立体几何与空间向量知识点归纳总结.doc

.立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、 柱、锥、台、球的结构特征（1） 棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。（2） 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。棱台的性质：上下底面平行且是相似的多边形；侧面是梯形；侧棱交于原棱锥的顶点。（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。圆柱的性质：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。圆锥的性质：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。圆台的性质：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇环形。（7） 球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。球的性质：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=3、平面及基本性质公理1 公理2 若,则且公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线5、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面，使得且（2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：（3）求异面直线所成的角：平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形. 向量法 （注意异面直线所成角的范围（4）证明异面直线垂直，通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；向量法 （5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.6、 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系2、直线与平面平行的判定（1）判定定理: (线线平行，则线面平行)（2）面面平行的性质： (面面平行，则线面平行)3、直线与平面平行的性质 (线面平行，则线线平行)4、直线与平面垂直的判定（1）直线与平面垂直的定义的逆用 （2）判定定理： （线线垂直，则线面垂直）（3） （练习 第6题）（4）面面垂直的性质定理： （面面垂直，则线面垂直）（5）面面平行是性质：5、射影长定理6、三垂线定理及逆定理 线垂影线垂斜7、 两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行8、两个平面平行的判定（1）判定定理： （线线平行，则面面平行）（2） 垂直于同一平面的两个平面平行（3） 平行于同一平面的两个平面平行 （练习 第2题）9、两个平面平行的性质（1）性质1：（2）面面平行的性质定理： （面面平行，则线线平行）（3）性质2：10、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理： （线面垂直，则面面垂直）（2）性质定理：面面垂直的性质定理： （面面垂直，则线面垂直）12、 空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角 （1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.（2）向量法：设平面的法向量为，则直线与平面所成的角为，则 （3）两个重要结论 最小角定理： ，例4 第6题13、空间距离：求距离的一般方法和步骤（1）找出或作出有关的距离；（2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）求点到面的距离常用的两种方法（1）等体积法构造恰当的三棱锥；（2）向量法求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解异面直线的距离 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离向量法 （，分别为两异面直线上任意一点，为垂直于两异面直线的向量） 注意理解应用： 二、空间向量知识点1、空间向量的加法和减法：求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作，则求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则2、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使5、平行于同一个平面的向量称为共面向量6、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有；或若四点，共面，则7、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：8、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作9、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为10、等于的长度与在的方向上的投影的乘积11、若，为非零向量，为单位向量，则有；，； ；12、空间向量基本定理: 若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底14、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标15、设，则 若、为非零向量，则若，则，则16、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对使得，这样点与向量，就确定了平面的位置17、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量18、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，19，20、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则，21、设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有22、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有23、设，