（基础数学专业论文）c代数交换的等价条件.pdf

d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 2 4 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s o m ( 1 u i v a l e n tc o n d i t i o n , 。o f m ee qu l v a l ec o ni t l o n s c o m m u t a t i v i t yo fac 术- a l g e b r a d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p u r em a t h e m a t i c s o p e r a t o rt h e o r y s u p e r v i s o r ：p r o f y i f e n gx u e n a m e ： j i a n gr u n l i a n g m a y ，2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文c 。代数交换的等价条件 ，是在华东师范大 学攻读司寡壬博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的 研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并表 示谢意 下完成 作者签 日期：山o 年f 月如1 7 1 华东师范大学学位论文著作权使用声明 换的等价条件系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导 士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有 本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关 机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版：允许学位 论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全 国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出 版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文木，予 年 月 日解密，密后适用上述授权 7 。 72 不保密，适用上述授权 o 签谈过各聋绝蚓日 木“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员捡审 蒋闰良硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 李文侠教授华东师范大学数学系主席 梁金荣教授华东师范大学数学系 胡善文教授华东师范大学数学系 摘要 交换c + 代数有许多的特征比如说，k a p l a n s k y 证明了c 代数a 是交换的当 且仅当a 只有0 这一个幂零元n a k a m o t o 给出了交换g 代数的一个谱的特征；基 于c + 玳数的序结构，o g a s a w a r a ，s h e r m a n ，w u ，j i 和t o m i y a m a 分别给出了不同的 交换g + 玳数的特征之后j e a n g 和k o 证明了以下的结论：，和g 分别是定义在实 轴的闭区间 和尼上的连续函数，而且，和g 是非常值如果对满足a ( x ) c 和 仃( 3 ，) c1 2 的自伴元z 和y 都有，( z ) 夕( 耖) = 9 ( 秒) ，( z ) ，则a 是交换的这个命题的重 点在于f ( a ) 在a 中是稠密的，其证明依赖于测度论 在本文中，首先我将证明如果玳数a 的每一个遗传子代数( 或单侧闭理 想) 一定是a 的双侧闭理想，则a 一定是交换的 接着还将证明如果c 玳数a 不是交换的，则( 由a 生成的包络v o nn e u - m a n n 代数) 有一个木同构于m 2 ( c ) 的一子代数b 通过这个结论，我们同样可以推 出上述的一些主要结论 关键词： 遗传子代数，单侧闭理想，单调连续函数，包络v o nn e u m a n n 代数 t h e r ea r em a n yc h a r a c t e r i z a t i o n sf o rt h ec o m m u t a t i v eo fc - a l g e b r a s f o r e x a m p l e s k a p l a n s k ys h o w e dt h a tac 。- a l g e b r aa i sc o m m u t a t i v ei f ft h eo n l yn i l p o - t e n te l e m e n ti nai s0 ：n a k a m o t og a v eas p e c t r a lc h a r a c t e r i z a t i o nf o rt h ec o m i n u - t a t i v i t yo fac + a l g e b r a ；0 9 a s a w a r a ，s h e r m a n ，w u ，a n dj ia n dt o m i y a m ag a v e d i f f e r e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so fc o m m u t a t i v ec - a l g e b r a sb ym e a n so ft h eo r d e rs t r u c - t u r e l a t e r ，j e a n ga n dk op r o v e dt h a tf o rn o n - c o n s t a n tc o n t i n u o u sf u n c t i o n s ，g d e f i n e do nac l o s e di n t e r v a l 1a n d 2r e s p e c t i v e l y , i ff ( x ) g ( y ) = g ( u ) f ( x ) f o ra l l s e l f - a d j o i n te l e m e n t sza n dyi naw i t h 盯( z ) c 1a n d 盯( ) c 2 ，t h e na i sc o m m u - t a t i v e t h i sr e s u l ti sac o r o l l a r yo ft h em a i nt h e o r e m ，t h a ti s ，f ( a ) i sd e n s ei na b u ti t sp r o o fr e l i e so nt h em e a s u r et h e o r y i nt h i sp a p e r ，f i r s tw ep r o v et h a ti fe a c hh e r e d i t a r yc + - s u b a l g e b r a ( o ro n e - s i d e d c l o s e di d e a l ) o fai sac l o s e di d e a lo fa ，t h e nam u s tb ea b e l i a n t h e n w ew i l la l s op r o v et h a tt h ec - a l g e b r aa i sn o tc o m m u t a t i v ei f ft h e r ei sa c l s u b a l g e b r ab i na ( t h ee n v e l o p i n gv o nn e u m a n na l g e b r ao fa ) s u c ht h a tbi s 掌一 i s o m o r p h i ct om 2 ( c ) ) i nt e r m so ft h i sr e s u l t ，w ec a nr e c o v e rs o m ec h a r a c t e r i z a t i o n s w h i c hw eh a v et o l da b o v ef o rt h ec o m m u t a t i v i t yo fc + - a l g e b r a s k e yw o r d s ：h e r e d i t a r yc + s u b a l g e b r a ，o n e - s i d e dc l o s e di d e a l ，m o n o t o n i c c o n t i n u o u sf u n c t i o n ，e n v e l o p i n gv o nn e u m a n na l g e b r a 中文摘要 英文摘要 目录 第一章引理与主要结论1 1 1c 一代数的遗传子代数、单侧闭理想与闭理想1 1 2c 玳数上的序与单调连续函数6 第二章推论及推广1 0 2 1 一些定理的新证法1 0 2 2b a n a c h 代数交换的一些等价条件1 5 参考文献1 9 致谢2 0 华东师范大学硕士论文c + 一代数交换的等价条件 第一章引理与主要结论 1 1c 玳数的遗传子代数、单侧闭理想与闭理想 对于c + 代数a 的一个闭线性子空间j ，它被称为是a 的左( 右) 闭理想是指，对 任意a a ，b i 就一定有a b ，( 施，) ，被称为是a 的闭理想，是指，是a 的左 闭理想同时又是，是a 的右闭理想c 代数a 的闭理想一定是a 的c 一子代数 我们称c + 代数a 的左( 右) 闭理想，是正则的是指：存在让a 使得对任意a 的元素a 有a 一伽i ( a u a 耽我们说c 玳数a 的闭理想正则的是指：存 在u a 使得对任意a 的元素a 有a a u i ，a u a i 这等价于代数a i 有单 位元 引理1 1 1 设，是矿玳数a 的一个闭理想并且有左正则元e 俾a a e ， v a a ) ，则e 必是i 的右正则元( 即a e a i c a a ) 证明：由条件知道，对a 中的每一元a 有a a e i ，我们得到e 一e * e i 由 于j 是a 的一个闭理想，关于对合运算封闭，于是就有a e * a i ，v a a 从而 e e * e i 此时就有e e 。i ，即有a a e + = a a e + n ( e 4 一e ) i ，v a a ，因 此有a e a i 和a a e i 对所有a a 成立j 是a 的一个具有正则元e 的闭 理想口 这里用s 表示由俨一代数a 上所有范数不大于1 的正线性泛函构成的集合，s 是a 的对偶空间a 的紧凸集记e ( s ) 表示s 的极点，p ( s ) = e ( s ) o ) 我们称 p ( s ) 中的元素为a 的纯态 引理1 1 2 a 是玳数 ( 1 ) 若是a 上的纯态，贝jk e r ( ) = 心十心其中心= n a i ( n n ) = o ) 是 a 的一个极大正则左理想 ( 2 ) 对a 中的每一个自伴元a ，都至少有a 上的一个纯态，使得咖( o ) = | | am 华东师范大学硕士论文 c + 一代数交换的等价条件 详细证明请见【5 1 对于b a n a c h 代数a ，其对偶空间中可能有一些特别的元素，满足以下的性 质：f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) 对任意a ，b a 都成立我们称这类线性泛函为可乘线性泛函 引理1 1 3 ( g l e a s o n - k a h a n e - z e l a z k o ) 设是有单位元e 的b a n a c h 代数a 上的 一个线性泛函者( e ) = 1 ，j j 魍肘a 中每一个可i 抗n 有( n ) 0 ，则是a 上 的一个可乘线性泛函 详细证明请见【3 】 设b 是c 代数a 的一个c 一子代数，b 上埠以及a a + ，如果不等式a b 能推出a b ，则我们就称b 是a 的遗传子代数 对于一个c 代数a ，如果j 是a 的一个遗传子代数，则a 有且仅有一个左闭 理想厶使lnl + = i 反之，对a 中每一个左闭理想厶i = ln l + 也一定是a 的 遗传子代数所以双侧闭理想一定是遗传子代数，而反之则未必成立 设a 是c 代数，a a 为正元以a 。表示石j 函 定理1 - 1 1 a 是c 代数则以丁条件等价： ( i ) a 是交换的 ( 2 ) a 的每一个遗传子代数都是a 的闭理想 。，。( 3 l 。a 的每_ 个左闭理想都是a 的闭理想 ( 4 ) a 的每一个左闭理想都是关于对合运算封闭的 俐a 上的每一个纯态都是a 上的可乘线性泛函 ( 6 ) 对a 中任意的正元a ，a 口都是a 的闭理想 ( ，7 ) a 的每一个右闭理想都是a 的闭理想 ( 8 ) a 的每一个右闭理想都是关于对合运算封闭的 2 华东师范大学硕士论文c + 一代数交换的等价条件 证明：( 5 ) 兮( 1 ) 取a 上的两个自伴元a 和b ，则不难得到i ( a b 一6 n ) 也是a 上 的自伴元( 这里i 是虚数单位) 则由引理1 1 2 可知，存在a 上的一个纯态西满足 妒( t ( 曲一b a ) ) = 0i ( a b b a ) i | 由( 5 ) 知道( 0 6 一b a ) = 0 此时就有 i i 曲一b ai i = l ii ( 曲一6 口) i i = ( i ( 0 6 6 n ) ) = 0 即a 上任意两个自伴元是交换的由于c 。玳数上每一个元可以由两个自伴元线性 组合表示，因此就得到c + 一代数a 是交换的 ( 1 ) 兮( 4 ) 显然( 4 ) 号( 3 ) 设l 是a 的一个左闭理想设a l 以及b b 由( 4 ) 得到a + l ，b * a l ，于是a b 厶即l 又是a 的一个右理想，则l 又是a 的一个 闭理想 ( 3 ) 兮( 5 ) 首先设a 是有单位元e 的设是c 代数a 的任意一个纯态，则 k e r ( ) = + 心由于是a 的闭理想，于是心= 心，k e r ( ) = 心+ ；= ( 引理1 1 2 ) 是a 的闭理想显然( e ) = 1 ，而且由上面的讨论对a 中每一个可逆元 a 有( o ) 0 ，这是因为可逆元不包含在任何真闭理想中于是由引理1 1 3 知是 a 的可乘线性泛函 下面我们讨论a 是无单位元的情况 设砂是a 上的任意一个纯态，类似上面的证明可以知道k e r ( 咖) 是a 的闭理想， 记b = a k e r ( 庐) 它是a 的一个商代数，在b 定义一个泛函万，万( m ) = ( z ) 这里 z a 不难验证万有定义，而且这是一个线性泛函，以下我们证明它还是b 上的可 乘线性泛函 记丌是由a 到b 的满的车同态，取a 中的一个逼近单位元 u a ) a a ，则不难验证 丌( u a ) ) a a 是b 的逼近单位元万是b 上的正线性泛函，实际上若b 是b 中的一个 正元，由满牢同态的性质，存在正元z a 有b = 【z 】，于是万( 6 ) = 万( 【z 】) = ( z ) 0 此时就有0 万i i = l i m a 万( 丌( u a ) ) = l i m a 咖( 札a ) = 1 由于k e r ( ) = ，故由引理1 1 1 和引理1 1 2 ，k e r ( ) 是一个有具有正则元e 的闭理想故万( 【e 】) = 0 万| i = 1 还有一 点更明显：对与b 每一个非零元y 都有万( 秒) 0 于是由引理1 1 3 知万是b 的可 乘线性泛函从而对任意c ，d a ，有 妒( c d ) = 庐( c 】【明) = 咖( 【叫) 咖( 【棚) = 咖( c ) ( d ) ， 3 华东师范大学硕士论文 c + 一代数交换的等价条件 即西是a 上的可乘线性泛函 接下来看( 3 ) ，( 4 ) 与( 2 ) 的等价性 ( 3 ) 兮( 2 ) 显然( 2 ) 号( 4 ) 设l 是a 的一个左闭理想记b = l i 1l b 是a 的 一个遗传子代数，则由条件b 是a 的一个双侧闭理想设【札a ) a a 是b 的一个逼 近单位元如果a l ，则有a * a b 所以有0 = l i m xn d ( 1 一t u ) 进一步的就有 l i m xl ia n 札a1 1 2 = l i m ；、0 ( 1 一让a ) o + 8 ( 1 一t a ) j i l i m x0o + n ( 1 一t 正a ) 0 = 0 因此就 有a = l i m a u 这样我们就得到了a = l i m 入u a 口由于b 是a 的一个双侧闭理想，所以有 a + bcl 这样就i 正b j j t ( 4 ) 由于如是包含a 的最小的遗传子代数，所以( 2 ) 号( 6 ) 是平凡的以下证明 ( 6 ) 兮( 3 ) 对于a 中的一族子集 民) a a ，我们记聂承两为所有 风) a a 中的元素线 性张成的闭子空间，明显如果 厶) a a 是a 中的一族闭理想，则a a ( 厶) 也是a 的 一个闭理想；如果 l x ) a a 是a 中的一族左闭理想，则磊承丽也是a 的一个左 闭理想 由于对a 中任意的正元a ，a 口是闭理想，而a a 口，故a 口= 一a an a a ，一a a 是 左闭理想，砑是右闭理想，而且进一步还有砑= 一a a = a 口 我们现在要证明( 6 ) 能推出矛才= 面对a 中任意元a 成立任取a 中一个元 素口，看孤这个遗传子代数，由于明显i a i 石砀医，所以有万而2 a i a a 1 因此有 甭硐现在取同刁可的一个逼近单位乖“a ) a a 所以有l i m a 矿a ( 1 一u a ) = l i m al a l 2 ( 1 一t l a ) = 0 于是有l i 蛳a ( 1 一t a ) = 0 ，由于同丽是一个闭理想，所 以口网刁可= 刁可，于是有石刁可，即得甭= 刁可，赢是闭理想，同时 而= 砸= 一a n = 瓦 任取a 的一个左闭理想l ，则 了函) 口l 是a 的一族左闭理想则同时它们又是 a 的一族闭理想，因此有a e l ( 一a a ) 也是a 的一个闭理想而实际上l = n l ( a n ) 因此l 是a 的一个闭理想于是( 3 ) 成立 由于玳数有一个对合运算，所以a 的左闭理想与右闭理想有一个一一对应 4 华东师范大学硕士论文c 一代数交换的等价条件 关系，是a 的左闭理想当且仅当，是a 的右闭理想于是有( 3 ) 与( 7 ) 、( 4 ) 与( 8 ) 是 等价的口 推论1 1 1 c 代数a 是交换的当且仅当：对a 中任意两个正元d ，b 存在a 7 a 使得a b = 6 推论1 1 2 非交换的c 4 代数一定有一个不是闭理想的遗传子代数 交换的单伊代数一定木一同构于c 于是我们有了下面的这个结论 推论1 1 3 一个伊撇a 只有口以及它自己这两个遗传子代数，则a 同杓于c 证明：首先看到a 是单的其次a 的每一个遗传子代数都是a 的闭理想，因此 a 是交换的，所以a 同构于复数c 口 5 华东师范大学硕士论文 c 一代数交换的等价条件 1 2 c + 一代数上的序与单调连续函数 我们说从实数映射到复数的连续函数，是强连续的是指它有以下的性质：对任 意h i l b e r t 空间h ，若 纵) a a 是一个由日上自伴算子构成的网，它强收敛到自伴算 子p ，则 ，( 纵) ) a a 强收敛到，( p ) 引理1 2 4 ，是定义在r 上的有界连续函魏则，一定是在b ( h ) 上强连续的 详细证明见【5 】 我们知道对每个c 代数a ，都有一个h i l b e r t 空间日使得a 木同构于b ( h ) 的 一个c 子代数我们记a ”是a 的包络v o nn e u m a n n 代数，也就是由7 r ( a ) 生成的 包络v o nn e u m a n n 代数，这里( 开，日) 是a 的u n i v e r s a l 表示 引理1 2 5 a ”是c 代数a 的包络y o nn e u m a n n 代规则有： ( 1 ) a 8 0 的单位球在a ：。的单位球中强稠密 ( 2 ) a + 的单位球在a l 的单位球中强稠密， 详细证明请见【5 】 a 是c + 玳数，我们说实轴上( 正实轴上) 的单调增连续实函数，在a 觚( a + ) 上是 单调增的是指，对a 的任意两个自伴元( 正元) a 、b 满足a b 就一定有f ( a ) ，( 6 ) ； 实轴上( 正实轴上) 的单调减连续实函数9 在a 觚( a ) 上是单调减的是指，对a 的任 意两个自伴元( 正元) a 、b 满足口b 就一定有g ( a ) 夕( 6 ) 定理1 2 2 a 是一个口玳数实轴i ( 正实轴i ) 的单调增连续实函数f 在a 8 伍 ( a + ) 上是单调增的当且仅当f 在a ：a ( a i ) 上是单调增的；实轴上( 正实轴上) 的单调 减连续实函数g 在a 8 。( a + ) 上是单调减的当且仅当g 在a 冀( a i ) 上是单调减的 证明：这里只证明增的情况，同理可证减的情况 ( ) 显然 6 华东师范大学硕士论文 矿一代数交换的等价条件 ( 令) 令a 、b 是a ”中的两个自伴元( 正元) ，满足关系a b ，则c = b a 0 由引理1 2 5 知，在a 中我们可以找到两个由自伴元( 正元) 构成的网 口a ) a a 和正元 构成的网 锻】a a ，它们满足： v a a ，l in al i 1 lai l ，i l 以i i 1 ic0 ； 口= s 一峄n a ，c = s l i a m 以 令b x = a a + 以， c a a 于是有 而且 口= s l i a m a a 6 = 8 _ l i a m b a y a a ，0b xi i 1 1bi i ( 1 ) i i ，( 一| lbi i ) z 0 bj i 由于a 、b 、a a 、b a 的谱集都包含于区间【一l ib lb | i 】中，于是有 ，7 ( n ) = f c a ) ，7 ( 6 ) = ，( 6 ) ，7 ( n a ) = ，( o a ) ，( 6 a ) = f ( b a ) 又由于有界，由引理1 2 4 得到 ，( 口) = s l i j n f 7 ( n a ) ，7 ( 6 ) = s l i j n f ( 6 a ) 7 华东师范大学硕士论文 俨一代数交换的等价条件 即 ，( 口) = s 一峄，( o a ) ，( b ) = s 一1 挚，( h ) ，在a 觚( a p ) 上是单调增的，对v 入a 有f ( a a ) ，( 6 a ) ，两边分别取强极限就有 ，( 口) ，( 6 ) 命题得证 口 对于有单位元c 代数a ，a 中的每个可逆元都有一个极分解，但是a 中的一般 元素就不一定有这个性质不过对于v o nn e u m a n n 代数，其每一个元素都有极分解 引理1 2 6 a 是一个h i l b e r t 空问日上的i r o nn e u m a n n 代魏v a ，则a 中存在唯 一的部分等距元u u 有下面的性质： = t lt ，l ，u 口= iui ，k e r ( u ) = 七e 7 ( ) 详细证明请见【5 1 定理1 2 3 a 是一个c + 代规则以下性质等价： ( 1 ) a 不是交换的 ( 2 ) a “不是交换的 ( 3 ) a l 有一个雄一同构于u 2 ( c ) 的c 一子代数 证明：( 1 ) 与( 2 ) 的等价性以及( 3 ) 推( 2 ) 是明显的，这里就只证明( 2 ) 推( 3 ) ，为了方 便起见，在此我们就假设a 是v o nn e u m a n n 代数 a 不是交换的，于是由k a p l a n s k y 定理，a 有一个非零的幂零元可由引理1 2 6 知： 存在部分等距元乱a ，使得 v = t | i 口l ，k e r ( u ) = 七e r ( u ) v 2 = 0 ，得到r a n ( v ) 后e r ( ) ，于是有 r a n ( u ) = r a n ( v ) k e ；( t ，) = 七e r ( “) 即钆也是a 的非零幂零元 8 华东师范大学硕士论文 c + 一代数交换的等价条件 u 是a 的部分等距元，p l = u u 、p 2 = u t l 是a 的- - 对i f _ 交的投影，而 且有t = u t l t l 、= u u u 记由t 和u + 生成的c 玳数为b ，实际上b = s p a n u ，u 。，p l ，耽) 定义由b 到m 2 ( c ) 的映射妒： 妒c a 乱+ a 2 u + + a 3 p - + a 4 仡，= ( 三：之) 不难验证砂是一个宰一同构命题得证口 9 华东师范大学硕士论文c + 一代数交换的等价条件 第二章推论及推广 2 1 一些定理的新证法 在本小结，我们将给出一些定理的新的证明 推论2 1 4 ( g u o x i n gj i ) a 是c + 代数则以下条件等价： ( 1 ) 实轴上( 正实轴上) 的单调增连续实函数| 在a 沁( a + ) i 是单调增的，但| 不在 尬( c ) 船m ( c ) + 夕上掌堀增 ( 2 ) 实轴上( 正实轴上) 的单调减连续实函数g 在a ( a + ) 上是单调减的，但g 不在 龟( c ) 。n 似( c ) + ，j 上单调泼 ( 3 ) a 是交换的 证明：只证明( 1 ) 与( 3 ) 的等价性，( 3 ) 号( 1 ) 只需要应用g e l f a n d 变换即可 ( 1 ) 兮( 3 ) 假设a 不是交换的，则a ”也是非交换的，由定理1 2 3a ”有一个木一同 构于 幻( c ) 的c 一子代数b f 在a ( a + ) 上是单调增的，当然在玩d ( 且 ) 上是单 调增的，于是，在m ( c ) 。( ( c ) + ) 上单调增但这与条件矛盾a 是交换的 口 推论2 1 5 ( w e iw u ) a 是c + 一代数者a 中的自伴元口，b 满足n b 就一定有 e ase b 则a 是交换的 证明：取c q 中的自伴元n = ；( ：) 和6 = ( 苫。0 7 5 ) n 6 e 6 = ( e ：5e 0 5 ) ，e n = ( 三：) + ；c e 一，( ：) 现在来计算d 皂t le 6 一e 口i 础ie 6 _ e nl = e 2 + e - 护+ e + e ；+ e 却 = 争2 e 2 + 2 e - e 警一e 2 一e 一e ；】 1 0 华东师范大学硕士论文c + 一代数交换的等价条件 = 一互1 e i 3 ( e 一1 ) 4 ( e + 1 ) ( e i l + e + 1 ) 0 e 口e 厶不成立，实轴上的单调增连续实函数e t 不在m 2 ( c ) 犯上单调增，a 交换 i - i 推论2 1 6 ( t o g s a w a x a ) a 是c + 玳数者a 中的正元n 、6 满足nsb 就一定有 口2 b 2 则a 是交换的 证明：取c c ，中的元口= g 和6 = 1 50 5 ) a 沁 z p 2 z p l c 一代数交换的等价条件 由于a 、b 的谱集分别包含于区间1 1 ，1 2 中，于是有( o ) = 口，g ( 6 ) = b ，又由于，和 9 有界，由引理1 2 4 得到 n = s l i m f ( n a ) ，b = 8 一l i m g 。( h ) ，( o a ) ，9 7 ( 6 a ) 的谱集分别包含于区间 ，1 2 中，有 y ( 7 ( o a ) ) 夕( 9 ( 6 a ) ) = g ( g ( 6 a ) ) ，( ，( o a ) ) 对上式两边取强极限有f ( a ) g ( b ) = g ( 6 ) ，( n ) 于是我们首先证明了对满足a ( a ) c1 1 和盯( 6 ) c 尼的a ”自伴元a 和b 都有f ( a ) g ( b ) = 9 ( 6 ) ，( n ) 以下只需证明对满足a ( a ) c1 1 和盯( 6 ) c 如的( c ) 自伴元a 和b 不一定有 f ( a ) g ( b ) = g ( b ) f ( a ) 即可 假设对满足c r ( a ) c1 1 和伊( 6 ) c1 2 的m 2 ( c ) 自伴元a 和b 都有f ( a ) g ( b ) = g ( ，) ，( n ) 令f l ( t ) = f ( ( x 2 一入1 ) t + 入2 ) ，g l ( t ) = 9 ( ( p 2 一m ) t + p 2 ) ，v t f 0 ，1 】 于是我们就有对任意a ( a ) c 【0 ，1 】 有f l ( a ) 9 1 ( b ) = 夕1 ( 6 ) ( o ) 令c = 1 2 【0 ，l 】的( c ) 自伴元a 和b 都 和d = ( 1 1o o ) 则c d d c 而且 z 地 h ，lll_ii，、l-l-i、 z m ，、 (、l ) 5 与 p m m 盯5 5 和，加v 华东师范大学硕士论文c + 一代数交换的等价条件 f l ( c ) g l ( d ) = g l ( d ) f l ( c ) ，和g 是非常值， 和g l 也是非常值，取t 1 d ( 0 ，l 】满足 f l ( t o ) f l ( o ) ，同理取3 0 ( 0 ，1 1 满足g l ( s o ) g l ( 0 ) 我们有 ( t o c ) = f l ( 0 ) f - a + 【l ( t o ) 一 ( o ) 】c ，g l ( s o d ) = g l ( 0 ) e 2 + 9 1 ( 8 0 ) 一g l ( 0 ) d 这里局= g ；) 而且还有 c 幻c ，夕c s 。回= 9 c s o 回 c z 。c ，即c d = d c 这与假设 矛盾 口 我们知道，若咖是c 代数a 上的一个可乘线性泛函，则砂一定是保木的实际 上若是c 玳数a 到交换c + 一代数b 的同态，西也是保木的 定理2 1 4 a 是c + 代耋包b 是交换的c 。代数，者存在一个由a 到b 的可态妒， 则这个同态币一定是保木的， 证明：取a 的一个自伴元a ，我们要证明b = 妒( o ) 是b 的自伴元 取b 的任意一个可乘线性泛函p ，则p0 妒是a 上的可乘线性泛函p o 妒( 口) 是 a 的一个谱点，n 是a 的一个自伴元，于是p ( b ) = po 妒( 8 ) 是一个实数b 是交换的 c + 代数，b 是正常元，又对b 的每个可乘线性泛函p 都有p ( b ) r ，于是b 是b 的 自伴元结论成立 口 现在我们要问这个命题的逆命题是否正确 问题2 1 1 a 是c + 代数，满足以下性质? b 是另一个矿代数，者只要存在由b 到a 的同态巾则这个同态峰一定是保卑的问a 是否是交换的c 代数2 一 ： 我们说一个c + 代数a 是r e a lr a n kz e r o 的( 记r r ( a ) = 0 ) 是指a 有以下性质： 这里盯( n ) 是a 的谱集满足r e a lr a n kz e r o 的c 代数a 有一个重要的性质，a 中的 每一个元素a 都可以由a 中投影的线性组合无限逼近 对于满足r r ( a ) = 0 的c 。玳数a 有以下的结论 1 3 华东师范大学硕士论文c 一代数交换的等价条件 定理2 1 5 a 是满足r r ( a ) = 0 的伊玳教，且a 还满足以下性质：b 是另一个 c 玳数，只要存在由b 到a 的同态母。则这个同态唪一定是保卑的那a 是交换 的c 一代数 证明：假设a 是非交换的 我们首先证明a 有一个非零元n 和一个非零投影p 满足口p 一凡尸0 若不 成立，则对a 中任意投影p 及a 任意元a ，有o p p a p = 0 特别的对a 中的自伴 元a 有口p = p n p = p n 由于c 代数的每一个元是自伴元的线性组合，于是就有 a p = p n 对a 中非零元a 都成立由于r r ( a ) = 0 ，a 的投影的线性组合是稠密的， 有a 是交换的，矛盾 接着证明a 有一个非零的非自伴的幂等元 根据上面的讨论，存在a 中的非零元a 和a 中的非零投影p 有b = a p - p a p 0 则e = b + p 是a 的一个非零的非自伴的幂等元( e 若为0 ，则尸= o ) 取b = c ， 定义由b 到a 的同态砂： 妒( a ) = 入e ， v a c 矽是一个由b 到a 的同态，但明显妒不是木一同态，与条件矛盾，假设不成立 口 推论2 1 1 0 v o nn e u m a n n 代数a 满足以下性质：b 是另一个c 玳数，只要存在 由b 到a 的同态唪，则这个同态巾一定是保卑的那a 是交换的 1 4 华东师范大学硕士论文俨一代数交换的等价条件 2 2b a n a c h 代数交换的一些等价条件 先前我们主要讨论了伊玳数交换的一些等价条件，在本小结，我们将把目 光转移到一般的b a n a c h 代数上，讨论c 。玳数交换的一些等价条件是否能推广 到b a n a c h 代数上 复b a n a c h 代数a 的根基是所有的本原理想的交集( 等价于a 的所有左( 或右) 正 则闭理想的交集) j 巷理2 2 6 a 是一个有单位元e 的复b 伍n a c h 代数a 的根基i 是交换的f 特别的 i = 0 。即a 是半单的) 则以t 条件等价： ( 1 ) a 是交换的 2 ) a 的每一个左闭理想都是a 的闭理想 ( 3 ) a 的每一个右闭理想都是a 的闭理想 证明：( 1 ) 号( 2 ) 与( 1 ) 辛( 3 ) 明显 ( 2 ) 号( 1 ) 若a 同构于c ，则a 一定交换现在假设非零有单位元复b a n a c h 代数 a 不同构于c 由于a 有单位元，a 一定有真的非零极大左闭理想，设l 是a 的一 个真非零极大左闭理想于是b = a l l 是一个非零的单的复b a n a c h 代数，而且b 是 一个有单位元的单的c + 代数记a 到8 的商同态为霄l 以下证明：b 的每一个非零元素都是左可逆的，并由此推出b 兰c i 一一一 一 假设b 有一个非零的、非左可逆元a ，则l = 丽是b 的一个左闭理想因为 b 的单位元i d b e l 7 ( 否则。有左逆) ，l 是b 的真左闭理想于是丌三1 ( l ) 是a 的一 个左闭理想，而且有7 r z l ( 厶7 ) 真包含l ( 7 r 三1 ( n ) 弘，i r l ( l ) = o ) ) l 是a 的极大左闭 理想，于是丌三1 ( ) = a ，l = b 从而口在b 中一定有左逆，这与假设矛盾 b 中每一个非零元素a 都有左逆b ，b 又非零，于是b 又有左逆，于是b 可逆，同 样a 也可逆这样我们证明了b 中每一个非零元素都可逆，于是a l l = b 竺c ，i r l 是a 上的可乘线形泛函 1 5 华东师范大学硕士论文 c + 一代数交换的等价条件 从上面的讨论，我们得到了a 的极大理想和a 的可乘线形泛函的一个一一对 应记a 的极大理想空间为q ，q 关于弱木拓扑是局部紧拓扑空间，记映射r 为a 的g e l f a n d 变换、是嵌入映射，于是有下面的正合列 0 叫k e r f 一a r 岛( q ) 由于k e r f = a alf ( a ) = o ，v q ) ，k e r f 实际上是a 的所有极大理想之交 由条件k e r f 是a 的所有极大左理想之交，是a 的根基k e r f 交换，由此就得到了 a 是交换的 在( 2 ) 号( 1 ) 的证明中，将所有的“左”换成“右”就得到了( 3 ) 兮( 1 ) 的证明 口 这里指出一点：上述定理适用于一般的复数域上的b a n a c h 代数；对于实b a n a c h 代 数，上述定理就不再成立了四元数是一个实b a n a c h 代数( 实际上还是实c 玳数) ， 它的每一个非零元都是可逆的，因此它的单侧理想一定是理想( 实际上就是【o ) 和它 自己) 但是四元数不是交换的 推论2 2 1 1 有单位元的复半单b a n a c h 代数a 是交换的当且仅当：对a 中任意两 个元a ，b 存在a 7 a 使得a b = b a i 问题2 2 2 有单位元的复b a n a c h 代数a 满足a 的每一个左闭理想着隐a 的闭理 想a 是否交换2 对于c 玳数，我们可以作连续函数演算( g e l f a n d 变换) ，但是在复b a n a c h 代数 上无法作这类演算，不过我们有黎斯函数演算在【2 】中，指出c 一代数a 是交换的 当且仅当存在r 上闭区间 上的非常数的连续复值函数，和冗上闭区间j l z 上的 非常数的连续复值函数g ，其满足f c a ) g ( b ) = g ( b ) f ( a ) 对所有的满足口( 口) c1 1 和 盯( 6 ) cj 1 2 的a 的自伴元a 及b 成立我一直认为对于一般的复b a n a c h 代数也应有 一个类似的结论 设a 是一个有单位元的b a n a c h 代数假设，是复平面上原点的开邻域u ( o ，r ) 中解析的复值函数( 这里再假设r 大于1 ) ，则，在u ( o ，7 - ) 内可以展开成幂级数 f ( z ) = o 。n - - - - oc n z n ， 】cc 这个幂级数在sr 内绝对收敛而且是内闭一致收 1 6 华东师范大学硕士论文c ，一代数交换的等价条件 敛，对a 的单位球中的元素a ，由黎斯函数演算就有，( 口) = 甚o c n 矿现在假设 与厶是两个在复平面上原点的开邻域v ( o ，r ) 中解析的复值函数( 这里r 大于1 ) ， 而且对a 的谱集包含于v ( o ，) 的任意元素口和b 有f l ( a ) h ( b ) = ，2 ( 6 ) ( 口) ( 这里 ( 口) 和厶( b ) 是黎斯函数演算得到的a 中的元素) a ( z ) = 甚。蠢扩于u ( 0 ，) 中， ) cc 丘( z ) = 胆0 0o 扩于u ( 0 ，r ) 中， 兹) cc 令m = m i n nl ，l 1 ，厶o ) ，n = m i n nin 1 ，o 取a 的单 位球中的元素a 与b ，令口= a a ，1 ( 地) f 2 ( 6 ) = f 2 ( b ) f l ( a a ) ，有 ( c n a n a n ) h ( b ) = 丘( 6 ) ( 矿) ， o o c 0 口m f 2 ( b ) + ( 蠢a n m n n ) 厶( 6 ) = 丘( 6 ) ( 蠢a 竹一m 扩) + f 2 ( b ) d m 口 f ， n = m + 1n = m + 1 由于i i 甚m + 1 厶入驴m 口n | i _ l i 罂m + l 五舻一m 一1 扩| i ( 丞m + li 磊1 ) o o ( 甚o 在v ( o ，r ) 内绝对收敛) ，令入_ 0 就有 同理可以得到 a m f 2 ( b ) = 丘( 6 ) n m n m b n ：b n o m 上述等式其实对a 的任意两个元素都成立，将向与1 南代入即得 如果我们在将e 蠢与e 专代替。与b ，就有e a e b ：e b e a 对于a 的任意元素。和b 成立再将地与肋代替a