（机械设计及理论专业论文）约束机械系统动力学积分方法研究与系统实现.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 ( 计算机辅助约束机械系统动力学分析，广泛应用于航空航天器、机器人、机构 等复杂机械系统的设计，其中的关键问题在于动力学模型微分一代数方程的数值积 分，以及动力学模型的自动建立。本文在国家“八六三”高技术研究发展计划 ( 9 8 4 2 0 0 3 ) 和国家自然科学基金( 5 9 9 9 0 4 7 0 ) 资助下，对上述关键问题进行了研 究，旨在设计一个动力学分析求解器，为相关系统提供动力学分析求解核心，并初 步实现一个原型系统。围绕此目的，作了以下几个方面的工作。7 首先，导出了求解微分代数方程的解耦超定微分代数方程积分方法。1 该方法 是在超定微分代数方程的基础上推导的基于隐式线性多步法的完全解耦方法，通 过顺序求解位置、速度和加速度进行解耦，避免了隐式方法中预估式的引入，大大 提高了求解效率，具有较好的稳定性，并可用于求解刚性问题。 其次，探讨了机械系统动力学建模的通用自动建模技术。澍于一般机械系统， 从动力学分析全流程出发，对模型中的各元素作了详细讨论，认为动力学自动建模 的关键在于矩阵组装，据此提出了对系统非对角分块稀疏矩阵进行组装的分块贡献 法。l 、 再次，以完全解耦方法和自动建模技术为理论基础，采用面向对象技术初步设 计了一个机械系统动力学分析求解器d y n s o l v e r 。求解器封装了自动建模技术和数 值求解方法。为自动建模和数值求解提供了方便的访问方法和控制手段。厂一 最后，采用a c i s 5 0 为几何引擎，以d y n s o l v e r 为核心求解器，以v c + + 6 0 为开发工具，独立地实现了一个较完整的机械系统动力学分析原型系统d a d p 。 ( d a d p 包括几何造型模块、动力学建模模块、数值求解模块和结果显示模块，可以 对平面任意杆系进行动力学建模和求解。) d a d p 的数值实验结果表明了所研究的完全解耦方法和自动建模技术的有效 性，以及所设计的求解器的合理性。 关键词：约束机械系统，微分代数方程，积分方法，动力学自动建模 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ec o m p u t e r - a i d e dd y n a m i ca n a l y s i so fc o n s t r a i n e dm e c h a n i c a ls y s t e mi sw i d e l y a p p l i e d t ot h e d e s i g n o fc o m p l e xm e c h a n i c a l s y s t e m s s u c ha s a i r c r a f t s ，r o b o t s ， m e c h a n i s m s ，e t c ，o fw h i c ht h ek e yp r o b l e m sa r en u m e r i c a li n t e g r a t i o n f o rd y n a m i c m o d e lc a l l e dd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n ( d a e ) a n dt h ea u t o m a t i ce s t a b l i s h i n gf o r d a e b e i n gs u p p o r t e db y n a t i o n a lh i 曲t e c h n o l o g yr e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n t p r o g r a mo fc 1 1 i n a ( 9 8 4 2 0 0 3 ) a n dn a t i o n a l n a t u r es c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( 5 9 9 9 0 4 7 0 ) ，t h et h e s i s h a ss t u d i e dt h e s ek e yp r o b l e m s i t sp u r p o s e sa r et od e s i g na d y n a m i cs o l v e rt op r o v i d eas o l v i n gk e r n e lf o rd y n a m i ca n a l y s i so f r e l a t i v es y s t e m sa n d t oi n i t i a l l yr e a l i z eap r o t o t y p es y s t e m s o m ew o r k sh a v eb e e nd o n ef o rt h ep u r p o s e sa s f o l l o w s f i r s t l y , an u m e r i c a lm e t h o d c a l l e dd e c o u p l i n go v e r d e t e r m i n e d d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i c e q u a t i o n o d a e ) t o s o l v ed a ei sd e d u c e d ，w h i c hi sak i n do f c o m p l e t ed e c o u p l i n g m e t h o df o ri m p l i c i tl i n e a rm u l f i s t e pm e t h o d ，d e r i v e df r o mo d a eb yo r d e r l ys o l v h a g p o s i t i o n ，v e l o c i t ya n da c c e l e r a t i o n t h em e t h o da v o i d si m p o r t i n gp r e d i c te q u a t i o nf o r i m p l i c i tm e t h o d s a n d i ti se 伍c i e n ta n ds t a b l e ，t h u sc a nb eu s e di ns t i f f p r o b l e m s s e c o n d l y , t h e u n i v e r s a la u t o m a t i c m o d e l i n gt e e h n o l o g yf o rd y n a m i c so f m e c h a n i c a l s y s t e mi se x p l o r e d i nt h et h e s i s e a c he l e m e n ti nt h ed y n a m i cm o d e li sd i s c u s s e di n d e t a i lf o r g e n e r a l m e c h a n i c a ls y s t e m s a n dt h em a t r i xa s s e m b l yi ss u p p o s e dt ob et h ek e y p r o b l e mo f a u t o m a t i cm o d e l i n g ，a n das u b m a t r i c e sc o n t r i b u t i o nm e t h o di sp r e s e n t e dt o a s s e m b l ys p a r s en o n d i a g o n a ls u b m a t r i c e s t h i r d l y , as o l v e rc a l l e dd y n s o l v e rf o rd y n a m i c si si n i t i a l l yd e s i g n e db a s e do nt h e c o m p l e t ed e c o u p l i n g m e t h o da n da u t o m a t i c m o d e l i n gt e c h n o l o g y , i n w h i c ht h e a u t o m a t i cm o d e l i n g t e c h n o l o g ya n dn u m e r i c a lm e t h o da r ee n c a p s u l a t e d ，a n dc o n v e n i e n t v i s i ta n dc o n t r o lw a y sa r ep r o v i d e df o rm o d e l i n ga n ds o l v i n g o f i n a l l y , u s i n ga c i s 5 0 a s g e o m e t r i ce n g i n e ，d y n s o l v e ra s k e r n e ls o l v e ra n d v c + + 6 0a s d e v e l o p m e n tt o o l ，a i li n t e g r a t e dp r o t o t y p es y s t e mc a l l e d d a d pf o r d y n a m i c si si n d e p e n d e n t l yi m p l e m e n t e d d a d p c o n s i s t so f g e o m e t r i c m o d e l i n gm o d u l e ， d y n a m i cm o d e l i n gm o d u l e ，n u m e r i c a ls o l v i n gm o d u l ea n dr e s u l t sd i s p l a ym o d u l e i tc a n b ea p p l i e dt ot h em o d e l i n ga n d s o l v i n go f a n yp l a n a rr o ds y s t e m t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t si nd a d ps h o wt h a tb o t l lt l l e c o m p l e t ed e c o u p l i n g m e t h o dp r e s e n t e da n dt h ea u t o m a t i cm o d e l i n gt e c h n o l o g ys t u d i e da r ee f f e c t i v e ，a n dt h e r e a s o n a b l e n e s so f t h es o l v e rd e s i g n e di sv e r i f l e d k e y w o r d s ：c o n s t r a i n e dm e c k a n i c a l s y s t e m ，d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n ， i n t e g r a t i o nm e t h o d ，d y n a m i c a u t o m a t i c m o d e l i n g i i 第一章绪论 1 1 课题背景 计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每个领域。 数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以 a n s y s 、n a s t r a n 等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。计算机技 术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则 在二十世纪八十年代形成了- - f q 称之为计算多体系统动力学的学科i lj ，并产生了以 a d a m s 和d a d s 为代表的动力学分析软件。基于计算机技术的结构有限元分析和 机构动力学分析一起组成了计算机辅助分析( c a a ) 技术的主要内容，它们和计算 机辅助制图( c a d ) 技术( 包括几何造型技术) 共同形成了应用极为广泛的计算机 辅助设计( c a d ) 技术。 计算多体系统动力学的概念首由e j h a u g 川提出，是指用计算机数值手段来研 究复杂机械系统的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析的理论 和方法，其任务为： 1 建立复杂机械系统运动学和动力学程式化的数学模型，开发实现这个数学模 型的软件系统，用户只需输入描述系统的最基本数据，借助计算机就能自动 进行程式化处理。 2 开发和实现有效的处理数学模型的计算方法与数值积分方法，自动得到运动 学规律和动力学响应。 3 实现有效的数据后处理，采用动画显示、图表或其他方式提供数据处理结果。 计算多体系统动力学的产生极大地改变了传统机构动力学分析的面貌，使工程 师从传统的手工计算中解放了出来，只需根据实际情况建立合适的模型，就可由计 算机自动求解，并可提供丰富的结果分析和利用手段；对于原来不可能求解或求解 极为困难的大型复杂问题，现可利用计算机的强大计算功能顺利求解；而且现在的 动力学分析软件提供了与其它工程辅助设计或分析软件的强大接口功能，它与其它 工程辅助设计和分析软件一起提供了完整的计算机辅助工程( c a e ) 技术。 华中科技大学硕士学位论文 1 2 约束机械系统动力学模型 1 2 1 基本定义 力学模型：由物体、铰、力元和外力等要素组成并具有一定拓扑构型的系统。 物体：多体系统中的构件定义为物体。 铰：在多体系统中将物体间的运动约束定义为铰，也称为运动副。 力元：在多体系统中物体间的相互作用定义为力元，也称为内力。理想的力元 可抽象为移动弹簧一阻尼器致动器( t s d a ) ，或扭转弹簧阻尼器一致动器( r s d a ) 。 外力( 偶) ：多体系统外的物体对系统中物体的作用定义为外力( 偶) 。 拓扑构型：多体系统中各物体的联系方式称为系统的拓扑构型，简称拓扑。 数学模型：分为静力学数学模型、运动学数学模型和动力学数学模型，是指在 相应条件下对系统力学模型的数学描述。 1 2 2 多体系统分类 计算多体系统动力学中所研究的多体系统，根据系统中物体的力学特性可分为 多刚体系统、柔性多体系统和刚柔混合多体系统。多刚体系统是指可以忽略系统中 物体的弹性变形而将其当作刚体来处理的系统，该类系统常处于低速运动状态；柔 性多体系统是指系统在运动过程中会出现物体的大范围运动与物体的弹性变形的 耦合，从而必须把物体当作柔性体处理的系统，大型、轻质而高速运动的机械系统 常属此类；如果柔性多体系统中有部分物体可以当作刚体来处理，那么该系统就是 刚柔混合多体系统，这是多体系统中最一般的模型。 1 2 3 多刚体系统的数学模型 对于多刚体系统，自二十世纪六十年代以来，在航天和机械两个领域分别形成 了两种不同的数学建模方法【2 】【3 】 这两种建模方法的区别在于对刚体位形描述的不 同。 航天领域是以系统每个铰的一对邻接刚体为单元，以一个刚体为参考物，另一 个刚体相对该刚体的位置由铰的广义坐标( 又称拉格朗日坐标) 来描述。这样开环 系统的位置完全可由所有铰的拉格朗日坐标阵q 所确定。其动力学方程的形式为拉 格朗日坐标阵的二阶微分方程组，即 a ( q ，) 口= b ( q ，口，) ( 1 1 ) 华中科技大学硕士学位论文 这种形式首先在解决拓扑为树的航天器问题时推出。其优点是方程个数最少，易转 化为常微分方程组( o d e s o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) ，但方程呈严重非线性， 为使方程具有程式化与通用性，在矩阵爿与b 中常常包含描述系统拓扑的信息，其 形式相当复杂，而且在选择广义坐标时需人为干预，不利于计算机自动建模。 机械领域是以系统每一个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系，刚体的位 置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标统一为同体坐标系基点的笛卡尔坐 标与坐标系的方位坐标，在二维系统中为3 个，三维系统中为6 个。对于由n 个 刚体组成的系统，位置坐标阵q 中的坐标个数为3 n ( 二维) 或6 n ( 三维) ，由于 铰的存在，这些位置坐标不独立。系统动力学模型的一般形式可表示为 。i 肛曰- ( 1 2 ) lm ( g ，) = 0 。 式中巾为位置坐标阵q 的约束方程，o ，为约束方程的雅可比矩阵，旯为拉格朗日 乘子。这类数学模型就是微分代数方程组( d a e s d i f f e r e n t i a la l g e b r a i ce q u a t i o n s ) ， 也称为欧拉一拉格朗日方程组( e u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n s ) ，其方程个数较多，但系 数矩阵呈稀疏状，适宜于计算机自动建立统一的模型进行处理。目前国际上最著名 的两个动力学分析商业软件a d a m s 和d a d s 都是采用这种建模方法【4 1 。 本文采用的是后一种建模方法一笛卡尔坐标方法。 1 3 约束机械系统动力学数值求解综述 在计算多体系统动力学的三大任务中，相对重要的是前两者：多体系统的数学 建模和数值求解。对于多刚体系统，针对航天和机械两个领域两种不同建模方法所 生成的不同数学模型，分别发展形成了两种不同的数值求解方法，洪嘉振 2 】分别称 之为多刚体系统动力学的拉格朗日方法和笛卡尔方法。 对于拉格朗日方法来说，算法的大部分时间都是花在最终数学模型的组装上， 一旦生成与式( 11 ) 类似的动力学数学模型，再化为常微分方程求解是较容易的事 情。对于笛卡尔方法来说，生成系统的动力学数学模型是很简单的，算法的大部分 时间都花在微分一代数方程组的求解上。下面介绍一下近几十年来在微分代数方程 组数值求解方面的研究与进展。 1 3 1 微分代数方程组的特性 多刚体系统采用笛卡尔方法建模生成的微分一代数方程组为 华中科技大学硕士学位论文 m ( q ，t ) o + 中：( g ，f ) 五一q ( q ，4 ，r ) = o ( 1 3 ) 巾( q ，) = 0 ( 1 4 ) 其中，g 、口、口r ”分别是系统位置、速度、加速度向量，五r “是拉格朗日乘 子，f r 是时间，m r 为机械系统惯性矩阵，o ，r ”“为约束雅可比矩阵， q r ”为外力向量，中r ”为位置约束方程。 将式( 1 4 ) 对时间求一阶和二阶导数，得到速度和加速度约束方程： o ( q ，寸，0 = 巾。( q ，r ) 口一v ( q ，f ) = o ( 1 5 ) m ( g ，口，牙，t ) = 中。( g ，t ) q q ( q ，口，t ) = 0 ，一( 1 6 ) 其中，d = 一中，( g ，) 称为速度右项，r = 一( 巾。口) 。尊一2 w 口一o 。称为加速度右项。 给定方程组初始条件： 椴：2 ( 1 7 ) 【口( o ) = 吼 、 微分代数方程组的特性和需要注意的问题有： i 微分一代数方程问题不是常微分方程( o d e ) 问题1 6 j ： 2 由式( 1 3 ) 和( 1 4 ) 组成的微分代数方程组是指标3 问题i ”，通过对约束方程 求导化为由式( 1 3 ) ( 1 6 ) 组成的微分代数方程组后，其指标降为1 ； 3 微分一代数方程数值求解的关键在于避免积分过程中代数方程的违约现象； 4 初值式( 1 7 ) 与位置约束式( 1 5 ) 及速度约束式( 1 6 ) 的相容性： 5 微分代数方程组的刚性问题。 1 3 2 微分代数方程组的实时积分技术 自二十世纪七十年代以来，国际上对微分代数方程问题作了大量的研究，时 至如今，新的算法仍不断涌现。根据对位置坐标阵和拉格朗日乘子处理技术的不同， 可以将微分代数方程组问题的处理方法分为增广法和缩并法 2 】【8 1 。 1 增广法 传统的增广法是把广义坐标加速度牙和拉格朗日乘子五作为未知量同时求解， 再对加速度百进行积分求出广义坐标速度口及广义坐标位置g ，包括直接积分法和 约束稳定法。近十年来，在传统增广法的基础上又发展形成了超定微分代数方程 组( o d a e s ) 方法等新的一类算法。 直接积分法：将式( 1 3 ) 和( 1 6 ) 联立在一起，同时求出奇与丑，然后对牙积分 得口和g 。该方法未考虑式( i 4 ) 和( 1 5 ) 的坐标和速度违约问题，积分过程中误差积 累严重，很易发散。在实际的数值计算过程中，并不直接采用直接积分法，但在直 4 华中科技大学硕士学位论叉 接积分法的基础上发展了一系列控制违约现象的数值方法。 约束稳定法【9 】【1 0 】f l l 】：将控制反馈理论引入微分代数方程组的数值积分过程以 控制违约现象。通过把式( 1 6 ) 右边量替换为含位置约束和速度约束的参数式，保证 位置约束和速度约束在式( 1 3 ) 和( 1 6 ) 联立求解时恒满足。该方法稳定性好，响应快， 但如何选择参数式中速度项和位置项适当的系数是个问题。 对于约束稳定法中参数式速度项和位置项系数的合理选择，国内外作了不少研 究，如文献f 1 2 j 【1 3 1 提出一种对位置约束方程用t a i l e r 展开得到约束稳定法的速度项和 位置项系数的方法，并进一步提出一种对位置、速度约束方程同时进行t a i l e r 展开 的所谓位置约束方程和速度约束方程同时自动修正的方法：文献4 】提出用修正的 a d a m s m o u l t o n 预估校正法来提高约束稳定法的稳定性。 超定微分一代数方程组( 0 d a e s ) 法 i 7 1 1 8 】：将系统速度作为变量引入微分 代数方程组，从而将原来的二阶d a e 化为超定的一阶d a e ，再为所得方程组引入 未知参数，根据模型的相容性消除系统的超定性，如此可使数值计算的稳定性明显 改变。或者将系统位置、速度、加速度向量和拉格朗日乘子向量联立作为系统广义 坐标，再将由式( 1 3 ) 、( 1 4 ) 、( 1 5 ) 和r 1 6 ) 组成的微分代数方程组及速度与位置、加 速度与速度的微分关系式作为约束，化二阶d a e 为超定的一阶d a e ，再根据系统 相容性引入二个未知参数，消除超定性，这样所得的最终约化模型更为简单，但方 程组要多n 个。在o d a e 方法的基础上产生了一系列新的更为有效的算法。 解耦0 d a e 法1 1 9 】【：在o d a e 方法的基础上，发展形成了一类解耦思想，就是 在o d a e s 基础上，对常用的隐式o d e 方法采用预估式，再按加速度、速度和位 置的顺序进行求解。后来进一步发展形成了无需对隐式o d e 方法利用预估式的解 耦思想，更一步地提高了效率。 2 缩并法 缩并法就是通过各种矩阵分解方法将描述系统的n 个广义坐标用p 个独立坐标 表达，从而将微分一代数方程组从数值上化为与式( i 1 1 类似的数学模型，如此易于 用o d e 方法进行求解。传统的缩并法包括l u 分解法、q r 分解法、s v d 分解法 以及零空间方法等，后来在传统缩并法的基础上产生了局部参数化缩并方法等新的 算法。缩并法中的这些具体方法，分别对应着约束雅可比矩阵的不同分解。 l u 分解法【2 i j ：又称为广义坐标分块法。把广义位置坐标q 用相关坐标“和独立 坐标v 分块表示，再将约束雅可比矩阵巾。用l u 分解法分块，得到广义坐标速度口、 加速度口用独立坐标速度i 、加速度i 表达的式子。将这两个表达式代入式( 1 3 ) ， 就可得到形如式( 1 1 ) 的关于独立坐标加速度i 的二阶微分方程。该算法可靠、精确， 并可控制误差，但效率稍低。 华中科技大学硕士学位论文 综合l u 分解法和约束稳定法的优点，文献提出了混合算法，它具有广义 坐标分块法中可靠性和积极的误差控制的特性，并且接近约束稳定法的运算速度。 文献把用于结构动力学的n e w m a r k 法引入l u 分解法，以提高稳定性。 o r 分解法 2 4 】 2 5 1 【2 6 】：通过对约束雅可比矩阵中，正交分解的结果作微分流型分 析，得到可选作受约束系统独立速度的j ，并将微分一代数方程组化作形如式( 11 ) 的关于j 的二阶微分方程，如此可保证在小时间间隔内由2 积分引起的广义坐标的 变化不会导致大的约束违约。 一 s v d 分解法【2 7 】：把约束雅可比矩阵中，作奇异值分解所得结果分别用于式( 1 3 ) 和( 1 6 ) ，得到缩并后的系统动力学方程。在该方法推导过程中没有用到式( 1 4 ) 和 ( 15 ) ，所以也存在位置和速度违约问题，可用约束稳定法改善其数值性态。 可微零空间法刚：通过g r a m s c h m i d t 正交化过程自动产生约束雅可比矩阵， 的可微、唯一的零空间基，来对系统方程降阶。具体做法是对由，r 和任意 矩阵b r ) “构造的矩阵p r 采用g r a m s c h m i d t 正交化过程，将p 化为正交 非奇异矩阵矿。再引入新的速度矢量0 r ”，使满足j = v7 4 ，将新速度矢量j 和加 ， 速度矢量j 按正交化结果分块，得到新的独立速度矢量j ，和加速度矢量j ，。如此可 将微分- 代数方程组化为关于新的独立加速度矢量2 ，的动力学方程。 局部参数化缩并方；去【2 9 】【3 0 】：先将式( 1 3 ) 一( 1 6 ) 改写为等价的一阶形式，再用微 分流形理论的切空间局部参数化方法将等价的欧拉拉格朗日方程降为参数空间上 的常微分方程。 文献1 3 l 】提出的一种新方法也属此类，但更易理解。它是把时间并入广义坐标讨 论，化式( 1 3 ) - ( 1 6 ) 为指标l 的一阶模型，再引入局部等价方程组概念对其作局部数 值离散。 3 其它方法 总的说来，微分代数方程组数值求解的方法都可归为增广法或缩并法，除了 上面所介绍的这些增广法和缩并法所运用的增广和缩并技术外，近几年来还出现了 不少独具特色的处理算法，它们或者是在数值求解算法中独具匠心，或者针对某些 ， 具体情况作了专门研究。 文献u 2 j 提出，对于用笛卡尔坐标建模的系统，先将微分代数方程组化为关于 拉格朗日乘子的线性形式，然后用基于系统拓扑图的方法对其系数矩阵进行简化。 鉴于递归公式在求解大规模约束机械系统运动方程上的有效性，文献【3 3 】推广了 递归公式，并用速度变换公式将运动方程从笛卡尔空间变换到铰空间，提高了算法 效率。 文献1 将处理优化问题的约束变尺度法引入到约束多体系统动力学正则方程 中，以克服数值积分过程中的违约问题，提高算法稳定法。 文献口5 1 提出种求解多体系统动力学方程的子系统迭代法，通过系统分割大大 降低了方程的祸合程度、非线性和刚性。 文献【3 6 l 对多体系统处于奇异位置的动力学问题作了研究，推导了应用于拉格朗 日正则方程隐式算法的雅可比矩阵的分块形式，以提高计算效率。 对于变拓扑多体系统，文献刚提出将约束分为基本约束和附加约束( 或称为条 件约束) 的处理方法。 文献【3 8 1 根据对系统仿真逼真度的不同要求，把系统动力学模型分成低逼真度和 高逼真度两种不同的形式区别开来，并给出了相应的误差估计。 4 对相容性和刚性问题的处理 初值相容性问题：在微分- 代数方程组的数值求解过程中，给定的位置和速度 初始条件与微分，代数方程组中的位置和速度约束的相容性是值得注意的一个问 题。文献f 39 】对此作了讨论，说明了相容性的充分条件，并指出相容性是微分代数 方程组有解的必要条件。 刚| 生问题：由于现代机械系统的复杂性，会由于系统的耦合而使所得到的微分 一代数方程组呈现刚性特性 4 0 1 。对于刚性问题的求解，目前最常用的方法是隐式方 法，隐式方法不仅用于求解刚性问题，而且相比于显式方法具有更好的稳定性和计 算精度。近几年来，无论是在l u 分解法基础上发展起来的新缩并法【4 1 】【4 2 l ，还是基 于o d a e 方法的增广法i t 9 1 1 2 0 l ，或是基于多体系统正则方程的解法【4 3 4 4 1 ，应用的无 不是隐式方法。 1 4 课题来源、目f l e j i n 意义 本课题受到国家“八六三”高技术发展计划自动化领域项目( 9 8 4 2 0 0 3 ) 和国 家自然科学基金项目( 5 9 9 9 0 4 7 0 ) 资助，是前者“三维变量几何关键技术研究与应 用”项目的后期研究。 本课题的主要目的是研究约束机械系统动力学分析的实时积分算法，寻求一类 高效、稳定、适用性广的数值算法，据此设计一个动力学分析求解器。同时，对动 力学建模的自动建模技术进行研究，给出适用于一般机械系统的通用自动建模技 术，最后还必须提供分析结果的后处理手段。最终的结果是实现一个以求解器为核 心，同时提供通用的自动建模和分析结果后处理手段的系统原型。 本课题的意义在于： 1 提出一类新的更有效的约束机械系统动力学分析算法，据此以面向对象的 华中科技大学硕士学位论文 技术实现一个面向自动建模和结果数据后处理的求解器： 2 实现一个约束机械系统动力学分析的系统原型，可进行试验模型的自动建 模、数值求解，并采用多种方式显示求解结果： 3 自主版权商用机械系统动力学分析软件的原型研究； 4 为三维几何约束求解与动力学分析统一建模的研究提供理论和技术支援； 5 为虚拟设计系统提供运动学和动力学分析的核心； 1 5 所做工作与内容安排 以机械系统动力学分析求解器研制为核心，在算法研究和系统实现过程中，作 者在作了以下具有创造性的工作： 1 提出了一类效率高、稳定性好、适用性广的动力学实时积分算法： 2 研究了针对一般机械系统动力学建模的通用自动建模技术，提出了自动建 模过程中进行矩阵组装的分块贡献法； 3 以提出的完全解耦算法和自动建模技术为基础，采用面向对象技术设计了 一个机械系统动力学分析求解器。求解器集成了物理模型数据存储、数学 模型自动建模和数值求解，面向数值求解控制过程和结果数据后处理： 4 以a c i s 5 0 为几何核心，设计了一个相对简单但功能完整的几何造型平台； 5 以v c + + 6 0 为开发工具，设计了机械系统动力学分析自动建模和数值求解 的用户界面； 6 独立实现了一个较完整的机械系统动力学分析原型系统d a d p ，可以进行 几何造型、动力学建模、数值求解和结果数据查询； 7 利用m a t l a b 5 3 的曲线显示功能，开发了动力学分析结果曲线显示界面。 根据所做工作，对全文内容作如下安排： 全文共分六章，第一章绪论先指出本课题的研究对象及其背景，再进行文献综 述，最后阐明本课题的来源、目的和意义。第二章和第三章介绍基于约束的机械系 统的运动学和动力学，说明了以笛卡尔方法建立约束机械系统运动学与动力学模型 的概念和方法。第四章研究求解约束机械系统动力学模型的数值方法，提出了一类 完全解耦算法。第五章阐述约束机械系统动力学分析的建模和求解的实现，论述了 自动建模技术，并以面向对象技术实现了一个面向自动建模和结果数据后处理的求 解器，最后介绍了作者独立完成的以该求解器为核心的一个动力学分析软件原型。 第六章对全文进行总结，并对下一步工作进行一些展望和规划。 8 华中科技大学硕- 2 - 学位论文 第二章基于约束的机械系统运动学 对于机械系统的运动学分析，传统的理论力学是以刚体位置、速度和加速度的 微分关系以及矢量合成原理为基础进行分析的，而计算多体系统动力学中的运动学 分析则是以系统中连接物体与物体的运动副为出发点，所进行的位置、速度和加速 度分析都是基于与运动副对应的约束方程来进行的。 基于约束的机械系统运动学，首先寻求与系统中运动副等价的位置约束代数方 程，再由位置约束方程的导数得到速度、加速度的约束代数方程，对这些约束方程 进行数值求解，可得到广义位置坐标及相应的速度和加速度坐标，最后根据坐标变 换就可以由系统广义坐标及相应导数得到系统中任何一点的位置、速度和加速度。 2 1二维机械系统运动学 机械系统在二维空间作运动，广义坐标、约束方程、问题规模以及问题求解都 相对简单。本节先给出进行运动学和动力学分析的一些基本概念，再建立起平面机 械系统运动的约束方程、速度方程和加速度方程，然后基于坐标变换给出求构件上 任意点运动的方法。 2 1 1 基本概念 刚体：是对机构零件的模型化，定义为质点间距离保持不变的质点系。 连体坐标系：固定在刚体上并随其运动的坐标系，用以确定刚体的运动。刚体 上每一个质点的位置都可由其在连体坐标系中的不变矢量来确定。 机构：装配在起并允许作相对运动的若干个刚体的组合。 运动学：研究组成机构的相互联接的构件系统的位置、速度和加速度，其与产 生运动的力无关。 广义坐标：唯一地确定机构所有构件位置和方向即机构构形的任意一组变量。 广义坐标可以是独立的( 即自由任意地变化) 或不独立的( 即需要满足约束方程) 。 对于运动系统来说，广义坐标是时变量。 自由度：确定一个物体或系统的位置所需要的最少的广义坐标数，称为该物体 或系统的自由度。 约束方程：对系统中某构件的运动或构件之间的相对运动所旌加的约束用广义 9 坐标表示的代数方程形式，称为约束方程。约束分为运动学约束和驱动约束，运动 学约束一般是系统中运动副约束的代数形式，而驱动约束则是施加于构件上或构件 之间的附加驱动运动条件。 2 1 2 约束方程 设一个平面机构由6 个刚性构件组成。在机构 所在平面上建立一个全局坐标系x o y ，机构在该坐 标系中运动；再为机构上每个构件i 建立各自的连 体坐标系x ：o ：y ：，可由连体坐标系的运动确定构件 的运动。选定构件连体坐标系原点0 j 的全局坐标 r = 阮，y ， 7 和连体坐标系相对于全局坐标系的转 角西组成构件i 的笛卡尔广义坐标矢量 q ，；阮，y ，痧r ，如图2 1 所示。由n b 个刚性构件 组成的系统的广义坐标数”c = 3 n b ，则系统广义 坐标矢量可表示为q = g i ，g ；，g 二r 。 图2 1 平面笛卡尔广义坐标 一个实际的机械系统，系统中构件与支架或构件与构件之间存在运动副的联 接，这些运动副可以用系统广义坐标表示为代数方程。设表示运动副的约束方程数 为砌，则用系统广义坐标矢量表示的运动学约束方程组为 ( g ) = 【m i ( g ) ，o ! ( g ) ，中二( q ) 】2 = 0 ( 2 1 ) 这里给出的是定常完整约束情况。如果约束方程与时间相关，则自变量中显含时间 项，这种约束被称为非定常约束；更一般的约束方程含有不可积速度项的不等式或 关系式，这种约束称为非完整约束。一般的运动学约束是定常完整约束。 对于一个有h c 个广义坐标和 个约束方程的机械系统，若”c n h ，且这”矗个 约束方程是独立、相容的，则系统自由度d o f = c n h 。为使系统具有确定运动， 可以有二种方法： ( 1 )为系统添加与系统自由度d o f 相等的附加驱动约束； ( 2 ) 对系统施加力的作用。 在( 1 ) 情况下求解系统运动过程中的位置、速度和加速度的分析是运动学分析， 在( 2 ) 情况下求解系统运动过程中的位置、速度和加速度的分析则为动力学分析。 考虑运动学分析，为使系统具有确定运动，为系统旌加等于自由度的驱动约束 中。( g ，) = 0 ( 2 2 ) 在一般情况下，驱动约束是系统广义坐标和时间的函数，驱动系统在给定运动学约 束下作确定运动。 由式( 2 1 ) 表示的系统运动学约束和式( 2 2 ) 表示的驱动约束组合成系统所受的 全部约束 咐，= 陇烀虬- 删 求解式( 2 3 ) ，就可得到系统在任意时刻的位置g ( ，) 。 2 1 3 速度和加速度方程 对式f 2 3 ) 运用链式微分法则求导，得到速度方程 q b ( q ，尊，) = 。( g ，f ) 口+ 中，( g ，f ) = 0 ( 2 4 ) 若令p = 一o ，( g ，f ) ，则速度方程为 也( q ，口，f ) = m 。( q ，f ) 0 一d = 0 。( 2 5 ) 如果击，是非奇异的，可以求解式( 2 5 ) 得到各离散时刻的寸。 对式( 2 4 ) 运用链式微分法则求导，可得加速度方程 中( g ，亩，牙，) = 中。( g ，f ) 学+ ( 。( q ，f ) 口) 。口+ 2 中州( q ，) 圣+ 。( g ，t ) ；0 ( 2 6 ) 若令r = 一( 中。茸) 。口一2 由，圣一中。，则加速度方程为 中( g ，口，牙，f ) = o 。( g ，f ) 口一r ( q ，口，f ) = 0 ( 2 7 ) 如果由。是非奇异的，可以求解式( 2 7 ) 得到各离散时刻的4 。 在速度方程( 2 5 ) 和加速度方程( 2 7 ) 中出现的矩阵m 称为雅可比矩阵，雅可 比矩阵是约束机械系统运动学和动力学分析中最重要的矩阵。 对式( 2 5 ) 中的d 和式( 2 7 ) 中的，7 进行计算时，会涉及到二阶导数，在实际的数 值求解中，我们并不是实时地调用求导算法来进行计算，而是先根据具体的约束类 型，导出二阶导数以及雅可比矩阵的表示式，在计算中只需代入基本的数据即可。 2 1 4 坐标变换与任意点运动 在确定系统中构件上任意点的运动时，常要求将构件上点从连体坐标系变换到 全局坐标系中，现讨论连体坐标系与全局坐标系的坐标变换及构件上任意点运动。 设矢量j 在全局坐标系x o y 和某连体坐标系巾j 中分别表示为 扣h 5 ，r ( 2 8 ) f = i s ；芦，r 】。 。 若任意点j d 在全局坐标系x o y 和连体坐标系x ；o ；y j 中坐标如图2 2 所示，则存在如下 坐标变换关系 | i 华中科技大学硕士学位论文 ，= ，+ j = ，+ 彳s ( 2 9 ) 其中，为点p 在全局坐标系中的坐标，r 为连体坐标系原点0 在全局坐标系中的 坐标，s ，为矢量j 在全局坐标系中坐标，5 ”为矢量i 在连体坐标系中的坐标，a 为 旋转变换矩阵，其形式为1 1 1 a：4()；i。os!。5“m(210)a 1 = 4 ( ) = i 。：i 【2 l 5 1 1 1 c ”p j a 对时间的导数为 ：乒要爿：扩8 1 7 叫0 8 1 | 三徊( 2 1 1 ) d 西。lc o s 一s i n 矽l 1 根据式( 2 9 ) ，我们可以得到以连体坐标系表示的构件上的任一点的全局坐标。 图2 2 二维空间坐标变换图2 3 三维空间坐标变换 式f 2 9 ) 对时间求导数，可得任意点的速度变换公式 ，= i + 玉”= i + 蕊”( 2 1 2 ) 式( 2 1 2 ) 对时间求导数，可得任意点的加速度变换公式 i ：，+ 荔出+ 五瓜9 = i + 荔醯9 一参2 a s ( 2 1 3 ) 对于一个平面机构来说，进行运动学分析时，先是选定最大集的广义坐标，再 分别根据式( 2 3 ) 、( 2 5 ) 和( 2 7 ) 求解机构在各离散时刻的位置、速度和加速度。对于 任意一个由连体坐标系确定的构件上的点，我们可以根据式( 2 9 ) 、( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 求 解其位置、速度和加速度。 2 2 三维机械系统运动学 三维机械系统的运动分析与二维机械系统较为相似，只是广义坐标选取复杂一 华中科技大学硕士学位论文 些，约束方程形式复杂一些，问题规模要大一些。这里先给出三维机械系统广义坐 标的两种形式及相互之间的变换，再给出