（电力系统及其自动化专业论文）隐式taylor级数法暂态稳定计算.pdf

声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文隐式t a y l o r 级数法暂态稳定计算， 是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 乍了明确的 说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：王宕寰只期：p 。镀，生兰 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或 其它复制手段复制并保存学位论文：学校可允许学位论文被查阅或借阅：学校 可以学术交流为目的? 复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：王选导师签名 日 期：却咝壁二翌 越 日 期：型签堡乡 华北l 毡力人学硕十学位论文 第一章引言 1 1 本课题研究的目的和意义 随着我国社会主义建设事业的发展，大容量发电厂和超高压远距离输电线路的 建成和投入运行，以及电网规模的不断扩大，电力系统稳定问题更显得突出起来。 电力系统失去稳定以后，往往要造成大面积停电，给国民经济带来严重的损失。电 力系统能不能在各种情况下保持稳定运行，是影响电力系统安全可靠运行的重要因 素。 暂念稳定计算l l 】1 8 1 ，是电力系统最基本的计算之一。它的主要目的是确定电力 系统在受到一定扰动( 如输电系统故障、发电机切除、大负荷突变等) 后，全系统维 持同步运行的能力，求出系统状态变量( 如发电机功角、母线电压、线路潮流等) 对 扰动的响应，并在此基础上分析影响电力系统动态稳定的各种因素，研究提高电力 系统稳定性的措施。在电力系统计算方面，现代化的电网迫切需要现代化的分析手 段，对软件的功能、精度、规模和速度提出了更高的要求，期望充分利用计算机硬 件和软件技术的最新成就分析和处理电网的实际问题。 电力系统稳定计算主要涉及出发电机及其励磁系统和调速系统、动态负荷( 如 感应电动机和同步电动机) 、直流输电系统、电力电子控制元件( 如f a c t s 、s v c 、 可控串补) 等众多动态元件和输电网络、静态负荷等组成的非线性动态系统。描述 这一非线性动念系统的是一阶微分方程组( 1 1 ) 和非线性代数方程组( 1 2 ) 。 。d x ：f ( x ：j - ) d t 0 = g ( x ，y ) ( 1 1 ) ( 1 - 2 ) 电力系统稳定计算( 数值积分方：去) 就是求解上述微分一代数方程组的初值问 题。即以系统受扰动前的运行状态为栩始条件，对微分方程( 1 1 ) 和代数方程( 1 2 ) 采 用某种数值解法推算系统受扰动后的动态过程。适用于电力系统稳定计算的数值计 算方法和解代数方程的方法很多。微分方程数值积分方法一般可分为显式积分和隐 式积分两类。其中快速高阶t a 3r l o r 级数方法是一种较新的方法。 本人所在课题组进行了调度员培训仿真器( d t s ) 9 1 中实时仿真研究。丌发调 度员培训仿真器( d t s ) 的目的就是为调度员重现一个在调度中心所面对的仿真调 度环境，使调度员能在身临其境的感受下接受教员对其进行的同常调度操作和紧急 事故处理能力的培i ) l l 。要真正实现d t s 的培训目的，对d t s 最基本也是最严格的 华北电力人学颂i i j 学f # 论文 要求就是既要准确、真实，又要快速、实时。准确、真实要求系统的模型足够精确， 模拟的元件要充分和完善；快速、实时则要求算法有效。通常，在d t s 中，稳态仿 真和稳念仿真条件下继电保护的逻辑模拟能够满足实时性要求，但在动念仿真计算 部分，对于一个中等规模的省调d t s ，要达到实时性要求，就必须在一个时步内求 解由发电机、励磁机、原动机调速器、p s s 、动态负荷等组成的上千阶差分方程以 及几百阶的网络代数方程，同时还得计算各元件的各相序电量以模拟数千个继电保 护装置，这是十分困难的。由于调度员培训i 仿真的根本目的是要能真实地再现实际 电力系统的运行状态，因此不能依赖于降低模型精度、忽略控制元件或过分增大仿 真时步来提高动态仿真的速度，必须在保证准确、真实的前提下，尽可能从算法改 进来达到动态仿真的实时性要求。所以选择一个好的算法非常重要。 1 2 暂态稳定计算算法的简介 1 2 1 暂态稳定计算概述 在正常的稳定运行情况下，电力系统中各发电机组输出的电磁转矩和原动机输 入的机械转矩平衡，因此所有发电机转子速度保持恒定。但是电力系统经常遭受到 一些大干扰的冲击，例如发生各种短路故障，大的负荷、重要输电设备的投入或切 除等等。在遭受大的干扰后，系统中除了经历电磁暂态过程以外，也将经历机电暂 态过程。事实上，由于系统的结构或参数发生了较大的变化，使得系统的潮流及各 发电机的输出功率也随之发生变化，从而破坏了原动机和发电机之问的功率平衡， 在发电机转轴上产生不平衡转矩，导致转子加速或减速。一般情况下，干扰后各发 电机组的功率不平衡状况并不相同，加之各发电机转子的转动惯量也有所不同，使 得各机组转速变化的情况各不相同。这对角度的变化又反过来影响各发电机的输出 功率，从而使各个发电机的功率、转速和转子之间的相对角度继续发生变化。 与此同时，由于发电机端电压和定子电流的变化，将引起励磁调节系统的调节 过程：由于机组转速的变化，将引起调速系统的调节过程；由于电力网络中母线电 压的变化，将引起负荷功率的变化，网络潮流的变化也将引起一些其他控制装置( 如 s v c 、t c s c 、直流系统中的换流器) 的调节过程，等等。所有这些变化都将直接或 间接地影响发电机转轴上的功率平衡状况。以上各种变化过程互相影响，形成了一 个以各发电机转子机械运动和电磁功率变化为主体的机电暂态过程。 电力系统遭受大干扰后所发生的机电暂态过程可能有两种不同的结局。一种是 各发电机转子之间的相对角度随时间的变化呈摇摆( 或振荡) 状态，且振荡幅值逐 渐衰减，各发电机之间的相对运动将逐渐消失，从而系统过渡到一个新的稳态运行 情况，各发电机仍然保持同步运行。这时，我们就称电力系统是暂念稳定的。另一 华北电力人学硕| = 学何论文 种结局是在暂态过程中某些发电机转子之问始终存在着相对运动，使得转子问的相 对角度随时间不断增大，最终导致这些发电机失去同步。这时称电力系统是暂叁不 稳定的。当一台发电机相对于系统中的其他机失去同步时，其转子将以高于或低于 同步速运行，旋转的定子磁场( 相应于系统频率) 与转子磁场之阳j 的滑动将导致发 电机输出功率、电流和电压发生大幅度摇摆，使得一些发电机和负荷被迫切除，严 重情况下甚至导致系统的解列或瓦解。 电力系统正常运行的必要条件是昕有发电机保持同步。因此，电力系统在大干 扰下的稳定性分析，就是分析遭到大干扰后系统中各发电机维持同步运行的能力， 常称为电力系统的暂态稳定分析。 上述对电力系统的暂态稳定分析通常仅涉及系统在短期内( 约1 0 秒之内) 的 动态行为，然而有时我们还必须分析系统的中期( 1 0 秒直至几分钟) 和长期( 几分 钟直至几十分钟) 动态行为，这就涉及到电力系统的中期和长期稳定性分析。 中期和长期稳定性主要关注在遭受到严重破坏时电力系统的动态响应。当电力 系统遭受到严重破坏时，将导致系统的电压、频率和潮流发生重大偏移，因此必然 涉及到一些在短期暂态稳定分析时未曾考虑的慢过程、控制及保护的行为。对电压 和频率发生大的偏移作用的装置，其响应过程从几秒( 如发电机控制与保护装置的 响应) 到几分钟( 如原动机能量供应系统和负荷电压调节器等装置的响应) 。 进行长期稳定性分析的重点是与大范围系统破坏同时发生的较慢的、持续时间 长的现象，以及由此引起的发电机与负荷的有功功率和无功功率显著的持续性失 配。这些现象包括：锅炉的动态，水轮机的进水口和水管动态，自动发电控制( a g c ) ， 电厂和输电系统的控制与保护，变压器饱和，负荷和网络的非正常频率效应等。长 期稳定通常关心系统对特大干扰的响应，这些干扰不属于正常系统设计准则的预想 事故。在这种情况下，可能引发连锁事故及系统被分离成几个孤立的子系统。这时 稳定分析要回答的问题是如何在负荷损失的情况下各孤岛能达到可以接受的平衡 状态。 中期响应是指短期响应向长期响应的过渡。中期稳定研究的重点是各机之间的 同步功率振荡，包括些慢现象以及可能的大的电压和频率偏移。 电力系统遭受大干扰是人们所不希望的，但事实上又是无法避免的。系统在遭 受大干扰后失去稳定的后果往往非常严重，甚至是灾难性的。事实上电力系统遭受 到的各种大干扰，诸如短路故障，大容量发电机、大的负荷、重要输电设备的投入 或切除等都是以一定的概率随机地发生，因此系统的设计、运行方式的制定总是需 要保证系统在合理选择的预想事故下能够保持稳定，而此系统的设计、运行方式的 制定总是需要保证系统在合理选择的霞想事故下能够保持稳定，而不能要求电力系 统能承受所有干扰的冲击。由_ f 各国贮电力系统稳定性的要求不同，因此列预想事 j 华北叱力人学硕十学位论文 故的选择也就有不同的标准。我囡对系统稳定的要求反映在电力系统安全稳定导 则oo 】中。 判断电力系统在预想事故下能否稳定运行，需要进行暂念稳定分析。当系统不 稳定时，还需要研究提高系统稳定的有效措施；当系统发生重大稳定破坏事故时， 需要进行事故分析，找出系统的薄弱环节，弗提出相应的对策。 下面首先讨论电力系统暂念稳定分析的全系统数学模型的构成。 在电力系统稳定分析中，各元件所采用的数学模型，不但与稳定分析结果的正 确性直接相关而且对稳定分析的复杂性有很大的影响。因此，选用适当的数学模 型描述各元件的特性，使得稳定分析的结果满足合理的精度要求并且计算简单，是 电力系统稳定分析中一个至关重要的问题。对于包含众多发电机、输电线路、负荷 及各种控制装置的实际电力系统，考虑到任何冲击后果的复杂性，使得各元件的建 模遇到很大的困难。所幸的是，各种现象时问常数的明显差别允许我们把注意力集 中在影响暂态过程的关键元件和所研究区域。 在进行电力系统稳定分析时，由于在遭受干扰后电力网络的电磁暂念过程衰减 很快，因此忽略其暂态过程是合理的。采用这种简化后，电力网络的模型中就仅包 括代数方程。另外，在发电机定子电压方程中，p y ，和户缈，反映了定子绕组本身的 暂态过程，忽略这两项，意味着忽略了定子中的直流分量，因此定子中仅包含基频 电气分量，定子电压方程也就变成代数方程。很明显同时忽略发电机定子和电力 网络的暂态过程，能够使得定子电压方程和网络方程保持一致，即均为代数方程， 且仅包含基频电气分量，因而可以用稳念关系式描述，这样做显然还使全系统微分 方程的数目大大减少，从而可提高系统稳定分析的效率。由于系统中所有的电气量 在交流系统中是基波交流分量的有效值故可用相量描述；在直流系统中是直流分 量的平均值。描述各元件电压、电流关系的方程都为代数方程( 和潮流计算中的稳 态方程相同) ；由于系统中动态元件的存在，一些电气量表现出一定的动念特性。 因此，在遭受干扰后，电力系统经历的整个暂态过程可以看成各时刻的稳态量( 正 弦交流量) 按一定动态特性的过渡，这时系统中的电压、电流、功率能够发生突交。 这就是电力系统稳定分析常用的准稳态模型( q u a s i s t e a d ys t a t em o d e l ) 。 图1 1 给出了用于电力系统稳定分析的全系统数学模型的构架。由图1 1 可以 看出，全部电力系统的表达式包括描述同步发电机、与同步发电机相关的励磁系统 和原动机及其调速系统、负荷、其他动态装置等动态元件的数学模型及电力网络的 数学模型。很明显，系统中的所有动态元件是相互独立的，是电力网络将它们联系 在一走己。 华北电力人学硕 学何论文 定 坐 电 速系统疗“lw 标力子 电变网 鬻忡! h 籽扩叫 压 换 络 h力b b !羁!样 微分方程代数方删 其他发电机 负荷 血流系统 其他动态装置 图1 1电力系统稳定分析中全系统数学模型的构架 整个系统的模型在数学上可以统一描述成一般形式的微分代数方程组式( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，式中：工表示微分方程组中摧述系统动态特性的状态变量：y 表示代数方程 组中系统的运行参量。 微分方程组( 1 1 ) 主要包括： ( 1 ) 描述各同步发电机暂态和次暂念电势变化规律的微分方程。 ( 2 ) 描述各同步发电机转子运动的摇摆方程。 ( 3 ) 描述同步发电机组中励磁调节系统动态特性的微分方程。 ( 4 ) 描述同步发电机组中原动机及其调速系统动态特性的微分方程。 ( 5 ) 描述各感应电动机和同步宅动机负荷动态特性的微分方程。 ( 6 ) 描述直流系统整流器和逆变器控制行为的微分方程。 ( 7 ) 描述其他动态装置( 如s v c 、t c s c 等f a c t s 元件) 动态特性的微分方程。 而代数方程组( 1 - ! ) 主要包括： ( 1 ) 电力网络方程，即描述在公共参数坐标系x 寸下节点电压与节点注入电流 之间的关系。 ( 2 ) 各同步发电机定子电压方程方程( 建立在各自的d - q 坐标系下) 及d - q 坐 标系与x y 坐标系间联系的坐标变换方程。 ( 3 ) 各直流线路的电压方程。 ( 4 ) 负荷的电压静态特性方程等： 根据对计算结果精度要求的不同，可依据所研究问题的性质，本着抓住重点、 忽略次要因素的原则使用相应复杂程度的元件数学模型。 目前，电力系统暂念稳定分析方法基本分为两种。第一种方法是数值积分方法， 又称间接法，其基本思想是用数值积分方法求出描述受扰运动微分方程组的时间 解，然后用各发电机转子之问相对角度的变化判断系统的稳定性。数值积分法由于 可以适应各种不同详细程度的元件数学模型，且分析结果准确、可靠，所以得到了 华北电力人学硕十学位论文 广泛的实际应用，并一直作为一种标准方法来考察其他分析方法的正确性和精度。 目前，利用数值积分法进行电力系统暂态稳定分析已经相当成熟，并已有许多商业 性程序相继问世。如我国电力科学研究院编制的交直流电力系统综合计算程序， 由b p a 根据美国w s c c 标准开发的暂态稳定分析程序，p t i 开发的p c c e ，美国 e p r i 的e t m s p ，t r a c t e b e l e d f 开发的e u r o s t a g ，巴西c e p e l 的a n a t e m 及联邦德国的v i s t a 程序和比利时的s t a g 程序等。这些程序除可用于分析故障 后转子的摇摆过程外，还可用于各种动态行为分析，它们已成为规划和运行人员进 行离线暂态稳定分析、安全备用配置、输电功率极限估计的有用工具。 另一种方法是直接法，它不需要求解微分方程组而是通过构造一个类似于“能 量”的标量函数，即李雅普诺夫函数，并通过检查陔函数的时变性来确定非线性系 统的稳定性质，因此它是一种定性的方法。由于构造李雅普诺夫函数比较困难，因 此目前电力系统暂态稳定分析的直接法仅限于比较简单的数学模型，或用暂态能量 函数近似李雅普诺夫函数，因此其分析结果不能令人完全满意。 本文所介绍的方法属于电力系统暂态稳定分析方法中的数值积分方法。 12 2 暂态稳定分析数值求解方法简介1 ”1 电力系统的暂态稳定分析可归结为微分代数方程组的初值问题。本节首先介绍 常用微分方程的数值解法，然后讨论微分代数方程组的数值解法，最后给出暂态稳 定分析的基本流程。 1 _ 2 2 1 微分方程的数值解法 考虑一阶微分方程 拿= 朋，x ) x ( t 。) = ( 1 - 3 ) u f 一般地讲，上式中厂是x 、f 的非线性函数。在很多工程实际问题中，函数厂中不显 含时间变量，在电力系统稳定计算中，所有微分方程都不显含时间变量r 。 下面简要介绍几种常用的数值解法： 1 欧拉法 欧拉法又称为欧拉切线法或欧拉折线法。它的基本思想是将积分曲线用折线来 代替，而每段直线的斜率都由该段的幸玎值代入式( 1 3 ) 求得。一般，对于第n + l 点函 数值的递推公式为 h + 。：_ + 孪i ， 彬白步长 d ， ( 1 4 ) 欧拉法的局部截断误差与，7 ：成正比例，通常说它的局部截断误差是o ( h 2 ) 阶的。 6 华北电力人学硕十。学位论文 另外还可证明，欧拉法的全局截断误差是和步长h 成比例的，或者晚它是o ( ) 阶的。 由上可知，为减小欧拉法的计算误差，应该选择较小的步长h 。但绝不能由此 得到步长愈小则计算误差愈小的结论，因为计算机本身还有由于有效位数的限制而 引起的舍入误差。当取较小步长h 时，将使运算量成反比地增加，从而使舍入误差 的影响加大。因此，当计算精度要求较高时，必须选择更完善的计算方法。 2 改进欧拉法 j ” 在应用欧拉法时，出于各时段始点计算出的导数值半1 。= f ( x 。f 。) 被用于 t n , l 川 q f 的整个时段，即代替积分曲线的各拆线段的斜率仅由相应时段的始点决定，因而造 成较大的误差。如果各折线段斜率取该时段始点导数值与终点导数值的平均值，我 们就可以期望得到比较精确的计算结果。改进欧拉法就是根据这个原则提出来的计 算方法。 改进欧拉法由( ，。x 。) 点推算( “_ 卜h 1 ) 点时，递推公式的一般形式为： i d x l 。= ，( 叫。) 一譬铁+ 瓤一 詈阱弛出。一 尘j 。一d x i t 0 ， k ，x n d + l = x n - - 牮n 一。 ( 1 _ 5 ) 幽1 2改进欧拉法与欧拉法的比较 由递推公式( 1 5 ) 可以看出改进欧拉法计算一个时段所需要的运算量比欧拉法 大一倍，但是如果步长一样，改进欧拉法的计算精度却比欧拉法高。如上所述改 7 华北也力人学硕十学1 _ 奇：论文 进欧拉法的截断误差是o ( h 2 ) 阶的，而欧拉法是o ( ) 阶的。如图1 2 所示，当容许误 差为e 1 时，改进欧拉法容许步长h 3 和欧拉法步长h 相差不大，在这种情况下，用 改进欧拉法的运算量比欧拉法要大。当容许误差为e ：时，改进欧拉法的容许步长h t 比欧拉法步长相对大很多，显然当h i 2 h 2 时，改进欧拉法的总运算量比欧拉法要小。 3 龙格，库塔法 改进欧拉法用m ，川 区问两点的导数( 或斜率) 推算x 。+ l ，拟合了积分函数泰 勒级数的前三项，这就启发人们去考虑：是否可用 “，一 区间上更多点的导数去推 算工。小以便拟合泰勒级数更多的项数? 结论是肯定的。龙格一库塔法就是基于这种 原理建立起来的微分方程数值解法。最常用的是四阶龙格库塔法，这种方法用，1 区间上四个点的导数去推算x 。一】，从而拟合了泰勒级数的前五项： 靠+ ，= 矗+ 工： + x ：酉h 2 + 球等+ 等+ 嘞5 ) 因此，它的局部截断误差是o ( 5 ) 阶的，全局截断误差是o ( 4 ) 阶的。 对于一阶微分方程( 1 3 ) ，当利用四阶龙格库塔法求解时，可以利用递推公式 x 。= x ，+ l ( k + 2 k 2 + 2 也+ 女。) k 。= h f ( x 。f 。) 也= 可( 矗+ 知+ 兰) 驴懒+ 知+ 互h ) 七4 = 可( x 。+ 屯，。+ = h ) ( 1 6 ) 求出x l ，x 2 ，工3 ，。 龙格库塔法的精度较高，但运算量较大，为欧拉法的4 倍。目i h ，当精度要求 较高时，已逐步趋向于采用运算量较小的多步法来代替龙格库塔法。龙格一库塔法 往往只作为多步法起步时的一种辅助计算方法。 4 隐式积分法 微分方程数值解法可分为显式解法与隐式解法两大类。上述介绍的都属于显式 解法。分析它们的计算公式( 1 4 ) 、( 1 5 ) 、( 1 6 ) g p 可看出，这些公式等号的右端都是 已知量，因此利用这些递推公式可以直接计算出相应时段终点的函数值h + l 。与此 不同，微分方程的隐式解法不是给出递推公式而是首先把微分方程差分化为差分 方程，然后利用求解差分方程的方法确定函数值x 。1 ： s 华北电力人学硕十学位论文 7 隐式梯形积分法的差分方程为 ) o l = ，+ 兰( ( ，t 。) + ，“。1 ，i ) ) ( 1 7 ) z 隐式梯形法的局部截断误差是o ( h 3 ) 阶的。一般地说，在采用显式积分法时，步长的 选择要受到微分方程中最小时间常数的限制，否则就会导致错误的计算结果。隐式 积分法的步长则没有这个限制，容许选择较大的步长。 5 几种新方法 除了上述几种常用的微分方程数值解法外，还有几种新方法。 钟万勰先生在9 0 年代初提出的精细时程积分法【i “由于其数值结果的高度精 确已经在结构动力分析、优化控制、偏微分方程的精细求解、非稳态随机动力学等 领域得到了广泛应用。精细时程积分法是一种绝对稳定的显式积分法，可以用它求 解刚性方程。这种方法的特点是：对于保守系统，积分结果将保持系统的守恒量不 变：对于定常系统，可使积分的结果高度准确，乃至得到的就是精确解的数值结果。 正如钟万勰先生所说的“算得的解是如此精确，几乎是计算机上精确解”，且该算法 属于电力系统暂态分析方法中的数值积分法，故称其为精细时程积分法。但遗憾的 是，这种算法也有它的缺点。首先算法中需要求解矩阵的逆阵，而逆阵的求解会带 来不小的误差，即使采用比较精确的解法，这一误差也是无法避免的。其次在进行 仿真计算前必须确定各元件的模型，还要保证矩阵是满秩的，这就降低了模型选取 的灵活性。 为了提高计算速度，很多学者也提出了一些快速算法。文献| l 刘提出了一种新的 快速算法，这种算法针对发电机常用模型，引入新的状态变量，改变了网络代数方 程的形式，在计算过程中既不需要迭代，也不需要进行三角分解，从而使仿真计算 速度得到很大提高，且计算量随电力系统阶数的增大而增加很慢。文献i l6 j 提出了一 种运用非迭代算法的快速仿真技术，这一算法也引入了新的状态变量。非迭代的算 法可以节约迭代求解的计算量，从而大大提高了计算速度。 t a y l o r 级数方法是由西安交通大学夏道止教授提出运用到暂态稳定计算中来的 17 1 ，哈尔滨工业大学郭志忠教授等人对其进行了较深入的研究【2 6 ) ，提出了快速 高阶的t a y l o r 级数暂态稳定算法。该方法从发电机节点的解析入手，在基于发电机 各种状态量的导数递推关系和高效因子表技术的基础上，计及发电机凸极效应，利 用高阶t a y l o r 级数展开式求解系统微分方程。在满足相同精度的前提下，其速度较 常规的r u n g e - - k u t t a 法快6 倍左右。在此基础上，郭志忠教授等人还对快速高阶的 t a y l o r 级数暂态稳定算法中对步长和阶数的动态控制进行了研究。从而提高了计算 速度。实际上r u n g e - - k u t t a 法就是根据t a y l o r 级数展丌得来的。由于在计及t a ) l o r 日 华北电力人学硕- 学忙论文 级数的高阶项时，以前的方法要将微分方程差分化，在积分步长内取多点信息，阶 数越高取的信息越多，从而使计算量过多。快速高阶的t a y l o r 级数法解决了这个问 题，他并不是将微分方程差分化，而是由微分方程和网络方程得到各种状念量的导 数递推关系，在求解网络方程时利用因子表技术提高计算速度，从而达到了高精度 的计算目的。但是，目前的快速高阶的t a y l o r 级数暂态稳定算法也有自身的弱点。 由于它是一种显式单步法，步长的大小和所选阶数的高低，不仅影响计算量，还与 计算的稳定性密切相关。t a y l o r 级数法的阶数越高，允许的步长也就越大，但计算 量也相应增加。这一问题也限制了快速高阶的t a y l o r 级数暂态稳定算法的应用。 1 2 2 2 微分一代数方程组的数值解法 在进行电力系统暂态稳定分析时，需要寻求的是微分代数方程组的联立解，这 里的关键问题是微分方程组( 卜1 ) 和代数方程组( 1 2 ) 的交接处理。为此，我们可以采 用交替求解法或联立求解法。 1 交替求解法 在这种方法中，数值积分方法用于微分方程组，可独立地求出x ，单独求解代 数方程组得到y 。显然，积分方法和代数方程的求解方法可以相互独立。交替求解 法会造成交接误差，减小交接误差的唯一方法是增加迭代次数，但相应地增加了计 算量。 2 联立求解法 联立求解法一般针对微分方程用隐式积分法求解的情况。其基本过程为，先用隐式 积分公式将微分方程组代数化，它和代数方程组一起形成联立非线性方程组，然后求解 此非线性方程组，即可得到所要的解。 1 2 2 3 微分方程求解方法的选取 如前所述，常微分方程初值问题的数值解法可分为显式法或隐式法及单步法或多步 法。显式方法的计算量小，但数值稳定性差：隐式方法计算较显式方法复杂，然而可获 得更高的数值稳定性。单步法仅用前一步的信息，是自启动的，便于处理不连续的情况； 多步法原理上效率更高，然而发生不连续时需要重启动。至于采用何种数值积分公式求 解微分方程，至少应从以下三方面考虑： 1 方法的精度。 2 方法的数值稳定性。 3 对刚性方程的适应性。 常微分方程初值问题的解法很多，但适合于电力系统应用的却很少，这主要从 上述三方面考虑。目i i 认为较满意的方法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格一库塔法等 显式方法及隐式梯形法。这些方法大多出现在当前流行的生产级商业软件包中。 1 0 华北电力人学硕十学何论文 1 2 2 4 暂态稳定分析的基本流程 分析电力系统暂态稳定的主要途径是通过对遭受大干扰后系统动念响应的计 算得出系统是否稳定的结论。通常将系统遭受大干扰的时刻定为仞始时刻( 即t = 0 ) ， 在对微分一代数方程组用某种数值方法的求解过程中，可根据系统的运行状念利用适 当的判据判断系统的稳定性。暂态稳定分析的基本流程如图1 3 所示。 1 3 本文的工作 图1 - 3誓念稳定分析的基本流程 要解决快速高阶的t a y l o r 级数暂态稳定算法上述问题，第一应从算法入手。因 为显式的t a y l o r 级数法的稳定性较弱在步长和阶数不满足稳定域的条件时，会发 华北电力人学硕十学位论文 生数值溢出的现象。如果我们将其改为隐式算法，就可提高它的数值稳定性，从而 可加大积分步长。第二，我们还可采用动念的变步长或变阶数的技术，在系统稳定 时加大积分步长或降低阶数以减少计算量。 结合已有的快速高阶t a y l o r 级数暂念稳定算法的研究，本文使用c + + 语言丌发 一套该算法的应用程序，用以对电力系统暂态稳定算例进行计算，并与电科院的 p s a s p 程序进行比较，直观地了解目前t a y l o r 级数法的优点和不足。而后对该方法 进行改进，使其成为隐式积分的方法。通过对算法的稳定域分析，得出一种可调谐 的隐式t a y l o r 级数暂态稳定算法，并对该方法的稳定域进行了分析。最后，本文还 对与该课题相关的一些有待完成的问题做了展望。 完成的工作有： ( 1 ) 使用c + + 语言开发了一套快速高阶t a y l o r 级数暂态稳定算法的应用程序。 所用算例与电科院的p s a s p 程序进行比较，原始的数掘可与p s a s p 程序共用， 所编的程序能读入p s a s p 程序导出的数掘文件：为适应暂态问题的复杂性与多 元化程序中建立了不同阶数的发电机模型。并考虑交直流系统，编制了直流 线路的t a y l o r 级数暂态稳定算法程序。由于d t s 系统要考虑励磁机、原动机调 速器等的动态过程，程序中还编制了这些动态元件的模型。 ( 2 ) 对显式的快速高阶t a y l o r 级数暂态稳定算法进行改进，得到隐式t a y l o r 级 数法。 ( 3 ) 对隐式t a y l o r 级数法的稳定域进行分析。 ( 4 ) 提出了一种可调谐的隐式 f a y 。l o r 级数暂态稳定算法。 ( 5 ) 通过对隐式t a y l o r 级数暂态稳定算法的参数进行调谐，分析相应的稳定域 变化规律。 ( 6 ) 提出了全可调谐的隐式t a y l o r 级数暂态稳定算法。 ( 7 ) 编制相应的程序，通过仿真计算分析比较了本文提出的方法的优越性。 华北i 乜力人学颂十学位论文 2 1 概述 第二章t a y l o r 级数法暂态稳定计算 以上简要介绍了暂态稳定计算的相关内容。如上所述，对于暂念稳定算法的研 究，许多研究者做了很多的研究工作；除了前一节中提到的目前公认较满意的四种 方法外，许多学者还提出了很多其它的优秀的方法。在这些方法中，快速高阶t a ) l o r 级数法具有准确、快速和递推的优点，编程简单，是一种较优秀的暂忿稳定计算方 法，在暂态稳定计算与分析中已引起关注。本节将简单地对快速高阶t a y l o r 级数法 暂态稳定计算进行介绍。 t a y l o r 级数展开技术在电力系统中已有很多应用。文献i “2 52 6 】把t a y l o r 级数展 开技术应用于l y a p u n o v 直接法暂态稳定分析和同调机群的识别中。我国西安交通 大学夏道止教授等7 j 首先把高阶t a y l o r 级数法应用于暂念稳定计算中。哈尔滨工业 大学郭志忠教授等人1 2 3 j 对t a y l o r 级数暂态稳定算法进行了较深入的研究，提出 了快速高阶的t a y l o r 级数暂念稳定算法。该方法从发电机节点的解析人手，在基于 发电机各种状态量的导数递推关系和高效园子表技术的基础上，计及发电机凸极效 应，利用高阶t a y l o r 级数展开式求解系统微分方程。在满足相同精度的i j 仃提下，其 速度较常规的r u n g e - - k u t t a 法快6 倍左右； 2 2 暂态稳定计算用数学模型 为了使本文的方法在数学表达上具有代表性，对不同的发电机模型具有兼容 性，本文参照文献二1 采用了忽略发电机次暂态过程的实心转子电机模型，并采用 i e e ei 型励磁系统。这样，第i 台发电机的转子运动方程、转子回路电压方程、动 磁系统微分方程和定子回路电压方程分别为： m ，0 - , 9 ，= p 。，一只，一d ，( ，一o ) 占，= 国，一o t ：t e j j = e _ l _ x m 一? 、i m e i ； t ；me j t = ，一x ! 。、i ，一e ：h t n rh = en k “一r f i ( 2 1 a ) ( 2 - 1 b ) f 2 - 2 a ) ( 2 - 2 b ) f 2 - 3 a ) 华北电力人学硕十学伉论文 其中 t ，e = 一( 足。+ s 。，) e + 吒 喊= 肛等易+ 鲁 e ：。= v + r o , l + x 2 x m e j 。m m y 女+ r ，j i 女一x ：i 1 ” s 。，= a ，e x p ( b ，e ) k ，= s q r t o ，j + 眨) ( 2 3 b ) ( 2 3 c ) ( 2 4 a ) ( 2 - 4 b ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) 上述各式符号遵循惯例，解释从略。 负荷采用恒定阻抗代替，消去负荷节点、联络节点和故障节点，形成只含发电 机节点的网络方程： 陵 k 2 e 2 ： r ，：雏 i “ ： ( 2 - 7 ) 其中：k = ( ，一，) 7 ，j = ( l 圯) 为系统x l 坐标下的定子端电压和定子n o r t o n 电流。”是发电机节点数。 f g 。一b ，、 弘l zg , j 9 j 产1 2 川件j 驴- g b ： “乩z ，川 g ：= g 。4 - g ， 或= - b j ? 4 - b 。 g ? = g 。4 - g 。 b j = b 。4 - b 。? 1 4 ( 2 8 a ) 【2 8 b ) 【2 9 a ) ( 2 - 9 b ) ( 2 - 9 c ) ( 2 - 9 d ) 华北电力人学硕十学侮论文 吒= 型等警 耻气筹 q = 型等等等 瓦一等等 2 3 t a y l o r 级数法暂态稳定计算方法简介 2 3 1 主要思想 求解暂态稳定问题的p 阶t a y l o r 级数展丌式为 驰圳= ( f ) 等j = u，： ，( f + ) ：p - i 甜。( j ) ( f ) h l h - 7 4 , ，( f + ) = 甜。 ( f ) j = o j ： 其中i = 1 ，2 ，3 ，h 为步长。 点o ( r ) = 占，( ，) 巧u ( ，) = ，( ，) 一o ( 2 - 1 0 a ) ( 2 1 0 b ) ( 2 - 1 0 c ) ( 2 1 0 d ) ( 2 1 1 a ) ( 2 - 1 1 b ) ( 2 1 2 a ) ( 2 1 2 b ) 科1 f ) = 耐川1 = 古( p 埘) 一只，( ，) 一p ( q ( ，) 一) ) 一1 ( p - ，2 ) 【2 1 2 c ) 而艺”( ) = ( 屹，l + 一。，) 旧2 黑c ：( i ：。碟，+ 叫j ”1 l “( 2 - 1 3 ) 这里c ：= 南 ( - 由上述各式可以看出，当阶数p ? 时，相应的t a y l o r 级数展开式的导数依赖 于电磁功率p 。，及其导数。而p ，的导数又由发电机定子电流和定子端电压及其导数 决定。因此，能否简捷地求出发电机定子电流和定子端电压的各阶导数是t a y l o r 级 华北电力人学硕十学位论文 数法能否有效地应用于电力系统暂念稳定计算的关键所在。定子电流和定子端电压 不仅依赖于每个发电机所处的状态，而且还依赖于整个系统网络，是整个系统综合 决定的。这就需要分折研究发电机节点于系统网络的关系，对发电机节点进行较深 入的解析。对此郭志忠教授提出的t a y l o r 级数暂态稳定算法注意充分利用暂态稳定 计算的网络特点，较深入地分析了发电机与系统网络在各阶导数层次上的联系规 律，得到了具有准确性、递推性和快速性的发电机定子电流和定子端电压各阶导数 的求解方法，进而可简捷地求取发电机转角的各阶导数。 2 3 2 坐标变换矩阵t 各阶导数的递推计算 发电机是通过网络互相联系的，这种联系必须通过网络解算爿。能定量地获得。 坐标变换矩阵t 是发电机与系统网络的联系纽带。坐标变换矩阵t 的形式是 f c o s 巧s i n 占， r 一= l 。i n 点一c 。：声j ( 2 - 15 ) 在考虑发电机与系统在各阶导数层次上的联系时，就需要研究坐标变换矩阵的导数 规律。坐标变换矩阵的各阶导数之间具有简捷的递推关系。即 p 1 驴 ? - - 了弦m - o , m t c , ( 矿乩：m 陋 设发电机定子状态量为d - q 轴坐标系下的口。曲 7 和系统x 轴坐标系下的口。爿曲 有 附= 矽”憾槲 ( 2 - 17 ) 或 眨ll m ) j = o c j t i - j ) ( d ) h a q “ p 嘲 2 3 3 网络方程的解算 t a y l o r 级数法暂态稳定计算中的网络解算是在不同导数层次上对发电机定子端 电压导数的求解，具有特殊性。为了求取发电机定子端电压的第m 阶导数，需要对 式( 2 7 ) 求导， y v ”r ) ：，( m ) 一m 厶- i l 。) ，y ”一1 ( 2 - 1 9 ) j = o 6 华北l 乜力人学硕1 ：学竹论文 上式就是t a y l o r 级数法暂态稳定计算中网绍解算的表达式。显然，发电机定子 端电压的导数的求取依赖于定子n o r t o n 电流的导数及导纳矩阵的导数。 1 发电机定子n o r t o n 电流的导数 发电机定子n o r t o n 电流的导数在d - q 轴坐标系下的表达式为： 阿”= d 丽臣- 如x 鬣 ( 2 2 0 ) 由于 弘阡丁豳 陋：， 因此在系统x - y 轴坐标下定子n o r t o n 电流的导数可以由( 2 1 8 ) 得到： = 弘1 媳榭“ p ：。， 2 导纳矩阵的导数 暂态稳定计算中的网络方程的导纳矩阵是主对角块与发电机转角有关的时变 矩阵，而非对角块都是常数矩阵。因此，它的第，”阶导数具有以下对角块矩阵形式： 可得 y m = 击昭呱，努，r ：? 。】 珊1 r j 州= g ，。 0 土l ，2 7 ( 2 巧) 一10 执扩糍 3 网络解算一一定子端电压及其导数的求解 ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 令，? = m 一芝1 c j y m - j ) 旷 ( 2 2 5 ) ， 0 则式( 2 一1 9 ) 变为： 】7 i ，= 【2 - 2 6 ) 当m = 0 时，上式为】7 y = ，这就是网络方程式( 2 - 7 ) 。在得到定子n o r t o n 电流和 导纳矩阵的导数后魏可按式( 2 2 6 ) 求取定子端电压的导数。对于每一积分步长区 7 华北电力人学硕十学位论文 间 t k , t 川】，不论阶数m 的取值如何，其系数矩阵导纳矩阵是固定不变的。因此可以 将导纳矩阵y 因子表化，然后对不同阶数的，进行快速的求取。显然，随着 阶数的提高，因子表的利用率也会随之提高。 4 定子电流的导数 由式( 2 1 3 ) 可知，为了实现p 。的导数求解，还必须得到发电机定子电流 及其 导数。文献m 】证明了 的导数可由下式得到： r 2 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) 当m = o 时，式( 2 - 2 7 ) 蜕化为，= ，j ，_ f 。d - q 轴坐标系下 的导数可由式( 2 1 7 ) 及( 2 2 7 ) 获得，即 时= 妒”1 锨 2 3 4 转子回路和励磁系统微分方程的求解 ( 2 2 9 ) 由式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 描述的转子回路和励磁系统的微分方程是常系数的，状态量的 各阶导数容易求取，即 x j ) = 乃? 爿。， 押”+ u “_ 1 ) ，= ，z - 一? ” x ，= ，既r ，e ， 7 z 。，= d i a g t j m 巧”乃，t ，t ， ( s 。e ) m 1 ：( 。i 。t n “：j 8 ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 2 - 3 3 ) ( 1 3 4 1 彤 r ，” o 口g 曲 w h ， g b =rll = 0 月 ， e 中 其 华北电力人学硕十学位论文 s ：= b 窆c ：一l e s 。o ， ( 2 - 3 5 ) = 0 。 咿= 瓦1 【m 磊- i c “咄+ l e “j + 嚯蟛州) - 篆c ：一，秽+ 1 j h ( 2 - 1 6 ) 2 4t a y l o r 级数法数值分析 文献【18 】讨论了高阶t a y l o r 级数法暂态稳定计算的数值分析 级数法的数值稳定性和运算速度进行分析。 2 4 1 数值稳定性 我们通过模型方程( 2 3 7 ) 来讨论t a ) l o r 级数法的数值稳定性。 y = 匆 其中五为复常数。 显然y = 爿】7 于是，有p 阶t a y l o r 级数表达式 y n * i = y n + 喜学 由式( 2 3 9 ) n 得t a y l o r 级数法绝对稳定域为： 陲华! 当工为实数时得到稳定区间 一2 ( ； h ) - - - - 2 o 当z 为复数时，t a y l o r 级数法绝对稳定域如图2 - l 所示c 该稳定区域和r u n g e - - k u t t a 法的稳定区域是- f 4 创j 。 2 4 2 运算速度分析 下面只对t a y l o r ( 2 3 7 ) ( 2 - 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) 总的计算速度与每一积分步长的运算量、精度要求、步长选取、暂态过程的计 算范围以及电力系统摸型等多种因素有关。文献【1 8 】得出在精度要求较高的情况下， 1 4 阶 f a y l o r 级数法可选用比4 阶龙格一库塔法大6 倍的积分步长，而每次积分所需 时间仅与4 阶龙格一库塔法的相当，即总计算速度在较高精度条件下要比4 阶龙格一 库塔法高6 倍左右。当精度要求不高时，这一速度比值虽会有所下降，但仍比4 阶 龙格一库塔法提高许多。 1 9 华北电力人学硕十学位论文 2 5 本章小结 图2 - i t a y l o r 级数法稳定域 本章对高阶快速t a y l o r 级数暂态稳定计算算法作了简要介绍，推导了t a y l o r 级 数暂态稳定计算算法的具体步骤。并对该算法的数值稳定性和计算速度进行了简要 分析。 华北电力人学硕十学位论文 3 1 引言 第三章隐式t a y l o r 级数法暂态稳定算法 微分方程数值解法可分为显式解法与隐式解法两大类。隐式解法比显式解法的 求解过程要复杂一些。但是，隐式解法由于有以下两个优点，所以愈来愈受到重视。 首先，当微分方程和代数方程需要联立求解时，利用隐式解法便于消除交接误 差。这是由于当微分方程采用显式解法时，因为微分方程是用递推公式求解的，所 以一般适用微分方程和代数方程交替求解的方法。这种方法会引入交接误差。当微 分方程采用隐式解法时，首先将微分方程化为差分方程，并和代数方程联立求解。 在这里除了微分方程化差分方程所引入的截断误差以外，没有引入交接误差。 隐式解法相对于显式解法的第二个优点是可以采用较大的步长。这个问题涉及 到微分方程数值解的稳定性问题。一致地诡，在采用显式积分法时，步长的