揭阳一中等2015届高三上学期开学摸底联考试题（文数）

2015 届高三摸底考联考 文科数学试题 本试卷共 4 页， 21 题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。 2非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。 3答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设全集 UR ，集合 | 2 , | 0 5 ,A x x B x x 则集合 ()UC A B= A | 0 2xx B | 0 2xx C | 0 2xx D | 0 2xx 2 设 复数 z 满足 2z i i ， i 为虚数单位， 则 z A 2 i B 12i C 12i D 12i 3 函数 1( ) l g (1 )1f x xx 的定义域是 A ( , 1) B.(1, ) C.( 1,1) (1, ) D. ( , ) 4 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A 36 B 108 C 72 D 180 5. 在 ABC 中，若 6 0 , 4 5 , 3 2A B B C ，则 AC A.43 B.23 C. D. 6 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出 的结果是 A 123 B.38 C 11 D 3 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3 4 5 0xy 与圆 224xy 相交于 ,AB两点，则弦 AB 的长等于 ( ) A.33 B.23 C. D. 8 已知 实 数 4, ,9m 构成一个等比数列 ，则圆锥曲线 2 2 1x ym 的离心率为 开始 1a 10?a 输出 a 结束 2 2aa 是 否 第 4 题 图 第 6 题 图 630.A 7.B 7630. 或C 765. 或D 9. 在下列条件下，可判断平面 与平面 平行的是 A. 、 都垂直于平面 B. 内不共线的三个点到 的距离相等 C. l,m 是 内两条直线且 l ,m D. l,m 是异面直线 ,且 l ,m ,l ,m 10.对任意两个非零的平面向量 ,，定义 若平面向量 ,ab满足0ab， a 与 b 的夹角 0,4 ，且 ab和 ba都在集合 |2n nZ中，则ba A 12 B 1 C 32 D 52 二、填空题 ：本大题共 5 小题，每小题 5分，满分 20 分 其中 14、 15 题为选做题。 （必做题） 11 在等差数列 an中， a1 7,7 4a ，则数列 an的前 n 项和 Sn的最小值为 _ 12 曲线 C： f(x) sin x ex 2 在 x 0 处的切线方程为 _ 13 设 x， y 满足约束条件 x 2y 4，x y 1，x 2 0，则目标函数 z 3x y 的最大值为 _ （ 选 做题） 请在 14、 15 题中选一题作答。 14 若直线 y x b 与曲线 x 2 cos ，y sin ， 0,2)有两个不同的公共点，则实数 b 的取值范围是 _ 15 如图所示，平行四边形 ABCD 中， AE EB 1 2，若 AEF 的面积等于 1 cm2，则 CDF 的面积等于 _cm2. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80分 .解答须写出文字 说明、证明过程和演算步骤 . 16 （本小题满分 12 分） 已知向量 a )sin,(cos xx , b )cos,cos( xx , c )0,1( （ 1） 若6x，求向量 a 、 c 的夹角 （ 2） 当 89,2 x时，求函数 12)( baxf 的最大值 17 （本小题满分 12 分） 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、 2、 3、 4 的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球，每个小球被取出的可能性相等 （ 1）求取出的两个 球上标号为相邻整数的概率； （ 2）求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率 18 （本小题满分 14 分） 如图，在 三棱柱1 1 1ABC A B C中， 侧棱1CC底面 ABC ， 90ACB ， 2AB ，1BC ， 1 3AA （ 1）证明：1AC 平面11ABC； （ 2） 若 D 是棱1CC的中点 ， 在棱 AB 上是否存在一点 E ，使 /DE 平面11ABC？证明你的结论 19（本小题满分 14 分） A B C A1 B1 C1 D 设等差数列 na的前 n 项和nS，且424SS，2 21nnaa. （ 1）求数列 na的通项公式 ； （ 2）若数列满足*3121 2 311 ( )2nnnbbbb nNa a a a ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 20（本小题满分 14 分） 抛物线 2 2 ( 0 )y px p与直线 1yx相切，1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) ( )A x y B x y x x是抛物线上两个动点， F 为抛物线的焦点， AB 的垂直平分线 l 与 x 轴交于点 C ，且 | | | | 8A F B F. （ 1）求 p 的值 ； （ 2）求点 C 的坐标 ； （ 3）求直线 l 的斜率 k 的取值范围 . 21（本小题满分 14 分） 函数 2( ) l nf x x a x a x （ 1） 1a 时，求函数 ()fx的单调区间 ； （ 2） 1a 时，求函数 ()fx在 1, a 上的最大值 . 数学答案 一、选择题 1 5 BDCBB 6 10 CBCDA 二、填空题 11. 1052 12.y 2x 3 13. 5 14. (2 2， 2 2) 15. 9 三、解答 题 16 解 : （ 1） a )sin,(cos xx , c )0,1( 22c o s s i n 1a x x ， 22( 1 ) 0 1c 2 分 当6x时， a 31( c o s , s i n ) ( , )6 6 2 2 3 1 3( 1 ) 02 2 2ac 4 分 3c o s ,2acacac 5 分 ca ,0 65, ca 6 分 （ 2） 1)c o ss inc o s(212)( 2 xxxbaxf 7 分 )1co s2(co ss in2 2 xxx s in 2 c o s 2xx 9 分 2 s i n ( 2 )4x 10 分 89,2 x 2,4342 x，故 22,1)42s in ( x 11 分 当4342 x,即2x时 , 1)(max xf 12 分 17 解法一： 利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果： 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 可以看出，试验的所有可能结果数为 16 种 4 分 （ 1） 所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1 2， 2 1， 2 3， 3 2， 3 4， 4 3，共 6 种 6 分 故所求概率 6316 8P 答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为 38 8 分 （ 2）所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1 2， 2 1， 2 4， 3 3， 4 2，共5 种 10 分 故所求 概率为 516P 答： 取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为 516 12 分 解 法二 ： 设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球，其数字分别为 yx, ，用 ),( yx 表示抽取结果，则所有可能有 1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 2,1 ， 2,2 ， 2,3 ， 2,4 ， 3,1 ， 3,2 ， 3,3 ， 3,4 ， 4,1 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,4 ，共 16 种 4 分 （ 1） 所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有 1,2 ， 2,1 ， 2,3 ， 3,2 ， 3,4 ， 4,3 ，共 6 种 6 分 故所求概率 6316 8P 答：取出的两个小球上的标号为相邻整 数的概率为 38 8 分 （ 2）所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1,2 ， 2,1 ， 2,4 ， 3,3 ， 4,2 ，共 5 种 10 分 故所求 概率为 516P 答： 取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为 516 12 分 18 证明： （ 1） 90ACB， BC AC 侧棱1CC底面 ABC ，1CC BC 1AC CC C， BC 平面11ACCA 1AC 平面 11ACCA ， 1BC AC ， 11/BC BC，则1 1 1BC AC 4 分 在 RtABC 中， 2AB ， 1BC ， 3AC 1 3AA，四边形11ACCA为正方形 11AC AC 6 分 1 1 1 1B C AC C，1AC 平面11ABC 7 分 （ 2） 当点 E 为 棱 AB 的中点时 ， /DE 平面11ABC 9 分 证明如下： 如图，取1BB的中点 F ，连 EF 、 FD 、 DE ， D 、 E 、 F 分别为1CC、 AB 、1BB的中点， 1/EF AB 1AB平面11ABC， EF 平面11ABC， /EF 平面11ABC 11 分 同理可证 /FD 平面11ABC 12 分 EF FD F ， 平面 EFD /平面11ABC 13 分 DE 平面 EFD ， /DE 平面11ABC 14 分 19 解：（ 1）设等差数列 na的公差为 d ， 由 422421nnSSaa 得 1114 4 3 4 ( 2 )2( 2 1 ) 2 2 ( 1 ) 1a d a da n d a n d 2 分 11210adad 解得 1 12ad 4 分 故通项 21nan 5 分 E F A B C A1 B1 C1 D （ 2）由已知*3121 2 311 ( )2nnnbbbb nNa a a a 1n 时，1112ba 6 分 2n 时，*3112 11 2 3 111 ( )2nnnbbbb nNa a a a 得：11 1 11 ( 1 )2 2 2nn n nnba 对于 1n 也成立 故*1 ()2n nnb nNa 8 分 所以 *1( 2 1 ) ( )2n nb n n N 9 分 231 3 5 2 12 2 2 2nnnT 2 3 4 11 1 3 5 2 12 2 2 2 2nnnT 10 分 得：2 3 4 11 1 1 1 1 1 2 12 ( )2 2 2 2 2 2 2nnnnT 11 分 11111 2 142212212nnn 12 分 113 4 2 12 2 2nnn 13 2 322nn 所以 2332n nnT 14 分 20 解 （ 1）由 2 2 ( 0 )1y p x pyx 得： 2 2 2 0 ( 0 )y p y p p 有两个相等实根 1 分 即 24 8 4 ( 2 ) 0p p p p 得： 2p 为所求 3 分 （ 2）抛物线 2 4yx 的准线 1x 且 | | | | 8A F B F，由定义得1228xx ，则126xx 5 分 设 ( ,0)Cm ，由 C 在 AB 的垂直平分线上，从而 | | | |AC BC 6 分 则 2 2 2 21 1 2 2( ) ( )x m y x m y 2 2 2 21 2 1 2( ) ( )x m x m y y 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( ) 4 ( )x x m x x x x 8 分 因为12xx，所以1224x x m 又因为126xx，所以 5m ，则点 C 的坐标为 (5,0) 10 分 （ 3）设 AB 的中点00( , )M x y，有120 32xxx 11 分 设直线 l 方程 ( 5)y k x过点0(3, )My，得0 2yk 12 分 又因为点0(3, )My在抛物线 2 4yx 的内部，则 20 12y 13 分 得： 24 12k ，则 2 3k 又因为12xx，则 0k 故 k 的取值范围为 ( 3 , 0 ) ( 0 , 3 ) 14 分 21 解：（ 1） 1a 时， 2( ) lnf x x x x 的定义域为 (0, ) 21 1 1( ) 2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 1 )f x x x x x xx x x 2 分 因为 0x ，由 ( ) 0fx ，则 102x； ( ) 0fx ，则 12x 3 分 故 ()fx的减区间为 1(0, )2，增区间为 1( , )2 4 分 （ 2） 1a 时， 2( ) l nf x x a x a x 的定义域为 (0, ) 21( ) 2 ( 2 )af x x a x a x axx 5 分 设 2( ) 2g x x a x a ，则 ()() gxfxx 1a ，其根判别式 2 80aa ， 设方程 ( ) 0gx 的两个不等实根12,xx且12xx， 6 分 则 12,44aaxx 1a ，显然 1 0x ，且12 02axx ，从而2 0x 7 分 2( 0 , ) , ( ) 0 ,x x g x则 ( ) 0fx ， ()fx单调递减 8 分 2( , ) , ( ) 0 ,x x g x 则 ( ) 0fx ， ()fx单调递增 9 分 故 ()fx在 1, a 上的最大值为 (1), ( )f f a