（计算机应用技术专业论文）基于自适应阈值的小波图像降噪.pdf

摘要 图像降噪是图像处理的一个重要环节。图像在采集和传输过程中，往往受到噪 声的干扰，而降噪的目的是尽可能的保持原始信号有效信息，同时除去信号中的噪 声。近年来，小波理论得到了迅速发展，由于小波在时域和频域同时具有良好的局 部化性质，从而可以充分突出研究对象的任何细节，众多优势使小波变换广泛地应 用于图像降噪领域。 本文首先论述了小波理论的发展历程，介绍了小波在图像处理领域的应用情 况，然后系统地描述了基于小波变换的传统的图像降噪方法，并对这些方法进行了 比较，阐述了各种方法的优势及缺点。 本文在对小波变换及传统降噪算法深入研究的基础之上，提出了三种基于小波 变换的图像降噪方法：基于改进的贝叶斯模型的小波图像降噪、基于提升小波与子 带自适应阈值的图像降噪、基于局部阈值的小波图像降噪。第一种方法是基于贝叶 斯降噪方法的，侧重点基于降噪过程的参数估计问题，使得改进后的参数估计模型 更加稳定和精确；第二种方法在原有通用阈值的基础上提出自适应阈值算法，阈值 的构造充分利用了子带相关性，并结合二代小波计算量小的优势进行图像降噪处 理；第三种方法则有效的利用了图像局部信息，通过把子带分解成多个子块，分别 计算小块阈值，同时算法加入了自适应的步骤。 仿真实验表明，本文提出的三种图像降噪方法能有效的去除图像噪声，获得令 人满意的视觉效果。 关键词：小波变换；图像降噪；自适应阈值；局部阈值 a b s t r a c t d e n o i s i n gi sa ni m p o r t a n ts t e pi nt h ep r o c e s s i n go fi m a g e i nt h ec d u r s eo fc o l l e c t i 衄 a n dt r a n s m i s s i o n ，i m a g e sa r ef r e q u e n t l ya f f e c t e d b yn o i s e s ，t h ea i mo fd e n o i s i n gi st o r e t a i nt h eu s e f u li n f o r m a t i o no fo r i g i n a ls i g n a la n dr e m o v et h en o i s ea tt h es a m et i m e i n r e c e n ty e a r s ，t h e r ew a sag r e a td e v e l o p m e n ti nt h ed o m a i no fw a v e l e t b e c a u s eo fg o o d c h a r a c t e r i s t i c so fl o c a li nt i m ea n d f r e q u e n td o m a i n ，w a v e l e tc a ng i v ep r o m i n e n c et oa n y d e t a i l so fr e s e a r c h e do b j e c t s m a n ya d v a n t a g e sm a k ew a v e l e tb ew i d e l yu s e di n i m a g e d e n o s i n gf i e l d f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fw a v e l e ta n di t sa p p l i c a t i o ns i t u a t i o ni ni m a g e p r o c e s s i n g a n dt h e n ，s o m et r a d i t i o n a lm e t h o d sw h i c ha r eb a s e do nw a v e l e ta r ed e s c r i b e d i n d e t a i l ，a n dt h e s ea l g o r i t h m sa r es e p a r a t e l yc o m p a r e dw h o s ed i s a d v a n t a g e sa n d a d v a n t a g e sa r ed e t a i l e da n a l y z e d t h r e ew a v e l e td e n o i s i n gm e t h o d sa r ep r o p o s e di nt h i sp a p e rw h i c h i so nt h eb a s i s0 f d e e p l y r e s e a r c ho nw a v e l e tt h e o r ya n dt r a d i t i o n a l d e n o i s i n ga l g o r i t h m s t h e ya r e i m p r o v e db a y e s i a ni m a g ed e n o i s i n gb a s e do nw a v e l e t s ，i m a g ed e n o i s i n gb a s e do nl i f t i n g w a v e l e ta n ds u b b a n d sa d a p t i v e t h r e s h o l d ，w a v e l e ti m a g ed e n o i s i n gb a s eo nl o c a l t h r e s h o l d t h ef i r s tm e t h o db a s e do nt h eb a y e s i a nd e n o i s i n gm e t h o df o c u s e so nt h e p r o b l e mo fe s t i m a t i o no fp a r e m e t e r s ，a n dt h i sa l g o r i t h mm a k e st h ei m p r o v e dm o d e lo f e s t i m a t i o nm o r es t a b l ea n dp r e c i s e t h es e c o n dm e t h o db a s e do nt h eu n i v e r s a lt h r e s h o l d p r o p o s e st h ea d a p t i v et h r e s h o l d t h i sa l g o r i t h mf u l l yu s e st h er e l a t i v i t yb e t w e e ns u b b a n d s a n dc o m b i n e st h e a d v a n t a g eo fl o w e rc a l c u l a t i o no fl i f t i n gw a v e l e tt od e n o i s e i m a g e w h i l et h et h i r dm e t h o ds u f f i c i e n t l ym a k e su s eo ft h el o c a li n f o r m a t i o no fi m a g e b ys p l i t t i n gt h es u b b a n d sa n dc a l c u l a t i n gt h et h r e s h o l do fe a c hb l o c k , m e a n w h i l e , t h i s a l g o r i t h mp o s s e s s e sa d a p t i v i t y e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h et h r e em e t h o d sp r o p o s e di n t h i s p a p e rc a no b t a i n b e t t e rd e n o i s i n gp e r f o r m a n c ea n d p l e a s e dv i s u le f f e c t k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；i m a g ed e n o i s i n g ；a d a p t i v et h r e s h o l d ；l o c a lt h r e s h o m 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名： 才 多，日期：节z 月y 日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在 年解密后适用于本声明。 不保密z ( 请在以上方框内打“4 一) 论文作者签名：多 导师签名： 嗍矽臼踟 日期2 垮年多月 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及个人不得擅自使用) 5 1 第一章引言 第一章引言 小波理论是当前工程技术与应用数学中迅速崛起的崭新领域，经过l o 年 的探索与研究，小波的数学理论化体系已经建立，其理论基础更加扎实。与傅 里叶变换相比较，小波变换是时域与频域的局部变换，它能有效地从分析信号 中提取信息，很好的解决了傅里叶变换不能解决的众多难题【1 1 。小波变换的低 熵性、去相关性和选基灵活性等特点使其在信号分析领域具有无可比拟的优 势，因而小波分析能够广泛的应用于各个工程领域。 1 1 小波理论的发展 小波分析是2 0 世纪8 0 年代发展起来的崭新学科，它是傅里叶变换的一个 分支体系心1 。傅立叶变换的基本思想是将所研究的函数表示成具有不同频率与 振幅的正弦波和余弦波的和，它通过研究函数分量的形态来研究函数本身自有 的性质。但是，当需要获得一个函数的更加详尽的信息时，就要求对无限个傅 立叶分量中的大部分分量进行观察，这就显出了傅立叶变换的局限性。 小波变换采用了不同的分析函数的方法途径，它不用无限延展的正弦、余 弦波，而依赖于对一个适当选择的母函数进行平移和伸缩，母函数的定义域集 中在一个有限的区间内，几乎任何函数都可以作为母函数伸缩平移，这使得小 波变换比傅里叶变换更加灵活。为了考察函数中感兴趣的尖峰，可以仅考察那 些与之交叠的小波，更精细之处由考察尖峰附近的不断缩小的母波的拷贝来决 定，因此，小波变换比起傅里叶变换有着本质的进步。 为了克服傅立叶变换的缺点，d g a b o r 于1 9 4 6 年引入短时傅立叶变换 ( s h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 。但是短时傅立叶变换( s h o r t - t i m ef o u r i e r t r a n s f o r m ) 只能在一个分辨率层次上进行。小波变换克服了短时傅立叶变换 ( s h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 在单分辨率上的缺陷，同时具有时一频二维 分辨率的特点n 1 。小波变换的最大优势在于它具有时域和频域“变焦距特性， 十分有利于信号的精细分析。第一个正交小波基是a h a a r 于1 9 1 0 年构造的，他 提出了构造正交小波基的伸缩和平移思想，但是非连续可导性限制了h a a r t 、波 基的广泛应用。s t r o m b e r g 于1 9 8 1 年对h a a r d , 波基进行了改进，他证明了小波 函数的存在性。同年，法国地质物理学家m o r l e t 在分析地质资料时创造性地提 出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 这一概念。法国数学家m e y e r 于1 9 8 5 年提出 光滑小波正交基，之后被称作为m e y e r 基，m e y e r 的理论对小波的发展做出了重 要贡献口1 。m e y e r 及其学生l e m a r i e 于次年提出了多分辨率分析的重要思想。法 青岛大学硕士学位论文 国年轻的女数学家d a u b e c h i e s 在1 9 8 8 年提出了具有紧支撑的光滑正交小波基 一d a u b e c h i e s 基h 1 ，如此，小波分析的系统理论得到了初步的建立。之后，m a l l a t 等人在前人大量工作的基础上提出了基于多尺度分析的小波基构造方法，将小波正 交基的构造纳入了统一的理论框架之中，使小波分析正式成为一种实用的信号分析 工具。与此同时，m a l l a t 提出了相应的分解与重构快速算法睛1 ( 称之为m a l l a t 算法) ， 算法有效的应用于图像分解与重构。 1 2 小波变换在图像处理中的应用 具有“数学显微镜 之称的小波因其具有多分辨率和去向相关性等良好的特点， 使其广泛的应用于图像处理的各个领域，例如图像降噪、图像增强、图像分割、数 字水印、图像重建以及图像压缩编码等等，小波方法理论都在这些领域发挥着举足 轻重的作用，并且应用领域还在不断的扩展之中。 1 2 1 小波变换在图像压缩编码中的应用 图像数据往往存在各种信息的冗余，信息熵冗余、视觉冗余和结构冗余等，如 果需要进行快速或实时传输以及大量存储，在同等通信容量下，把图像数据压缩后 再传输，就可以传输更多的图像信息，也就可以提高通信能力。小波分析用于图像 压缩具有压缩比高、压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变的特点h 1 ，且 在传递过程中可以抗干忧。 小波分析进行图像压缩的基本原理是：根据二维小波分解算法，对一幅图像做 小波分解后，可得到一系列不同分辨率的图像，而表现一幅图像最主要的部分是低 频部分，如果去掉图像的高频部分而只保留低频部分，则可以达到图像压缩的目的。 此外，对于图像压缩编码哺3 “j p e g 2 0 0 0 ，小波已成为其中的一个主要技术。 1 2 2 小波变换在图像增强中的应用 图像增强是按照应用领域的特定需要，突出图像中的部分信息，削弱或者取出 不相关的信息，其处理目的是使处理后的图像比原始图像更适合应用层次。在图像 处理领域，图像增强主要通过时域和频域处理两种方法来进行。 基于小波的图像增强方法是一种频率域的增强方法，其实质是一种高频加强方 法。小波变换将一幅图像分解为大小、位置和方向都不同的分量，图像概貌主要体 现在低频部分，而细节部分则体现在高频部分嗍，在做逆变换之前可以改变小波变 换域中某些系数的大小，这样就可以有选择地放大感兴趣的分量而衰减不重要的分 量，达到图像增强的目的。 2 第一章引言 1 2 3 小波变换在数字水印中的应用 数字水印是一种十分贴近实际应用的信息隐藏技术，它是一种新的有效的数字 产品版权保护和数据安全维护技术，水印技术是当前研究的热点。由于小波分析自 身优势，已经有学者将小波分析应用于图像水印技术中。和其他的变换域水印技术 相同，小波变换域水印也分为水印嵌入、水印提取1 9 j 两部分，小波水印的嵌入和提 取都是在频率域进行的。在此过程中，小波的类型、水印的选取、水印嵌入的强度 以及水印嵌入的位置都会影响到水印系统的性能，包括水印的鲁棒性和视觉可见性。 1 2 4 小波变换在图像边缘检测中的应用 在图像处理中，与噪声信号边缘相类似，物体的边缘、光照阴影以及物体表面 纹理等因素都表现为高频信号，即灰度间断区域。因此正确地检测出图像边缘是非 常困难的。传统算法基于单一尺度的边缘检测算子，受噪声影响不可能正确与准确 地检测出所有边缘，因此基于小波变换的多尺度检测边缘方法越来越引起学者的重 视【1 0 l 。在各种基于多尺度边缘检测算法中，基于小波的多尺度边缘检测算法最为流 行。 1 2 5 小波变换在图像降噪中的应用 由于现实中的图像大多都是带有噪声污染的，所以为了后续图像的处理过程有 必要对图像进行降噪处理。学者们根据实际图象的特点、噪声的统计特征和频谱分 布的规律，得出了多种多样的降噪方法，其中最为直接的方法是采用低通滤波器【1 4 】 进行降噪处理。近年来，在图像降噪领域，基于小波的图像降噪方法【1 0 1 ( 1 3 l ，得到了 令人满意的效果，具体来说，小波降噪方法的成功主要得益于小波自有的优点1 1 1 1 ： ( 1 ) 低熵性，小波系数的稀疏分布降低了图像的信息熵； ( 2 ) 多分辨率，多分辨率的方法可以非常好地刻画图像的非平稳特征，如边缘、 尖峰、断点等； ( 3 ) 去相关性，因为小波变换可以对信号进行去相关处理，且噪声在变换后有高 斯白化趋势，所以小波域比起时域更有利于图像降噪； ( 4 ) 选基灵活性，小波变换可以灵活的选择母函数，对于不同的应用场合，对不 同的研究对象可以选用不同的小波母基进行伸缩和平移，从而可以获得最佳的降 噪效果。 基于小波变换的图像降噪的主要思想可概括为：首先对原始图像进行小波变换， 得到变换后的小波系数，然后对小波系数进行相关过程的处理，这一步也是基于小 3 青岛大学硕士学位论文 波变换的图像降噪领域研究的重点，最后将处理后的小波系数进行逆变换得到降噪 后的图像。具体过程可用图1 1 表示： 图1 1 小波变换用于图像处理的基本流程 3 本文所作的主要工作 本文在深入研究小波理论的基础之上，系统的论述了基于小波的几种传统的图 像降噪方法，针对算法存在的问题，本文提出了三种改进的小波降噪算法，并通过 仿真实验证明了算法的有效性。 全文共分六章，其主要内容组织如下： 第一章引言部分对小波理论发展历史作了系统的讲解，简要介绍了小波变换在 图像编码、图像边缘检测、图像压缩、图像降噪等图像处理领域的应用。 第二章主要阐述小波基本理论，其中包括小波变换的基本定义，连续小波变换， 离散小波变换，二进小波变换，多尺度分析以及m a ll a t 算法。 第三章系统论述了传统的基于小波的三大类图像降噪方法：基于小波变换模极 大值降噪方法、基于小波变换尺度相关性的降噪方法以及基于小波萎缩阈值降噪方 法，并在算法之间进行了分析和比较，指出各种算法的优势和缺点。 第四章提出基于改进的贝叶斯模型的小波图像降噪方法。在贝叶斯模型的参数 估计过程中，参数的估计步骤可以有很大的改进空间，原始的参数估计方法是通过 图像小波系数的阶矩得到的，本章提出一种改进的对于信号和噪声系数估计的方 法，在保持原有贝叶斯模型降噪步骤的同时，本章方法通过在一组合理的约束条件 下用最小二乘法解决一个线性方程组，从而得到参数的估计。实验表明，在本章得 到的估计参数方法的基础上进行的降噪实验，其结果更为理想。 第五章提出基于提升小波与子带自适应阈值的图像降噪方法。本章是在 4 第一章引言 v i s u s h r i n k 方法的基础之上，对d o n o h o 阈值进行了相应的改进，使其具有良好的 自适应性。为了克服d o n o h o 通用阈值“过扼杀和“过平滑的缺陷，本章提出 了一种基于提升小波与子带自适应阈值的图像降噪方法。阈值的构造充分利用了子 带的相关性，同时结合原有的通用阈值进行噪声滤除。与传统阈值方法不同，本章 算法使d o n o h o 阈值与小波系数子带相关联，保证了阈值的层间自适应性和图像降 噪性能。同时，本章采用第二代提升小波变换进行图像数据的处理，提升小波的自 有的低计算时间复杂度，大大降低了该算法的计算量，实验结果表明，与传统方法 相比，该方法在减少计算量的同时，获得了理想的降噪效果。 第六章提出基于局部阈值的小波图像降噪方法。全局阈值计算虽然简单，但是 却会导致不连续点处的g i b b s 效应，影响降噪效果，为解决此类问题，本文提出一 种基于局部信息的阈值降噪方法，该方法通过把图像分解成多个子块，分别计算小 块阂值，从而有效的利用了图像局部信息，同时算法加入自适应的步骤，原先的全 局阈值被修改成子带阈值，从而不同的子带有不同的阈值。仿真试验表明与其他常 用方法相比，本算法能获得较好的降噪效果。 第七章总结与展望。在总结全文内容的基础之上，对未来研究发展方向提出建 设性意见，以供后续研究借鉴之。 5 青岛大学硕士学位论文 第二章小波变换基本理论 小波变换的数学基础是1 9 世纪的傅立叶变换，1 9 8 1 年法国地质物理学家m o r l e t 在分析地质资料时创造性地提出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s is ) 这一概念。1 9 8 5 年， 法国数学家m e y e r 首次提出光滑的小波正交基，后被称为m e y e r 基。次年，m e y e r 提出 了多尺度分析的思想。1 9 8 8 年，法国数学家d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的光滑正 交小波基d a u b e c h i e s 基，小波分析的系统理论得到了初步建立。与此同时，信号分 析专家m a ll a t 等人在前人大量工作的基础上提出了多尺度分析的概念和基于多尺度 分析的小波基构造方法，将小波正交基的构造纳入统一的框架之中，使小波分析成 为一种实用的信号分析工具。 2 1 小波变换理论 2 1 1 小波变换的定义 小波变换的定义：把一个称为基本小波的函数妒o ) 做位移r 后，在不同尺度口下 与待分析信号x o ) 做内积【1 4 l ： 眠( 叩) 一击p o 炒( t - - 口r 渺 。 2 - ( 1 ) 等效的频域表示是： 眠如) 2 移( 渺+ ( 口恸 2 ( 2 ) 式中，x ) ，妒 ) 分别是x o ) ，缈o ) 的傅立叶变换。 2 1 2 连续小波变换( c w t ) 诹p ( t ) e l 2 ( r ) ( r 僻) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ，其 傅立叶变换为妒( ) 。当妒( ) 满足容许性条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) 1 6 1 c 中il 。 6 2 - ( 3 ) 第二章小波变换基本理论 时，我们称妒o ) 为一个基本小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) 。将母函数缈o ) 经伸缩 和平移后，就可以得到一个小波序列f 1 7 】： 删2 南妒单咖鲫。 2 - 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f ( t ) l 2 ( r ) 的连续小波变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m l 简 写c w t ) 为【1 7 】： ( 口，6 ) = ( ，妒。，6 ) 一i 口i j t - 口b 沙 2 一( 5 ) 其重构公式为【1 7 1 ： m = 扣抑( 啪) 妒洋脚 2 ( 6 ) 要使2 一( 5 ) 的积分变换有意义，要求正陟o ) i 出 ，这就要求妒( f ) 具有快速衰 她而且由豳的连续酬讣可撕粕：。若豳地那么学 在缈一0 处会等于+ ，因此2 一( 3 ) 式决定的系数巳就不可能是有界量，再由傅立 叶变换的表达式可推知【1 7 1 ： 正妒o ) 出= 0 2 。 这表明妒o ) 具有波动性。总之，缈o ) 是像波一样的快速衰减函数，形如小的波，这 也是妒( f ) 称为小波的原因。 连续小波变换与傅立叶变换类似，也具有线性性，平移不变性和伸缩共变性， 用数学语言描述如下1 1 8 1 ： ( 阡0 ，o ) + g ( t ) x a ，b ) 一( 阡0 厂( f ) ) ( 口，b ) + ( w o g o ) ) ( 口，b ) 平移不变性： ( 阿0 ，) ( 口，b z ) = ( 玎0 厂o ) ) ( 口，b z ) 7 2 - ( 8 ) 2 - ( 9 ) 青岛大学硕士学位论文 伸缩共变性： f f v 妒f ( c t ) ) ( a ，b ) - ( f ( t ) x c a ，c 6 ) 2 - ( 1 0 ) 、c 另外还有自相似性和冗余性，小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映。主要表 现为【1 9 1 ： ( 1 ) 由连续小波变换恢复原始信号的重构分式不是唯一的，即信号f ( t ) 的小波 变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。 ( 2 ) 小波变换的核函数即小波函数妒。j o ) 存在许多可能的选择( 比如它们可能是 非正交小波，正交小波，双正交小波等) 。c w t 的系数具有很大的冗余量。在连续变 化的尺度a 和时间b 下小波基函数妒。j o ) 具有很大的相关性，因而信号的小波变换系 数孵( 口，6 ) 的信息量是冗余的。大多数情况下人们希望在不丢失原始信号信息的情况 下，尽量减小小波变换系数的冗余度，从而提高压缩率。因此，引入了离散小波变 换。 2 1 3 离散小波变换( d w t ) 【1 】【1 4 】【1 5 l 在实际应用中，考虑最多的是离散小波变换，而不是连续小波变换，这主要是离 散小波变换更容易在计算机上实现。离散小波变换相对应傅立叶级数，正如连续小 波变换对应于傅立叶变换。所谓的“离散 即指尺度和位移的离散，而对分析信号 和分析小波中的时间变量t 并没有被离散化。在连续小波中，考虑函数： 妒。j ( f ) ：k f - i i 妒( 生生) 2 ( 1 1 ) 妒。( f ) = f 口r i 妒( 争 2 ( 1 1 ) 这里，6 r ，ae r 且a 一0 ，矽是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a 只 取正值，这样兼容性条件就变为： g ；j ，o 陟弛石 1 ( 由于 m - f f j 以取正也可以取负，所以这个假定无关紧要) 。因此对应的离散小波函数缈j , t o ) 8 第二章小波变换基本理论 即可写作： m 口南( 学) i 口南“慨) 则离散化小波变换系数可表示为： w f ( a ，6 ) = f f ( t ) q ：j + ( o a t 其重构公式为： 厂( f ) 一c c ，矽，j o ) c 是与信号无关的常熟。 2 1 4 二进小波变换 2 - ( 1 3 ) 2 - ( 1 4 ) 2 - ( 1 5 ) 为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性， 我们很自然地需要改变a 和b 的大小，以使小波交换具有“变焦距 地功能。换言之， 在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即 a 。= 2 ，b o ；1 ，每个网格点对应的尺度为2 ，而平移为2 j k ，由此得到的小波： l 缈，j ( f ) = 22 妒( 2 t - k ) 2 - ( 1 6 ) 称为二进小波【1 3 1 。 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数2 ，它对应为观 测到信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数 即减小f 值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大j 值。 在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。 二进小波不同于连续小波的离散形式，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时 间域上的平移参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变 量，这也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。 2 2 多分辨率分析【1 5 1 - f 1 9 1 多分辨率分析，又称多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它是m a l l a t 在8 0 年代提出的，可用于正交小波的分解和重建，也称为金字塔算法。多分辨分析 的基本思想是将原始信号分为不同分辨率的几个信号，然后选择合适的分辨率或者 9 青岛大学硕士学位论文 在各级分辨率上处理此信号。如果我们把尺度理解为照相机镜头的话，当尺度由大 到小变化时，就相当于将照相机镜头由远及近的接近目标。在大尺度空间里，相当 于从远处观察目标，只能看到目标大致的概貌：在小尺度空间里，相当于从近处观察 目标，可观测到目标的细节部分。因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可 以由粗糙到精细地观察目标。这就是多尺度( 多分辨率) 的思想。我们可引出多分辨 分析的定义，多分辨分析是指空间r 俾) 中满足下述性质的一系列闭子空间k ， j 么o ( 1 ) 单调性：巧c 哆+ 。，对任意的i z 。 ( 2 ) 逼近性：q 匕一 。) ，c 伽e 亟巧】一r 俾) 。 ( 3 ) 伸缩性：f ( t ) e v j 营f ( 2 0 e 5 + 。；伸缩性体现了尺度的变化、逼近正交 小波函数的变化和空间的变化具有一致性。 ( 4 ) 平移不变性：x c e 意k e z ，有咖( 22 t ) e v j 辛咖( 22 , - k ) e v j 。 6 ，赋e s z 基存在性：存在o ) ，使得 妒( 2 江七) l 七z ) 构成_ 的髓e s z 基。对于性质( 5 ) 可证明存在妒( t ) e v o ，使它的整数平移系 ( 2 卜七) i 七z ) 构成i 的规范正交基，我们称( f ) 为尺度函数 ( s c a li n gf u n c t i o n ) 。定义函数： 晚j ) = 22 妒( 2 t k ) j , ke z2 - ( 1 7 ) 则函数系 嘭 ( f ) i 七z ) 是规范正交的。 设以表示的小波分解中的低频部分4 ，彤表示小波分解中的高频部分q ， 则是匕在+ 。中的正交补，即 巧o t 巧+ 。 _ z2 - ( 1 8 ) 显然： f ( t ) e w i 营i ( 2 0 e 吧+ 1 j z2 ( 1 9 ) l o 第- 二章小波变换基本理论 则多分辨分析的子空间可以用有限个子空间来逼近，即有 一ko ako 嘎o i s = o - go o 一，o 彤 2 - ( 2 0 ) 空间列 ij z ) 具有下列性质： ( 1 ) ，o ) 辛f ( t 一2 j ) e w j ( 2 ) f ( t ) w j 营，( 丑) + 1 l ，n e z j e z ( 3 ) 昂，j 呻o ，当l j l - - 对任意，r 僻) 和l 一样，我们希望找出一个确定 的函数妒o ) ，使得对每个j z ，函数系扣j i ，l z ) 构成空间的规范正交基， i 其中妒j o ) a22 妒( 2 - t - n ) 。 若令正k 代表分辨率为2 一的函数，r 僻) 的逼近( 即函数厂的低频部分或 “粗糙像 ) ，而d ，矽，代表逼近的误差( 即函数厂的高频部分或“细节部分) ， 则2 ( 1 5 ) 就意味着： 厂0 = 五+ 厶= 厂2 + d 2 + 吐一厂+ d + 彳2 + d 1 注意到厂= 厂。所以上式可简写为： ，i ，n + 酗 2 - ( 2 1 ) 这表明任何函数，r 俾) 都可以根据分辨率为2 州时厂的低频部分( “粗糙部分 ) 和分辨率2 一( 1s ，) 下的f 的高频部分( “细节部分) 完全重构，这就是著名 m a l l a t 塔式重构算法的思想。 从包容关系c 圪。很容易得到尺度函数( f ) 的一个极为有用的性质。因为 l 九o ) c 眵。所以) = 如，。) 可以用圪；子空间的基函数吏。j o ) 一2 2 妒( 复一七) 展 开，令展开系数为魄，则： 驴o ) = 压 ) 妒亿一七) 2 _ ( 2 2 ) 青岛大学硕士学位论文 这就是尺度函数的双尺度方程。 另外，由于屹。一0 ，故妒o ) 一妒o o o ) 睨肜，这意味着小波函数 f r o ) 可 ! 以用k 。子空间的正交基丸。j o ) 一2 2 ( 2 t - k ) ，令展开系数为反，即有： 垆o ) 一压g ( 足) ( 复一七) 这就是小波函数的双尺度方程。 双尺度方程2 - ( 2 2 ) 和2 一( 2 3 ) 表明，小波基妒似o ) 可由尺度函数( f ) 的平移 和伸缩的线性组合获得，其构造归结为滤波器h ) ( 厅 ) 的频域表示) 和g 扣) ( g ) 的频域表示) 的设计。 由妒o ) 的二进制伸缩平移形成的空间为： w i - s p a n l ： 缈，一o ，= 2 ；妒c 2 j r 一以，刀z ( 1 ) 上屹，o 屹2 屹+ l ，从而r 僻) 2 霪，上，_ 一厂。 ( 2 ) 枷加) 稻是中的标准正交基，从而扣一) 觑是r 俾) 中的标准正交基， 即小波正交基。 综合以上分析，我们可以归纳出为了使允 q ) - 2 一i 爹( 2 7 芗一是) 构成匕子空间的正 交基，生成元妒( f ) ( 尺度函数) 应该具有下列基本性质： ( 1 ) 度函数的容许条件，e 妒( f ) 出一1 。 ( 2 ) 能量归一化条件：恻1 2 - 1 。 ( 3 ) 尺度函数妒o ) 具有正交性，即( o ( t - 1 ) ，妒o 一七) ) 6 - 1 ) ，v k ，z z 。 ( 4 ) 尺度函数妒o ) 与基小波函数缈o ) 正交，即( o ) ，妒o ) ) ；o 。 ( 5 ) 跨尺度的尺度函数o ) 与妒( 力) 相关，满足双尺度方程2 一( 2 2 ) 。 ( 6 ) 基小波函数妒o ) 和( 力) 相关，即满足小波函数的双尺度方程2 - ( 2 3 ) 。 将尺度函数的容许条件与小波的容许条件正妒o ) 出o 作一比较知，尺度函数 第二章小波变换基本理论 的傅立叶变换爹( 奶具有低通滤波特性( 相当于一个低通滤波器) ，而小波的傅立叶 变换缈扫) 则具有高通滤波性( 相当于一个带通滤波器) 。 2 3 小波变换的m a l l a t 算法【1 l f l 8 l 。【2 1 l 任何一幅图像经过小波变换都可以分解为低频部分和高频部分，为把信号的低 频和高频部分分开进行处理，m a l l a t 提出了经典的信号分解与重构算法，m a l l a t 算法流程可如图2 1 和图2 2 所示： h i f d m 图2 1 信号分解流程示意图 d i 0 图2 2 信号重构流程示意图 其中日，f 为能量有限信号1 ( t ) ( ，( f ) r ( r ) ) 在分辨率2 7 下的近似值，h 厂又可 进一步分解为日，( 分辨率2 h 下通过低频滤波得到) ，以及d h f ( 分辨率2 与 2 ，之间通过高频率波得到) 之和，重构过程为分解过程的逆过程。 1 3 青岛大学硕士学位论文 2 3 1 信号分解的m ai ia t 算法 首先定义： 对于任意1 ( 1 ) ( 厂( f ) _ 一。) 在k 。空间的展开式： 厂( f ) _ , c j - l , k2 。+ 1 心( 2 一+ 1 f 一七) 2 - ( 2 4 ) 将，( f ) 分解一次，分别投影到哆、空间： ，( f ) 2 ；c j k 2 一胆( 2 一f 一七) + d ，j2 一胆a p ( 2 - j t - k ) 2 ( 2 5 ) 则c ，上和d j 为尺度j 上的展开： c ， z ( 坤) ，咖，。( f ) ) 一正巾) 2 一胆爹( 2 吨一七) 出 2 ( 2 6 ) d ，乒一( 巾) ，叩， ( r ) ) = e ，( f ) 2 川1 p ( 2 一七) 出 则称c ，j 为尺度系数，d ，鼻为小波系数。 从式2 一( 2 4 ) 可以得到： c ，乒= x h ( m 一2 k ) c 卜枷 2 - ( 2 7 ) 同理： d j j m 一2 k ) c ，一驷 2 - ( 2 8 ) 2 一( 2 5 ) 和2 一( 2 6 ) 表明：分辨率为的尺度空间的尺度系数c j j 和小波系数d j 土可由分 辨率为j 一1 的尺度空间的尺度系数c h 乒经滤波器j l l ( 以) 和g ( 厅) 进行加权求和得到。 将_ 空间尺度系数c ， 进一步分解下去，可得到屹+ 。和+ 。空间的尺度系数c 上和小 波系数d j + u ： c ，+ 坫x h ( m 一放) c ，一 d ，+ 耻。x g ( m 一2 k ) c j 一 2 - ( 2 9 ) 2 - ( 3 0 ) 同理，将尺度空间哆+ 。继续分解，直到空间_ ，式2 一( 2 7 ) 和式2 一( 2 8 ) 给出了 1 4 第二章小波变换基本理论 m a ll a t 算法的基本流程。 2 3 2 信号重构的m al l a t 算法 重构过程为分解过程的逆过程，设f ( t ) e v i 1 ，由于： 同时对两边略一埘( f ) 进行内积操作，由于不同尺度上的尺度函数具有正交性， 以及小波函数与尺度函数间具有正交性，得到： c j - 协2 ； l ( m - 2 k ) + ；d 朋( m - 2 k ) 2 - ( 3 2 ) 2 - ( 3 0 ) 式为信号m a l l a t 算法的重构公式。 2 4 二维图像的小波变换与m a l l a t 算法 2 4 1 二维图像的小波变换 将小波分解从一维变换推广到二维变换，对于二维正交小波变换，常用的是二 维正交小波基。由一维尺度空间的定义，定义j 尺度下的二维尺度空间： 一 哆v ，( x ) e v j ，g o ) 匕，z 2 - ( 3 3 ) 则协一 ) ，嘭朋( ) ，) l 施是屹的标准正交基，且： v j q - v , 。 巧一，- - v , o 彤孵。町 2 - ( 3 4 ) t 匕为二维小波空间，则静，一o ) ，办朋( y ) l 胆一定为孵的标准正交基， 办一扛) ，妒j 一( y ) k 胆是吁的标准正交基，彤，o ) ，办一( y ) k 艚是叼的标准正交基。 则r 俾2 ) 空间中的任意信号， ，少) 皖，在正方形二维正交基下的展开为： 刀 一 堋 卜 犯 磁 ， 丁 2 i 哟 舻 矿 净 、l， l 力 ，j、 r 刖 苫 。 似 吒 x 争v 中 “：， 青岛大学碾士学位论文 ，“y ) - z z f ，一o m o ) + 彪一，一“+ ，三- ，( 咖抽( ) 如 j 三以m 郴 吐，彪，矗，分别为町，昨，昨的小波展开系数，对应尺度空间巧的尺 图像可以看成是二维信号，大p j 、n x n 的图像经过小渡变换后得到四个大小为 ( 2 ) x ( 2 ) 的予带图像( 一个低频信号，三个高频信号) ，低频信号还可以进一 步的进行小波分解，随着分解层鼓的增多，越能够有效的利用层间系数之阃的相关 性，但是也增加了计算时间，并且降低了重构信号的信噪比在此给出利用 d s u b e c h i e s l 小波基对摄影者图像进行二层小波分解的示意图 田2 3 攮影者匿像的两层小渡分群示意图 2 4 2 二维巨i 像的l i a l l a t 算法 我们由二维信号的多分辨率分析推出二维图像的m a l l a t 算法。下面是二维小 波变换的快速分解公式： d 知( m ，n ) - ： 忙一加k ( z 一2 1 1 ) c j ( i ，f ) d 盘( m ，n ) - 乏z g 忙一抽m o 一2 n ) c j ( t ，f ) d 盘( 埘，n ) - g 忙一2 i ，i ) 掌o 一知) 勺( i ，j ) c j 1 ( m ，小z ( t 一拥) ( f 一知) 勺( t ，j ) 2 - 0 6 ) 重构算法公式为： 第二章小波变换基本理论 巳( 所，刀) 4 萃； ( k - 2 m ) ( 2 一知) c i + - ( 七，7 ) + 乏g ( 七一2 m ) h ( 1 2 ，1 ) d 二。( 七，z ) + 毫乏厶( 七一锄) g ( z 一孙) d 二。( 七，z ) 2 - ( 3 7 ) + 莩；g ( 七一2 m ) g ( f 一2 ，1 ) 矗二t ( 七，) 一般认为，m a l l a t 算法在小波分析中的地位类似于f f t 在经典f o u r i e r 分析 中的地位。离散图像的二维正交小波的m a l l a t 算法被广泛应用于图像降噪处理中。 随着小波理论日趋完善，其自身良好的时频特性在图像降噪领域受到越来越多的关 注。 1 7 青岛大学硕士学位论文 第三章基于小波变换的图像降噪 有效的消除图像噪声是图像处理领域永久的课题。近年来随着小波理论的兴起 和发展，人们根据噪声的频谱分布规律，提出了彳同的基于小波变换的图像降噪方 法，小波理论正逐渐的广泛应用于图像降噪领域。 3 1 图像降噪问题概述 由于各种原因，图像在传输过程中受到噪声污染，图像中的噪声有的来源于系 统外部，有的来源于系统内部，为了使图像得到更高层次的后续处理，有必要对图 像进行降噪处理，尽可能的恢复原始图像值。降噪目标在于减少图像噪声的同时， 尽可能的保持原始图像的特征细节信息。总的来说图像降噪方法可以分为空间域方 法和变换域方法膻别。 空间域方法例如：中值滤波法、维纳滤波法、线性滤波法等瞄1 。变换域降噪方法 是基于对图像进行某种变换，将图像数据从空间域变换到变换域，然后对变换域中 的变换系数进行某种处理，再进行逆变换将图像恢复到空间域，从而达到降除噪声 的目的。图像变换域降除噪声方法有傅立叶变换、小波变换等等。每种变换的变换 域的系数有不同的特性，合理的根据图像特点选择降噪方法，可以有效的去除图像 的噪声。 如何在降除图像噪声的同时保留图