（基础数学专业论文）箭图与hopf代数.pdf

中文摘要 本文从箭图和它的表示理论出发，研究a r t i n i a n 代数、h o p f 代数及非平衡量子偶的 结构和表示。 对于任意的有限箭图q ，我引入了它的集合表示范畴s e t - r e p q ，并且研究了覆盖箭 图的路代数庇q 口上的h o p f 代数结构与其路余代数尼q 。上的h o p f 代数结构之间的一一对 应关系。 既然路余代数后q c 上有h o p f 代数结构当且仅当q 是覆盖箭图，本文进一步地考虑了 怎样的广义路余代数上有h o p f 代数结构。通过对a r t i n i a n 代数a 定义的自然箭图a ， 一类特殊的a r t i n i a n 代数可以用其相应的广义路代数来描述。 为了推广从一个h o p f 代数日出发定义的经典量子偶d ( h ) = ( 日印) + h ，我们打 破张量积左右两边日的平衡性，引入了从两个h o p f 代数d 和日出发定义的非平衡量子 偶d c ( 日) = ( c 印) + h ，这个新的h o p f 代数的一些重要性质如拟三角性、半单性、模 范畴和表示型在文中都有被详细讨论。特别地，当c 和日都是群代数时，d c ( h ) 同构 于在一个路代数的商上定义的h o p f 代数，这样，d c ( h ) 的模范畴可以等价地用箭图的 线性表示范畴来描述。 关键词：范畴，箭图，关系，集合表示，线性表示，( 广义) 路代数，( 广义) 路 余代数，遗传( 余) 代数，h o p f 代数，( 余) 拟= 角h o p f 代数，量子偶，表示型，根分 次，g a b r i e l - 型a r t i n i a n 代数 l a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，s t a r t i n gf r o maq u i v e ra n di t sr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , w es t u d yt h e s t r u c t u r e sa n d r e p r e s e n t a t i o n so fa r t i n i a na l g e b r a s ，h o p fa l g e b r a sa n dq u a n t u md o u b l e s f o ra na r b i t r a r yf i n i t eq u i v e rq ，w ei n t r o d u c ei t ss e t - r e p r e s e n t a t i o nc a t e g o r i e ss e t r e p qa n ds t u d yt h ed u a l - r e l a t i o nb e t w e e nt h eh o p fa l g e b r as t r u c t u r e so np a t ha l g e b r a 忌q na n dh o p fa l g e b r as t r u c t u r e so np a t hc o a l g e b r a 昆q 。f o rac o v e r i n gq u i v e rq m o r e o v e r , s i n c et h e r ei sah o p fa l g e b r as t r u c t u r eo np a t hc o a l g e b r a 尼驴i fa n do n l y i fqi sa h o p fq u i v e r , w ec o n s i d e rw h a tk i n d so fg e n e r a l i z e dp a t hc o a l g e b r a sh o l dh o p f a l g e b r as t r u c t u r e s t h r o u g hd e f i n i n gt h en a t u r a lq u i v e ra ao fa na r t i n i a na l g e b r aa ， as p e c i a lc l a s so fa r t i n i a na l g e b r a sc a nb ed e s c r i b e dv i at h ec o r r e s p o n d i n g g e n e r a l i z e d p a t ha l g e b r a s t og e n e r a l i z e dt h ec l a s s i c a lq u a n t u md o u b l ed ( h ) = ( 日印) 4 圆hf r o mah o p f a l g e b r ah lw ed e s t r o yt h eb a l a n c eb e t w e e nt h el e f ta n d r i g h th t s b yd e f i n i n ga n o n - b a l a n c e d q u a n t u md o u b l ed e ( z - 1 ) = ( c o p ) + 圆日f r o mt w oh o p fa l g e b r a sc a n d 日s o m ep r o p e r t i e ss u c ha sq u a s i t r i a n g u l a r i t y , s e m i s i m p l i c i t y , m o d u l ec a t e g o r ya n dr e p r e s e n t a t i o n t y p ea r ec o n s i d e r e d i np a r t i c u l a r , w h e ng a n dha r eb o t hg r o u pa l g e b r a s ，d c ( h ) i s i s o m o r p h i ct oah o p fa l g e b r ad e f i n e do naq u o t i e n t 庇q n ( p ) o fap a t ha l g e b r a , t h u s t h ec a t e g o r yd x ( h ) r o o do fa l ll e f td c ( h ) m o d u l e si se q u i v a l e n tt ot h ec a t e g o r yl i n r e p ( q ，p ) o fa l ll i n e a r - r e p r e s e n t a t i o n so f ( q ，j d ) k e yw o r d s ：c a t e g o r i e s ，q u i v e r s r e l a t i o n s | s e t - r e p r e s e n t a t i o n s il i n e a r r e p r e s e n t a t i o n s f ( g e n e r a l i z e d ) p a t ha l g e b r a s ，( g e n e r a l i z e d ) p a t hc o a l g e b r a s ，h e r e d i t a r y ( c o ) a l g e b r a s ， h o p fa l g e b r a s ，q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a s , q u a n t u md o u b l e s ，r e p r e s e n t a t i o nt y p e s ， r a d i c a l g r a d e d ，g a b r i e l t y p ea r t i n i a na l g e b r a s 第1 章内容简介 1 1 简介 给定箭图q 和域k ，构造一个被称作路代数的结合代数昆q 。和一个被称作路余代数的 余结合余代数k q c 是很重要的。 文献【3 】【4 】中已知箭图q 的所有有限维线性表示构成的范畴l i n r e p q 等价于所有有 限生成的左k q a - 模构成的范畴k q 。- m o d 。在文献 4 5 1 中，作者描述了有限维路代数上的 分次模。 在本文的第三章中，我们先引进了箭图q 的集合表示范畴s e t - r e p q 并找出了它的等 价范畴尸( q ) 一s e t 。，然后描述了所有p ( q ) 一s e t o 中的p ( q ) 一系都是正分次的路半群p ( q ) 。 在此基础上我们发现了箭图的集合表示和线性表示间存在的某种联系。 e l g r e e n 和0 s o l b e r g 在文献【1 7 】中引入了覆盖箭图q = q ( a ，彬) ，其中g 是一个 群，是一个由群g 中的元素构成的权序列，然后在路代数a q 口上构造出了所有以 路长为次的余分次的h o p f 代数结构( 指作为余代数分次) 。在文献【7 】中，c i b i l s 和r o s s o 引t h o p f 箭图q = q ( c ，7 ) ，其中g 是一个群，r 是群g 的一个分歧，然后在路余代 数惫q 。上构造出了所有以路长为次的分次的h o p f 代数结构( 指作为代数分次) 。 已知对于有限箭图q ，路代数k q 。和路余代数k q 。是对偶的。通过证明q 是覆盖 箭图当且仅当它是h o p f 箭图，在第四章中我们得n k q a _ 1 2 的h o p f 代数结构和庇q 。上 的h o p f f 弋数结构之间存在着对偶关系，k q l 上的a l l o w a b l ek q o 一双模结构和k q l 上的尼q o - h o p f 双模结构之间存在着对偶关系。除了给出关于这些结论的一些具体例子和应用之 外，我们还刻画了路代数后q n 上的余分次h o p 玳数的自同构群，这里q = q ( g ，w ) 是一 个s c h u r i a n 覆盖箭图，w 是一个权序列。 在文献 7 1 5 h ，c i b i l s 和r o s s o 已经证明了路余代数七q 。上存在h o p 玳数结构当且仅 当q 是h o p f 箭图，当且仅当q o 是个群g 且忌q 1 上存在k g h o p f 双模结构，其余模结构 映射为5 l ( x ) = s ( x ) z 和6 n ( x ) = z t ( x ) 对于z q l 。 第五章的主要目的是刻画广义路余代数上存在h o p 玳数结构的充要条件，它推广了 路余代数上存在h o p f 代数结构的条件。本章的动机是构造一类新的非点的h o p f 代数。 另外对一个有限箭图，我们还证明了每一个n o r m a l 广义路余代数是遗传余代数。 1 2 第1 章内容简介 众所周知在代数闭域k 上，有限维b a s i c 代数同构与一个路代数的商代数，这就是所 谓的g a b r i e l 定理。广义路代数理论最早在文献 1 2 】中被引入，目的是为了得到对任意 有限维代数成立的广义g a b r i e l 定理，即任意有限维代数都同构与一个广义路代数的商 代数。不幸的是，文献 2 5 1 中给出了一个反例，指出对于a r t i n i a n 代数a ，当a 乃可提 升时，a 不可能是其相应广义路代数的商代数。为了解决广义路代数的这一缺陷，文 献 2 5 1 中还引入了伪路代数，证明了当a r 可提升时，a 可成为由其自然箭图构造的伪路 代数的商代数。然而，始终存在某些特殊的a r t i n i a n 代数，它们可以成为其相应广义路 代数的商代数。文献【2 5 】中以具有2 幂零根的有限维代数作为例子给出了广义g a b r i e l 定 理。 在第六章中，我们首先证明了如果有限箭图不含有定向圈，那么它的n o r m a l 广义 路代数是遗传代数。然后讨论了一个a r t i n i a n 代数的自然箭图与e x t 一箭图间的关系。最 后我们证明了根分次的a r t i n i a n 代数可以成为其自然箭图的广义路代数的商代数，即广 义g a b r i e l 定理对这类a r t i n i a n 代数也是成立的。 我们知道，量子偶和量子群理论在数学物理中有着重要的应用，尤其是它的拟三角 性可以用来构造y a n g b a x t e r 方程的解。 在经典的量子偶d ( g ) = ( 后g 叩) + o 七g 中，张量积固左右两边的群g 是一致的。在 本文第七章中，我们想考虑当左右两边g 的平衡性被打破后，与经典量子偶相似的性 质。为此目的，我们将量子偶d ( g ) 推广到所谓的非平衡量子偶d x ( g ) ，这里x 是一个 右g s e t ( 在特殊情况下x 是个正规子群) 。我们不仅给出t d x ( g ) 的h o p f 代数结构， 找到一个u n i v e r s a l 肛距阵使得它是个拟三角h o p f 代数，而且还讨论t d x ( g ) 和后g 的 一些共同性质，比如半单性、u n i m o d u l a r i t y 和表示型。进一步的我们用q u i v e r 的方法 和s m a s h 积给出了其代数结构的更深刻划。 在第八章中，我们用两种方法在h o p 玳数日和c 的基础上构造出了非平衡量子 偶d c ( 日) ，它分别推广了由两个群构造的非平衡量子偶和由一个h o p 玳数构造的经典量 子偶。c 和日不同构时，就意谓着d c ( 日) 的非平衡性，这打破了经典量子偶d ( 日) 的平 衡性并且为我们在更广领域中寻找b 距阵提供了可能。当日余交换时，d c ( h ) 推广了 第七章中从群出发构造的非平衡量子偶d x ( g ) ；当c 是任意h o p f 代数日的右强n o r m a l h o p f 子代数时，d c ( 疗) 推广了从一个h o p f 代数日构造的经典量子偶。我们讨论 了d c ( h ) 的半单性和拟三角性，并且给出了左d c ( h ) - 模的刻划。 浙江大学博士学位论文 3 1 2 主要结果 定理1 1 ：4 - q 是一个有限箭图，则范畴s e t r e p q 等价于范畴p ( q ) 一s e t o 。 定理1 2 ： 假设q 是一个有限连通箭图，p ( q ) 为由q 中所有的路和零元素。构成的 半群，则下列说法等价： ( 1 ) p ( q ) 一s e t 。中所有的p ( q ) 一s e t s 是正分次的； ( 2 ) q 中任意圈是对称的； ( 3 ) 在q 上可定义一个正箭向函数； ( 4 ) 尸( q ) 一s e t 。中所有的尸( q ) 一s e t s 是正点分次的。 定理1 3 ：令p 是一个有限箭图，则下列说法等价： ( 1 ) q 是关于某个( g ，r ) 的h o p f 箭图； ( 1 ) 7q 是关于某个( g ，缈) 的覆盖箭图； ( 2 ) q o2 - - + 群g ，k q l 有一个七g h o p f 双模结构，其中的余模结构由屯( p ) = t ( p ) o p 和如0 ) = p 圆8 ( p ) 给出； ( 2 ) 7q o 是一个群g ，k q l 有一个a l l o w a b l ek g 一双模结构； ( 3 ) 尼q c 上有一个以路长为次的分次h o p f 代数结构； ( 3 ) 7 惫q n 上有一个以路长为次的余分次h o p f 代数结构，即( p ) 名ok q iqk q t t 对任意一个长为f 的路p ； ( 4 ) 尼q 。上有一个h o p f 代数结构； ( 4 ) 7 尼q n 上有一个h o p f 代数结构。 定理1 4 ： 对于一个有限覆$ , ( - a - k h o p f ) 箭图q = q ( c ，w ) = q ( g ，r ) ，通过对偶， 在忌q 1 上的所有a 1 1 0 w a b l ek g 一双模结构和七q 1 上的所有忌g - h o p f 双模结构之间存在 着一个双射对应，其中七q 1 上的忌g h o p f 双模结构的余模结构由此( z ) = t ( x ) oz 和6 n ( x ) = zo8 ( x ) 形式给出。 定理1 5 ：对于一个有限的覆盖( 或h 叩f ) 箭图q ，通过对偶，在忌q 。上的所有分 ；k h o p f 代数结构与忌q d 上的所有余分次h o p f 代数结构之间存在一个双射。 4 第1 章内容简介 下面我们考虑路代数尼q n 上的余分次h o p f 代数结构日的分次自同构群g a u t ( h ) ，其 中r = r ( c ，w ) 是一个s c h u r i a n 覆盖箭图，且是一个权序列。 由于r 中没有同向的多重箭向，我们可以把从i 到歹的箭向记为i _ 歹。由定理1 3 可 失i h o p f 代数日可唯一地甘f l k q x 上的一个a l l o w a b l ek g 一双模确定，所以日是由这样两个 函数亿：g q 1 一k 4 和t i t ：q 1xg k 来确定，它们需要满足下面的式子： 和 9 ( z 一歹) = r l ( a ，i _ j ) ( i g 一1 一j g - 1 ) ，( i _ 歹) h = 住( _ j ，忍) ( - 1 i _ h - l j ) t l ( g h ，i _ j ) = 亿( 庇，i 一歹) 亿( 9 ，i h 以一j h - 1 ) ， t r ( i _ 歹，g h ) = 强( t _ 歹，g ) 仇( 夕。i _ g - l j ，九) ， t l ( g ，i _ j ) v r ( i g 。_ j g ，h ) = t l ( g ，h - l i _ h - a j ) 1 - r ( i _ 歹，九) ， 其中k + 是k 中的非零元构成的乘法群。 下面我们把h 记成日( g ，彬亿，住) 。令k ( c ，r ，x l ，x a ) 为群嫦，2 a u t ( g ，r ) 的一个子集 合，其中的元素( 仃，入t 。j ) ( t 。j ) r ，具有性质 生垒= 业：丕墨地! ! 唑2 = 堕丛墨竺幽= ! 鲤2 11 塑2 a l jx l ( g ，z _ j ) x n ( g i _ 卯，州 对所有的( z _ j ) f 1 和g ，h f 0 。则 定理1 6 - k ( c ，r ，) ( l ，) ( r ) 是一个子群，且我们有一个群的反自同构g a u t ( h ) 垡 k ( c ，彬 r l ，仇) 。 定理1 7 ：令q 是一个有限箭图，则： ( 1 ) q 上每一个n o r m a l 广义路余代数是遗传的； ( 2 ) 如果q 中没有定向圈，则q 上每一个n o r m a l 广义路代数是遗传的。 定理1 8 ： 令k ( q c ，c ) 是域后上的一+ n o r m a l 广义路余代数，则下列说法等价： ( 1 ) q 是关于某些( g ，r ) 的h o p f 箭图使得k ( q o ，c ) 是g 型的； ( 2 ) k ( q o ，c ) 是q o c l o s e dh o p f 代数使得尼( q 1 ，c ) 有一个c - a r r o w s t a b l ek ( q o ，e ) 一 h o p f 双模结构，其中的余模结构映射由 屯( z ) ：= ( z ，) o ( 霉) 如( z ) ：= z ( z 0 ( z ) 塑兰奎兰堡主堂堡垒茎。，。，。 对任意的茁七( q 1 ，e ) 给出； ( 3 ) 七( q c ，c ) 上有一个以路长为次的分次h 叩f 代数结构，其中的余根是骗一c l o s e d ， 乘法是e a r r o w s t a b l e 。 定理1 9 ：对于代数闭域忌上的一个有限维代数a ，令b 是a 的b a s i c 代数，c 是k ( a a ，a ) 的b a s i c q k s d c 。如果自然箭图a 中没有定向圈，则我们得到下面的图表： f a)a =知( a ，4 ) c r 七( a ，一4 ) i | nn 0 rb=aba c=ra 这里r a 是a 的e x t 一箭图，等等；c ，3 和u 表示作) 勺d e n s e f f - 箭图的嵌入。 定理1 1 0 ：4 a 垒忽( 身，4 ) s j - 个g a b r i e l - 型a r t i n i a n 代数。则对a 的b a s i c 代 数b 与七( 身，, a ) d b a s i c 代数c ，有b 垡( c + s ) s 。 定理1 1 1 ：假定a 是一个根分次的a r t i n i a n 后一代数。, $ j j k ( a a ，a ) 中有一个a 有限 的r e l a t i o n s 的集合p 使得a 竺后( a ，4 ) ( p ) 作为代数，其中j 是由所有长度为1 的4 一路生 成均k ( a a ，4 ) 理想，且存在某个正整数s 使得尸( p ) j 。 定理1 1 2 ：对有限群g 和它的g - s e tx ，令d x ( g ) 是定理0 1 3 中所定义的代数。 则d x ( g ) 笺惫( q x ，p x ) 作为代数，从而范畴d x ( g ) 一r o o d 同构与范畴k ( q x ，触) 一m o d ，同 构与范畴l i n - r e p ( q x ，p x ) 。 定理1 1 3 ：假定g 和x 是两个有限群，且通过矽g 在x 上有一个作用使得x 是一 个右g s e t 。如果每一个g 一作用都是x 的一个群自同构，知j d x ( g ) = ( 尼x 印) + o 后g 有一 个h 叩f 代数结构如下： ( 1 ) 乘法 九夕九h = 九巧) y a - 1g h ， ( 2 ) 单位 1 d x ( g ) = e 霉x 九1 g ， ( 3 ) 余乘法 ( 九g ) = n x 矽n 一- 霉9 圆c a g ， ( 4 ) 余单位e ( 九夕) = 5 1 x ( 5 ) 对极 s ( 九夕) = o 一) ，g 一1 = ( 茁，) 一，g 一1 对任意的z ，y x 和g ，h g 6第1 章内容简介 定理1 1 4 ：当x 是g 的一个子群时，则定理0 1 3 中给出的d x ( g ) 上的h o p 玳数结 构是以r = 。xz 丸为r 距阵的拟三角h 叩玳数当且仅当x 是g 的正规子群且g 一作 用是共轭作用。 定理1 1 5 ：定理o 1 3 中定义的h o p f 代数d x ( g ) 有下面的性质： ( 1 ) d x ( g ) 是有限表示型的当且仅当七g 是有限表示型的； ( 2 ) d x ( g ) , 是：t a m e 型的当且仅当k g 是：t a m e 型的。 ( 3 ) 当忍是代数闭域时，d x ( g ) 和尼g 有相同的表示型。特别地经典量子偶d ( g ) 和 非平衡量子偶d x ( g ) 都与忌g 有相同的表示型。 定理1 1 6 ：令c 和日是两个有限维h o p f 代数其中日是余交换的。假定在c _ l 有一 个 z h 模结构使得c 既是一个y z h 一模余代数又是一个右日一模代数。记这个右模作用 为矿，则在d c ( h ) = ( c o p ) + oh 上有一个如下定义的h o p f 代数结构： ( 1 ) 乘法( f 圆z ) qy ) = ( z ) ，9 ( ? z 1 ) oz 2 ， ( 2 ) 单位 1 d c ( 日) = e g 圆1 h ， ( 3 ) 余乘法 a ( f z ) = ( z ) ，( ，) ( ox 1 ) o ( ，2o z 2 ) ， ( 4 ) 余单位e ( 厂圆z ) = 厂( 1 e ) e 日( z ) ， ( 5 ) 对极s ( f 圆z ) = ( z ) ( 跖1 ) + ( ，) ( ? 妇( 茁2 ) ) o 鼬( z 1 ) ， 对任意的z ，y h 和，g ( c 0 p ) 。 定理1 1 7 ：令c 是有限维h o p f 代数日的右强n o m a lh o p f 子代数，则在d c ( h ) = ( c 印) oh 上有一个如下定义的h o p f 代数结构 ( 1 ) 乘法( f 闪z ) 白冈y ) = o ) f g ( s - 1 ( z 3 ) ? z 1 ) 冈x 2 y ， ( 2 ) 单位1 d c ( 日) = e c 冈i n ， ( 3 ) 余乘法 ( ，阅z ) = ( z ) ，( ，) ( 闪x 1 ) 圆( 厶冈x 2 ) ， ( 4 ) 余单位e ( 厂t q 茁) = ，( 1 g ) e h ( z ) ， ( 5 ) 对极s ( fl qz ) = ( 窭) ，( ，) 鼬( z 2 ) & c 印) ( 尼) 冈铀( z 1 ) & g o p ) 。，1 对任意的z ，y h 和，g ( c 印) + ，其中冈= ，z f = ( 2 ) f ( s _ 1 ( x 2 ) ? z 1 ) 和z ，= 佃) f ( s 一1 ( z 3 ) z 1 ) z 2 。 浙江大学博士学位论文 7 定理1 1 8 ： 7 4 d c ( h ) 为定理o 1 7 中定义的h 叩f 代数，则f l - - - - d c ( h ) 一模范畴d c ( h ) 一 r o o d 同构与c r o s s e dh c 一模范畴c r s h m c 。 第2 章预备知识 本章，我们回忆一下本文要用到的一些相当重要的知识。以下我们用k 表示域， 用n 表示非负整数集即自然数集。 2 1 范畴与函子 定义2 1 ：一个范畴是这样一个三元组c = ( o b j c ，h o m c ，o ) ，其中o b j c 被称为范 畴c 的对象类，h o m c 被称为范畴c 的态射类，o 是态射间的一个二元运算且满足下面的 条件： ( 1 ) 对范畴e 中的每一组对象x ，y ，我们赋予一个集a a h o m c ( x ，y ) ，称为从x 到y 的 态射集，使得如果( x ，y ) ( z ，) ，则集a # h o m e ( x ，y ) 与集口# h o m e ( z ，u ) 的交集是空 集； ( 2 ) 对范畴c 中的任意三个对象x ，vz ，定义运算 o ：h o m e ( y , z ) h o m e ( x ，y ) 叫h o m e ( x ，z ) ，通过( 9 ，厂) 9o ， ( 称为，和g 的合成) ，满足下面的性质： ( i ) 对于任意三个态射_ 厂h o m e ( x ，y ) 、g h o m e ( y , z ) 和危h o m c ( z ，u ) ，有h o ( gos ) = ( h 09 ) 0 ，； ( i i ) 对于范畴c 中的每个对象x ，总存在一个元素l x h o m c ( x ，x ) ，称为x 上的恒 等态射，使得如果厂h o m e ( x ，y ) 且夕h o m e ( z ，x ) ，则有，ol x = ，和1 xo g = g 。 通常我们把，h o m e ( x ，y ) 写作f ：x y ，且用x o b j c , ：i j x c 来表示x 是范 畴c 的对象。 定义2 2 ：4 v 是一个范畴。范畴c 7 称为e 的子范畴，如果下面四个条件满足： ( 1 ) 范畴c 7 的类0 幻c 7 是范畴c 的类o b j c e ，子类； ( 2 ) 如果x ，y 是范畴c 的对象，则h o m e ，( x ，y ) h o m e ( x ，y ) ； ( 3 ) 范畴c 7 中态射的合成运算与范畴c 中的态射合成运算相同； ( 4 ) 对范畴c 7 中的每个对象x ，h o m e ，( x ，x ) 中的恒等态射1 x 与h o m e ( x ，x ) 中的恒 等态射1 x 相同。 r 浙江大学博士学位论文 9 t ( x ) 丛生t ( y ) r 量旦r 量 1 0 第2 章预备知识 2 2 箭图与线性表示 定义2 7 ：一个箭图q = ( q o ，q 1 ，8 ，t ) 是一个有向图，其中q o = 1 ，2 ，3 ，) 是点 的集合，q 1 = o c ，p ，7 ，) 是点之间箭向的集合，s 和t 是两个从箭向集q i 至j 点集q o 的 映射。用s ( a ) 和亡( a ) 分别表示箭向a 的始点和终点，通常我们将此箭向记为q ：i 一j ， 如果s ( q ) = i 且亡( q ) = 歹。 q 7 = ( q ：，q i ，s 7 ，亡) 被称为是箭图q 的子箭图如果锐q o ，q i q 1 ，8 7 = sk j i l t ，= tk 。 箭图q 中一条长度为佗l 的路礞指由箭向组成的一个有序序列p = c o n 0 2 0 ：1 ，其 中对1 i 佗一1 有亡( q t ) = s ( a 件1 ) ，记起点s ( p ) = s ( 口1 ) ，终点芒) = 亡( n ) ，长度f ) = 佗。q o 中的每个点i 都决定一个长度为。的平凡路仇，记起点与终点s 沁) = 亡( 仇) = i ，长 度f ( 忱) = 0 。更多时候在不引起混淆的情形下为简便起见，我们将点t q o 等同于平凡 路v i ，从而箭向o z ：i 叫歹等同于o l ：v i 叫。 我们称箭t i q 是有限箭图，如果q o 和q 1 都是有限集合；称箭图是s c h u r i a n 箭图如果 对任意两个点，至多有一个箭向从一个点出发到另一个点。q o 中的点t 被称为一个s i n k 点 如果不存在从此点出发的箭向；点t 被称为一个s o u r c e 点如果不存在以此点为终点的箭 向。 箭图间的一个态射7 r ：q q 是指对任意箭向o l q 1 ，满足7 r ( q o ) q o ，, r ( q x ) 饼，s ( 7 r ( a ) ) = 7 r ( s ( 口) ) 且右( 丌( 口) ) = 7 r ( 亡( 口) ) 的一个映射。 现在我们介绍第四章要研究的两类重要的箭图。 例子2 1 ：( 1 ) 令g 是一个群，c 是群g 的共轭类集，r ：e n 是一个类函数( 称为一 个分歧) 。定义箭图q = q ( a ，r ) 如下：点集合q o = g ，对任意的z g ，c c c ， 从z 到c z 有r c 条箭向。我们称此箭图为一个n o p f 箭图。 ( 2 ) 令g 是一个群，w = ( 叫1 ，w 2 ，训n ) 是由g 中元素组成的一个序列。定义一个 箭图q = q ( g ，彬) 如下：点集合q o = g ，箭向由( o i ，夕) ：9 - 1 一w i g 1 形式给出，其 中i = 1 ，2 ，n 且g g 。我们称此箭图为一个c o v e r i n g 箭图。 我们称为一个权序列如果对任意g g ，序列w 和序列( 夕伽l g ，夕伽2 夕一，g w , 。g 1 ) 在 可交换顺序的意义下是相同的。显然，当把w 中相同的元素看成同一个时，权序 列彤是g 中一些共轭类的并集，且每一个共轭类可能在中不止一次出现。 堑兰盔兰堡主兰垒篁奎。，。，。，。，。，。 定义2 8 ：4 q = ( q o ，q 1 ) 是一个箭图。一个线性表示( x ，_ 厂) 由一些七一空间五( i ) 与一些后一线性映射厶：k ( a ) 一五( a ) ( q q 1 ) 共同组成。 线性表示间的一个态射妒：( x ，厂) _ ( y ；g ) 是一些七一线性映射的集合 协：五一 k ) 讵q 。，且对q 1 中任意箭向q 满足下面的交换图： 咒( a ) 竺生k ( a ) i 厶1 9 a 咒( a ) ! 业m ( q ) 如果妒：( x ，) 一( g ) 和矽：( y , g ) _ ( z ，九) 是线性表示间的两个态射，则它们的合 成砂妒为线性映射的集合 砒：x 一五) t o 。 箭图q 上的所有线性表示和态射构成一个范畴，记为l i n r e p q ，其中由所有有限维 线性表示和态射构成的子范畴记为l i n r e p q 。 2 3 ( 广义) 路代数和( 广义) 路余代数 对于箭图q ，令七q 表示以q 中所有路为基生成的七一空间，在此空间上可定义一个自 然的代数结构和一个自然的余代数结构，分别称为路代数和路余代数。 定义2 9 ：( 1 ) 路代数惫q n 是在空间七q 上定义乘法 舢= p q 掣。= s ， 这里对任意的路p ，我们记p u s ( p ) = p = v o ) p 。显然且仅当箭图q 的点集q o 有限 时，路代数后q 口有单位元t q 。仇。 ( 2 ) 路余代数忌q 。= ( k q ，a ，e ) 是在空i e k q 上定义余乘法 ) = 触- p pq 余单位 e ( p ) ： 1 如果p 是一条平凡路， 1 0 ，否则 这里p 是q 中任意的路。 1 2 第2 章预备知识 定义2 1 0 ： 令q = ( q o ，q 1 ) 是一个箭图，a = ai q o 是一些分别3 , a e i ) o j 单 位元七一代数a 的集合。非零元素o l u j q 04 被称为长度为零的4 一路，其始点与终 点都为i 。对每个正整数他1 ，长度为礼的4 路定义为x = a n + l 风o n 仍n 2 p l a l ， 其中风岛俄是q 中长度为n 的路，对每个i = 1 ，n ，0 a i a 。( 风) i l o a n + l a t ) s ( 风) 和亡( 风) 同样分别被称为x 的始点与终点，彳s s ( x ) = s ( 1 ) ，t ( x ) = 亡( ) 。 令y 是由所有冉路张成的k 缌 生空间。是由所有 mm a n + l 肛n a n 岛( 砌嘭) 岛一q 一历。- 一o n + 风。佗岛岛一l a j 一卢o - 1 = 11 = 1 形式的元素生成的子空间，其中风p 1 是q 中长度为n 的路，对每个i = 1 ，竹 与2 = 1 ，m ，有a i a s 慨) ，a n + 1 a ( 风) ，k l k ，嘭a s ( 岛) 。 在商空间r = v w 上，给定任意两个元素 口叶1 阮尾0 2 胁a l 】和【6 m + 1 6 m 仇6 2 7 1 b 1 】，定义如下乘法： 【b i n + 1 6 m 7 2 b 2 7 1b l 】【a n + l p n a n 仍0 2 p 1 口1 】 l 【6 m + 1 6 m 7 2 b 2 7 1 ( b l a n + 1 ) 风口n 仍a 2 # l a i ，如果t ( 风) = s ( 7 1 ) ； 。1o ， 否则 容易验证此乘法是有意义的且使r 称为一个k 代数。如上定义的代数r 被称为q 的4 一路 代数，记为r = k ( q 口，4 ) 。我们通常将其中的元素i x 】仍记为x 。 注意到如果对所有的i q o 有a i = k ，则上面定义的代s k k ( q n ，以) 同构与q 上的路代 s k 。k q 。因此，在q 和4 上不引起混淆的情形下，我们通常称k ( q n ，么) 为广义路代数。 4 k ( q d ，a ) 是一个广义路代数，a = ali q o 。如果每个a 是单代数， 则七( q n ，4 ) 被称为是一个n o r m a l 广义路代数。 定义2 1 1 ： 令q = ( q o ，q 1 ) 是一个箭图，c = qii q o 是一些七一余代数的集 合，其中c ：c 以t 为余乘法以e t 为余单位u t q 。g 中的非零元素被称为长度为零的c 路。对每个正整数n 1 ，长度为f t 的c 一路定义为+ 1 风c ，i # 2 c 2 f ，1 c l ，其中风仍卢1 是q 中长度为佗的路，对每个i = 1 ，n ，有0 白g ( 风) ，0 c n + l g ) 。一 个c 一路的起点与终点定义类似于一个a 路的起点与终点。 浙江大学博士学位论文 1 3 令y 是由所有c 路张成的k 线陛空间令w 是由所有 f ，i t ，l c ，l + 风岛( k l c ；) 岛一勺一- 0 2 f l i c i 一k _ 【c n + ，风c i 岛弓岛一c j _ 1 - c 2 p l c l 1 = ii = 1 形式的元素生成的子空间，其中风岛是q 中长度为圯的路，对每个i = l ，n ，色 g ( 岛) ，+ 1 g 慨) ，且对每个f = 1 ，m 有后，弓g ( 岛) 。 在商空间r = w w 上定义余乘法和余单位e 如下：任意给定c 一路x = + l 风c ，l 伤c 2 p l c ， n + 1 ( x ) = + 1 尻q + 1 成c ，。彰屈一1 臼l c 2 p 1 c 1 ， 如果x 的长度为n 0 如果x a 对某个i q o 容易验证在r 上定义的如上余乘法和余单位是有意义的，且使r 称为一个七一余代 数。这个余代数结构被称为q 上的d 路余代数，记为r = k ( c 2 。，c ) 。 注意到如果对所有的t q o 都有a = k ，则上面定义的余代数七( q 。，c ) 同构与q 上的 路余代数尼q 。因此，在q 和c 上不引起混淆的情形下，我们通常称余代数k ( q 。，c ) 为广 义路余代数。 令忌( q 。，c ) 是一个广义路余代数，c = t gli q o 。如果每个g 是一个单余代数， 则我们称k ( q 。，c ) 为一个n o r m a l 广义路余代数。 2 4 ( 余) 拟三角h o p f 代数和量子偶 定义2 1 2 ：一个忌空间日称为一个双代数如果它既是一个代数又是一个余代数， 且下面两个条件之一成立： ( 1 ) 和e 是代数同态； ( 2 ) p 和叩是余代数同态。 如果进一步地还存在一个元素s h o m k ( h ，h ) ，( 被称为对极) ，使得s * i d h = i d h 木 s = 班成立，则双代数日称为一个h o p f l 镪f j c 。这里卷积水的定义为，半g = z ( f g ) a 。 定义2 1 3 ：令日是一个h 叩f 代数， ( 1 ) 元素t 日波称为日的一个左积分，如果对任意的九日，都有胁= e ( 允) ； x m “ ，j，【 = ) 0 硼 h e | i 彰 o 中真 1 4 第2 章预备知识 ( 2 ) 元素t 7 h 被称为日的一个右积分，如果对任意的h h ，都有t 7 h = ( ) 亡 ( 3 ) h ；是u n i m o d u l a rh o p f 代数，如果尼= 尼，其中尼表示所有左积分组成的空 间、尼表示所有右积分组成的空间。 由文献【1 】、【1 6 】、 3 2 1 和 4 0 1 可知积分空间层和尼都是一维的，且黠( 层) = 后。 进一步地，由文献【3 0 】知，对任意有限维h o p f 代数日，有日半单当且仅当e ( 层) 0 ，当 且仅当e ( 尼) 0 。 定义2 1 4 ： 令c 是日的一个h o p f 子代数， ( 1 ) c 被称为一个左n o r m a lh o p f 子代数，如果对所有的c c 和h h ， 有h i e s ( h e ) c 成立； ( 2 ) c 被称为一个7 占n o r m a lh o p f 子代数，如果对所有的c c 和 h ， 有s ( h 1 ) c h 2 c 成立； ( 3 ) c 被称为一个n o r m a lh o p f 子代数，如果它既是左n o r m a l 的又是右n o r m a l 的。 显然当日是有限维且余交换时，左n o r m a l 、右n o r m a l 和n o r m a l 是等同的，原因是 此时s 2 = i d 日。 定义2 1 5 ：4 h 是一个h o p f 4 k 数， ( 1 ) 一个余代数g 被称为一个右弘模余代数，如果在c l 有一个右日一模结构，记 为c p zh 矿，满足e ( 酽) = ( 2 2 1 1 圆2 和e c ( 酽) = e c ( c ) e h ) 对所有的c c 和z 日； ( 2 ) 一个代数a 被称为一个右日一模代数，如果在a 上有一个y z h - 模结构，记 h a 圆zh a z ，满足( 0 6 ) z = ( o 霉- ) ( 6 霉：) 和( 1 a ) z = e 日( z ) 1 a 对所有的n ，b a 和z h 。 定义2 1 6 ：