圆锥曲线方程-椭圆知识点归纳.doc

.椭圆典例剖析知识点一椭圆定义的应用方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_解析：因为焦点在y轴上，所以16m25m，即m，又因为b225m0，故m25，所以m的取值范围为m25.答案：mb0)由椭圆定义知：2a10，所以a5.又c4，所以b2a2c225169.故椭圆标准方程为1.方法二设椭圆的标准方程为1(ab0)，因为c4，所以a2b2c216.又椭圆经过点(5,0)，所以1，所以a225，所以b225169，所以椭圆的标准方程为1.(2)方法一当椭圆焦点在x轴上时，设标准方程为1(ab0)，依题意有解得又因为ab，所以该方程组无解当椭圆焦点在y轴上时，设标准方程为1(ab0)依题意有解得所以方程为1.综上知，所求椭圆的标准方程为：1.方法二设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，即其标准方程为1.练习：过点(3,2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程是_解析：因为c2945，所以设所求椭圆的标准方程为1.由点(3,2)在椭圆上知1，所以a215.所以所求椭圆的标准方程为1.答案：1知识点三根据方程研究几何性质求椭圆25x216y2400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标解将方程变形为1，得a5，b4，所以c3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a10,2b8，离心率e，焦点坐标为(0，3)，(0,3)，顶点坐标为(0，5)，(0,5)，(4,0)，(4,0)知识点四根据几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是.(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a6，a3.e，c2.b2a2c2945.椭圆方程为1或1.(2)设椭圆方程为 (ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，c=b=3，a2=b2+c2=18，故所求椭圆的方程为,知识点五求椭圆的离心率如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率解方法一设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F1 (c,0)，F2 (c,0)，M点的坐标为(c， b)，则MF1F2为直角三角形在RtM F1F2中：|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+| MF2|= 整理得3c2=3a2 2 ab.又c2=a2 b2，所以3b=2a.所以，所以所以e=知识点六直线与椭圆的位置关系问题当m取何值时，直线l：yxm与椭圆9x216y2144相切、相交、相离解由题意，得代入，得9x216(xm)2144，化简，整理，得25x232mx16m21440，(32m)2425(16m2144)576m214 400.当0时，得m5，直线l与椭圆相切0时，得5m5，直线l与椭圆相交当0时，得m5，直线l与椭圆相离知识点七中点弦问题已知点P(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，求l的方程解设l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减，得kAB.l的方程为：y2(x4)，即x2y80.考题赏析1(江西高考)设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y22内B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外D以上三种情形都有可能解析x1x2，x1x2.xx(x1x2)22x1x2.e，ca，b2a2c2a22a2.xxb0)的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案A解析|AF1|，故有tan602c(2ac)23(a2c2)2解得e.5设椭圆1的离心率为，则m的值是()A3 B.C.或3 D2或答案C解析当m4时，此时有，所以m；当0m4时，所以m3.6直线yx与椭圆1(ab0)的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为_答案解析当xc时，y，c即ce2e10，解得e.7倾斜角为的直线交椭圆y21于A，B两点，则线段AB中点的轨迹方程是_答案x4y0(x0，得b，故xb0)，椭圆过点A(3,0)，1，a3，2a32b，b1，方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，椭圆过点A(3,0)，1，b3,2a32b，a9，方程为1.综上所述，椭圆的标准方程为y21或1.(2)由已知从而b29所求椭圆的标准方程为1或1.(3)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，代入上述方程得，解得，椭圆的标准方程为1.(4)由题意，设所求椭圆的方程为t(t0)，因为椭圆过点(2，)，所以t2，故所求椭圆标准方程为1.10已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，b1，所求椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)当ABx轴时，|AB|.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)33(k0)34.当且仅当9k2，即k时等号成立当k0时，|AB|，综上所述|AB|max2.当|AB|最大时，AOB面积取最大值S|AB|max.11.已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上任意一点(1)若F1PF2，求F1PF2的面积；(2)求PF1PF2的最大值解：(1)设PF1m，PF2n(m0，n0)根据椭圆的定义得mn20.在F1PF2中，由余弦定理得PFPF2PF1PF2cosF1PF2F1F，即m2n22mncos122.m2n2mn144，即(mn)23mn144.2023mn144，即mn.又SF1PF2PF1PF2sinF1PF2mnsin，SF1PF2.(2)a10，根据椭圆的定义得PF1PF220.PF1PF22，PF1PF222100，当且仅当PF1PF210时，等号成立PF1PF2的最大值是100.讲练学部分22.1椭圆及其标准方程(一)对点讲练知识点一椭圆定义的应用平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为()A椭圆 B圆C无轨迹 D椭圆或线段或无轨迹答案D解析当2a|F1F2|时是椭圆，当2a|F1F2|时，是线段，当2a0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件答案B知识点二由椭圆方程求参数的范围若方程1表示椭圆，求k的取值范围解由椭圆的标准方程知解得3k2m10，即解得：mb0)由椭圆的定义知2a 2，所以a.又因为c2，所以b2a2c21046.因此，所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的标准方程为1，因点在椭圆上，代入椭圆方程得：1，解得：a210.所求方程为1.(2)解方法一当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)根据题意有，解得所以椭圆的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)根据题意有解得因为a0，n0，且mn)，根据题意得解得所以所求椭圆的标准方程为1.【反思感悟】求椭圆的标准方程通常利用待定系数法，如果不能确定焦点是在x轴上还是在y轴上，要分两种情况求解，当然也可以按(2)中的方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，这样就可避免分情况讨论了求焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P(3，2)的椭圆的标准方程解2c4，c2.由题意可设椭圆的标准方程为1.代入P(3，2)，得1.a21或a236，ac，方程为1.课堂小结：1.椭圆的定义中只有当距离之和2a|F1F2|时，轨迹才是椭圆；2a=| F1F2|时，轨迹是线段 F1F2；2ab0).(2)如果明确焦点在y轴上，那么设所求的椭圆的方程为(ab0).（3）如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上，那么方程可以设为mx2 + ny2=1(m0,n0，mn)，进而求解.课时作业一、选择题1椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1或1答案D解析.2已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC上，则ABC的周长为()A2 B4 C6 D16答案B解析由题意知，三角形的周长为B点到椭圆两焦点距离之和加上C点到椭圆两焦点距离之和，因此周长为4.3当直线ykx2的倾斜角大于45小于90时，它和曲线2x23y26的公共点的个数为()A0 B1 C2 D不能确定答案C解析由题意知k1，(23k2)x212kx60，(12k)24(23k2)672k2480.该直线与曲线公共点的个数为2.4椭圆x21的一个焦点是(0，)，那么k等于()A6 B6 C.1 D1答案B解析由题意a2k，b21，k1()2k6.二、填空题5ABC中，已知B、C的坐标分别为(3,0)和(3,0)，且ABC的周长等于16，则顶点A的轨迹方程为_答案1(y0)6“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为_千米答案mn解析设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则，则2cmn.7P是椭圆1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k|PF1|PF2|的最大值是_；最小值是_答案43解析设|PF1|x，则kx(2ax)因ac|PF1|ac，即1x3.kx22axx24x(x2)24kmax4，kmin3.三、解答题8ABC的三边a、b、c成等差数列，A、C两点的坐标分别是(1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程解由题意得2bac，即ac4.|BC|BA|4|AC|2.B点的轨迹为椭圆方程为1.因B点是ABC的顶点，不在x轴上，所以所求的轨迹方程为1 (x2)9已知经过椭圆1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点(1)求AF1B的周长；(2)如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长有变化吗？为什么？解由已知，a5，b4，所以c3. (1)AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|.由椭圆的定义，得|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以，AF1B的周长为4a20.(2)如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长不变化这是因为两式仍然成立，AF1B的周长为20，这是定值10求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别为(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.解(1)椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1 (ab0)，2a10，2c6，a5，c3，b2a2c2523216，所求椭圆的方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1 (ab0)2a26,2c10，a13，c5，b2a2c2144，所求椭圆的方程为1.22.1椭圆及其标准方程(二)对点讲练知识点一与椭圆有关的轨迹方程已知点M在椭圆1上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P，并且M为线段PP的中点，求P点的轨迹方程分析因点P与点M的坐标间存在一定关系，故可用P点坐标表示M点坐标，并代入M点坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程解设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)点M在椭圆1上，1.M是线段PP的中点，把，代入1，得1，即x2y236.P点的轨迹方程为x2y236.【反思感悟】本例中动点P与曲线上的点M称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法其基本步骤就是先求出M点与P点的坐标关系式并用P点的坐标表示M点坐标，然后代入M点坐标所满足的方程，整理后即得所求如图所示在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x=x0，y=.因为点P(x0，y0)在圆x2+y2=4上，所以x024y024.把x0x，y02y代入方程，得x24y24，即y21.所以点M的轨迹是一个椭圆知识点二应用椭圆定义求轨迹方程已知圆B：(x1)2y216及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程分析由图可知点P到B点和A点的距离的和为定值，可借助椭圆定义来求解如图所示，连结AP，l垂直平分AC，|AP|=|CP|，|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4，P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆2a4,2c|AB|2，a2，c1，b2a2c23.点P的轨迹方程为1.【反思感悟】求动点的轨迹方程时，应首先充分挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以致陷入繁琐的化简运算之中已知两定点A、B，且|AB|8，M是平面上一动点，且|AM|10，线段BM的垂直平分线交AM于P点，P点的轨迹是什么图形？解如右图所示|PB|=|PM|，|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10，|AB|=8，所以|PA|+|PB|AB|，所以P点轨迹是椭圆知识点三椭圆定义的综合应用设M是椭圆1上一点，F1、F2为焦点，F1MF2，求MF1F2的面积分析在MF1F2中，已知|F1F2|和F1MF2，况且|MF1|MF2|2a10，可根据余弦定理求得|MF1|和|MF2|的长，再利用面积公式可求解椭圆1中，a225，b216，c2a2b29.a5，b4，c3.|F1F2|2c6,2a10.设|MF1|r1，|MF2|r2.在MF1F2中，由余弦定理，得：rr|F1F2|22r1r2cos.即(r1r2)22r1r236r1r2.根据椭圆的定义，有r1r210.r1r264(2)，SMF1F2r1r2sin3216.【反思感悟】椭圆中，MF1F2往往称为焦点三角形在MF1F2中，|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，求解有关问题时，注意正、余弦定理的运用如图ABC中底边BC12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程解以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，则B(6,0)，C(6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|CE|30.由重心性质可知|GB|GC|(|BD|CE|)20.B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且2012，G点轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点2c=|BC|=12，c=6,2a=20，a=10，b2=a2c2=10262=64，故G点轨迹方程为 ,，去掉(10,0)、(10,0)两点又设G(x，y)，A(x，y)，则有 又 故A点的轨迹方程为 ，去掉(30,0)、(30,0)两点.课堂小结：1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴椭圆的标准方程有两种形式：（1）(ab0),焦点在x轴上，焦点坐标为(c,0)，焦距2c；（2）(ab0)，焦点在y轴上，焦点坐标为(0,c)，焦距2c.椭圆的焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大.这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.2.在与圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系.课时作业一、选择题1椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为()A20B22C28D24答案D解析由|PF1|PF2|14，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2100，得2|PF1|PF2|14210096.又因PF1PF2，所以S|PF1|PF2|24.2一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，则动圆圆心的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析两定圆的圆心和半径分别为O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R.所以|MO1|MO2|10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a5，c3.所以b2a2c225916.故动圆圆心的轨迹方程为1.所以选A.3椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2 B4 C8 D.答案B解析因为|MF1|MF2|10，|ON|MF2|，因为|MF2|8，所以|ON|4.4椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()A B C D答案A解析因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2x轴，F2为另一焦点，所以P点坐标为.M是PF1的中点，M的纵坐标是.二、填空题5已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨迹是_答案圆解析如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a为常数；又因为|PQ|=|PF2|，所以|PF1|+|PQ|=2a，即|QF1|=2a为常数即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆故Q的轨迹为圆6椭圆1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是_答案(3,0)解析设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知：|PF1|PF2|2a10，所以|PF1|PF2|2225，当且仅当|PF1|PF2|时取等号；由，解得：|PF1|PF2|5a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即P(3,0)7点A，B的坐标分别是(1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹方程为_答案x3 (y0)解析设点M的坐标为(x，y)，由已知，得直线AM的斜率kAM(x1)；直线BM的斜率kBM(x1)由题意，得2，所以，2(x1，y0)化简，得x3(y0)因此，点M的轨迹是直线x3，并去掉点(3,0)三、解答题8已知一直线与椭圆4x29y236相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程解方法一由题意直线AB的斜率存在，设通过点M(1,1)的直线AB的方程为yk(x1)1代入椭圆方程，整理得(9k24)x218k(1k)x9(1k)2360.设A、B的横坐标分别为x1、x2，则1，解得k，故AB的方程为y(x1)1，所以所求方程为4x9y130.方法二设A(x1，y1)，因为AB中点为M(1,1)，所以B点坐标是(2x1,2y1)将A、B点坐标代入方程4x29y236，得4x9y360，及4(2x1)29(2y1)236，化简为4x9y16x136y1160.式式得16x136y1520，化简为4x19y1130.同理可推出4x29y2130.因为A(x1，y1)与B(x2，y2)都满足方程4x9y130，所以4x9y130即为所求9设x、yR，i、j分别为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，ax i(y2)j，bx i(y2)j，且|a|b|8.(1)求点M(x，y)的轨迹方程（2）过点（0，3）作直线l与曲线C（为（1）问中点M的轨迹）交于A、B两点，是否存在这样的直线l使得四边形OAPB是矩形？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由解(1)由|a|b|8，得8，即点M(x，y)到两定点F1(0，2)，F2(0,2)的距离和为定值8，且|F1F2|6所以动点N的轨迹是以点C(3,0)和A(3,0)为焦点的椭圆，且2a10，所以曲线E的方程为：1；(2)设直线与椭圆交与G(x1，y1)，H(x2，y2)两点，中点为S(x，y)由点差法可得：弦的斜率k.由S(x，y)，Q(2,1)两点可得弦的斜率为k，所以k，化简可得中点的轨迹方程为：16x225y232x25y0.22.2椭圆的简单几何性质. 对点讲练知识点一由椭圆方程研究其几何性质设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标分析设出椭圆方程，再依据椭圆几何性质建立参数关系式确定椭圆方程，进而可使其他问题解决解设所求的椭圆方程为1或1(ab0)，则解得所以所求的椭圆方程为1，或1.离心率e，当焦点在x轴上时，焦点为(4,0)，(4,0)，顶点(4，0)，(4，0)，(0，4)，(0,4)，当焦点在y轴上时，焦点为(0，4)，(0,4)，顶点(4,0)，(4,0)，(0，4)，(0,4)【反思感悟】解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质已知椭圆x2(m3)y2m的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解椭圆方程可化为1，m0.又m0，m，a2m，b2，c .e， m1椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点坐标为(，0)顶点坐标为(1,0)(1,0)，(0，)(0，)知识点二由椭圆的几何性质求椭圆方程例2. 已知F1、F2是椭圆(ab0),的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若=0，椭圆的离心率等于，AOF2的面积为2，求椭圆的方程.解 =0AF2F1F2，因为椭圆的离心率e，则b2a2，设A(x，y)(x0，y0)，由AF2F1F2知xc，A(c，y)，代入椭圆方程得,AOF2的面积为2，SAOF2=xy=2，即 c= 2,=，b2=8，a2=2b2=16，故椭圆的方程为 【反思感悟】由椭圆的几何性质，求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)构造方程求出a、b的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程. 已知F1、F2是椭圆 (ab0)的左、右两个焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足0(O是坐标原点)，AF2F1F2.若椭圆的离心率等于，ABF2的面积等于4，求椭圆的方程解 由0知，直线AB经过原点，e，b2a2，设A(x，y)，由AF2F1F2知xc，A(c，y)，代入椭圆方程得1，y，连结AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知SABF2SABF1SAF1F2，所以2ca4，又由ca，解得a216，b2168，故椭圆方程为1.知识点三求椭圆的离心率已知F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关解设|PF1|m，|PF2|n，(1)在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2，即cos6011112()212e2(当且仅当mn时取“”号)所以e2，又e(0,1)，所以e，1)(2)证明在PF1F2中，由余弦定理可知|PF1|2|PF2|22|PF2|PF1|cosF1PF2|F1F2|2，即cos60因为m2n2(mn)22mn4a22mn所以1，所以mnb2，所以SPF1F2mnsin60b2，即F1PF2的面积只与短轴长有关【反思感悟】椭圆的离心率是椭圆固有的性质，与椭圆的位置无关求椭圆的离心率e，即求比值，而在椭圆方程中a2b2c2，所以求离心率只需寻求a，b，c三者或者其中两者之间的关系式注意椭圆离心率0eb0)，c2a2b2，F1(c,0)，因为PF1F1A,所以P ( -c , )即P (-c , ),ABPO,kAB = kOP,b=c,a2 = 2c2,e = = 2,方法二 由方法一知P (-c , ),又PF1OBOA, = , = ， 即b=c,a2=2c2, e =.= ，课堂小结：1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用.2.椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用.3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0ec恒成立，由椭圆性质知|OP|b，其中b为椭圆短半轴长，bc，c22c2，2，e.又0e1，0e.5设0k9，则椭圆1与1具有相同的()A顶点 B长轴与短轴C离心率 D焦距答案D解析由0k9，知09k1时，半焦距为，所以，解得a2，方程为y21.当a2b0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)PF1F2的面积解方法一(1)令F1(c,0)，F2(c,0)，则b2a2c2.因为PF1PF2，所以kPF1kPF21，即1，解得c5.所以椭圆方程为1.因为点P(3,4)在椭圆上，所以1.解得a245或a25.又ac，所以a25舍去故所求椭圆方程为1. 方法二因为PF1PF2，所以PF1F2为直角三角形所以|OP|F1F2|c.又|