用向量讨论平行与垂直同步练习题(1)(教师版).doc

用向量讨论平行与垂直同步练习题一、选择题1直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(3,2,1)，u(1,2，1)，则l与的位置关系是()Al Bl Cl与相交但不垂直 Dl或l解析：选D.au3410，au，l或l.2若两个不同平面，的法向量分别为u(2,1，1)，v(3,2,8)，则()A B C，相交不垂直 D以上均不正确解析：选B.uv6280，uv.故.3平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直 C垂直 D不能确定答案C解析(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面也垂直4已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15 Bx3，y Cx3，y15 Dx6，y答案D 解析l1l2，ab， 则有，解方程得x6，y.5若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()Al Bl Cl Dl与斜交答案B解析u2a，au，l.6若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的可能是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0) Ba(1,3,5)，n(1，2,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1) Da(1，1,3)，n(0,3，1)答案B 解析欲使l，应有na，na0，故选B.7设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2 B4 C4 D2解析：选C.因为，所以它们的法向量必共线，即，k4，故选C.8已知直线l1的方向向量a(2,4，x)，直线l2的方向向量b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy的值是()A3或1 B3或1 C3 D1解析：选A.|a| 6，x4， 又ab，ab224y2x0，y1x，当x4时，y3，当x4时，y1，xy1或3.9.已知A、B、C三点的坐标分别为A（4,1,3），B（2，-5，1），C（3，7，），若ABAC，则等于（ ）.A.28 B.-28 C.14 D.-1410在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBD CA1D DA1A解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)0，CEBD.二、填空题11.设a，b分别是直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1，l2的位置关系：(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，l1与l2_平行_；(2)a(2,1,4)，b(6,0,3)，l1与l2_垂直_.12平面，的法向量分别为m(1,2，2)，n(2，4，k)，若，则k等于_解析：由知，mn0.282k0，解得k5.答案：513已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，则平面ABC的一个法向量为_解析：设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，由题意可得：(1,1,0)，(1,0，1)由得令x1，得yz1.n(1,1,1) 答案：(1,1,1)(答案不唯一)14已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析：由于12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正确答案：15若A，B，C是平面内三点，设平面的法向量为a(x，y，z)，则xyz_.解析：由已知得，(1，3，)，(2，1，)，由于a是平面的一个法向量，a0，a0，即，解得，xyzyyy23(4)答案：23(4)16已知A(1,1，1)，B(2,3,1)，则直线AB的模为1的方向向量是_答案或解析， =（1，2，2），| | = 3 .模为1的方向向量是,三、解答题17.已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，试求平面的一个法向量解:A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(1，2，4)，设平面的法向量为n(x，y，z)依题意，应有n= 0， n = 0.即，解得.令y1，则x2.平面的一个法向量为n(2,1,0)18已知正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：(1)AD1平面BDC1；(2)A1C平面BDC1.证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0，1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1，1)设n(x，y，z)为平面BDC1的法向量，则n，n.令x1，则n(1，1,1)(1)n(1，1,1)(1,0,1)0，知n.又AD1平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)n(1，1,1)，(1,1，1)，知n，即n.A1C平面BDC1.19.已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABDC，DAB90，PD底面ABCD，且PDDACD2AB2，M点为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)在平面PAD内找一点N，使MN平面PBD.解：(1)证明：PD底面ABCD，CDAB，CDAD.以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示)由于PDCDDA2AB2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，(2,0,1)，(0,2,0)，平面PAD，是平面PAD的法向量，又0，平面PAD.BM平面PAD.(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则(x，1，z1)，(0,0,2)，(2,1,0)，若MN平面PBD，则，即.在平面PAD内存在点N，使MN平面PBD.20.在正方体中，是的中点，求证：.解析：如图建系空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O，C1(0,1,1)，(1,0，1)，.设平面ODC1的法向量为n(x0，y0，z0)，则得令x01，得y01，z01，n(1,1，1)又 n1101(1)(1)0，n，B1C平面ODC1.21.在正方体中，分别是棱的中点，试在棱上找一点，使得平面.解：建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)设M（2，2，m），则 =（1，1，0），=（0， 1， 2）， =（2，2，m2）. 平面EFB1， EF，B1E， = 0且 = 0，于是m1，故取B1B的中点为M就能满足D1M平面EFB1.22已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以 =（0，2，1）， =（2，0，0）， =（0，2，1）.（1）设n1=（x1 , y1 , z1）是平面ADE的法向量,则n1 ， n1，即 得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为 n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.（2） =（2，0，0），设n2 = (x2 , y2 , z 2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2,n2,得得 得令z22得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.23在棱长为1的正方体AC1中，O1为B1D1的中点求证：(1)B1D平面ACD1；(2)BO1平面ACD1.证明建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则B(1,0,0)，O1(，1)，D1(0,1,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，B1(1,0,1)，(1,1，1)，(0,1,1)，(1,1,0)，(，1)(1)0，0，与不共线，平面ACD1，B1D平面ACD1.(2)0，平面ACD1.又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.24在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论解析(1)证明：PD底面ABCD，四边形ABCD是正方形，AD、DC、PD两两垂直，如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空