（计算机应用技术专业论文）轴对称破碎文物虚拟复原研究.pdf

摘要 发掘出土的破碎文物多是轴对称的碗状或者罐状文物，其残缺部分大都已经无法 找齐，由于这些文物碎片仍具有很高的鉴赏和考古价值，因此研究如何利用现代科技 恢复这些文物的原始面貌是近年来文化遗产数字化保护领域的热点。本文根据轴对称 文物碎片形状的特殊性，结合计算机图形学、机器视觉、实体数字化手段等现代科技， 研究了如何利用这类表面近似旋转面、几何形状对称的文物碎片在计算机中虚拟复原 的方法，实现了虚拟复原系统的原型。得到的文物复原模型可以供人们在网上鉴赏， 这为文化遗产数字化保护提供了又一范例。本文的主要工作体现在以下几个方面： 提出了一种估计轴对称文物碎片对称轴的方法，并结合文献中的方法，对对称 轴的计算进行了优化，为后续的复原工作提供了基础。对称轴是旋转面的基本几何信 息，从三维点云数据反算出该信息是本文所讨论虚拟复原方法的核心步骤。目前，文 献中提到的方法大致分为三类，曲率法、霍夫算法和计算线几何法。本文根据实际需 要，给出了一个可行的对称轴优化方法，与计算线几何法结合使用可以得到令人满意 的结果。 提出了一种基于光滑样条曲线拟合的轴对称文物碎片母线计算的方法，在实际 应用中获得了满意的效果，为后续的复原工作提供了基础。母线是旋转面另一个重要 的几何信息，它定义了旋转面的外形轮廓。一般方法，利用过对称轴的一系列平面簇 对数字化模型进行求交，得到一系列候选母线，选取最长的一条作为模型的母线。但 这种方法无法适用于文物碎片有洞的情况，本文结合实际应用，使用曲线拟合的思路， 避免了按照长度来选择母线的缺点，能够获得母线的完整信息。 给出了轴对称破碎文物虚拟复原的两种方法，一种是旋转面重建法，另一种是 局部修补法。旋转面重建，即利用求得的破碎文物模型的对称轴和母线信息重新完整 的生成一个新的没有破损的复原模型；而局部修补法，是利用对称轴和母线信息对破 碎文物模型进行局部的修补，不重新生成复原模型，而将修补好的模型作为复原后的 模型。 使用了圆纹理和柱面纹理映射法为复原文物贴图。根据实际应用，罐状文物碎 片有的较为扁平，有的较为细长，对这两种情况分别使用圆纹理映射和柱面纹理映射 可以获得较好的纹理贴图的效果，使复原文物有更好的真实感。 独立开发了轴对称罐状文物碎片复原系统原型及其u i 设计，能够应用于实际的 复原过程当中，为文化遗产数字化保护提供了新的方法。 关键字：旋转面；文物复原；虚拟文物；考古数字博物馆 m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o n r e s e a r c ho na x i a ic r a c k e dr e li c sr e c o v e r y l ic h u n l o n g s u p e r v i s o r ：p r o f z h o um i n g q u a n ( c 0 1 1 e g eo f i n f o n l l a t i o ns c i e n c ea 1 1 dt e c l l l l o l o g y ，x i a n ，7 1 0 1 2 7 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t m o s to ft l l ee x c a v a t e dr e l i c sa r ec r a c k e da 1 1 dm o r eo r1 e s sa ) ( i a ls m l m e t r i c ，s u c ha s b o w l sa i l dp o t t e r y u n f o r m n a t e l yt h em i s s i n gp i e c e sc a n n o tb ef o u n de a s i l yn e a rt l l e e x c a v a t i o ns i t e s d l l et ot h en a t u r a lc a u s e s0 rh u m a ni n t e r v e n t i o n t h o s ec r a c k e dr d i c s h o w e v e r ，a r es t i l lv a l u a b l ef o ra r c h a e o l o g ya n da p p r e c i a t i o n t h u s ，ag r e a tn 哪b c ro f 1 i t e r a t u r e sh a v et a c k l e dt h ep r o b l e mt h a ta i l s w e r sh o wc o m p u t e r sm a yr e s t o r et h eo r i 百n a l 印p e a r a i l c e o ft h o s ec r a c k e dr e l i c s a u t o m a t i c a l l y b a s e do nm es p e c i a l g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c so fa ) ( i a ls y m m c t r i cr e l i c sa n db yt h ev i r t u eo ft h ed e v e l o p m e i l to fv a r i o u s r e l a t e dt e c h n o l o 西e s ，n a m e l yc o m p u t e rg r 印h i c s ，c o m p u t e rv i s i o na n dd i 百t i z a t i o nm e t h o d s ， t 1 1 em e s i ss h o w sh o wt or e c o n s t m c to rr e s t o r em eo r i g i n a ld i g i t a lm o d e l sf r o mt h ed i g i t i z e d m o d e l so ft h ec r a c k e dr e l i c s h la d d i t i o n ，p e o p l ec a na p p r e c i a t et h e s eo u t p u td 垮t a lr e l i c m o d e l s 丘o mm ew c b s i t e t h ew o r k sf b mt h i sm e s i sa l s od e m o n s m 拄ea n o t h e re x a m p l ef o r t 1 1 ep m t e c t i o no fc u l t u r eh e r i t a g eu s i n gd i g i t a lm c t h o d s i nt h ef o l l o w i n g ，w el i s to u rm a i n a c h i e v e m e n t s 一 一 a ) u n d e rt h eh e l po fm e t h o d sf r o mm e1 i t e r a t u r e ，w e 印p r o a c ham e t h o df o r 印p r o x i m a t i n gt h ea x i so f t h ea ) ( i a lc r a c k e dr e l i c s ，t h u s ，s u p p o r t i n gm ef o l l o w i n gw o r k b ) w ea p p r o a c ham e t h o df o rf i t t i n gt h ep r o f i l eo ft h ec r a c k e dr e l i c su s i n gs m o o t h i n g s d l i n e c ) w ea p p r o a c ht w om e t h o d sf o rr e s t o r i n gt h eo r i 西n a lm o d e lo fm ec r a c k e dr c l i c s ( ) i l e 至ss 耐矗e er e c 。n s t 雉e 畦 ) 珏；镪。o 疆e r 主s | o 蕊s 珏f 惫c er e p 3 主r 主鞋g d ) t h er e c o v e r e dd i 百t a lm o d e l so fm ec r a c k e dr e l i c sa r em a p p e db ym ed i 西t a l t e x 如r e s e ) w ei m p l e m e n tar e c o v e rs y s t e ma 芏1 dd e s i g nt h eu s e ri n t e r f a c e k e yw o r d 8 ：s u r f 撕eo fr e v 0 1 u t i o n ；r e l i c sr e p a i r i r 蟮；v i r t u a lh e r i t a g e ；d i 百t a lm u s e u mo f a f c b 鑫e o l o g y 嚣蔓乏大学学饿论文辅浚产权声骥豢 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学 位期闽论文工作的雯鬟识产权单位瘸予霆j 芝大学。学校骞投镶罄并囊霆家莠 关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。 学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或j 曩搓等复裁手段缳存翻汇编本学位论文。怒时，本人保 证，毕业后结合学使论文研究课题再撰写的文鼙一律注明作者单位为西北 大学。 保密论文待解密后遥蕉本声爨。 学位论文作者签名：曼盘垒指导教师签名： 塾8 妻 勺删易年i 月叫日 。 撕6 月f 三日 匿蔓艺大学学位论文独翻性声臻 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取褥的磅究残果。锤我歇躲，除了文中特别热鼓标注释致谢鳃蘧 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰骂过的研究成果，也不包含 为获得西北大学戚其它教育机构的学位或 正书而使用过的材料。与我 一阏工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 爨并表示谢意。 学位论文作者签名：袭耘 删年6 月叫日 第一章绪论 1 1 选题来源 本文要解决的问题来自文物保护领域。古代文物在经受了若干年的自然风化、侵 蚀和人为破坏之后，多数已经变得残破不全。考古工作者在发掘到这些破碎文物后， 一般都需对其进行必要的保护。传统的文物保护工作一般主要有这些方面：如分类、 清洗、拼接、粘接和加固等，其中对大量杂乱无章的文物碎片进行分类，然后手工拼 接，这是一项既费时又繁重的重复性劳动。考古工作的大部分内容被这样不能省略的 重复性工作所占据。因此，对一个像中国这样具有悠久历史文化的文物大国，需要大 量文物修复者也不足为奇。光明日报曾报道，广西博物馆仅有七名专业修复人员，而 这些人即使集中所有的精力处理，在有生之年最多也只能修复好其中一部分。 随着计算机科学的发展，实体数字化技术的进步，文化遗产的数字化保护逐渐成 为考古、计算机等学科的研究热点。如何利用计算机技术帮助考古工作者从那些繁重 的重复性劳动中解脱出来就是其中的一个研究方向。大部分学者和机构的研究集中在 如何使用计算机自动匹配拼接文物碎片的问题上。国内外有大量文献已给出了解决方 案，方案的思路主要是利用文物碎片的形状特征来进行自动匹配拼接。 本文所关注的问题与自动匹配拼接问题有所不同，研究的对象是那些大量出土的 形状特殊的轴对称罐状文物( 后文对轴对称文物和罐状文物不加区别) ，如图l 所示。 ( a )( b ) 图1 罐状文物 这类文物是古人在陶车上制造出来，形状近似对称，器皿的内外表面都近似为旋 转面。对于这类文物碎片的修复，传统办法不外乎是先记录其形状、颜色、纹理、和 质地测量值等，然后再分别比较各个碎片，以便能分成多组原先为同一器皿上的碎片 集合，然后根据经验对这些集合分别进行拼合，可以看出，这个过程是一个反复试验 的过程，而且要求能拼合的所有碎片都已发掘。可是，陶瓷易碎，因战争、地震、水 火自然灾害及生活中的失手等许多原因，使得历史上生产出来的绝大多数这类文物变 成了碎片，同一器皿上的碎片要么不能找全，要么已被侵蚀成粉末，如图2 所示，发 掘出土的文物大都已变成无法拼接的碎片堆。 图2 大量文物碎片 另外，在人的这种修复活动中也可能对文物造成二次破坏，使具有很高价值的文 物碎片又遭到毁灭性破坏。由此，如何既避免对文物碎片的破坏，又能将无法拼合的 这些碎片重新复原起来，是一个值得研究和解决的问题。伴随着实体数字化手段的不 断进步，计算机图形图像、机器视觉、反向工程等技术的发展，本文对这些轴对称文 物碎片数字化及其数字化模型形状信息的计算方法进行了详细研究，并在计算机中利 用这类文物的一片碎片虚拟复原出该文物的原始面貌，这不仅为进一步虚拟还原逼真 的文物艺术面貌提供了基础，也使在线鉴赏这些虚拟复原文物成为可能。 1 2 选题的意义 对轴对称破碎文物虚拟复原方法的研究，涉及多个领域的技术，如计算机图形学、 逆向工程、虚拟现实、机器视觉等。尤其是其中涉及到的计算旋转面的几何信息是机 器视觉领域中的一个重要问题。 另外，虽然我国古代先民制造出的器皿有几千年的悠久历史，但是因为陶瓷的易 碎性和自然灾害等因素，使得具有艺术和考古价值的文物原始面貌已无法看到。本文 的研究结果能够帮助文物修复师在计算机上自动虚拟修复轴对称文物碎片，恢复文物 的本来面貌，使更多的人在网上就可以观赏这些珍贵文物。考古学者通过对这些虚拟 的古代先民遗存进行研究与观察，获得对人类历史活动的理解。由于大量文物收藏品 都集中在政府兴建的博物馆或者某些收藏者手里，普通百姓无法方便的观赏。而随着 计算机网络的兴起，将计算机虚拟复原后的文物放在网上供人们观赏，既避免了文物 的二次破坏，又能使更多的人陶冶情操和获得美的享受，感受这些人类的共同财富。 1 3 问题描述 本文研究问题是如何利用轴对称破碎文物上的一片碎片来虚拟复原出文物的原始 面貌。与计算机辅助文物复原概念不同，不是利用多个碎片进行计算机自动匹配。 本文的研究对象主要是古代的器皿碎片，这些碎片有着特殊的几何特征。它们是 先辈们在陶车上手工制造出模型后，在窑中烧制而成，其形状近乎对称。器皿破碎之 后，每一个碎片都携带着部分或者全部我们复原需要的信息。如何利用这些碎片计算 出原始器皿的几何信息是本文研究的一个重点。 关于对称轴，同一器皿上的碎片墓慰菰地是塑旦曲，我们只需要用一个碎片计算 出对称轴即可；对于嚣皿的母线信息，一个麟片的母线信息怒不全的。趿此霞要找到 包含完整母线信息的器皿碎片来进行复原，如果不存在这样的碎片，也w 以先进行少 量的基本拼接，达到簧求。基本拼接的目标艇凑足母线信息即可，这样的拼接可以鼹 手工静，氇可戮是 卡算机鸯渤静，鲡使丽上瑟提到的自动复琢系统。 获雩罢了碎片内乡 表瑟戆基本足露痿悬之茄，接下来麓要叟成簧簇摸燮。本文给浅 薅种复原方法，一种是重建复原文物的内外袋面；另一釉是局部修补文物的走步 表瑟。 这两种方法都是以对称轴和母线信息为基础的。 得蓟复原模型后，需要对模型进行纹理映射，来更逼真的还原文物的原始面貌。 1 4 问题解决结果简述 零文在研究了莺蠹辩大燕文献帮蓊久工 乍的鏊稽上，结合轴对称文锈碎片的实际 绩嚣，绘出了计算班虚拟皂勘复蹶辘对称文物醛片懿霹嚣淀程秘核。润题粒解凌方巢。 并开发了套原型系统。在实际的应用中，复原了大量碎片，取得了满意的效果。嚣 要指出的是，文物碎片要求是具脊足够的可恢复信息，对不具有这种信息的碎片，需 预先做一次基本的拼接。 1 5 问题形式化定义 蓄强震要给塞一些基本攘念： 旋转嚣：旋转嚣在黢式空淹震中被意义为一条平瑟鏊线( 蹲线) 绕更中一条 直线( 对称辘) 掰产玺豹麴嚣，麓稼为双竣 0 邻域 压，s ) = x 惟一剐 引，使得对每个1 s n ( x ，s ) 成立，( x ) 厂( i ) ，则称i 为厂( x ) 在 s 上的局部极小点。 同理可定义全局极大点和局部极大点。 一维搜索概念： 求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索，或称为线搜索。一维搜索可归结 为单变量函数的极小化问题。设目标函数为，( x ) ，过点x 沿方向d 的直线可用点集 来表示，记作 工= x ix = x 忙) + 五d 什) ，一 a 佃 求厂( x ) 在直线上的极小点转化为求一元函数 妒( a ) = ，( x ”+ 知) 的极小点。如果妒( a ) 的极小点为，通常称为沿方向 d 的步长因子，或简称为步长。那么函数厂( x ) 在直线上上的极小点就是， x + 1 = x ”+ 以d ” 一维搜索的方法分两类，一类是试探法，如黄金分割法、f i b o n a c c i 法等；另一类 是函数逼近法，如牛顿法、抛物线法、三次插值法等等。 3 5 逆向工程概述 逆向工程又称反向工程，产生于工业设计领域。在工业设计制作过程中，一般需 要先设计好产品零件的c a d 模型，然后在进行制造。但是若没有产品零件的参考图纸 而只是实物物件的话，这就给c a d 模型的设计带来了极大的困难。因此称为逆向工程 的技术便应运而生，通过使用该技术，可以智能的将现实世界的物件识别出来并计算 出它的c a d 模型。对逆向工程的详细介绍读者可以参考文献 3 1 。文献给出了一个基 一 一 本逆向工程系统的工作流程，如图1 8 所示。 1 d 崔慷a 咿t 删m 毒 2 h e p n k e 鹤跏g 毒 i 3 s e 弹n 雠鼬a n d s 晌f 蛐n g 善 4 c a d 删d 打喇i 婚叫1 图1 8 逆商工程逡程 数据捕获的方法有很多，有非接触式的，如利用声音、光和磁场等：也有接触式 戆，絮使用手舞测量。笼逡魏嚣，这一除歉主要获敬实薅表瑶主煞溺量杰。褒数据臻 获时，存在很多问题需黉解决，如校正、精确度、噪音问题等。另外，分割和曲面拟 合瞧是 举羹要的玲段，这除段将离教懿采样数撰藿先分割成系裂予集，这些子 集分别表示了这个实体部分的自然曲面，然后将这些采样点的子集拟合成分段的，连 续的光滑曲藤。 本文的复原流程也麓此极为相似，比较阁5 ，首先需要采集文物碎片的数字化信息， 即点云数据；然后做预处理，如化简、去噪等；接下来，反求该碎片的几何信息。 不同的麓，本文不仅要计算礤破碎实体豹几何绥息，还癸通过这些信息恢复丢失 部分的信息。另外，本文剩去了分割这一操作，这是由于问题描述时已经假设输入的 文物碎片为麓转蟊。 s 。6 数掌化模型边界曲线的计算 本文采用文献 3 2 的方法计算边界曲线，这里给出简要的介绍。 蓄先，在寻我透葬辫线之蘸，我缃需黉定义鼗字倪模墅上豹采群点糯些是边豁上 的点。不妨酋先考虑三角网格模融中的边信息，模型内部的每条边总被两个三角面片 共窜，瑟攘蘩遮：薤上靛边只存在个三角甏冀主。黧黧1 9 瑟示，透趣仪存在予三角 形a b h 上，因此其为边界边；而澍于边a h ，被三角形a b h 和三角形a h g 共享，因此其 为内部速。露我们要寻找涎透爨上豹点裁蹩囊像逮蝎邸群戆遗器边戆璎点瑟缓残。 毽 u 錾1 9 三角阚疆 实际应用中，要判断数字化模型上豹某一点是否为边界上的点，酋先需要计算出 点的邻按三角面片信息，即给定模型上某一点v i 。可以得到该点的所有邻接三角形集 合t l ，翔暴对每个模型上既点按以下方法计算褥一令集台u t ，剃聪以快速判断其是委 鸯透赛点。 s t e p l ：将点v i 的邻按三角形顶点集t l 中不同于v i 的顶点加入熬含u t 中 s t e p 2 ：若顶点存在重复，则将该顶点从集合u t 中全部删去 经避 装上嚣步诗算褥鬟熬爨会u t 孛如罴还移在毒顶点，涮表骥v l 是边奏主夔点； 如果u t 为空，表示v i 是模型内部的点。 如图1 9 ，判断点a 燎谮为边界点；首先点a 的邻接三角形宥删曰h 和削删， 蠢在梅造集合u 时，顶点h 黧复，蠢j 龟集合u 簸器有蘧个元素b 秘g ，困藏点a 为边 赛点。翳舞，考瘗点了，其邻臻三角形有袋心、掰f 、f j e 、e j 转、d 噩和型了野， 构造集合u 时，会发现集合u 恩的顶点都有重复，最后计算u 为空熊，因此点j 为模 型的内部点。 按照噬上方法，诗冀缮戮斡蹶青透蚕点都傺枣在边赛点集合c 中。在获褥了禳羹 上所有点怒否为边界点的潮断后，接下来就该计算出一系瓢连续的边界癌线。由于边 界曲线上的点都是模型的边界点，而且这些点是互相连系的，另外边界曲线的首尾点 也是相接的。因此，我们可以从集合c 某一边界点出发，不断遍历其邻接三角形顶点 孛豹迭要点，麓入兹线集合，然爱在集合c 裂除该边务点，囊戮瑟热入莛线袋合约臻 点与起始顶点藿合为止。这样就得到一条边界曲线，然后继续上述过程在集合c 中寻 找新的边界曲线，直鬣集合c 空为止。按照此法，我们就可得到该数字化模型的所有 痰部豹、并聱豹透赛彗籍线。瑟2 0 给密了诗算边赛馥线静一个示饲，其中显示了两条边 界曲线。 圈2 0 模型的虑部秘外嚣边赛鳇线 第四章对称轴估计算法 4 1 弓| 言 对称牟出是旋转面的基本几何信息，从三维点云数据反算出对称轴是本文讨谂的复 原方法的核心步骤。目前，文献中研究的方法大致分为三类，曲率法，需要计算截西 簇与模型表面之间交线的平均曲率；霍夫算法，需要将模型表面采样点的法矢转换到 霍夫空间麝寻找对称轴；计算线几何法，该发将问题归结为矩阵的广义特征值和特缎 向量问题。本文根耀实际需要，给出了另一种可行的优化对称轴的方法。 4 。2 基于曲率的算法 这类方法的核心思想来源午旋转面的特殊性，即以旋转面对称轴为法矢的平面与 旋转面相交，如果能得到曲线的话，则该曲线是段圆弧。如图2 l 所示， 圈2 l 平嚣与菠转瑟交线 掰为平行予对称牟壹豹肇位矢量，以磁为法矢静乎嚣蔗与旋转瑟交成的噩封线是一段酒甄。 一。 要诗冀爨麓转嚣对称辅准确静方两，我们赞磊标就是要寻我能使上述交萄线为菡孤或 豢尽量必爨疆兹臻令法矢。 文献 1 3 绘燃了穆烬决方案，这巍是人翻最易想到静方法。该冀法营先对扫攒 厝的点云数据进行插值，羹建分段线性强嚣，然后在以坐标鼹点为球心的擎垃球上均 匀选出一系列矢量，对每一个矢量t ，建立以，为法矢的平面簇 ，r j ，2 1 ，2 ，一。再用这组平面与曲面相交得到一组分段线性曲线簇 c ，( - ，) ，：1 ，2 ，设_ 表示曲线e ( 力的平均曲率，则式丘2 蔷一表示曲线簇 c r ( - ，) ，2 1 ，2 ，3 的平均曲率导数。七，越小说明曲线簇c i 的形状越接近于圆弧，也就 是说矢量，越接近于对称轴的方向。 该算法实际上效率是非常低的，假设输入数据规模为以，求交算法和计算曲线曲率 的时间渐近复杂度都为o ( 刖，则该算法的时间渐近复杂度为o ( n “。而且求得的结果 与选取均匀法矢的密度有关，选取越密，求解越准确，且在求解过程中进行了大量不 必要的运算，更要求解导数，对算法的精度产生了影响。 一 s t i t c h 项目“3 给出另外一种基于曲率计算的求解方案。该算法利用旋转面的特殊 性避免了求解导数来计算曲线的曲率值。算法介绍如下： 已知旋转面上有m 个采样点，定义a 和，为采样点相应的向径与法矢。假设对称 轴为三，由点风和方向单位矢量v 确定。限制风”5o ，则对称轴变为四个 图2 2 旋转面求轴 自由度，如图2 2 所示。则，真的曲率半径等于i 幼l 。因此曲率女有下式决定， 俐= 墨= 瞥，t2 南坷愀莉，叫一样 点密切圆心都应在对称轴上，因此最小化下式便可得到对称轴， ，( p 一，v ) = 喜l ( q p 。j v 1 2 = 喜l ( p ，一，一j r e 堡群伽_ l f ；1 f = 1 lf i 7 i 并且要求，p 。v = o ，m = 1 。为了增强算法的健壮性，该文献还提出了加权优化。 该算法在s t i t c h 项目中得到了应用。 4 3 基于霍夫空间的算法 文献 3 3 给出计算对称轴的三维霍夫算法使用了旋转面上点的法矢的特殊性，即 旋转面上每点的法矢都应与旋转面的对称轴相交，即所有交点都应在旋转面的对称轴 上。 在估计对称轴之前，需要计算旋转面上点的法矢值，为了计算稳定，文献 3 3 采 用m c a 方法计算其法矢儿，然后将所有直线咖，一tj 都聚集在三维霍夫空间。对每条直 线伊，j 上的所有点，依据该点在此三维霍夫空间中直线上的数量进行投票，在此空 间中投票值最大的点集组成旋转面对称轴的候选轴，然后，再经过一次搜索优化，找 到一个较优解。 下面给出使用霍夫算法计算得到对称轴的示意图。 图2 3 霍夫算法计算出的对称轴 4 4 基于计算线几何的算法 首选，该方法将空间中曲面上的点看做是做两种运动，一个是绕轴旋转，另一是 沿轴方向上平移运动。对于轴为z 轴的螺旋曲面上的点，其运动参数方程表示为， x y 图2 4 点x 做螺旋运动 其中( ，虬，钿) 为起始点，p 为沿轴方向上的平移速度，如图2 4 所示。假设设点小的 运动矢量为( j ，_ y ，2 ) ，则其速度矢量为p ( 一y ，z ，p ) ，所有垂直于此速度矢量的方向构成 该点的路径法矢( p a t hn o r m a l ) 簇”俐，如图2 5 所示。 图2 5 路径法矢簇 设三( ，) 为”f 卅中任意一条法矢，则上需满足，- v = 口( 6 ) ，另外由p l u c k e r 坐标的性质 - 量l 宝 营川叫 ，r，l，【 i i f = ，( 7 ) 。由式( 6 ) ( 7 ) 可得，- ，+ 打= 口( 8 ) ，砂为常矢量，注意丑c 都可使式 ( 8 ) 成立。因此可以用c 亿一表示某一螺旋运动的法矢簇。文献给出了利用c 亿一计算 该螺旋运动的旋转轴池矽和平移运动速度p 的公式 cc 一刀cc - c 舻惭一2 育印2 了 若p 2 0 则，该螺旋运动表示的是旋转面上的点。也就是说，如果我们能通过三( ，) 找 到印，一的话，就可以计算出对称轴了。定义三( ，) 与某一线性线簇d 的偏差为 西+ 卅 州厶a2 百 假设旋转面上| | 个采样点的法矢为t 化，瓦j ，f = l ，2 ，七，则求解对称轴的过程变为最 小化下式的过程， m 5 善励t + 厩2 爿删，要洲f 蹦一， 其中 西昭( o ，o ，o ，1 ，1 ，1 ) ，学= 肛f 肛， 肛f = 伽j f ，h 刀，栉村j 1 f ，6 。此时，问题归结为求解矩阵的广义特征值问题。若存在使式 w = 的 矢量x ，则目砂= x 7 w = 料7 似= 入。因此，对d 的最小非负广义特征值对应的 特征向量便是我们要寻找的线性线簇的解。得到解之后，便可根据式( 9 ) 获得对称轴的 估计值了。 4 5 本文的解决方法 本文避开曲率和计算线几何的背景知识，提出另外一种可行的对称轴估计算法。 如图2 6 所示，假设物体表面上顶点k 的法矢为，( f = l ，2 ，扪，其中七为扫描采样点的 数目。对于旋转面，直线r k ，rj 应与平面d d k 共面， 图2 6 直线搜索 也就是说，每个点应满足混合积襄班一d ) ，彤一。) ，辑】= o ，这怒因为旋转面上点 懿法矢郡耀交予该兹纛约对称辘上。因冀，可敬计算谈差 t 拶只p ) ；赫。m t 氍x 丑) 浮 其中，n 洲表示矢量单位纯，一和嚣分剐表示孵一黟和f 玛一p 。最小化 拶只，) 便可髂诗密该旋转瑟翡对称喜交，国魏，籍结为无翡粜最优化阔题。旁了加快 优化速度，本文最终采用首先用p o t t m a n n 1 2 】爨法馈髯出一个对称城的较优解，然蜃 本文提出的方法再进行直线搜索。 4 6 实验结果 利用p o t t 黼n n 1 2 算法謦珏本文救钱化方法缝合使用可以蠢效的降低对髂辘求解的 误蒺，下面列出5 个不同形状的文物碎片在m a t l a b 7 0 中仿真求解对称轴的结果 表l 对称轴估计实验结槊 雄 求撰磅片攘壁对嚣辘 封嚣辘轰蠢对称辘方商( 本文p o t t 髓b n 算法孙t t n n 募 r 示意( p o t t m a n n ) 算法调整后)( 氓差运行时法+ 本文算法 编 x间)( 误差本文 譬￥ 算法运姆孵 z间) l 0 ? 1 9e 7 3 2 32 。3 7 8 2 内5 l 嚣l 。嚣6 4 砖2 。2 o 0 2 4 10 ，0 3 7 30 3 l s 0 8 7 。0 秘0 0 20 8 5 2 s一o ，8 8 8 72 6 0 4 搴8 l + 9 5 3 ll 。4 2 4 9 8 6 0 4 0 1 20 3 2 9 8l s3 1 2 5 s 0 + 3 3 4 90 。3 2 抟 3 o ，5 7 8 l0 5 8 0 0l ，4 4 0 6 0 0 6 31 4 2 6 7 5 2 毒 o 2 8 6 00 2 8 6 3 8 4 4 s 0 鹈5 70 。7 s 2 8 4o 0 4 6 7o 0 5 3 l2 8 3 3 3 1 3 1 2 51 6 9 8 3 7 6 2 0 0 1 6 10 0 1 8 96 s 6 s 0 9 e 8 8o 9 9 8 4 50 4 8 8 004 7 0 68 3 3 2 6 2 2 0 3 l66 8 5 5 1 2 9 0 0 5 1 4一o 0 1 8 8 4 3 8 s o 8 7 1 3o 8 8 2 2 在实际求解过程中，利用p o t t m a n n 算法求解时，幽于模型的采集质量，不能总是 褥到最，l 、弱擎僚特征淘爨，因魏本文在求鳃对，将最，l 、的特筏向量解蹴 乍为对称轴豹 近似解，然后再使用直线搜索优化该对称轴。下面是对称轴优化前和优化后的对比， 3 2 图2 7 误差对比图 4 7 小结 本章阐述了三种旋转面的对称轴估计方法，对具体的原理进行了详细的说明，并 在最后给出了优化对称轴的一个可行方法。但是，由于文物碎片数字化过程中带来的 误差会影响对称轴的估计，因此一个理想的对称轴一般不会在一次搜索之后得到，需 要经过不断的优化过程。但不管怎样，旋转面对称轴估计是一个实用而有趣的问题， 它将为基于空间模型的模式识别、机器视觉等领域的问题研究提供基础，作者也将在 这方面继续努力工作，以便可以估计出更加理想的对称轴。 第五章母线的自动计算 5 1 引言 母线是旋转面另一个重要的几何信息，它定义了旋转面的外形轮廓。本文选用的 待复原罐状文物碎片必须具有完整的母线信息，如果是罐状文物器皿上的叫、部分， 就无法恢复文物碎片的原始面貌。这时必须先进行必要的匹配，才能获得所需的完整 母线信息。母线的自动求取一般来说不外乎是利用一系列过对称轴的平面去截碎片模 型，从而获得= 一系列交线，称为候选母线。然后进行组合，选取较好的候选母线作为 最优母线信息。 5 2 文献中的方法 文献 5 6 7 儿8 采用迭代法计算旋转面最长的母线，变换旋转面使对称轴与坐标 系z 轴重合，设一系列轴平面组成截平面簇“，如图2 8 所示，与旋转面相交成一系列 交线。 图2 8k a m p e l “! ”给出的方法 由于每条交线所在平面与对称轴平行，则可以训算出每条交线存对称轴( z 轴) 上的 投影，定义交线的高度“；为对应投彩沿正方向上的长度，然后计算出“一值最大的交线 将其视为最终的母线。在实际应用中，文献避免了截甲面与所有三角面片的求交，而 是先将可能与截平面相交的三角面片过滤出来，然后再求出交线。但是该方法并投有 是先将可能与截平面相交的三角面片过滤出来，然后再求出交线。但是该方法并没有 考虑碎片有洞的情形，这种情况下，计算出来的母线信息不全。 如图2 9 所示，如果选择截得最长的交线为母线的话，只能求出一条残缺的母线 无法求出完整母线。 图2 9 碎片有洞的情况 5 3 本文的解决方法 本文根据文物复原的具体需求，改进了文献中的算法，加入了对交线的拟合过程， 适用于碎片表面有洞的情形。 定义碎片的包围盒中心在对称轴上的投影点为o ，对称轴定义为l ( o ，d ) 。下面介 绍一下截平面的选择方法，首先利用3 6 节的方法求出碎片边界轮廓线s ( s - ，s z ，s ，) ， 该轮廓线假设已经过均匀采样，如图3 0 所示。 图3 0 轮廓线 图3 l 计算母线 然后从浆一边界线上点8 “歼始沿某一方向重- 开始建立截平面订，( o ，n ”，如图3 l 所示。这里n r 2 n o 。m ( d 。8 t ) ，当每次建立新的截平耐时，计算n t 与n “之问的方向变 证，热暴方囊麓誓t 反方岛蔻遴，瓣稼壹产生瑟静藏乎蠢，并始在按照重，戆反方囱重z 建立截平面，瞧到无法建立新的截平面为止。如图3 2 ，如果珏t 与“之间的方向变化 朝皿，反方向前进，则表示该方向不用再创建截平面了。 蠹鞠 载平西求交 每当猩8 ，建立一个截平面嚣t ( o ，n ，) 后，我们就可以进行求交运算了。营先建立 局部坐标系x ，( o ，i ，jr ，k “，我们令j 的方向与对称轴相同。则j 乏d 。令k 方向与 d 。( 8 ，一o ) 匏方肉糖疑，邵k = ”( d “( s ，一o ) ) ，最矮， = j k 。接下寒，计算薪 目坐标变换短降，设坐标系x r f o ，l ，j t ，k r ) 到原始坐标系的变换矩阵为弘， t r t 2 【i t ，j t ，l 】，从原始坐标系到坼( o ，i t ，j ，k ，) 的变换矩阵则为tr t = l n v 盯r 。) ，i n v 表示矩阵的逆。 获得了截平面簇后，与碎片模型进行求交运算，对每一个截平面面，( o ，n ，) 求交后 产生交点集u ，将交点集u t 中的点按x r ( o ，i t ，j t ，kr ) 坐标系x 坐标排序，删除x 坐标 小于o 的点，这是因为母线信息只需要对称的那一半就够了。然后求出这些点集的并 集u 2 g u t 进行曲线拟合。本文使用光滑样条拟合这些数据得到母线p r 。f i l e ，光滑 集 ，j 进行曲线拟合。本文使用光滑样条拟合这些数据得到母线p r o f i l e ，光滑 度设为p = 0 2 。 5 4 实验结果 下面表2 给出了表l 中碎片外表面的母线计算在m a t l a b 7 0 中的实验结果 表2 碎片模型母线拟合实验结果 模型三维模型母线拟合好 编号 坏程度 s s e 14 8 5 1 八 l ：墨! l 23 2 7 3 ；墨二 _ 3 ：卜 匿： o 1 6 8 夕 4 、圜 5 3 6 9 5 弋 o 0 2 4 碗底不全的情况： 在实际修复过程中，经常会逐到上表碎片1 、2 、4 计算出的母线与对称轴不相 连，如果直接使用这样的母线。复原后模型蠛部会出现空洞，为了得到完整的母线， 我们必须将母线与对称轴连接上。本文将母线缺少部分视为平面，即碗底平面部分， 因此斌母线土底部最后一个点开始，澄垂直予对赫鞠方向上产生母线。卜薪的点。图3 3 和图。d 画出了母线经过延长之后的皴果图。 黼3 3 囊长的母缝 盈3 4 延艮翦姆线 5 小结 零章在讨论了文献中现鸯瓣求取母线豹方法之嚣，绘出了一个较好懿求墩母线弱 新方法。解决了碎片横型存在破洞时，一般求取母线算法无法正确获取母线的情形。 在实黪应瘸当中褥爨了满意豹维采。邋过本章浆步骤，罐获文物碎片斑乡 表瑟的凡侮 信息就基本全部获得了，接下来，就怒要根据实际应用情况，利用这贱几何信息进行 文物碎片的复琢工作。 第六章轴对称文物破碎模型的虚拟修复 6 1 引言 对于轴对称罐状文物碎片的虚拟修复，大体上有两种思路：一种思路是完全重建 出另外一个复原模型，另一种思路是修补文物碎片上某一缺损的信息。本文根据这两 种思路，给出了不同的实现方法。总之，这两种方法都需要碎片的对称轴和母线信息 作为复原的基础。 6 2 基于旋转面重建的虚拟修复 对罐状文物碎片的内外表面p * 、成u r 分别采用上述对称轴和母线的计算方法，计 算出对称轴一m 和爿一，母线p k 和p l w ，母线为三次光滑样条曲线。要生成完整的模 型就需要将内外表面的对称轴配准重合，然后缝合两条母线上端的端点处。图3 5 分别 画出了内外表面的母线信息，圆圈出应该相连。 图3 5 内外表面配准 6 2 1 连接内外表面的母线 由于罐状古文物碗口处过于细小，使用三维扫描仪建模有一定困难，因此本文采 用b 样条逼近方法设计内外母线连接处的缺失信息。如图3 6 所示， 图3 6 连接内外母线 设内努表蔼豹母线为p 和，“置帮墨赢分鬟怒内多 母线的端煮。分别寝曩和曩 点沿是步 母线在谈点处戆饶矢方逡上产生瑟点，热鹭? 中夔b 移芝点。然嚣，耀8 榉 条逼近这四个点产生新的母线上点，最后p 和p ，合并，产生完整的一条母线p r 。 6 2 2 复原模型的生成 将复原模鬻的轴阖定为y 轴，然衙使用上一节求得的新母线p r 绕y 轴旋转一周生 成复原模型内终表面的点云数据，然斌霉计算i 砖点云的拓扑结襁。图3 7 绘出了复器藤 文物与复原后模型的对比图。 图3 7 复原前后对比图 4 6 。3 破碎文物的麟部虚拟修复 邋类表面模型缺失信惫郝分不多，大部分仅仅某一小块丢失，对于这种情况， 进行局部的修补就显得十分有效，而无需进行魁个模型的重建。本文将局部修补的情 况分成两种，一种是罐状文物碎片碗口部分的修补，另外一种是文物碎片空洞的修补， 懿圈赝暴。黄宠，嚣要计算凌醛片模型弱酝存空溺，毽蕤蘸日蠡分；然嚣投据壤凌分 剐进行修静。 6 3 1 德状文物碎片碗口的局部修复 蓄先，获镬费嫠复模型静耪逮爨轮露线，磐阉3 8 蘑示；煞嚣糖谖窭霭要修於戆部 分，始圈3 8 ( a ) 所示，l 表示要修补的边界起点，2 表示要修 边赛的终点。然后秘用 该模型的对称轴和母线进行修补，修补方法介绍如下： (a)修补前(b)修补后 图3 8 局部修补 假设待修补的边界弧为c 。设i 为修补网格，原始网格为m 。我们现在任务就是 根摆旋转灏模型的形状特，征诗黪耨的点鸯霹入l 中，使褥嬲格模型i 稻鞲缀合兔文物的 复嚣蒺登。瘀予模鍪静对称辘酾母线售惫已经存在，露瑟透季亍谬餐弱雅度将大大降低。 用过对称轴的平面簇机去黻待修补的边界弧c ，截得点集b ，并假设点集p r 最多 两个元索。对于一个交点的情况，计算该交点在母线上的对应点。并将从母线的起始 点至该对应点的一段姆线加入网格模型i 中。对于嚣个交点瓣壤援，分爨诗薅这嚣个 交点程母线上的对应点，然后将对应点之间的母线弧加入网格模型i 中。 凝嚣对l 遂行三热裁分，然嚣与辩台劳裁复琢模蕤，螽潮3 8 ( b ) 掰示。 6 。3 2 罐凝文兹游片肉聱窆漏煞骖 罐状文魏猝冀爨部空溪懿掺羚与兹一节辍必槎篷鬟；蔷先迄是我笺待穆李 豹瘫部逸 界曲线，然后利用过对称轴的平面簇进行求交，计算母线上的对应母线弧加入修补网 捂中，最后与原始模鬓台著，得虱罐状文物稚片静复凝模型。这里不在重复介绍详绸 步骤，仅给出示意图，如图3 9 。 修补前 图3 9 内部空洞修补 6 4 文物复原模型的纹理贴阑 修补臌 佟统纹理黏图 圆贴图： 由于大多数罐状文物碎片其形状比较扁平，因此本文根据这一特性，纹理采集时 采用数字捐极阈定在对稼轴方舞，扶上至下，握照褥裂内， 表嚣垂壹瓣纹理蕊惑。下 图是一螳拍摄的结果。 由予形状壤息的缓失，也使褥纹理镣息丢失，因毖对予这些纹理也嚣要送行必要 的修复。根据几何对称性，本文使用p h o t o s h o p 等图像处理工具进行手工修复。 设内外文物表面模型上的点用序号i 和绕轴旋转的角度挣表示，h e i g h t 表示母线 程辘上投影豹长度，翔该点纹理壅标可表示为： 圆贴图最膊的效聚( v c 十+ 6 0 和o p e n g l ) 如图4 0 所示。 图4 0 圆贴图效果 柱面贴图： 纹理采集时采用数字相机固定在平行于对称轴方向拍照得到文物的柱面纹理信 息。如图所示，然后进行手工修复。内外文物表面模型上的点可以用y 坐标h 和绕轴 旋转的角度口表示。则其纹理坐标可表示为： 。：旦- f = 堡生 2 丌 ，一九 6 5 小结 本章介绍了利用对称轴和母线几何信息进行文物碎片复原的过程，并介绍了纹理 映射的方法。通过本章的阐述，为虚拟复原文物提供了另外一种可行的方案，为未来 虚拟文物的网上应用提供了基础。 第七章系统分析与实现 7 1 背景介绍 将人类历史上遗翻下来的数量巨大的陶、瓷碎片进行复原是文物保护工作者的一 项重簧丽艰巨鼢任务，如何用计算机对这些碎片进行自动虚拟复原更是一个富有挑战 性的鸯意义的研究课题。在国外，美围布朗大学形状实验室的s t i e h 项垦，开发了一 个自动拼接复原破碎罐状古文物系统；维也纳技术大学的模式识别与网像处理小组在 罐状吉文錾爨鼹夔复簌闻题土敛了大爨的疆炎，实瑗了一套霹分类、爨动拱接茨诗舅 机复原系统；还有另外一些大学的研究所在这方面做了很多的研究工作。国内目前尚 无产赫纯酶系绫闫 登，主要工终集孛巍形获銎配技术藕形狡分析携墓箍研究方面。本 章将介绍在实现轴对称破碎文物复原系统时的开发经验。 7 。2 罐状文物碎片复原的工作流程 从一片文物碎片开始，数字化该文物碎片的内外袭面，然后反求出文物碎片的内 辩表簿凡何信憨，再笈原箕丢失部分，贴上纹理信息，这就怒整个罐袄文物碎片复原 过程，一般的步骤为：碎片数字化：褥到礤片的数字数据，还包括转化为一定的数 据格式，并按一定的方式存