（计算数学专业论文）几种有效的数值方法在光波导中的应用.pdf

浙江大学硕士毕业论文 摘要 本文就几种解亥姆霍兹( h e l m h o t l z ) 方程的数值方法：p a d e 有理逼近法、 m a r c h i n g 步进法以及双向光束传播法进行比较，并着重介绍了一种有效的双向 光束传播法在光栅中的应用。 双向光束传播法是通过o n e w a y 方法发展而来的，运用该方法解亥姆霍兹 ( h e l m h o t l z ) 方程时，在算子步进过程中初值算子计算要用到p a d e 有理逼近。 标准的p a d e 有理逼近能够精确地计算传播模，但是对于衰减模的计算误差极大， 从而导致了反射率计算有很大的误差。本文通过引入旋转割线p a d e 有理逼近来 消除误差，以达到比较精确的数值效果。在算子步进过程中我们采用切比雪夫选 择法来计算狄利克莱纽曼算子，不仅效果良好，而且计算量比其他算法要小， 这就提高了算法的效率。最后本文通过分析构造较优的p m l 使得该方法的计算 结果更加精确。 关键词：亥姆霍兹方程，完全匹配层，有理逼近法，双向光束传播法 浙江大学硕士毕业论文 s o m en u m e r i c a lm e t h o d ss u c ha s ，p a d er a t i o n a l a p p r o x i m a t i o nm e t h o d ， m a r c h i n ga n db i d i r c c t i o n a lb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o dw h i c ha l eu s e dt os o l v e h e l m h o t l ze q u a t i o na l ec o m p a r e di nt h i sp a p e r a n dan e wb i d i r e c t i o n a lb e a m p r o p a g a t i o nm e t h o di sa p p l i e di nt h ew a v e g u i d eg r a t i n g b i d i r e c t i o n a lb e a m p r o p a g a t i o nm e t h o di sd 钾e l o p c db yo n e - w a ym e t h o d p a d e r a t i o n a la p p r o x i m a t i o nm e t h o di su s e dt oc o m p u t ei n i t i a lv a l u eo p e r a t o ri nt h ep r o c e s s o fm a r c h i n g p r o p a g a t i n gm o d ec a nb ea c c u r a t e l yc o m p u t e db yn o r m a lp a d er a t i o n a l a p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，b u tn o tf o re v a n e s c e n tm o d ea n dr e f l e c t i v i t y t og e tam o r e a c c u r a t er e s u l ta n de l i m i n a t ee r r o r , ar o t a t i n gb r a n c h c u tp a d er a t i o n a la p p r o x i m a t i o n m e t h o di si n t r o d u c e d i nt h ep r o c e s so fm a r c h i n g ，c h e b y s h e vc o l l o c a t i o nm e t h o di s u s e dt oc o m p u t ed i r i c h l e t t o - n u e m a n no p e r a t o r t h en u m e r i c a lr e s u l ti sv e r ya c c u r a t e a n dt h en u m b e ro f o p e r a t i o n so f t h i sm e t h o di ss m a l l e rt h a no t h e rm e t h o d ss ot h a tt h i s m e t h o di sm o r ee f f i c i e n t a tl a s t ，aa p p r o p r i a t ep m lc o n d i t i o ni sc o n s t r u c t e dt og e ta m o r er e c u r a t en n m e r i c a lr e s u l t k e y w o r d s ：h e l m h o t l ze q u a t i o n ，p m l ，r a t i o n a la p p r o x i m a t i o nm e t h o d ， b i d i r e c t i o n a lb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d 2 浙江大学硕士毕业论文 第一章引言 自从2 0 世纪7 0 年代光纤衰减降到实用化水平以来，光纤从多模光纤、单模 光纤传输系统，到第四代光纤通信系统，再到目前正在研究开发光弧子通信系统， 光纤技术在短短二十多年内取得了巨大的进步。各种光学器件，像光纤激光器、 光纤耦合器、光纤放大器等纷纷在通信、电予等高科技领域内大显身手。在信息 主宰一切的现代社会，光纤技术必将会起到越来越重要的作用，因此光在光纤中 传播的研究工作极为必要。 光从本质上讲是电磁波，因此它符合麦克斯韦方程组。描述光在波导中传播 的亥姆霍兹( h e l m h o t l z ) 方程：a + a + 露撑- o 就是由麦克斯韦方程组通过 傅立叶变换导出的。本文从最基本的情况平面光波导着手研究光的传播。平面 光波导由纤芯和上下包层构成，为了将光约束在纤芯内，纤芯的折射率要大于上 下包层的折射率( 这样可以使光在界面处发生全反射从而降低损耗) 。如果上下 包层的折射率相同我们就称之为对称的三层平面光波导。 求解无界区域的亥姆霍兹( h e l m h o t l z ) 方程的数值解时，需要将无界区域 截断为有界区域，并在边界处设置虚拟边界条件： ( 1 ) “( x ，z ) = o ( x ；- h 一匾j h - h + 日j ) ( 2 ) a ，z ) = o ( x 一一 一日或x = h + 月j ) ( 3 ) a 。u ( x ，z ) 一a u o ，z ) 一一日一日或x = h + 日2 ) 由于这些边界条件不能精确的近似原问题，往往会导致方程的数值解和精确解之 间会有偏差。在这种情况下，我仍引入p m l 完全匹配层概念。完全匹配层是 b e r e n g e r 予1 9 9 4 年提出的一种理想的边界吸收条件，它可以完全吸收来自各个 方向，各个频率的波，并且不发生任何反射。它在数学上相当于对x 做了一个变 换x - j ：5 0 矽f ，相应的亥姆霍兹( h e l m h o t l z ) 方程也就变为复方程，界面条件、 边界条件也会发生变化。 沿z 方向不变的平面光波导中，在忽略后退波场“的情况下，我们可以用 o n e w a y 亥姆霍兹方程a ：“i x o ：+ 咖2 “来近似亥姆霍兹方程，因此o n e w a y 方法也被称作单向光束法( b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ) 。o n e w a y 亥姆霍兹方程 4 浙江大学硕士毕业论文 比初始的亥姆霍兹方程更容易解，因为它存在“初值”。通常我们用步进法解 o n e - w a y 亥姆霍兹方程，坡导出射端的初始算予可以通过逼近平方根算子取得。 最初应用于步进过程的传递算子并不稳定，后来将散射算子或狄利克莱纽曼映 射应用到步进过程，得到了一种更稳定的算法。并且该步进算法大大的节省了内 存，从而很大程度上可以提高运算效率。 平方根算子的逼近一般采用有理p a d e 逼近，p a d e 逼近式民，的精度为 d g “) ，显然m 、n 越大时它的精度就会越高，当然计算量也会随之增加。当 m 、n 取足够大时，对于方程传播模的计算是相当准确的，但是对衰减模的计算 会产生相当大的误差，因为用标准有理p a d e 逼近的计算出的衰减模并不沿z 方 向衰减。这种情况可以通过旋转分支割线p a d e ( r b c l ，a ) 逼近法大大改善。 双向光束传播法( b i d i r e c t i o n a lb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ) 是由单向光束传 ( b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ) 播法发展而来。光在波导中传播碰到不连续界面会 发生反射，在反射较小的情况下忽略掉反射波直接用单向光束传播法( b e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d ) 进行计算得到的结果也会比较精确，但在有的情况下反射波 是必须要考虑到的，像半导体二极管，全内反射波导镜，在这种情况下双向光束 传播法比单向光束传播法有效地多，精确地多。 本文第二章介绍了二维亥姆霍兹( h e l m h o t l z ) 方程的基本形式以及平面光 波导的基本结构；第三章引入了p m l 完全匹配层的概念，以及在该吸收条件引 入后方程和边界、界面条件所发生的变化。第四章主要介绍了有理逼近法以及两 种算子步进法。第五章主要介绍了一种有效的双向光束传播法在光栅中的应用。 5 浙江大学硕士毕业论文 第二章平面光波导 2 1 亥姆霍兹( h e l m h o t l z ) 方程 光从本质上讲就是电磁波，描述其在波导中性质的亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程就是由描述电磁波性质的麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组 v x h - i w z e v e - i w u h v 日o 。 ( 2 1 1 ) v e 0 在三维坐标( 如图) 下导出： 图2 1 对于横电极波( t r a n v e r s ee l e c t r i cp o l a r i z e dw a v e ) 即t e 模式有： a 写+ a 强+ 咖2 e ；0 ( 2 1 2 ) 同理，对于横磁极波( t r a n v e r s em a g n e t i cp o l a r i z e dw a v e ) 即t m 模式有 a ：0 4 a ：h y ) + a ，0 4 a ，h y ) + 露qt o ( 2 1 3 ) 由于我们所讨论的方法对于t e 模式，t m 模式的波都适用，所以本文只讨论 t e 模式的情况。 令h 0 ，z ) 一e ，g ，z ) 可得二维亥姆霍兹( h e l m h o t l z ) 方程t e 模式 a ；“+ a ：“+ i r 2 n 2 u ；0( 2 1 4 ) 6 浙江大学硕士毕业论文 2 2 平面光波导结构 o 包层 l | | | | | |崩： 丫。 7 ： x - - h 包层 图2 2 如图2 2 所示，位于中间的介质叫做纤芯，它的厚度为2 h ，上下两部分叫 做包层。一般我们设纤芯的折射率为心。，两个包层的折射率分别为：，。 为了使光能集中在纤芯中传播，一般都有心。，珂。： 该波导中的亥姆霍兹( h e l m h o t l z ) 方程如下： fa 知+ a + 爵一0 ，日) a ：“+ a ：“+ 爵h 。- o ( 一h x 日) ( 2 1 8 ) la + a + 蚝2 一* 00 日) 1 咖“z ) - 1 2 2 “o 日) 对无界区域的亥姆霍兹( h d m h o t l z ) 方程进行数值求解时我们不可能直接 进行离散求解，必须首先将无界问题化为有界问题，而后再进行数值计算。由于 传播模在离开纤芯会迅速衰减，因此我们可以做这样的假设，波场只存在于一个 有限的区域，在此区域之外波场为零。在数学上也就是相当于给亥姆霍兹 ( h e l m h o t l z ) 方程加了边界条件( 1 ) 。但是在截断区域较小的情况下，此边界条 件容易导致很大的误差。要使得解更精确，只有增大截断区域，而这又会导致计 算量的增加。 解决有界问题时我们还可以采用以下几个虚拟边界条件： ( 1 ) “0 ，z ) 一o i 一只一只l k - h + 月j ) ( 2 ) a x u o ，z ) io ( x - 且一翩或x = h + 日2 ) ( 3 ) a 。u ( x ，z ) 一口“o ，z ) i 匾- h s 茈x = h + 也) 其中a 为常数，n 为界面处外 法线方向。 以上这三个边界条件，只是将原方程进行粗糙的近似化，所以无论是对此近 似问题求精确解还是求离散后的数值解，都会有一定的偏差，从而导致逼近效果 较差。下章我们引入的p m l 吸收边界层可以很好的解决这个问题。 浙江大学硕士毕业论文 第三章p m l 方法 对于计算区域无界问题，由于计算量的限制不可能在无界区域上进行求解。 为此，可以在两边覆层处将无乔区域截断为有界区域，并在截断边晃处设置吸收 边界条件。目前来讲吸收边界条件大致可以分为两大类：一类，入射波在截断边 界处有较小反射如：e n g q u i s t m a j d a 吸收边界条件和b a y l i s s t u r k c l 吸收边界条 件；另一类，入射波在截断边界处完全没有反射如：完全匹配层理论( p e r f e c t l y m a t c h e dl a y e r ) 。 b e r e n g e r 首先于1 9 9 4 年提出完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，p m l ) 的概念。通过在截断处设置一种特殊的覆层，入射波可以无反射的穿过界面进入 p m l 层。并且由于p m l 为有耗介质，进入p m l 的的透射波将迅速星指数衰减。 这样即使p m l 的厚度有限，它对入射波的仍然有很好的吸收效果，这使得计算 区域缩小，计算量大大的缩减。 p m l 上覆层 | | | | l | |j 可。 7 ： 下覆层 p m l 图3 1 如图，该波导纤芯厚度为2 h ，上下覆层厚度分别为风，p m l 的厚度为d 。 在截断处加p m l 层( 如图3 1 ) 的技巧，在数学上相当于对x 做一个复变 换未= s o v f 其中s o ) 一1 + f 仃o ) ，仃( x ) 是一个正的连续函数，而且满足 j 茄”盯。地足够大。 9 浙江大学硕士毕业论文 糊。铲肌譬阳讽+ d 其中r 一酬一日- h o ) d 。 将方程( 2 1 1 2 ) 中的x 替换为；可得： a ；二+ s 一1 a ，( s 一1 a ，二) + 咖d l 二一0 ( 日+ h o 善 日+ h o + d ) a ：+ a ：三+ k 知。，二- 0 h t 工t h + 日。) a ：2 “ + a ，2 “ + ，2 ，k 。二- 0o x l - m ( 3 1 1 ) 二+ o ，1 u + x 6 1 n a 2 五一0( 坩一风石 坍) a ：二+ j 。1 d ，( j 一1 a ，；) + 瑶，l c f 2 三一o ( 一h h o d 石 一h h o ) 此时方程的界面条件也要做出相应的燹挟 j 躲“t z ) - h l m 吣它 ( 3 1 2 ) i 规a ，u ( x ，z ) 。规a ：u ( x ，z j t 骧u c x 一卜，姆+ 吣它 ( 3 1 3 ) l ，姥一a ，u ( x ，z ) i ：u m + a ，“ ，力 由于波在完全匹配层内呈指数衰减，当波传到完全匹配层外时，波场已经 很小，故可将边界条件设为： u ( x ，z ) 一o ( | x i = 日+ h o + d ) 理论上，+ 乩”仃( r 矽。越大方程的解就越精确，因此我们也可以将常数c 取 j h + h t 、。 适当大的数值，但计算时需要的网格就越密，这样计算量就会大大增加，因此在 实际计算中选取的c 不宜太大。 i 0 浙江大学硕士毕业论文 第四章光传播的计算方法及比较 4 1 有理逼近法 4 1 1 平方根算子的有理逼近 由亥姆霍兹方程a 知+ a + l ( 2 0 n 2 u 一0 可得： a ；- a ：一：o n 2 将上式两端开根号：a ：一i 4 a ：+ 咖2 令l - a ：+ 瑶雄2 ，定义l 为平方根算予，可得a 产一t i l u 。 可以用以下几种方法来逼近该平方根算子。 首先将l - a ：+ 咖2 变形 l t 1 + q ，其中q - 巧2 a ：+ 刀2 1 雨= 1 + o 5 q 而= 麓 t a p p e r t c l a e r b o u t 、厩：0 9 9 9 8 7 + 0 7 6 6 2 4 q 哪 1 + q2 百而面i 万一m 哪 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 而= “箭1 + a j “, q i p a d e( 4 1 7 ) 其中一熹s i n 2 ( 翻，一耐( 翻 光的入射角在0 0 - 1 0 0 时t a p p e r t 逼近的效果比较好，c l a e r b o u t 方法逼近 在小于2 5 0 时效果很好，而g r e e n e 方法达到同样效果时入射角范围增大到 0 0 一4 0 0 ，在同样精度的要求下，p a d e ( m = 2 ) 的入射角范围可以达到0 0 一4 5 0 ， p a d e ( m = 5 ) 的达到0 0 7 0 0 ，如果继续增加p a d e 逼近的项数甚至可以使入射角 范围增大到o o 9 0 0 【3 3 1 。前面的这三种属于解决小角度入射问题的方法，p a d e ，1 ) 逼近法属于解决大角度入射问题的方法。前三种方法的优点在于，在小角 浙江大学硕士毕业论文 度入射时它们的计算量小于大角度的方法：它们的缺点在于随着入射角度的增大 误差也随之增大，因此在解决大角度入射时这些方法并不适用。p a d e 伽，1 ) 逼 近的优点在于可以很好的解决大角度入射问题，缺点就是计算量比前三种方法 大。 4 1 2 p a d e 有理逼近的改进 有理p a d c 逼近。g ) 的精确度为o ( x “) 【1 】，由此可知随着逼近项数m 的增大逼近的效果就越好。而的有理逼近心，- 1 + 角1 + a j , , q 口，在逼近点 离零点越近时收敛速度就越快。 焉。国) 分别在g 一0 2 5 ，口一0 5 ，日一0 7 5 ，叮- 1 的逼近情况 q 玛。 )q ) 0 2 51 1 1 8 0 3 3 9 8 5 3 7 x 1 0 4 0 51 2 2 4 7 4 4 6 2 7 x 1 0 - 7 0 7 5 1 3 2 2 8 7 3 2 6 1 0 0 11 4 1 4 2 1 2 x l o - s 表4 - 1 压再函。1 1 1 8 0 3 3 9 8 8 7 4 9 8 9 5 ，厩1 2 2 4 7 4 4 8 7 1 3 9 1 5 8 9 以而焉1 3 2 2 8 7 5 6 5 5 5 3 2 2 9 5 ，压五1 4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 0 9 5 由表4 - 1 也可以看出，q 点离零越近，p a d e 有理逼近的收敛速度就越快。 根据上面的结论，费们可以将平方根算子做出如下变化，使p a d e 逼近的收 敛速度比( 4 2 7 ) 加快。 ，。一。 l = a ：+ 瑶，1 2 - 1 4 i - 石 ( 4 1 8 ) 其中g ( a ：+ r 知：一。；2 ) r ；2 ，五称为参考折射率，当上下覆层的折射率 相同时我们一般取；- 兰学：当上下覆层的折射率不同时我们一般取 浙江大学硕士毕业论文 二- ? l e o + n d l 1 n d 2 。 3 标准的有理p a d e 逼近计算出来的衰减模( e v a n e s c e n tm o d e ) 都是实的，对 于某些场，这会导致透射算子( t r a n s i t i o no p e r a t o r ) t 的分母非常接近于零，从 而使反射场的计算产生很大的误差。这种误差可以很好的由旋转割线有理逼近法 ( r o t a t i n gb r a n c h c u tp a d e a p p r o x i m a n tm e t h o d ) 消除，这是一种复系数的p a d e 逼近，下面我们给出这种方法： 而e u , 1 2 扛而历万面 o 噶抬 其中；。o + q ) e “一1 。 继续化简上式可得： 而_ 4 爿1 + a 6 j m 鬲q ( 4 其中。薹高 。薹击 c e - m 2 0 噶躺- 1 ) 、 角1 + 6 h ( p 一“ 7 4 2 算子步进方法( o p e r a t o rm a r c h i n gm e t h o d ) 在光波导中有一类带有初值的波传播问题，这类问题可以通过对算子来 解决。具体做法就是，根据初值算子并通过在z 方向的算子步进，从而得到想 要求的解。这也就是算子步进方法( o p e r a t o rm a r c h i n gm e t h o do m m ) 这个名 称的由来。通常步进算子的选择并不固定，我们要根据不同的计算要求选择不同 的步进算子。 4 2 1 基于反射算子和透射算子的步进方法 a ：“ ，z ) + o ：u ( x ，z ) + 露n 2 0 ，z ) u ( x ，z ) 一0 浙江大学硕士毕业论文 首先，我们假设波导结构是沿z 方向分段不变的： 忍g ，z ) - n , ( x ) 当z i - 1 z z k 时k - 0 , 1 , ，m + l 其中t 1 一一，乙+ 1 一+ ，z o 一0 ，- i 对于上述波导模型，在瓴。气) 定义u + 0 ，z ) 为该段上的前进波场，u - 0 ，z ) 为该段上的后退波场，u ( x ，z ) 一i i + ( z ，z ) + “。( z ，z ) ，z o 一0 为入射端，- z 为出射 端。 由亥姆霍兹方程我们可以推出下列两式： a z u + o ，z ) - 也“+ o ，z ) a z u o ，z ) 一也口。o ，z ) 其中t ；可2 石而2 2 设z 。乙，k o 山，肌我们设反射算子j i i 0 ) ( r e f l e c t i o n o p e r a t o r ) ，透射算子 于( z ) ( t r a n s m i s s i o no p e r a t o r ) 如下： r 0 + ，z ) - “。 ，z ) 于d + o ，z ) 一“+ o ，z + ) 反射算子蠢( z ) 将 ，z ) 处的前进波场转化为该处的后退波场，透射算子于( z ) 将0 ，z ) 处的前进波场转化为化f + ) 处的前进波场。很显然要求各段波导端点处的 前进波场、后退波场，只要将各端点处的透射算子、反射算子求出即可。又由于 赢0 ) ，于0 ) 在zz k ，k - 0 ，1 ，m 时不连续，步进过程要分成两个步骤。 该波导的出射端纯，乙+ ，) 段上没有反射波即u - o ，z ) - 0 ，显然在该波导的出 射端有： u - 0 ，+ ) = o 由此可知： 云p + ) “+ g ，z + ) 一。 ，f + ) 一0 r ( f + ) “+ 0 ，+ ) 一+ ，z + ) 1 4 浙江大学硕士毕业论文 由上面两式可得： 袁( f + ) - 0于o + ) 一， 其中i 为恒等算子； 至此，两算子在波导右端的初值已经得出，下面我们经过算子的迭代将波导 左端的算子求出。该迭代过程主要有两个步骤，一个是算子从气+ 转移到缸一， 也就是从波导第k + l 段的左端转移到第k 段的右端： 袁( 以- ) 一( ，+ d ) 一1 ( ，一d ) ( 4 2 1 ) f ( z j 一) 一f ( z k + ) t + h ( z k + ) 】。1 ( ，+ 袁( 2 j 一) ) ( 4 2 2 ) 其中d 一乓k 。【，一蠢瓴+ ) 】【，+ j | 毛瓴+ ) 】4 ( 4 2 3 ) 另一步就是算子从气一转移到。+ ，也就是从波导第k 段的右端转移到第 k 段的左端： 蠢( 气。+ ) = 丑爱( 4 一) 丑 f 瓴。+ ) - 于瓴一) 丑 其中丑为传播算子( p r o p a g a t o r ) ，最1e i ( z , - 铀4 将上述两个步骤反复进行最终可以将入射端的反射算子袁( o 一) ，透射算子 f ( o - ) 求出。入射端的入射波h + ( o 一) 已知，则入射端的反射波为 u - ( 0 - ) = 矗( 0 一如+ ( 0 一) ，出射端的透射波为“+ ( f + ) = 于( 0 沁+ ( 0 一) 4 2 2 基于狄利克莱纽曼映射( d t n ) 和基本解算子( f s ) 的步进法 我们设z 点的狄利克莱一纽曼映射( d t n ) d ( z ) 如下： q ( z 弦o ，z ) - o z u ，z ) 在z 点的基本解算子( f s ) f 也) 如下： f ( z ) u 0 ，z ) tu ( x ，f ) 由“ ，z ) 在波导右端z z 的条件可得： q ( f ) 厄瓦虿匹万，f ( o ；i 浙江大学硕士毕业论文 该步进法只有一个算子转移过程即从z i 气+ ，到z 一气： k 。、厍丽 丑e e “丘 c 一【以+ q ( ) 】- 1 【理& 一q ( ) 】 b i 最c 最 q ( 缸) 一让* 。( i - b ) ( 1 + 曰) 1 f 瓴) - w ( z , 。+ c 珥。i f + b ) - 1 如果对于在z - 气+ 1 z 一气给定的狄利克莱边界条件，亥姆霍兹( h e l m h o t l z ) 方程在( ，z k 。) 都有唯一的解，我们还可以将这种算法加以改进。 设狄利克莱映射如下： n l 慨u ( x , z d ，m 裟矧 其中1 1 可以分解如下： n = ( 急急) 该步进过程只需要一步，从z - + 。到z 一气： q ( 气) zn 。+ l i ，：【q ( 4 + ，) - y i 。】- 1n ：。 ，瓴) tf ( z k + 。) 【q ( z k + ，) - 1 1 。】4 兀：。 步进算法进行实际计算时，往往需要把算子离散成矩阵。它的优点就在于进 行计算时该算法所占用的内存与波导长度无关，能最大限度的节省内存，从而提 高计算的效率。虽然该算法由于离散算子的矩阵可能比较大从而导致计算量增 加，但是它仍然比特征展开法要有效率。 浙江大学硕士毕业论文 第五章 双向光束传播法( b i d i r e c t i o n a lb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ) 双向光束传播法( b i d i r e c t i o n a lb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ) 是由单向光束传 播法( b e a m - p r o p a g a t i o nm e t h o d ) 发展而来。光在波导中传播碰到不连续界面会 发生反射，在有的情况下忽略掉反射波直接用单向光束传播法( b e a m p r o p a g a t i o n m e t h o d ) 进行计算得到的结果也会比较精确，但在有的情况下反射波是必须要考 虑到的，像半导体二极管、全内反射波导镜、光栅等，在这种情况下双向光束传 播法比单向光束传播法有效的多，精确的多。 厂 厂 厂一 2 0毛 乙- - 1z 爪 图5 1 该光栅的折射率分布如下； ，1 0 ，z ) = 当磊- 1 z 时 k 。o , l ，m + 1 z 一1 。一o ，乙+ 1 。+ o 波导中z = 2 t ，k o , l 2 , oo 9 m 处为波导的不连续界面，当波u ( x ，z ) 传播到 z = 气处时，一部分波穿过界面继续向前传播，另一部分则在界面处发生反射向 波传播方向的反方向前进。波导内的波可以表示为“ ，z ) - u4 0 ，z ) + “一( x ，z ) 其中 “+ ( 毛z ) 为波传播方向的入射波，u - 0 ，z ) 为反射波。以下的讨论都是在该模型下 进行。 5 1 单向光束传播法 光栅中的亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程如下： a o ，z ) + a ，z ) + 露，1 2 g ，z ) u ( x ，z ) = 0 ( 5 1 1 ) 令l 。压e x _ 0 不t x ) 1 7 浙江大学硕士毕业论文 加p m l 俐l 。扩砥再万而 我们有a ：h + o ，z ) - 勘+ ，z ) ，a ：“力一让“以z ) ( 5 1 2 ) 在“一0 ，z ) 较小的情况下可以认为它为零，从而我们可以用o ；u ( x ，z ) z i l u ( x ，z ) 逼 近原来的亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程，通过步进法可以将该一阶微分方程解出， 但由于光栅中反射较强，此方法得出的解并不精确，因此双向光束传播法是一种 更为合适的选择。 5 2 双向光束传播法 5 2 1 切比雪夫( c h e b y s h e v ) 微分矩阵 在区间【。，2 】上，我们取m + 1 个点，分别为： 仇一1 1 恻静k - l + 1 1 喇( 争场k - 蜘，m ( 5 2 1 ) 显然七一o 时仉- 。卜1 ，七- m 时仉= 。， 由拉格朗日( l a g r a n g e ) 插值公式可得“ ，z ) 的插值多项式：， f 7 l u ( x ，z ) 。荟o 弘o ，仇) 其中t c z ) 。i i j j ；j ；j i i j ：i ；! ：i ! 蒜七。o ，l ，mt q o ) k 一，1 1 4 ) 均k 一研t + 1 ) | 一， m ) 令唯一0 l , a d z - 。, z ) i ， ，一“，) ， ( 5 2 2 ) u o ，n o ) ，u ( x ，) ，“似叩h ) ) ， ( 5 2 3 ) u = 0 n 1 ) ，u ( x ，叩2 ) ，u ( x ，一1 ) ) ( 5 2 4 ) 显然有似+ 1 ) 似+ 1 ) 阶的矩阵d 。+ w 。使 ，一d + w + 一 这个矩阵我们就称之为切比雪夫微分矩阵。 该矩阵构成如下【8 ，9 】： 一o ，o - 再2 半 t k 广赢2 幽6 z i z i - 1 ( 砧，磊2 鲁出j l f ( d 0 。，m 。k 一( 一1 ) k + 7 兰一坐! 生一其他 z j z j - 1 一q 其中耳一c o s ( 等、盹一2 ，砌一2 ，以1 ，( o t 七t j i f ) ，- + u r 我们将妇k + 埘。看作u 的离散形式的微分矩阵即 i a n - 。，j i f + 一 ( 5 2 5 ) 其中詈- 粤吲瑟a u 吲，赴a uu 进一步我们还可将d k + w + 1 2 看作u 的离散形式的二阶微分矩阵即 鲁一州。 ( 5 2 6 ) 其中参一謦i 吲軎。，参k ) 5 2 2 狄利克莱- 纽曼映射( d i r i c h l e t t o n e u m a n nm a p ) 在向。，z ，) 上我们定义狄利克莱纽曼映射如下： n ( 意矧博a , u ( x , z j _ x ) ) z m 其慨( 乏乏) 用n 个点在z 方向上进行离散，则可以得到( 2 ) ( 2 ) 阶的矩阵n 丘。隆纠 l ；1 2 1 j 浙江大学硕士毕业论文 其中n ，。一一n 。，虚。- 一矗：。【8 】 利用第二节的切比雪夫微分矩阵d l + 。我们可以将矗求出： 我们设： 。f 如 1 + i j f + 1 。l ： i 如。 d f + u f + 1 2 = 磊 ： 二 d m d d o 删w d d d u d d ud d “ ( 5 2 8 ) ( 5 2 9 ) 其中五为d 。+ 。朋+ 。的第0 行的1 到m 一1 列，瓦为巩+ 。的第m 行的1 到 m 1 列；瓦为d 。+ 1 j f + 。2 的第。列的1 到m 1 行，瓦为d 。+ 。+ 。2 的第m 列的1 到m - 1 行；瓦为矩阵p 。+ 1 j ，+ ，2 的第0 行的1 到m 一1 列，a 瓦为矩阵p 。+ 。+ 。2 的 第m 行的1 到m 1 列。 令算子a a ：+ x 0 2 n 2 ( 砷由( 5 1 1 ) 可知： a 0 ，z ) + a 以 ，z ) 一0 由( 5 2 3 ) ，( 5 2 4 ) ，( 5 2 6 ) ，( 5 2 9 ) 可知： d m “0 u + a h o d d d d od d o m o 甜o d d d u d d u od d md d 由( 5 2 1 0 ) 可得： 一o ，z 。) i u i ，、 i “讳，2 j j + a u ( x ，z ，- 1 ) 1 ui 。0( 5 2 1 0 ) “ ，神j 姒o ，z ，- 1 ) + 础o u + 砌o u u ( x ，z ，d ) + 血z j - 1 ) d d o u ( x ，z 卜1 ) + d u + d d 一 ，z ) + a ul = 0 积吖o “0 ，：h ) + 甜_ ! i f u + a a 删u ( x ，z j - 1 ) + 衄似z h ) j 由上式可得： - 。 d d o u ( x ，z j - 1 ) + 册+ d d 目u ( x ，z ) + a u = 0 ( 5 2 1 1 ) 啊： 一碥 ，-_-、 浙江大学硕士毕业论文 求6 的特征值可得： 夏一1 6 i ： 在方程( 5 2 1 1 ) 两端同时左乘以豆： 一。 a m l 妒+ a 妒一一c r o ，z 一1 ) 一p u ( x ，：) ( 5 2 1 2 ) 其中妒= 豆- l v = 娩，晚，九。) 口t 豆一1 瓦= ( a l ，a ：，。) 卢一豆一1 藏一( 局，尼，岛一。) 由( 5 2 1 2 ) 可得： 妒+ a 庐t a , u ( x ，2 - 1 ) 一层“0 ，z j ) i 。1 ，2 ，m 一1 ( 5 2 1 3 ) 将上式用n 个离散点在x 方向上进行离散： ( ，+ a t a f t ，d 一肛 i l2 ，m 一1 ( 5 2 1 4 ) 其中h y m n 阶矩阵，疗j - 1 0 “，。h ) ，“( 毛，z 1 i ) ，“( h ，。h ) ) 乃= 瓴，z ，) ，ux 2 ，z a ，z 伪 由( 5 2 5 ) 。( 5 2 8 ) 可得： 缸“ 尝l 。 由上式可得： 矧矧 z 胚， o , u ( x ，2 卜1 ) = d o o u ( x ，。卜1 ) + g o v + a 。 f u ( x ，2 j ) 浙江大学硕士毕业论文 d “0 ，z ，- 1 ) + 磊豆豆u + d 咐h o ，z ) - d u ( x , z _ 1 ) + r 。妒+ d o u u o z j ) _ d 球o ，z ) + 苫“九o ) + d 州( x , z 1 ) 5 2 1 6 ) 同理：8 慨) - d u o u ( x ，柚+ 荟瓯九+ d m 4 “( x , z j ) ( 5 2 1 7 ) 其中y 一韬- ( n ，y 2 ，。) ，6 - 瓦豆一( 嘎，6 ：，乳。) 将( 5 2 1 4 ) 分别代入( 5 2 1 6 ) ，( 5 2 1 7 ) 得： a 瓴，z h ) = d o o u ( x i , z j - 1 ) + 荟“( 7 + a ) - 1 ( a k u j _ 1 + 反a j ) + ，z ，) f 格一n ( 5 2 1 8 ) a “，z ，) i d u o u ( x i , z j - 1 ) + 荟瓯( 九7 + a ) 4 ( 疗+ 反田) + d w “，z j ) f - 1 , 2 ，n ( 5 2 1 9 ) 注：( 5 2 1 8 ) ，( 5 2 1 9 ) 中的仇，+ a ) ( a k a j - 1 + 成) 表示( 5 2 1 4 ) 的解，该解 并非两边同乘逆矩阵得出 将上述两式写成矩阵形式： i c ( 拢d o m t l x 。n 嘲麓搿：篇：z 嬲：聊 由( 5 2 7 ) 式可知狄利克莱映射n 的离散矩阵 豇( d o o i m , 乏乏阁喀r k 删a , ( , k i 埘+ a ) - i ，z 端矧 z 加， 它的子矩阵分别为： 哗；哗屿；晒 峨；螈；晰 0 o 0 j 妇 屿 晌 ：妻；慨：萋：；讹 浙江大学硕士毕业论文 f i l l i x + 荟“吼( v + a ) 。1 n n 。d o u l “+ 荟扎展( 丸“a ) - 1 f i 2 1n d u o k “+ 薹6 k a k 魄7 + a ) 一，n z 。d 一如“+ 荟喀反魄7 + a ) - 1 5 2 2 1 解方程组( 5 2 1 4 ) 只需0 ( m n ) 的计算量，而( 5 2 1 8 ) ，( 5 2 1 9 ) 只需 o ( m n 2 ) 的计算量，因此计算f i 的计算量为d ( 膨n 2 ) ，这比计算算子a 的特征 值分解要简单的多。 5 2 3 迭代双向光束传播法 当z z o 时 令k - a ：+ 吒2 2 0 ) 由( 5 1 2 ) 则有： a ：“+ ，z ) = i l o u + ，z ) ，a 一一0 ，z ) 一- l o u 一0 ，z ) ，z 气 ( 5 2 2 2 ) 将上式两端同时加印 ，z o ) 消去u g ，z 0 一) 得方程( 5 1 1 ) 左端边界条件： a ：u ( x ，z o ) + l 一 ，z o ) 一2 l o u + 0 ，钿_ ) ( 5 2 2 3 ) 当z ) 乙时，h ，：) t “+ 0 ，z ) 令k “- a ：+ 吒2 2 + 。0 ) 由( 5 1 2 ) 我们可以得出方程( 5 1 1 ) 右端边界条件： o , u ( x ，乙) 一k + 一0 ，磊) 一0 ( 5 2 2 4 ) 这种情况下，通常算子的步进法会比较稳定。这里我们用到了狄利克莱- 纽 曼映射( d i r i c h l e t t o n e u m a n nm a pd t n ) 算子q 以及基本解( f u n d a m e n t a l s o l u t i o nf s ) 算子f 相关的步进算法。其中： q ( z ) u ( x ，z ) 一a , u ( x ，z ) ，e ( z ) u ( x ，z ) 一m ( x ，z 。) ( 5 2 2 5 ) 由边界条件( 5 2 2 4 ) ，( 5 2 2 5 ) 可得： q ( z 。) = l m + 1 ，f ( 乙) - f 其中i 为恒等映射 由( 5 2 7 ) 可得： 浙江大学硕士毕业论文 瑚“乙jma比(x,zj_9u(x,zj)z j ) )z j i厂i a z l f o ， j 将q ( z ) u ( x ，z ) 一o z u 似z ) 代入上式得： 必：裁芝岛-+1q(z瓮；p 2 拍， 0 ，z ，) 一2 一o ，2 ，_ 1 ) + d l o ，乃) 将上式消去h o ，z h ) ，h o ，z j ) 得： q ( z 卜1 ) - h 1 1 + 1 2 ( q 0 ，) - n ) i i 2 1 ( 5 2 2 7 ) 由( 5 2 2 5 ) 可得： f ( z 卜1 弘0 ，。卜1 ) 一u ( x ，) 一f ( z 如0 ，。) ( 5 2 2 8 ) 将( 5 2 2 6 ) ，( 5 2 2 8 ) 联立得： ，