（基础数学专业论文）一般有限型条件下的有向图迭代函数系.pdf

摘要 本文将一般有限型条件定义在有重叠的有向图迭代函数系中在 这个条件下，我们通过引入某种加权矩阵，计算其谱半径，得到此吸 引子f 的豪斯道夫维数进一步地，若它的豪斯道夫维数是口，则它 的o t 一维豪斯道夫测度和o t 一维填充测度都是严格正的若再假设上 面的图是强连通的，我们证明了f 的豪斯道夫维数，填充维数，以及 盒维数相等，并且它的q 一维豪斯道夫测度和a 一维填充测度都是有 限的 本硕士论文由五章组成 第一章我们介绍了后文需要用到的一些概念，背景以及一些已知 结果，然后给出了本文的主要结果 第二章我们引入了一些概念如父母，后代，邻居型，不变集等，还 证明了一些命题，最后给出了图的一般有限型条件 第三章我们构造了加权矩阵屯，引入了测度，综合运用实分析、 分形几何等课程的有关知讽证明了本文的主要结果 第四章我们运用本文的主要结果，解决了一些用原有方法无法解 决的问题 第五章我们提出了两个问题 关键词：有向图迭代函数系，豪斯道夫维数，盒维数，填充维数，一 般有限型条件 a b s t r a c t w ee x t e n dt h eg e n e r a l i z e df i n i t et y p ec o n d i t i o nt og r a p h - d i r e c t e di t e r a t e d f u n c t i o ns y s t e m sw i t ho v e r l a p s u n d e rt h i sc o n d i t i o n ，w ec a nc o m p u t et h e h a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h ea t t r a c t o rfi nt e r m so ft h es p e c t r a lr a d i u so fc e r t a i n w e i g h t e di n c i d e n c em a t r i x m o r e o v e r ，i ft h eh a u d o r f f - d i m e n s i o no ffi s 口， t h e nt h ea - d i m e n s i o n a ih a u s d o r f fa n dp a c k i n gm e a s u r e so ffa r es h o w nt ob e s t r i c t l yp o s i t i v e b ya s s u m i n gi na d d i t i o nt h a tt h eg r a p h i ss t r o n g l yc o n n e c t e d ， w es h o wt h a tt h eh a u s d o r f f , p a c k i n g ，a n db o xd i m e n s i o n sa r ee q u a la n dt h e q d i m e n s i o n a lh a u s d o r f fa n dp a c k i n gm e a s u r e sa r ef i n i t e t h i st h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w er e c a l ls o m en o t i o n s ，b a c k g r o u n d sa n df a c t sn e e d e di n t h es e q u e l ，a n dl i s tt h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t s ，s u c ha sp a r e n t ，o f f s p r i n g ， n e i g h b o r h o o dt y p e ，i n v a r i a n ts e ta n d s oo n ，a l s ow ep r o v ean u m b e ro fp r o p o - s i t i o n s ，a n df i n a l l ys e tu pt h eg r a p h d i r e c t e dg e n e r a l i z e df i n i t et y p ec o n d i t i o n i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s t r u c tt h ew e i g h t e di n c i d e n c em a t r i xa o ，i n t r o - d u c et h em e a s u r e ，a n da tl a s tp r o v et h em a i nr e s u l t so ft h i sa r t i c l eb yu s i n g t h ek n o w l e d g eo fr e a la n a l y s i s ，f r a c t a lg e o m e t r ya n ds oo n i nc h a p t e rf o u r ，b ya p p l y i n gt h em a i nr e s u l t s ，w es o l v es o m ei n t e r e s t i n g p r o b l e m sw h i c hc a n n o tb ed e a l tw i t hb ym e t h o d sd e v e l o p e db e f o r e i nc h a p t e rf i v e ，t w oq u e s t i o n sa r eg i v e n k e yw o r d s ：g r a p h - d i r e c t e di t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；b o x d i m e n s i o n ；p a c k i n gd i m e n s i o n ；g e n e r a l i z e df i n i t et y p ec o n d i t i o n i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：多舀 汐| o 年5 只巧e l 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密缸 ( 请在以上相应方框内打”) 驯。年j 珈f o 年f 月巧日 旯圹 一般有限型条件下的有向图迭代函数系 1 绪论 分形几何由m a n d e l b r o t 在1 9 7 5 年提出，已被数学界广泛关注，是 一个崭新的研究方向【1 - 5 分形上的调和分析研究从上世纪八十年 代末开始，取得了丰富的成果，形成了一个热门的研究方向【6 - 9 相 伴兴起的研究有：分形上的b r o w n i a n 运动【1 0 - 1 1 ，分形上的微分方程 4 - 5 ，分形上的小波f 1 2 1 3 】，分形上的函数空间【1 4 】等分形上的复分 析是1 9 9 8 年由美国康乃尔大学著名数学家s t r i c h a r t z 等人开始研究 的【1 5 】经典的复积分总在光滑曲线或具有光滑边界的平面区域这样 具有整数维的几何集上考虑，例如c a u c h y 型积分和c a u c h y 变换而 用分形集来代替这样的几何集，用分形测度来代替l e b e s g u e 测度就 是“分形上复分析”研究的切入点之一s t r i c h a r t z 等人研究了自相似 测度的c a u c h y 变换，他们通过对s i e r p i n s k i 垫上的c a u c h y 变换进行计 算机模拟，发现了许多有趣的几何性质，提出了三个猜测【1 5 】董新汉 和刘家成( l a uk as i n g ) 从1 9 9 9 年开始，系统研究分形上的复分析，使 用复变函数几何理论的观点、解析拓扑的观点来探讨自相似测度的 c a u c h y 变换，取得系列成果( 1 6 - 1 9 1 ，主要成果待发) ，给经典复分析研 究带来新的活力 分形几何经过几十年的发展，已成为一门重要的新学科，它不仅 引起了数学许多分支的革命性变化，也被广泛应用到自然科学甚至 社会科会的几乎所有的领域，成为当今国际上许多学科的前沿研究 课题之一【2 0 】 正因为分形集的重要性，本文主要研究一类具有重叠的有向图自 相似集的维数本章先介绍与分形集相关的基本概念，然后介绍与 研究有向图自相似集有关的一些背景，最后介绍我们的主要结论 1 1 一些相关的概念 f 1 如果u 为n 维欧几里得空间舯中任何非空子集，u 的直径定 义为i u i = s u p i x y l ：z ，y 【，) ，即u 内任何两点距离的最大值如果 硕士学位论文 仉) 为可数( 或有限) 个直径不超过6 的集构成的覆盖f 的集类，即 o o fcu 以，且对每一l 都有0 0 ，定义 o o 弼( f ) = i n f i v , i 。：【阢) 为f 的j 一覆盖) ( 0 - 1 ) i - - - i 于是考察所有直径不超过6 的f 的覆盖，并试图使这些直径的8 次 幂的和达到最小当6 减少时，式( 0 1 ) 中能覆盖f 的集类是减少的， 所以下确界弼( f ) 随着增加且当j 一0 时趋于一极限记 咒5 ( f ) = l 。i m 咒；( f ) ( 0 - 2 ) o u 对靴中的任何子集f 这个极限都存在，但极限值可以是( 并且通常 是) 0 或0 0 我们称 ( f ) 为f 的8 一维豪斯道夫测度 由式n 1 ) 容易看出，对任何给定的集f 和6 8 ，且 阢) 为f 的乒覆盖，我们有 附艿扣8 i u , 1 8 ti 取下确界得，弼( f ) 6 阳心( f ) 令6 0 ，可见对于t 8 ，若 ( f ) 0 ，使 u ( u ) c l u l 5 对所有满足i u i 6 的集u 成立，则竹( f ) p ( f ) c ，且 s d i m n ( f ) sd i m b ( f ) d i m b ( f ) 1 2 主要结论的背景介绍 掣中的压缩相似迭代函数系( 简记为i f s ) 指的是一列函数 & 鉴。， 其中每一个最：r d _ r d 都具有下面的形式： & ( z ) = p i r i x + b i ，( 0 - 3 ) 其中0 p i 1 ，尼是正交矩阵，b i r d 我们知道，对于每一个这样 的迭代函数系，存在唯一的非空紧集f 掣，我们把它叫做自相似集 ( 或者吸引子) ，满足下面的条件： f = u & ( f ) ( o - 4 ) i = 1 ( 见 2 l 】) 这是生成分形集的最重要的方法之一 计算分形集的豪斯道夫维数是分形几何中的一个核心闻题我们 知道由( m 3 ) 所定义的迭代函数系如果满足开集条件，即：存在一个非 空有界开集c ，r d ，满足u 墨。& ( u ) u 且当i j 时，s , ( u ) n s a u ) = d ， 则f 的豪斯道夫维数等于唯一的非负数o t ，满足 n 硝= 1 i = l ( 0 - 5 ) 进一步地有，0 咒口( f ) 。，其中竹( f ) 表示f 的o t 一维豪斯道夫测 度( 见【2 2 】) 上面的结论已经被m a u l d i n 和w i l l i a m s 推广到有向图迭代函数系 ( 见【2 3 】) 4 一般有限型条件下的有向图迭代函数系 一个压缩相似有向图迭代函数系是一个有序对g = ( ve ) ，其中 y 是标号为 1 ，g ) 的顶点集，e 是有向边的集合，它的每条边的 开始和结束都在这些顶点一对顶点可能由几条边连接，同时允许边 的起点和终点在同一顶点每一条e 中的边e ，对应一个压缩函数 ( z ) ：r d _ 掣定义如下： ( z ) = p e r e x + 6 e ，( 0 - 6 ) 其中0 p e 1 是压缩比，见是正交变换，b 。r d 记e i j 是从顶点i 到顶点j 的边的集合我们知道存在唯一的非空紧集族乃，日，满 足下面的条件： 定义 只= uu & ( 毋) ，i = 1 ，q ( o 一7 ) j = le e i ，j 口 f ：= u r ( m 8 ) i = 1 我们把f 叫做由g = ( ve ) 定义的图的自相似集m a u l d i n 和w i l l i a m s ( 2 3 ) 证明了下面的结论：如果图的自相似集满足图的开集条件，即：存在 一族开集 u q ：。满足下面的条件： us e ( u a 冬仉且s , ( u a ns e ，( u j ) = 口，v e e 7 ， e e ，j 则d i m h ( f ) 等于唯一的数q ，其中a 为使得某一加权矩阵a 口的谱半 径等于1 的值进一步地，如果g 是强连通的，则0 o ； 6 一般有限型条件下的有向图迭代函数系 ( c ) 特别地，如果g 是强连通的，则d i m b ( f ) = d i m p ( f ) = d i m h ( f ) 且 0 冗。( f ) p a ( f ) o o 定理1 1 的结论使得我们可以计算一些用原有方法无法解决的有 趣例子的维数下面的例子我们将在第四章给出证明 例1 2 考虑有向图i f sg = ( ve ) ，其中v = 1 ，2 ) ，e = e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 】， 且( 见图4 1 ) e 1 ，e 3 e 1 ，e 2 e 1 ，一，e 4 e 2 ，一，e 5 e 2 ，一 这五个相似体的定义如下： & 。( z ) = p x ，。( z ) = r z + p ( 1 一r ) ，& 。p ) = r x + ( 1 一r ) ， & 。( z ) = r z + ( 1 一r ) ， ) = p x ， 其中0 p 1 ，0 r 1 ，p + 2 r p r 1 ( 1 ) 这些i f s 是一般有限型的； ( 2 ) 令f 是图的自相似集，q = d i m h ( f ) ，a ：= r q ，b ：= 矿，则o l 是使 得方程 z k 3 + ( 一2 a b ) x 2 + 2 + a b ) x a 2 b = 0 的最大根等于1 的唯一实数； ( 3 ) d i m b ( f ) = d i m p ( f ) = d i m h ( f ) 且0 咒a ( f ) p a ( f ) 。o 例1 3 考虑有向图i f sg = ( ke ) ，其中y = 【1 ，2 ，e = e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 ，e 6 ， 且( 见图垂3 ) e 1 ，e 3 e 1 ，e 2 e 1 ，- ，e 4 ，e 6 e 2 ，e 5 e 2 ，- 令2 = 陋，y 】r ，这六个相似体的定义如下： & 。( z ) = p x ，& 。( z ) = r 刃+ 0 一p r ，o ) ，。( 2 ) = r 霉+ ( 1 一r ，o ) ， 咒。( z ) = r z + ( 1 一，0 ) ，。( z ) = r 霉+ ( 0 ，1 一r ) ，( z ) = p x 其中0 p 1 ，0 r 1 ，j d + 2 r p r 1 7 硕士学位论文 ( 1 ) 这些i f s 是一般有限型的； ( 2 ) 令f 是相应图的自相似集，口= d i m n ( f ) ，a ：= 严，b ：= p a ，则口 是使得方程 x x 3 + ( - 2 a 一6 ) z 2 + a b x 0 2 6 】= 0 的最大根等于1 的唯一实数 ( 3 ) d i m b ( f ) = d i m p ( f ) = d i m h ( f ) 且0 咒o ( f ) p 口( f ) 砜，存在e m 惫满足e = e l ； ( 4 ) 对于每一个e 7 e 满足le l 0 令万：u 知 o m 七一y 是从有向道路集到9 的顶点集的一个映射，很 自然地定义如下： 水) ：= 功譬i m 烹o 1 it ，k ， 看e = 垤 口u 社 l i 战且 一般有限型条件下的有向图迭代函数系 为了简便，对于y 中的一个顶点= ( & ，z ，j ，七) ，k 1 ，我们使用下面 的记号： & ：= s e ，加：= j 口e ，凰：= r e 给定乡中的两个顶点移和t ，如果存在道路e 朋奄，e 7 朋m ， 这里k 及，满足钞= 7 r ( e ) ，t ，= 丌( e 7 ) 且e 7 = e k ( e 和忌的串联) ，则我 们用一条有向边连接两顶点k ：t ，一t ，7 注意到如果七：钐，_ t ，且 知：t ，。一t ，7 ，则t ，。= 这样得到g 的所有有向边的集合我们把t ， 叫做t ，7 的父母，把t ，7 叫做t ，的后代 为了得到精简图鲡，我们首先在及中确定一个顺序本文中使 用字典顺序诱导的指标集，即在字典顺序下，如果e = ( e 小，e t 。) ， e ，= ( e i ；，e 略) ，则e e ，当且仅当( i 1 ，i p ) ( i i ，i ；) 譬如，如果 e = ( e l e ，) ，e ，_ ( e 2 ) ，则e e ，由顶点集v 开始，在9 中，通过去掉到同 一顶点的除最小有向边之外的所有边后得到的集合是鲡的有向边 如的集合具体地说，对于每一个顶点t ，令k p 表示所有从某 一顶点到t ，的具体有向边假设按照上面的顺序有k ， k 。 k p ， 则我们只保留有向边k 。，去掉所有其他边通过这种方式，我们得到 为了完成精简图的构造，我们去掉在鲡中没有子孙的顶点，以 及所有只生成它们的顶点和边还是用表示得到的图形，记鲡= ( h ，如) ，其中是所有顶点的集合，踟是所有边的集合 令q = q 0 整，q ；掣，是一族非空有界开集我们说q 在有向 图i f s 下是不变的，如果满足条件： u ( q ) 继，其中i ，j = 1 ，g e e i , j 对于有向图迭代函数系g = ( ve ) ，给定一族不变的非空有界开 集q = q 。) 塾。( 容易看出这样的一族开集总是存在的) 令t ，= ( ，i ，j ，k ) u ，其中e 磅j ，以及t ，= ( ，t 7 ，j 7 ，k ) ，其中e ，彰 我们说这两个顶点t ，t ，是邻居( 关于q ) ，如果满足下面的条件： t = t 7 且s ( e j ) n & ，( q j ，) 谚 1 1 硕士学位论文 令 n ( v ) ：= t ，7 ：钐7 是t ，的令i j 居) 我们把n ( v ) 叫做t ，的邻居集( 关于q ) 由定义易得t ，( t ，) 下面我们在顶点集v 上定义等价关系两顶点口和t ，7 氓， 是等价的，记做t ，一t ，7 ( 或者t ，一，t ，) ，如果对于映射丁= o 1 ： 彬r d ，下列条件满足： ( a ) 【s ：( t ，7 ) = 【丁os u ：t 正( 口) ) ； ( b ) 如果上面表达式中的顶点u = ( ，i ，j ，k ) h ( v ) 和顶点t 7 = ( ，i i , j 7 ，k 7 ) n ( v 7 ) 满足& ，= 7 o ，则有j = 歹7 ； ( c ) 并且，对于满足条件= 下os u 的两顶点t l ( ) 和( ，) 对于任意的正整数l 1 ，指标e 满足( & o ，k + f ) u + l 当 且仅当( o & ，k 7 + f ) 氓成立 容易验证一是一个等价关系我们记p 】q ( 或者m ) 为t ，的等价 类，把它叫做顶点t ，关于q 的邻居型( 简单地说 钐型) 引理2 3 令t ，t ，7 u ，乱，t 7 分别是他们的子孙若t ，和t ，不是 邻居，则u 和u 也不是邻居 证明：令t ，= ( & ，z ，j ，七) ，t ，= ( ，i 7 ，j 7 ，七) ，其中e e 2 ，e 7 群口 令e j ，- ，k 7 群j ，使得& = & 鼠且= 勋若i i 7 ，则由定 义，u 和t 7 显然不是邻居若i = i 7 ，则 咒( q z ) n ( q z ，) = & o 鼠( q 1 ) n o 瓯，( q r ) & ( ) n ( ，) = 仍 ( 最后的等式成立是因为t ，和t ，不是邻居) 因此u 和不是邻居 对于任意的t ，= ( & ，i ，歹，k ) y ，我们使用简便记法：，7 ( ) ：= 7 7 ( e ) ：= ，7 ( t ，) ：= j 及7 7 7 ( ) ：= ，7 ( e ) ：= 7 7 ( t ，) ：= i 备注2 4 乡中的顶点t ，( 或者t ，7 ) 的子孙的父母只可能是( t ，) ( 或 者( t ，) ) 中的顶点 1 2 一般有限型条件下的有向图迭代函数系 命题2 5 令 ，它们在鲰中的子孙分别是u ”u m 和u i ，u ：若m = 【钐，】令 n ( v ) = 钐o = t ，t ，1 ，t ，。) 且人厂( t ，7 ) = t ，：= 幻7 ，t ，：，t ，：1 ) 满足= r 。& ，0 j n ，其中丁= 。1 则下面的结论成立 ( a ) 令0 i ，j n ，由一的定义，假设k 1 ，k 2 满足 则u = 幻当且仅当u 7 = t t ，7 ，让，伽是邻居当且仅当u 7 ，t t ，7 是邻居 ( b ) 下面的等式成立( 记重数) ： 阻dil i m = “u ， i1 i z ) ，( 2 1 ) 特别地，m = f 证明：( a ) 注意到 = o & ，= 7 _ o 鼠。o & 。= 丁o ( 2 - 2 ) 同理，鼬= 丁o & 因此& = 当且仅当= 鼬即：t = 访当且 仅当= t l ，7 为了证明第二部分，我们注意到 t ，f ，t 0 ( t ，) 辛，7 7 ( 移 ) = ，7 7 ( v j ) 兮智7 ( 珏) = 蹿( 彤) 最后的等式成立是因为叩7 ( t t ) = 叩，( t ，t ) ，? 7 7 ) = ，7 7 ( ) 同理，叩7 ( u 7 ) = 矿( 协，) 因此珏，铆是邻居当且仅当 & ( q 叩( 仳) ) n ( q 叩( ) ) 0 兮丁o & ( q 7 ( u ) ) n 丁o ( q t 7 ( 仰) ) d 甘，( q 可似) ) ns t l ，( q ，7 ( 。) ) 9 营乩( q 7 ( ) ) f ls l l ，( q 叶( t l ，) ) 0 1 3 硕士学位论文 最后一个等价成立是因为k 。：仇_ t ，知：钐：_ ，因此7 7 ( 牡) = ，7 ( ) 同理，7 7 ( t t ，) = 叼( t u ，) 这样我们证明了( a ) ( b ) 令“和“，分别表示( t ，) 和( t ，) 中的顶点的所有子孙的集 合按如下方式定义映射 ：“_ 玑若u 是在9 中的子孙，对应 的边是知那么我们令亍( u ) 是钐j 的子孙，对应的边是知由上面的一 的定义和( a ) 推出于是双射进一步地，由( 2 - 2 ) 我们得到 ( u ) = 7 - o ( 2 - 3 ) 由( a ) ，u 是t ，在鲡中的子孙，当且仅当 ：( u ) 是t ，7 在绲中的子孙 因此m = f 结合备注2 4 ，等式( 2 - 3 ) 以及( a ) 得出【于( u t ) 】_ 【u t 】，其中 1 i m ，因此( 2 - 1 ) 成立证毕 下面我们定义有向图上的一般有限型条件 定义2 1 对于压缩相似有向图迭代函数系g = ( me ) ，如果存 在一族不变的非空有界开集f z = 【q t 塾，满足对于某一嵌套指标集 朋七 函， m n ：t ，y ) 是有限集，则称g 是一般有限型的，或者说它 满足一般有限型条件在这种情况下，我们说q 是对应g 的一般有 限型( g f t c ) 族 例2 6 2 9 】和【3 0 】中的一般有限型i f s 可以看做是有向图的一 般有限型i f s 它包括在【2 2 】中满足开集条件的i f s 以及在 27 】中定 义的有限型i f s 还包括在 2 3 】中，如果限制相似比是严格压缩的，且 满足开集条件的有向图i f s 的情形 例2 7 在 2 8 】中定义的有向图的有限型i f s 是一般有限型的 下面给出两类不属于以上情形的例子，我们会在第四节中讨论这 些例子 例2 8 考虑有向图i f sg = ( ve ) ，其中v = 【1 ，2 ) ，e = e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 ，且( 见图垂1 ) e l ，e 3 e 1 ，e 2 e 1 ，_ ， e 4 e 2 ，- ，e 5 e 2 ， 这五个相似体的定义如下： 。( z ) = p x ，& ：( z ) = 7 z + p ( 1 一r ) ，s e 3 ( o ) = r z + ( 1 一，) ， s e 4 ( z ) = r z + ( 1 一r ) ，& ；( z ) = 肛， 1 4 一般有限型条件下的有向图迭代函数系 其中0 p 1 ，0 r 1 ，p + 2 r p r 1 在例4 1 中，我们将证明这些 i f s 是一般有限型的 例2 9 考虑有向图i f sg = ( ve ) ，其中v = ( 1 ，2 】，e = e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 ，e 6 ) ，且( 见图厶3 ) e 1 ，e 3 e l ，e 2 e l ，一， e 4 ，e 6 e 2 ， e 5 e 2 ，- 令z = 陋，y 】r ，这六个相似体的定义如下： ，( z ) = 肛，& ：( z ) = 7 z + ( p 一，o ) ，。( z ) = 7 z + ( 1 7 ，o ) ， & 。( 茁) = r x + ( 1 7 - ，o ) ，& 。( ) = r x + ( 0 ，1 一，) ，& ( z ) = p x 其中0 p 1 ，0 r 1 ，p + 2 r p r 1 这些i f s 是一般有限型的，我 们将在例4 2 中给出证明 1 5 3 维数公式的证明 在这部分我们假定g = ( ke ) 是r d 中满足一般有限型条件的压 缩相似有向图i f s ， 】。e 为压缩体的集合令 m 七) 是相应的嵌 套指标集，q = ( g 坠，是对应的g f t c 族再令q ：= u 塾，q ，五。，霸 表示所有不同的邻居型，其中 v ；o o t 】o ，g = 1 ，q ) 表示根顶点的邻居 型对于每一个a 0 ，如下定义一个加权矩阵a 口= ( a q ( i ，j ) ) 荔：，给 定i ( 1 z n ) 和顶点t ，h ，其中m = 互，令t 1 ，u m 是t ，在 中的子孙，k ，1 它m 为鲰中连接口到铆的唯一边定义 a a ( i ，歹) ：= ( 虎：t ，与撕，】- 孙 ( 3 - 1 ) 根据命题2 5 ，a a 的定义与上面t ，的选择无关 下面主要证明定理1 1 如果t ，u 且牡是t ，在精简图9 r 中 的子孙，我们把它记为t ，一ru 若t ，o = t ，o ( 其中i 为集合 1 ，q ) 中的某一元素) ，t ， ：u ，且对于所有的k 0 ，有v k _ rt ，七+ 1 + 1 则将无限序列( t ，。) 叫做中的道路 用p 表示鲡中所有道路的集合如果顶点t ，o = t ，钞南满 足：_ 冗t ，0 j k 一1 ，我们将下面的集合叫做柱体， k 舰，撒：= ( t l o ，珏l ) p ：= 对于所有的0 j 七成立 因为在绲中从t ，o 到t ，七的道路是唯一的，记 k ：= k m ，一- 下面在尹上定义测度露，对于每一个柱体k ，移膏坎及f v k 】= 互，令 应( k ) = 噍毗 ( 3 - 2 ) 其中【n 。，口g ，o 。+ 1 ，n 】t 是a a 的特征值为1 的特征向量若t ，七= t ，k ( 其中i 为集合 l ，q 】- 中的某一元素) ，则p 2 ) 可理解为 蜃( l 。) = a t 我们假设特征向量被正规化，使得墨，a i = 1 ( 这是可 行的，因为所有的邻居型都是乃( 1 j q ) 的后代) 1 7 硕士学位论文 为了证明丘是p 上的测度，我们注意到两个柱体l 和b ，满足 t ，彬，t ，7 甲”，k f ，它们相交当且仅当，七= f 时，t ，7 = t ，或者七 f 时，t ，7 是t ，的子孙这两种情况都可以得出b 冬l 下面给定顶点 t ，比，其中m = 互，用d 表示t ，在鲰中的所有子孙的集合则 口( l ) = 卢( l ) ：u d ， 让】= 乃) u e d i = i = 以：t d ，【u 】_ 乃) = 砖 线：t ，卫ru ，u d ，【叫= 巧 j = 1 n = 店a a ( i ，j ) a j = 胨a a l = 口( l ) 由口( p ) = 口( u 墅。t ，r o o t ) = 整。n t = 1 ，可以得出口确实是p 上的测度 由k o l m o g o r o v 一致性定理，口可以延拓为p 上的外测度( 见 3 2 ，定 理5 5 4 】) 对于七0 ，0 b 1 ，定义 磊：= e = ( e l ，e n ) 邑：p e b p e ，。一。】，及a ：= ：e 五) 引理3 1 若g = ( ke ) 是满足一般有限型条件的压缩相似有向 图i f s 给定使得一般有限型条件成立的嵌套指标集( m 七) 茫。和相应 的g f t c 族【q i ) 塾1 令z r d ，0 b ，存在唯一的够朋满足弓唧 因此，令e ；! = e i ，可以得到 e j = ( 弓，z ；) = ( 形，哆) ，j = 1 ，m ， 其中彰朋知，弓朋吻 因为每一个& 。都属于a ，可以得到 p m i n 6 l q i i ，( q ) l b l n l ，1 j m ( 其中q ：= u 塾。q t ) 并且，由 朋七】岛的定义，存在与x 和b 都无关的 常数三，满足l e j i i i l ，对于所有的j 【1 ，m ) 成立因此， p m i n 6 i q i 0 ， 有 町1 粼舛，l 娜m ( 3 - 6 ) 1 9 硕士学位论文 结合( 3 4 ) 和p 6 ) 可以得到 何1 躺鲰1 娜m ( 州 其中c 2 ：= j d 孟“g 对于每一个j 1 ，叫i ，由p 7 ) 可以得到 j d j 9 勺q = p 唠 p l ；c 2 ， 1 j i 冬m 因此对于j i 【1 ，m ) ，有j d m 嘲a x p l ，凹1 ，因此吲一l n ( c 2 ) 1 n 触 如果令2 = - - l i l ( 岛) l n p m 馘】+ 1 ，则对于每一个e ， e ! ，e 篆 ， 桦( ：i = 勺，j = 1 ，m ) 而由( 3 - 5 ) 知，的个数不超过m 个因此，记，y = m q 2 ，( 3 - 3 ) 成立 对于任一有界b o r e l 集x r d ，令召= 艿( x ) ，定义如下： ) ：= | k = k ，饿：t ，七谢，i ( ) i l x i 0 ， 满足对于任意有界b o r e l 集x r d ，群召) c o 证明：因为在k 和 o k 之间存在一一对应，所以可以得到孝勖= 榉岛，其中 岛：= t ，知垤：i & 。( 踢) l i x i i 跣一，( ) i 且xn & 。( ) o ) = 口七彬：几。l x l l l r 2 j l 警。在g = ( ve ) 下是不变的，则对于每一 个i 【1 ，g ，有r 磊 证明：重复应用式( o - r ) ，我们得出对于所有的正整数p ，有 e = uu & ( 乃) ( 3 - s ) j = l e 磅 硕士学位论文 同时，由q 的不变性，我们得到，对于所有的i6 0 ，满足 研( 。) n 磊= d ( 3 - 1 0 ) 令巩表示半径为r 的充分大的球，满足 ( 0r ) u ( 0q ；) 蚴， 令充分大使得 i & ( b r ) i 0 ，肛( x ) c l x i a 从而，咒a ( f ) 0 且d i m h ( f ) 口，这就是所我们 需要的下界因为对于任何a r d ，有冗a ( a ) 尹a ( a ) ( 见【3 2 】) ，因此 ( b ) 得证 上界的证明为了得到上界d i m h ( f ) 口，我们首先假设a 。是不可约 得，因此所有的i i 都是正的由引理3 3 ，有乃殇，又由( 3 - 1 1 ) 可以 得到对于每一个七0 ， q f uu & 。( 璃) 幻2 l k v k , j n v r 进一步地，对于给定的i ，j 1 ，g ，有 i & 。( 珥) l 口=露。画i a 世知以j n l 组t v 奢j n v a = n 豫啦警：吣谬n ，= 石 m a x 蜓。警) 萎地) 口k 昭。f 1 妇 m a x 堂 o 。 一1 j s m l s j _ qt 2 1 硕士学位论文 壹e ( 酬2 ( 蚓m a x 地警) 使得a g 的谱半径为1 每一个a g a a 窑) 的谱半 一般有限型条件下的有向图迭代函数系 径都不会大于1 ，因此存在唯一的o 。o l ，使得a 兽的谱半径为1 由 上面不可约情形的证明，可以推出 7 - a ( l ) ? - m ( 巴绨) k ，使得一z 。1 u 删五重复这一结论，我们发现尹中的任一道 路必然属于某个巳g ) ( 七) ，其中a 掣伊且七0 因此我们可以将所 有道路的集合尹按照下面进行划分： o o p = uu 乃，( 忌) 砖c k = 0 因此 f = ，( p ) = uu ，( r ( 七) ) 砖c 七2 0 对于每一个a g c 及南0 ，由，和的定义，我们可以得到 ，( 巧) ( 七) ) u s o ( ) ：( v o ，t ，m ) ，( ) ) 从而 7 - 1 n ( ，( ) ( 堋咒a ( 一。( ，) ) 七一1 y r 噍一，? - n ( 巴) o 。 o k l 因此，对于所有的a 窑c + 及0 ，有d i m h ( ，( 巴) ( ) ) ) 口最后，由 豪斯道夫测度的可数稳定性得，d i m h ( f ) q ( c ) 假设g 是强连通的，令如为一个正数，满足对于所有的t ，j 1 ，口 ，存在1 p p o ，使得眵o 硕士学位论文 我们首先证明，对于任意的i = 1 ，q ，有d i m b ( 只) = d i m h ( f i ) 令z r ，r i f d l 2 ，则只g 研( z ) 存在