型看成一种特例；而现代谱 估计理论和方法成为这阶段的一个显著特点。 七十年代后期又有些新动向：非平稳序列、非线性系统模型、自回归谱 估计、空间序列以及不等间隔抽样数据的分析等等。特别是近年来，随着现代 计算技术的发展，随机时间序列预测方法中的线性模型方法引起了广泛注意。 1 2 模糊随机时间序列预测方法的提出 随机时间序列方预测法最早是应用在经济学上的。比如，我们可以根据记 录的连续若干年的全国每月零售总额、个人消费总额、政府的财政顺差与赤字 等数据分别建立相应模型，来对下一年的全国每月零售总额、个人消费总额、 政府的财政顺差与赤字等数据做出预测。 随机时间序列预测方法还可用于市场预报、价格预报、产量预报等等。近 年来在经济学中- - f 新兴的学科叫做计量经济学，其中最主要的方法就是时间 序列预测方法。可见，随机时间序列预测方法在经济问题的研究中发挥了越来 越重要的作用。 但是，经济活动，无论是宏观的还是微观的，都是处于社会经济这个大系 统之中。由于大系统的复杂性，使反映经济活动本质的各种经济现象都表现出 各自的一定特征。在进行经济活动的计量研究中，讨论这些经济现象的性质及 其数学处理方法，对于进一步搞好经济活动的定量分析，无疑是有所补益的。 从事物的确定与否来讲，所有的经济现象可分为二类：确定性现象和不确 定性现象。所谓不确定现象，就是指那些在经济活动中由于多种因素在质与量 两方面都不能确定下来的经济现象。不确定经济现象，在客观经济活动中比比 皆是。 例如，在进行经济前景分析时。我们常常谈到的“经济前景很好”就是一 个不确定现象；象这类因其概念自身模糊的不确定现象，称之为模糊性不确定 现象。“沉淀货币”也是一个不确定经济现象，它指那些因为各种原因退出流通 领域以各种形式“沉淀”下来的货币，由于条件不充分此时此地或彼时彼地 沉淀货币当有多少始终是不确定的。象这类概念本身明确，但因为条件不充分 而不能确定下来的现象，我们称之为随机性不确定现象。 还有一类不确定现象，它不仅具有随机性而且具有模糊性。例如我们请一 些专家对一年之中货币流通情况进行分析，通常情况下，货币流通情况可描述 为正常、很正常、十分正常、不正常、报不正常、太不正常等等情况。如果我 们把货币流通情况看成一个语言值变量。则上述情况为它的可能值。当我们请 其中的某位专家回答时随机性发生了，而且该专家给出的答案是用个语言值 描述的数据。显然，这一数据不仅具有随机性而且具有模糊性。 象上述种种不确定经济现象，给经济活动的计量研究带来一定的困难，也 是使一些随机时间序列分析的结果与客观实际偏差较大的重要因素。 对存在随机现象的经济系统，可用传统的随机时间预测方法，对既存在随 机现象同时又存在模糊现象的经济系统，传统的预测方法就显得无能为力了。 这就要求我们对这类模糊性和随机性同时存在的经济现象进行时序分析时应提 出相应的预测方法。 概率论的产生把数学应用范围从必然现象的领域扩大到偶然现象的领域， 模糊数学是1 9 6 5 年由美国科学家z a d e h 创建的，它的产生则提供了把数学的应 用范围从精确现象扩大到模糊现象的可能性。随着系统科学的发展。多变量、 非线性、时变的大系统中复杂性和精确性形成了尖锐的矛盾。想要确切的描述 2 复杂现象和系统的任何现实的状态，仅仅依靠经典数学几乎是办不到的。模糊 数学的提出，正是在准确与简明之间取得了平衡而使得对复杂系统的描述符合 客观实际。因此，模糊数学在经济管理、自动控制、系统分析、知识描述、图 象识别、医学诊断等不确定、非线性系统决策方面有明显的实际效果。 经济活动处于社会经济大系统之中，对于这类复杂系统， 0 ( 砷= o 月 0 m ) f l jf 卅 o 其中l 、尺都是参考函数，称为左技，r 为右枝。n , l 为主值，a 、口为左右展 型。 三嘏数简记a = ( 矾口，卢) ，r 上的上嘏数全体的全体记为月暇k 。 约定口= 0 ( 或口= o ) 时，l ( 或r ) 取点态函数，于是普通实数r f l 是展形 为0 的l - r 数。即m = a = ( m ，口，卢) l r 。 按n 2 2 1 介绍的模糊数运算定义，可以证明工埚数运算满足下面规则。 性质2 1 1 设a = 沏，8 ，h b = 0 ，y , 6 k ，c = 以r , 8 ) r z 1 ) a + b = 沏+ 行，口+ 一+ 占k 朋：f ，地棚肌 l ( z r n ，一龋一2 a ) z 2 0 ( 工为实数) a - o ( 口( 0 ，1 ) ) 定理2 3 1 1k ( o 为某平稳模糊随机时间序列的模糊协方差函数的充要条 件是它具有性质23 1 1 中的性质( 2 ) 和( 3 ) 。 由k 的性质可知，模糊自相关函数p ( 0 确- 下列性质。 性质2 3 1 2 ( 1 ) p ( 0 ) = t ( r r 尺) ) ( 2 ) p ( 哪_ p ，即p ( o 也是r 的偶函数。 在实际工作中，要根据定义来求得模糊平稳时间序列的理论模糊均值，模 糊自协方差和模糊自相关函数是不可能的我们只能由模糊样本序列的资料求 得它们的估计值，称为模糊样本均值，模糊样本自协方差函数和模糊样本自相 关函数。它们的计算公式如下： 模糊样本均值x = l n e t 出f = 1 ，2 ，肝 ( 2 5 ) 模糊样本自协方差函数 足( 订= f i n e f m x ) ( x f t = l ，2 ，作f ，t = 0 l ，2 ，m ( 2 - 6 ) 模糊样本自相关函数 p ( f ) = k 仰k ( o ) f = o , 1 ，2 , - - , m ( 2 7 ) 上式中的打为样本长度，r 为滞后。为了得到模糊自协方差函数和模糊自相 关函数的有效估计，丹不应小于5 0 ，上述公式中，当r 很大时，估计误差较大。 一般说来t 不能大于n 4 ，即r n 4 ，通常取肼= 脚m 】，【n l o 等。 在实际问题中，对于固定的f ，石均常取为三求数，事实上我们更常常取 石为对称模糊数，显然，g a 2 2 1 中嘏数的运算性质，可知如上计算得到的结果 均为工嘏数。 2 3 3 平稳模糊随机时间序列的判别方法 下面我们介绍判断模糊随机时间序列平稳性的方法：利用散点图进行平稳 性判断。 设 咒1 为所得的模糊样本序列，且对每个固定的x 为l r 数，即 x l 。讧t n t b b u t 首先，将各石的主值知绘成散点图( 图2 1 ) ，看各观测点的主值x t 是否在 某条水平直线上下波动，如果不在，则认为原序列为非平稳的；如果在，则应 进步将左右展形a t 、b 。分别绘成散点图，若左右展形a t 、b ，也分别在某条水 平直线上下波动，则可认为该样本序列来自平稳模糊随机时间序列f 咒 。所得 图形的形状如下图所示。 l k 八 、， o 定义2 3 1 2 设f 白 是一模糊随机时间序列，如果满足条件 ( 1 ) 耳曲= 6 ( 6 脚) ( 2 ) k ( f 曲= d o 啕慨只固岫) 其中以2 为曲的方差，烈，) 为k r o e c k e r 函数 厂1f = 0 占( ，) = l0 f 0 则称f 曲) 为模糊白噪声序列。 这个定义表明模糊白噪声序列是指模糊均值为零模糊数，模糊方差相同， 在不同时刻变量互不相关的序列。还有一种叫做严格模糊自噪声序列，它不仅 要求满足上述条件，而且还要求 o ) 相互独立且同分布 2 4 】。 根据平稳模糊随机时问序列的定义，模糊白噪声序列 日) 是平稳的，且它的 模糊自相关函数为 r t( r e h 尺 l r ) p ( 力= l 6 ( 6 即) 衄) 模糊自噪声序列在平稳模糊随机序列建模的理论中起着重要的作用。通常 我们把各种外部因素造成的模糊随机干扰等效为一模糊白噪声序列。 不失一般性，今后我们不妨假定平稳模糊随机时间序列 墨) 的模糊均值为 零模糊数，即日) 两，若甄劫6 ，可作模糊零均值化处理，把它转化为零模 所谓模糊零均值化，即若原序列 五 的模糊均值为m 咖e 月限) 朋) ，可作变 换l = x r - m ，则有觑y f ) = 埘) = 6 ，这时c 蜀) 的模糊均值就为零模糊数了。 2 4 平稳模糊随机时间序列模型 2 4 1 平稳模糊随机时间序列模型定义 这一节我们将介绍几种线性模型来描述平稳模糊随机时间序列，并给出模 型的识别方法、定阶方法、参数估计法和检验方法。在下面的讨论中。我们假 设模糊时间序列f 石1 是模糊零均值的。否则，可作模糊零均值化处理。 2 4 1 1f a r 模型 设 疋) 为平稳模糊随机序列，若 石 满足 出= 庐0 l + 泓2 + + 牵工西+ 白 ( 2 8 ) 其中妒l ，驴：，咖为实参数， 略为模糊白噪声序列，则称 蜀 为p 阶模糊自回 归序列，简记为脚) 序列，而( 2 - 8 ) 式称为p 阶模糊自回归序列，简记为 f a r ( p ) 模型，由于( 2 8 ) 式的形式是石关于它自己过去值的回归所以称为 模糊自回归。 f a r ( p ) 模型又可写为 x 一声l x , - 1 - 4 2 置2 一螂巾= o ( 2 9 ) 若引入延迟算子占： b x , = x t b3 x l ix i 且令吼但) = l 一曲1 b 一曲猡2 一讳矿 则( 2 9 ) 式可简记为 锦倒x ，= 日 ( 2 1 0 ) 吼( 印反映了疋的变动结构和时间滞后关系。略) = 0 称为模型的特征方 程。特征方程的p 个根丑，= 1 , 2 ，p 称为模型的特征根。如果模型的特征根 全在单位圆# t - 2 5 1 ，即 1 ，f = l ，2 ，一 ( 2 - 1 1 ) 则称此模型为平稳的f a r 序列。因此( 2 1 1 ) 式又称为平稳性条件。以上表明 若 置) 为平稳的f a r ( p ) 模型则参数西，j = 1 ，2 ，p 必须满足平稳性件。 2 4 1 2f m a 模型 如果模糊随机时间序列 x i ) 可表示为 x f = f - 0 l r l 一0 霉r 2 一8 ，q ( 2 - 1 2 ) 其中0 。，岛，岛为实参数， 白) 为模糊白噪声序列，则称 岛) 为q 阶模糊 t1 移动平均序列。简记为f m a ( q ) 序列，而( 2 1 2 ) 式称为q 阶模糊移动平均模型， 简记为f m a 4 g ) 模型。由于f m a ( q ) 模型是有限个目的线性组合，所以a ( 序列是平稳的。 f m a ( q ) 模型也可以写成算子形式 x = 臼。固e t ( 2 1 3 ) 其中 国q ( b ) = 1 一口1 b o w 一6 0 驴 如果特征方程b 例= 0 的根全在单位圆外 2 5 】，则称满足此模型的 x ) 为可逆 的f m a ( q ) 序列。佛) = 0 的根全在单位圆外又称为可逆性条件。 2 4 1 3f a r i i a 模型 若模糊随机时间序列f 疋) ，满足 x t 一审i x | 1 一圣2 x n 一一圣t _ p 2g t - - 0 l e t i 8 尊t 2 一8 q l _ q t 2 1 4 ) 或算子形式 晚徊，= 哦倒日 ( 2 一1 5 ) 其中咖，咖，讳和0 1 ，0 2 ，岛是实参数，抽) 是模糊白噪声序列，且啷 ) 及国) 无公因子。则称 丑 为慨神阶模糊自回归移动平均模型，简记为 f a r m a ( p ，模型。显然f a r 舻) 和f m a ( q ) 都是它的特例。 f a r m a ( p ，序列的平稳性和可逆性，与f a r ( p ) 和f m a ( q ) 序列的情况一样。 如果( b ) = 0 的根全在单位n g b 2 5 ，则称此模型为平稳的f a r m a ( p ，口) 模型， 满足它的序列称为平稳的f a r m a ( p , q ) 序列。如果吼) = 0 的根全在单位圆 外 2 5 】，则称此模型为可逆的f a r m a ( p ，曲模型，满足它的序列称为可逆f a r m a p ，们序列。如果上述两者都成立，则此模型为平稳可逆的f a r m a ( p , 们模型，满 足它的序列称为平稳可逆的f a r m a ( p ，q ) 序列。 2 4 1 4f a r i 卧模型 以上几种模型仅限于描述平稳模糊随机时间序列。而实际应用中遇见的模 糊随机时间序列往往是非平稳的，这时需要把它平稳化。在经济工作中，许多 非平稳模糊随机时间序列只要进行一次或多次差分，就可以把它转化为平稳模 糊随机时间序列。这种模糊随机时间序列称为齐次非平稳模糊随机时间序列。 差分的次数称为齐次的阶。 例如表2 一l 中的原模糊随机时间序列是非平稳的。一次差分后仍具有线性 趋势，二次差分后就把原序列变为平稳模糊随机时间序列，所以，可以把差分 转换方法用于建立非平稳模糊随机时间序列的模型。 定义差分算子为 x t = x t x t 一1 很明显，差分算子和延迟算子之间的关系为： 4 = n - b ) 二次 序一次差分差分 号原序列一次差分后的序列二次差分后的 序列 1 ( 1 8 ，i )( 2 0 ，i ) 一( 1 8 ，1 = ( 2 t 2 )( 2 2 )( 4 2 ) 一( 2 ，2 ) = ( 2 ，4 )( 2 a ) 2 ( 2 0 ，1 )( 2 4 ，i ) 一( 2 0 ，1 产( 4 ，2 )( 4 ，2 )( 6 2 ) 一( 4 ，2 产( 2 a )( 2 a ) 3 ( 2 4 ，1 )( 3 0 ，i ) 一( 2 4 ，1 p ( 6 2 ) ( 6 0 )( 8 ，2 ) 一( 6 ，2 产( 2 a )( 2 a ) 4 ( 3 0 ，1 )( 3 8 ，1 ) 一( 3 0 ，1 产( 8 2 ) ( 8 2 )( 1 0 , 2 ) 一( 即产( 2 ，4 )( 2 a ) 5 ( 3 8 ，1 )( 4 8 ，i ) 一( 3 8 ，1 产( 1 0 ，2 )( i o , 2 )( 1 2 , 2 ) 一( 1 0 2 ) = ( 2 ，4 ) 6 ( 4 8 ，1 )( 6 0 ，1 ) 一( 4 8 ，1 产( 1 2 ，2 )( 1 2 ，2 ) 7 ( 6 0 ，1 ) 2 = ( 1 一日) 2 ，3 = ( 1 一曰) 3 ，d d = ( 1 一b ) a 例如，2 x , = ( 1 一曰) 2 x = x t 一2x c l x 2 齐次非平稳模糊随机时间数列可以表示为 啦倒d = o q 鲫白 ( 2 1 6 ) 简记为f a r i m a ( p , 吐们模型。 f a r i m a 模型还可以用来描述季节性时间序列，这时要根据季节周期进行 差分，以消除季节性影响，设季节周期为置齐次阶为d ，则模型为 奶倒d4 ，= 绋倒日 ( 2 1 7 ) 其中，z = 石一； 如果是根据差分后的序列建立的f a r m a 模型，则最后再复原为原序列。 2 4 2 平稳模糊随机时间序列模型识别 本节将介绍如何利用模糊自相关函数和模糊偏相关函数的形态来识别模 型，同时介绍模型的定阶方法。 下面，我们将给出模糊偏相关函数的定义。我们知道，对任意一个模糊随 机变量j ，当e x = c ( c e f ( r ) z ) ，日- c ) 2 】的值达至最小值。现在，如果在置 “x - 2 ，x ，给定的条件下要使e 【刊) 2 】，e l ( x , ，一l b ) 2 】的值达到最小值。 按模糊方差值的最小性，a 、b ( a 、b e 月暇应分别取x 、五，一1 在五一i ，x 一2 ，葛 ，给定时的模糊条件数学期望 9 】。 令x = e 岱i x h ，x l2 ，t 南 疋= e x 一1 ，x 一2 ，x 1 ) 曩令y t = x t x j 。y ：= x ，t 一x ： 则偏相关函数的计算公式为 p ( f + 1 ) = 耳玎y f ) ( 耳y f 2 l 耳耳弋) ) m ( 2 1 8 ) 从上可以看出，模糊偏相关函数指的是在给定了一。，石一2 ，墨，的条件下， 五和x ，一1 之间的模糊条件相关函数。 夸 驴盼琶 则由【2 1 】、【2 5 可得 p ( f + 1 ) = ( p ( 什1 ) 一1 r ) ( 1 一矗7 讯) 1 ( 2 1 9 ) 下面我们从模糊随机序列预测的角度引出模糊偏相关函数主值的概念。 设f 蜀 是一平稳的模糊随机时间序列，若己知疋“丑一2 ，薯，的值，它们 的值常取为三琅数，要求预测疋的值，这时可用石“* 一z ，墨，的一个线性组 合来预测。设预测值为f ，则有 z = ，驴描， ( 2 2 0 ) 预测误差记为舒，舒则为l 嘏数，则 舒= 五出= 玉一，庐南 预测的优劣取决于误差的大小。由于舒是一模糊随机变量，因此需要给出 衡量预测误差大小的准则。我们采用预测误差平方和的模糊均值达到最小为准 则即选取系数咖r 1 曲z 2 ，卓k 使 q = 球产) = 研一j 庐垆坼0 】2 ( 2 2 1 ) 的值达到最小。 将0 展开，得 q = 毋隅一，咖豳曲2 】 = e x t 2 - 2 e j q b 商拼+ ( ，庐豳) 。】 = d ( t ) - 2 曲p 阳) + ”庐日咖r p o 嘲 其中q = ( 玑仅乒，从，n ( t ) = ( 4 ，肋m ，枷) 2 ( 岛，a 乃) l r 则( 2 - 2 1 ) 式等价于 腰三二乏麓：至徽 l 声= 声，一2 舻嘏+ “4 锄舻呻 按照( 2 一1 9 ) 式可知由( 2 2 2 ) 得到( 2 - 1 3 ) ( 2 2 2 ) 的解序列 驴。，f 1 ) 称为平稳模 、111lllj臣 品 糊随机时间序列 * j 的偏相关函数的主值。 偏相关函数主值 圣k 1 可由( 2 2 2 ) 式直接求得。但对于阶数较高的f a r m a 序列，则计算量较大，下面给出求 讲的递推公式 r 妒1 1 2e 1 呶+ l ，r + 1 5 ( e r + l e j e r + l _ ，咖扣( 1 一q 驴曲。 ( 2 2 3 ) l 焱+ 1 ，j = 口b 一驴r + + 1 九。+ l - jj = 1 , 2 ，f 其中e j 为模糊自相关函数的主值。此递推公式表明，模糊偏相关函数的主 值从初值庐l l = e l 出发随着f 的增加办“( ，= 1 , 2 ，寸的值可由庐。( ，= 1 , 2 ， 砷递推算出来。 设 x 为鼢r 序列，则 将z 代入( 2 2 1 ) 式，当r 功时，有 q = 耳一，咖豳_ = ，) 2 ) = e ( e jq b x , j + e , 一j 曲幽) 2 = e 似 ，( 办办了一( ，晓2 ) 由目溅。) = 6 户0 ，得 q = 以。+ 研( e ( 勃呻g t - y 一破扩】 显然要使q 的值最小，应分别使它的主值g 及左右展形、芦最小。所以 广西l q p 曲口= ( 2 2 4 ) l0 p + 1 句z 这说明f a r ( p ) 模型其模糊偏相关函数p ( ) 的主值 驴。) 是p 步截尾的，即 当r p 时驴。= 0 ，且此时由( 2 - 7 ) 、( 2 1 8 ) 式可得p ( t ) 的左右展形是随着f 的增大而逐步递减的，则称p ( f ) 是p 步伪截尾的。 我们还可由【2 1 】、【2 5 得，若平稳模糊随机时间序列 的模糊偏相关函数 p ( t ) 是p 步伪截尾的，则 x ) 一定是f a r ( p ) 序列。由此可得平稳模糊随机时间 序列 是f a r ( p ) 序列的充要条件是( x ) 的模糊偏相关函数p ( t ) 是p 步伪裁尾 的，这是f a r ( p ) 的本质特性。根据这一特性，可以识别f a r t p ) 模型。 同时由 2 1 1 “2 5 】还可得，对于f a r ( p ) 序列，其模糊自相关函数是按负指数 衰减，这种性质称为伪“拖尾性”。 从理论上来讲，f a r p ) 序列的偏相关函数p ，当r p 时，是伪截尾的， 但由于样本的模糊随机性，模糊样本偏相关函数户”( 曲当即时，不可以全等 于模糊零，而是在模糊零上下波动。因此，通常还要用区问检验法来加以判别。 由 2 1 】、【2 5 1 可知，当即时，曲毒渐进服从n ( 0 ，1 加) 的正态分布其中” 为模糊样本量。因此，由正态分布的性质可知，当打充分大时，有 p ( f 缸f 2 n m ) = 9 5 5 或p ( 1 曲。1 撕m ) = 4 5 利用正态分布这一特性，可以检验瓤是否是p 步截尾的。若r p 时，i 曲。 l 大于2 ，”的个数所占的百分比不超过45 ，则认为“是p 步截尾的。且此 时由( 2 - 7 ) 、( 2 1 8 ) 式可得，( 0 的左右展形是随着r 的增大而逐步递减的， 则，( 力是p 步伪截尾的，即 疋 是f a r t p ) 模型。 例1 某平稳模糊随机时间序列的样本长度 = 5 0 ，模糊样本偏相关函数 卢( r ) 的值依次为 ( 06 7 3 6 ，0 0 0 1 2 , 00 0 1 2 ) 崛( 0 5 4 3 2 ，00 0 l l ，0 0 0 1l h ，( - o 0 3 2 1 ，0 0 0 1 ，0 o o d 脯, ( 0 0 9 7 2 ，00 0 0 9 ，00 0 0 9 ) l r ，( o 0 8 9 3 ，0 0 0 0 8 ，00 0 0 8 ) u ，( o 0 4 5 1 , 0 0 0 0 7 ，0 0 0 0 7 ) 巩 ( o 0 9 6 5 ，00 0 0 6 ，0 0 0 0 6 - h ，( 0 0 2 8 2 ，0 0 0 0 5 ，0 o 0 0 5 ) 业，( - o 0 4 0 1 ，0 0 0 0 4 ，0 0 0 0 4 ) l r ， ( o 0 2 5 3 ，00 0 0 3 ，0 0 0 0 3 ) l r ，( 00 1 8 5 ，0 0 0 0 2 ，0 0 0 0 2 ) l r , ( - o 0 3 4 2 ，0 0 0 0 1 ，0 o 0 0 1 ) m 设p ”( 力的主值为“，由图2 2 可以看出从r 2 开始，即在零附近摆 动，而且，1 4 , d l 没有一个大于2 5 0 m ( o 2 8 2 8 ) ，又由已知可得p 的左右展形是 随着r 的增大而逐步递减的，所以可以认为，p ( 力是2 步伪截尾的，此序列为 平稳的f a r ( 2 ) 序列。 驴玎j ； |、 ，、 oy 7 7 1 图2 2 模糊样本偏相关函数主值图 2 4 2 2f m a 模型的识别 设 是f m a ( 序列，则 丘= 曲一目l 研一1 一岛白一2 一一6 审r 目 以x ，乘以j 二式两边，再取均值，得f m a ( q ) 序列的模糊自协方差函数 k 妯= e q 甚t 南 = e 【( 岛一日1 白一i 一6 筘卜2 一一6 事r 目) ( 白1 一目l 岛1 一i 一岛1 2 一一岛曲， o 】 因 白 为模糊自噪声，有 - , = 0 f o r 嚷2 ( 1 + 岛2 + 0 2 2 + ”，r 2 0 j r = , i f ，2 ( 一巩+ 0 t o t + 1 + + 岛0 k ) ，1 r g ( 2 2 5 ) l 6 ，t 砷 而自相关函数的为 “寸= 尉o t k ( o ) 设e 。为反f ) 的主值，则有 f l ，产o ， p f g 上式说明f m a ( q ) 序列的模糊自相关函效“刁的主值q 步截尾，即当f 砷 时，p ( o 的主值岛为零，且此时由( 2 7 ) 、( 2 1 8 ) 式得出的脚的左右展形是 随着r 的增大而逐步递减的，则称p 是g 步伪截尾的，而且由 2 3 1 、 2 5 还可 得，若平稳模糊随机时间序列 x j 的模糊自相关函数p ( o 是g 步伪截尾的。则( 石) 必是f m a ( q ) 序列。因此平稳模糊随机时间序列 石) 是f m a ( q ) 序列的充要条件 为 石) 的模糊自相关函数p 倒是q 步伪截尾的。上式亦说明对于v m a ( q ) 序列， 当f f 叶f 砷时石与墨不相关，换句话说疋仅有口步相关，这一性质是f m a ( q ) 序列的本质特性，根据这一特性，可以识别f m a ( q ) 模型。 从理论上来讲，f m a ( q ) 序列当f 砷时。p ( 0 f f l 值e r 为零模糊数，但由于样 本的模糊随机性，模糊样本自相关函数p 的值，当r g 时不会全为零模糊数， 而是在零模糊数的附近摆动。由【2 l 】、 2 5 】可得，当f 砷时，p ( 砷的主值自渐进 服从n ( o ，l 似1 + 2 。0 ，2 ) ) 的正态分布。由正态分布的性质可知，当拧充分大时， 有 p 旧 口 时，使 旧l 2 n 1 7 2 ，( 1 + 2 。a - 。- 2 ) 的模糊样本自相关函数p4 ( r ) 的个数所占的百分比不超过45 ，且此时由( 2 7 ) 、 ( 2 一1 8 ) 式得出的p ( t ) 的左右展形是随着f 的增大而逐步递减的，就可认为p 。( 订 为q 步伪截尾的，即 x ) 为f m a ( q ) 序列。 由【21 、 2 5 】还可得，对于f m a ( q ) 序列其模期偏相关函数在r 宁以后不 l ， 蠢 l o 广jl = 0 曲 耳 此因 是伪截尾的，而是以负指数衰减，即具有伪拖尾性。 例2 平稳模糊随机序列 五) 的样本长度为5 0 ，其自相关函数p ( r ) 的值依次为 ( 0 5 3 2 ，0 0 0 1 ，0 0 0 1 ) l 尺，( o 0 8 5 ，0 0 0 0 9 ，00 0 0 9 ) z 月，( 00 4 2 ，0 0 0 0 8 , 0 0 0 0 8 ) z 月 ( o0 3 9 ，0 0 0 0 7 ，0o 0 0 7 ) 衄，( 一o 0 8 2 ，0 0 0 0 6 ，00 0 0 6 k ，( - o1 4 0 ，0 0 0 0 5 ，0 0 0 0 5 ) 蚺 ( o0 6 0 ，00 0 0 4 ，00 0 0 4 ) l r ，( 0 1 2 0 ，00 0 0 3 ，0 0 0 0 3 ) l r ，( - 0 0 7 0 ，0 0 0 0 2 ，0 0 0 0 2 ) l r ( - 00 3 0 ，00 0 0l ，oo 0 0 0 衄 设p ( 订的主值为e 2 ，画出相关图，见图2 - 3 ，由相关图可以看出，当f 1 时2 非常接近零，而且自中没有一个太于2 5 0 m ，( 1 + 2 ( 0 5 3 2 ) 2 ) m ，且由已知 有p ( d 的左右展形是随着f 的增大而逐步递减的，故可认为p ( f ) 的为l 步伪截 尾的，即f 石 是可