（水利水电工程专业论文）水击理论与计算研究.pdf

水击理论与计算研究 三! ! ! 鲁芒! 葛篡! ! ! 鼍皇! 苎鼍烹皇! 鼍皇h i i i i i , 詈詈! 詈! 苎鼍詈曼詈詈! 詈皇兰皇! 苎! 詈詈苎! 詈皇! 詈竺苎詈竺苎! ! 曼 摘要 本论文首先简要介绍了当前水击计算的基本理论，包括水击数学模型和计算 方法。指出了当前水击数学模型中的连续性方程不能满足恒定流条件、s i n 0 项存 在的不合理性等问题，说明当前水击数学模型中的连续性方程是错误的。同时也 指出了目前的计算方法也存在不严谨之处。接着，对这些问题存在的原因进行了 详细分析，发现在当前推导水击压强公式的过程中没有考虑管道的倾斜度和摩擦 阻力的影响，而在后面水击计算的连续性方程的推导过程中则考虑了管道的倾斜 度，这就导致了在当前连续性方程的整个推导过程中前后矛盾的不合理现象。这 也就是连续性方程不正确的根本原因。 本论文对水击数学模型中的连续性方程重新进行了严谨的推导，不仅得到了 更加准确的水击压强和水击波速的计算公式 a p = p g a l s i n 口一y j a l a a ( p a u l ( 1 ) 仅= 也建立了正确的水击数学模型 连续性方程 运动方程 盟+ u 望+ 生丝+ p 捌：o 百蜘西+ i o s 栅“2 9 d 0 d 塑+ 丝+ p 丝+ 型：o g 面+ 瓦抑丽+ 亩。0 ( 2 ) ( 3 ) 当忽略次要因素以后，公式( 1 ) 和( 2 ) 即可转化为当前应用的水击压强计 算公式和水击波速计算公式。 新的水击数学模型( 3 ) 完全满足恒定流条件。 本论文的另一个主要内容是，在正确的水击数学模型( 3 ) 的基础上，应用特 征线法的原理，将微分方程组( 3 ) 转化成特征方程组，沿特征线对特征方程进行 积分，并以其差分方程形式代替积分形式，以便利用计算机进行水击过程的数值 计算。论文对各种边界条件也做了相应的推导。而且在上述中改善了当前水击计 郑州大学工学硕士论文 算的特征线法具体处理中的不严谨性，即改“用d s g = + a d t g 乘以特征方程后进 行积分”为“用d s g = ( v + _ a ) d t g 乘以特征方程后进行积分”。原来的不严谨性不 仅影响计算精度，更重要的是将导致特征差分方程不满足恒定流条件。 对应于正确的水击数学模型( 3 ) 的特征差分方程形式如下 c + ： c a r j + c 。h ，i c 一 葛一c e h 川i - i + c 。r u 异卜：；= 】l l = o c 一： c 。”；+ c e q c d p 蒿一蹦一c 。尺茹l 瞄i = 0 本论文在最后的计算部分，通过对新老数学模型的数值计算比较，进一步论 证了当前水击数学模型的不正确性。并且应用改善了的特征线法对正确的数学模 型( 3 ) 进行了计算分折，研究了各种因素对水击压强值和水击现象衰减的影响， 指出在长管道系统中，沿程水头损失的分区计算对水击压强的计算结果影响较大， 建议在长管道系统的水击计算中应按分区进行沿程水头损失的计算。考虑进i ：i 及 多管道连接处的局部水头损失对短管道系统水击压强的计算结果影响较大。最后 考虑了实际电站水轮机组的运行特性，结合盘石头水库引水、发电、泄洪共用的 复杂引水系统，进行了电站甩负荷引起的非恒定过渡过程计算。 关键词：水击，非恒定流，特征线 i l 水击理论与计算研究 a b s t r a c t t h i sp a p e r ，f i r s t l y , p r e s e n t sb r i e f l yt h eb a s i ct h e o r i e so fc u r r e n tw a t e rh a m m e r c a l c u l a t i o ni n c l u d i n gb o t hw a t e rh a m m e rm a t h e m a t i cm o d e la n dc a l c u l a t i v em e t h o d s ； p o i n t so u tc o n t i n u i t ye q u a t i o nn o tm e e t i n gt h ec o n d i t i o n so fs t e a d yf l o w , s i n o b e i n g i n h e r e n ti l l o g i c a l l yi nc u r r e n tw a t e rh a m m e rm a t h e m a t i cm o d e l ，c a l c u l a t i v em e t h o d so f t h ee q u a t i o nb e i n gs c a r c e l yp r e c i s e ，e t c ，w h i c ha c c o u n tf o rt h ec o n t i n u i t ye q u a t i o ni s f a l s ei nt h ec u r r e n tw a t e rh a m m e rm a t h e m a t i cm o d e l s e c o n d l y , d e t a i l e d l ya n a l y z i n g r e a s o n si n d u c i n gt h e s ep r o b l e m s ，a u t h o rf i n d si ti st h a tn o tt h i n k i n go ft h es l o p eo f p i p e l i n ea n dt h ef r i c t i o ni nt h ep r o c e s so fp r o d u c i n gw a t e rh a m m e rp r e s s u r ef u n c t i o n s ， b u t ，t h i n k i n go ft h ee f f e c to ft h es l o p eo fp i p e l i n e i nt h ep r o c e s so fp r o d u c i n gt h e c o n s e q u e n t w a t e rh a m m e rc a l c u l a t i v e c o n t i n u i t yf u n c t i o n ，w h i c h r e s u l t si nt h e i n c o n s e q u e n ti l l o g i c a l i t yi nt h ew h o l ep r o c e s so f p r o d u c i n g i t i st h ef u n d a m e n t a lr e a s o n t h a tt h ec o n t i n u i t yf u n c t i o nf a u l t s t h ep a p e ru s e sp r e c i s es t e pt op r o d u c et h ec o n t i n u i t yf u n c t i o no fw a t e rh a m m e r m a t h e m a t i cm o d e l ，n o to n l yg a i n sm o r ep r e c i s ew a t e rh a m m e rp r e s s u r ef u n c t i o na n d w a t e rh a m m e rw a v es p e e df u n c t i o n a p = p g a l s i n o - r j m - - ( p a v ) ( 1 ) a = l 一( 刎n 臼删等 。，土坚+ ! 望、 b u ta l s of o u n d sc o r r e c tw a t e rh a m m e rm a t h e m a t i cm o d e l c o n t i n u i t ye q u m i o n m o v e m e n te q u m i o n 塑+ 。望+ 塑+ ，型：o 一+ v 一十一一十v 一= u 西a s g 出2 9 0 p o h + 鱼+ v a v + 型：o g 百+ 瓦w 丽+ 豸刮 ( 2 ) ( 3 ) a f t e r i g n o r i n gs u b o r d i n a t ef a c t s ，f u n c t i o n ( 1 ) a n d ( 2 ) t r a n s l a t ei n t o t h ec u r r e n t a p p l i e d w a t e rh a m m e r p r e s s u r ef u n c t i o na n d w a t e rh a m m e rw a v e s p e e d f u n c t i o n t h en e ww a t e rh a m m e rm a t h e m a t i cm o d e l ( 3 ) f u l l ym e e t st h ec o n d i t i o n so fs t e a d y - i h 郑州大学工学硕士论文 f l o w t h eo t h e r p r i m a r yp a r t i st h a tb a s e do nt h ec o r r e c tw a t e rh a m m e rm a t h e m a t i c m o d e l ( 3 ) ，a p p l y i n gc h a r a c t e rl i n em e t h o d ，t ot r a n s l a t et h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o ng r o u p ( 3 ) i n t oc h a r a c t e re q u a t i o n g r o u p ，t o c o u n tt h ec h a r a c t e re q u a t i o n i n t e g r a la l o n gw i t h c h a r a c t e rl i n ea n da tt h es a m et i m et os u b s t i t u t et h ei n t e g r a lf o r mf o rt h ed i f f e r e n c ef o r m s oa st om a k eu s eo f c o m p u t e r t oc a r r yt h r o u g hn u m e r i c a lv a l u ec a l c u l a t i o no f t h ew a t e r h a m m e rp r e s s u r e t h ep a p e r ，t o o ，d o e sw i t ht h ec o r r e s p o n d i n ga r g u m e n t a t i o no fa 1 1 k i n d so fb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ea b o v ec o n t e n t i m p r o v e st h e n op r e c i s e n e s so f d i s p o s i n go ft h ec h a r a c t e rl i n em e t h o do fc u r r e n tw a t e rh a m m e rc a l c u l a t i o n ，n a m e l y t r a n s l a t e s “ d s g = a d t gm u l t i p l i e s t h ec h a r a c t e r e q u a t i o n i n t o “d s g = r u a ) d t gm u l t i p l i e s t h ec h a r a c t e re q u a t i o n ”t h i sn op r e c i s e n e s sn o to n l y i n f l u e n c et h ec a l c u l a t i v e p r e c i s i o n b u ta l s o b a d l yi n d u c e st h ec h a r a c t e rd i f f e r e n c e e q u a t i o n n o tm e e t i n gt h ec o n d i t i o n so f s t e a d yf l o w c o r r e s p o n d i n gt ot h ec o r r e c tw a t e rh a m m e rm a t h e m a t i cm o d e l ( 3 ) ，t h ec h a r a c t e r d i f f e r e n c ee q u a t i o ni s c + ： c a ”j 十c 。h j c 。”端一c 。s ，l - i + c 。尺葛p 筒1 = 0 c 一： c 。p j + c 。h j c 。”抖一c 。h j ：一c 。r 赫1 茹i = o b yc o m p a r i n g t h en e wm a t h e m a t i cm o d e lw i t ht h eo l dm a t h e m a t i cm o d e l ，t h el a s t c a l c u l a t i v ep a r to f p a p e ra r g u e st h ef a l s e n e s so f t h ec u r r e n tw a t e rh a m m e rm a t h e m a t i c m o d e l ，m a k e su s eo ft h e i m p r o v e d c h a r a c t e rl i n em e t h o dt o a n a l y z e t h ec o r r e c t m a t h e m a t i cm o d e l ( 3 ) ，s t u d i e sa l lk i n d so ff a c t s i m p a c to nw a t e rh a m m e rp r e s s u r e v a l u ea n dw a t e rh a m m e rp h e n o m e n o na t t e n u a t i o n ，p o i n t so u tt h a t ，i nt h el o n gp i p e l i n e s y s t e m ，t h e s u b a r e ac a l c u l a t i o no fh e a dl o s sa l o n gw i t hf l o wr a t h e ri n f l u e n c e st h e c a l c u l a t i v er e s u l t so fw a t e rh a m m e r p r e s s u r e ，a d v i c e st ot a k et h es u b a r e ac a l c u l a t i o no f h e a dl o s sa l o n gw i t hf l o wi n t oa c c o u n ti nt h ew a t e rh a m m e rc a l c u l a t i o no ft h el o n g p i p e l i n es y s t e m u l t e r i o r l y , c o n s i d e r i n gt h el o c a lh e a dl o s si ni n l e to p e n i n ga n dp i p e s j u n c t i o np l a y sm o r ei m p o r t a n tr o l ei nt h ec a l c u l a t i v er e s u l t so f w a t e rh a m m e r p r e s s u r e c a l c u l a t i o no ft h es h o r t p i p e l i n es y s t e m a tl a s t ，c o n s i d e r i n g t h e r u n n i n gt r a i t o f h y d r a u l i c t u r b i n ei nt r u e p o w e rs t a t i o n s ，c o m b i n i n gt h ec o m p l e xp i p e l i n e s y s t e m ， g e n e r a t i n ge l e c t r i c i t y , d i s c h a r g e f l o o da l lu s eo fp a ns h it o ur e s e r v o i rc o m p u t et h e u n s t e a d yt r a n s i t i o np r o c e s s k e y w o r d s ：w a t e rh a m m e r ，u n s t e a d yf l o w ，c h a r a c t e rl i n e i v 水击理论与计算研究 1 1 论题提出的背景和意义 1 绪论 在日常生活中，我们碰到的水流不稳定现象很多。当我们快速关闭水龙头或关 闭闸阀和水轮机导水叶时，在关闭过程中，随着阀门开度的减少，管道中的流速 也逐渐减小，由于水流的动量快速变化，在闸阀的上游部分将产生压力升高；而 在下游部分( 如在尾水管中) 产生压力降低。当开启阀门或水轮机导水叶时，管 道中的流速逐渐增大，在导叶上游部分产生压力降低，而在其下游部分( 如在尾 水管中) 产生压力升高。特别是在水电站或水泵站的有压引水系统中，通常用导 叶或阀门调节流量，以达到适应水电站出力变化或水泵站供水量变化的生产要求。 这种调节往往是快速的，因此必然引起有压引水管道中的流速发生急剧变化，伴 随着将产生管道中液体内部压强迅速交替升降的水力现象。这种交替升降的压强 作用在管道、阀门或其他管道元器件上好像锤击一样，故称这种有压非恒定流为 水击现象，简称水击。交替升降的压强称为水击压强i l 】。 水击压强值通常可以达到管道正常工作压强的几十倍，甚至更高。预料不及、 处理不当将会导致管道剧烈振动、变形甚至爆裂。所以在水电站或水泵站有压引 水系统的设计中，必须进行水击计算，以确定可能出现的最大和最小水击压强值， 并研究防止和削弱水击作用的适当措施。 随着水力学的研究发展，目前对管道有压非恒定流的研究已经有了较成熟的 理论，建立了一套较为完整的数学模型。1 8 9 7 年，俄国学者茹可夫斯基正确阐明 了水击产生的机理，给出了水击波传播速度的计算公式【2 1 。1 9 0 2 年，意大利学者阿 维列以数学方法建立了不稳定流动的基本微分方程，奠定了水击分析的理论基础。 此后，各种方法应运而生，由于当时受计算手段的限制，而使如何精确的求解水 击问题陷入困境，只能用图解法、解析法来求解较为简单情况的水击问题。对于 复杂管道系统中发生的水击问题，虽然可以用数值解法，但由于计算工作量大， 人工计算基本上是不可能的。 到了2 0 世纪6 0 年代，由于计算机的飞速发展，使阿维列方程的数值解得以实 现。特别是目前微机的发展和应用的普及，使得数值解法求解更精确、更快速和 更方便，因此水击计算借助于计算机的发展得到了进一步的发展。 本来流体力学中的许多数学方程是通过研究流体的微小单元的运动而建立起 ! 一垫2 1 1 盔堂王堂堡主鲨苎 来的。将各单元的方程综合起来，便得到差分方程组。为了使用微分运算这个数 学工具，几乎所有的流体流动现象都应用了连续介质的概念而用微分学来分析。 因此，理论流体力学给我们留下的是一些微分方程，其中很多是不能解析的。为 了能在计算机上给出这些方程的数值解，从某种意义上来说，要将原来的过程反 过来，由微分方程反推出代数差分方程，以便在电子计算机上求解。 关于水击的计算理论，王树人【3 】和e b 怀特 4 1 对此都做了比较详细的介绍。水 击计算的控制方程组，即运动方程和连续性方程，是一组非线性双曲线型方程组5 3 ， 变量虽然不多，但对于控制域几何形状比较任意，边界条件复杂的情况，求解精 确的解析解十分困难，甚至不可能实现。目前，概括起来水击计算的方法有：解 析法、图解法和数值解法。水击计算的解析法只能针对简化的基本方程组求解， 只适用于不计水头损失的简单管道；图解法过程比较复杂、繁琐，现已很少应用； 数值解法实际上是用计算机模拟计算代替实际的物理模型试验，具体计算方法包 括特征线法和差分法，特征线法是目前最常用的“1 ，理论比较完善，求解问题也比 较方便，且不受管道系统复杂程度的限制。用计算机模拟计算代替实际物理模型 试验，可以将计算结果采用清晰、明了的图形显示出来，使得对问题的分析研究 更加方便、直观，更有利于达到对工程问题研究的目的。与常规的物理模型试验 相比，数值模拟适应性强、应用断广，不仅具有投资少、过程量化、精度高、计 算速度快、结果形象直观等特点，而且可在短时间内进行物理方程中各项影响因 素的有效性和敏感性模拟计算，不受物理模型试验率的限制，具有较多的灵活性 和较好的移植性。但计算必须依赖于基本方程的可靠性。 目前，几乎所有资料及教科书中介绍的水击计算的基本数学模型都是如下形 式的运动方程和连续性方程： 运动施 g 瓦a h + 詈+ ”嚣+ 辔= o ( 11 ) 连续性方程： u 掣+ 掣+ u s i n 一十生娑：0 ( 1 2 ) d sd r go s 式中：u 为任意点的流速：h 位于流速对应点的水头：曰为管道轴线与水平面 的夹角；a 代表水击波速；g 为重力加速度；d 为管道直径；五为摩阻系数。 众所周知，水击现象是管道水流从一种恒定状态过渡到另一种恒定状态的非 恒定流，因此，描述它的数学模型既要符合水击现象的非恒定特性，也应满足初 始和终了时刻的恒定流条件。现在分析方程( 1 1 ) 式和( 1 2 ) 式： 先看运动方程( 1 1 ) 式：在恒定流时，第二项等等于0 ，对于等直径管道中的 均匀流，第三项”娑也等于0 ，此时方程( 1 1 ) 变为： 水击理论与计算研究 a h 丑，2 g 否+ 面刮 即 a ha u 2 q a s 2 9 d 上式恒满足恒定流条件。 再看连续性方程( 1 2 ) 式：在恒定流时第二项等于0 ，而均匀流时第四项也等 于0 ，此时方程变为： o h 一s l n 口 o s 上式不能恒满足恒定流条件。 由此可知，用于水击分析计算的基本方程的正确性或可靠性受到怀疑。 清华大学的王树人教授在他的水电站建筑物一书中提到过连续性方程不 满足恒定流条件这个问题，他在书中说可能是忽略了高阶小量引起的，但没有做 更多的阐述。李文勋( 美) 在水力学中的微分方程及其应用一书中，将方程 的形式上做了如下变化。1 ： 连续性方程 运动方程 望+ a 2a _ y _ v ：o 砚a s 型+ a _ k v + 型：o a sa t2 d ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中= ( 兰+ g h ) ，可以看出( x ，t ) g 就是测压管水头，连续性方程( 1 3 ) 仍 p 不能满足恒定流条件。 关于水击计算基本方程的研究尚不多见，有也只是停留在认识到了连续性方 程不满足恒定流条件这里，对基本方程的研究没有根本性的突破。 综上所述，一方面。水击现象是水电站、水泵站不可避免的、有一定危害的 非恒定流现象，实际工程中迫切需要能够正确地分析计算出水击压强及其变化过 程，为引水系统的设计提供可靠的依据。另一方面，目前水击问题的基本理论尚 有欠缺，计算方法也不够完善，是否能够满足工程需要还有待于迸一步研究。 本文将在水击基本理论和计算方面做进一步的探讨和研究，力求建立完善正 确的水击基本理论，在此基础上进行水击计算分析。本论文的研究。在水击基本 理论方面，不仅具有学术价值，推动水击理论的发展，而且可以直接用于实际水 击计算，具有显著的实际意义。 1 2 论文的具体研究内容 本论文首先分析查找当前水击基本方程在推导过程中存在的问题，从理论上 更加严谨地分析水击现象的本质，建立正确的水击基本理论，推导出新的数学模 型。其次进行水击计算方面的研究，包括计算方法的完善、各种影响因素对水击 压强值和变化情况的影响等。最后，考虑实际电站水轮机组的运行特性，对引水、 发电、泄洪共用的复杂引水系统中的非恒定过渡过程计算，给出完整的计算方法、 计算程序和计算结果。 2 当前水击理论简介 水击现象是一种特殊的非恒定流，现有的水击基本理论主要是将一维非恒定 流的基本微分方程组进行具体化处理后，得到了适用于水击问题的基本方程，即 水击分析计算的数学模型，并在此基础上发展了各种水击分析计算方法。简介如 下： 2 1 一维非恒定流的基本微分方程组 一维非恒定流的基本方程组包括连续性方程和运动方程。 对于如图2 i 所示的微小流段，应用质量守恒原理，可得连续性方程如下 v a c l t 一 j s 竺警。氐1 _ r 沁” m 图2 i 连续性方程图 f i g 2 ig r a p ho fc o n t i n u i t ye q u a t i o n 未汹p ) + 言汹) = 。 上式既适用于可压缩流体，也适用于不可压缩流体，既适用于非恒 适用于恒定流，既适用于明渠水流，也适用于有压管流。 ( 2 1 ) 定流，也 对于如图2 2 所示的微小流段，应用牛顿第二定律可得运动方程如下： 鬈+ ；罢+ 吉( 詈+ p 罢) + 警= 0 眩22 ， 一+ 一上+ 一i + p 二i + 坚= () a s ，8 s9 l 8 f a s ，汹 上式同样对于非恒定流和恒定流、明渠水流和有压管流均适用。 式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) 即为一维非恒定流的连续性方程和运动方程。 郑州大学工学硕士论文 图2 2 运动方程图 f i g 2 2g r a p ho fm o v e m e n te q u a t i o n 2 2 水击压强和水击波速的计算公式 当前水击压强的计算公式由动量定理推导0 1 ，简述如下：取如图2 3 所示流段 为研究对象，某时刻t 有一水击波由下游传至卜l 断面，经过时间后，该水击 波传到了2 2 断面，f = 口a t ，a 为水击波传播的速度。2 2 断面上游侧未受水 击影响，压强为p ，流速为”，液体密度为p ，管道的横截面积为a 。2 - 2 断面下 游水流由于受水击影响，压强变为p + a p ，流速变为扩+ a u ，液体密度变为 口+ a p ，管道断面积变为a 十a 。 图2 3 水击压强计算图 f i g2 3g r a p ho fw a t e rh a m m e rp r e s s u r ec a l c u l a t i o n 在t 时间内，流段a l 内液体的动量由p a 泌f 变为( p + p ) ( a + a ) + a v ) a l ， 则动量增量为 ( p + a p ) ( a + a a ) ( v + a v ) a i p a y i “( p a ，) i 作用于流段，的外力为：p a 一+ p x a + a ) - a ( p a ) 外力冲量为：一) t 由动量定理得 水击理论与计算研究 ( p a o a i = - a ( p a ) a t 即 一( p a ) = - a a ( p a v ) ( 2 3 ) 展开为 a a p + 础= 一a ( p a a v + p v a a + a v a p ) 由- y a a 、户相对于4 p 较小，可忽略不计，则有 p a p a vm o ( v o v 。) ( 2 4 ) 上式常用于直接水击压强的计算。 水击波速的计算公式是对如图2 3 所示的流段应用质量守恒原理推导的。 时间内从上游2 2 断面流进流段的液体质量为p a v a t ，从下游卜1 断面流 出的液体质量为( p + a p ) ( a + a a ) ( v + a v ) a t 流入与流出液体的质量差为 p a v a t - ( p + a p ) ( a + a a ) ( v + a v ) a t z - a ( p a v ) a t 同时，时间内流段内的液体质量由p a a l 增为( p + a p ) ( a + a ) ! ，质量增 量为 ( p + a p ) ( a + a a ) a 一p a a i * a ( p a ) a l 由质量守恒原理可得 - a ( p a v ) a t = z l ( p a ) a z p a a v t ，( p a ) = ( 朋b 即 a ( p a ) ( a + v ) = 一p a a v 由于v g 西+ 丽蜘磊+ _ 方划 “。” 式( 2 。7 ) 鼯为当嚣承蠢诗冀豹运动方程。 兔3 。2 瘩毒诗算熬造续缝穷蠢 焱承者波豹传攒；妻疆审，动零匾强、攀瑟荦缘濂速、滚髂整痰淡及叛瑟瑟积 均为坐标和时间的嚣数。鼹开式( 2 。1 ) 得 p p 芸+ 觯警+ a ”害+ p 筹+ a 警= 。 又 水击理论与计算研究 a a d aa a 秕d t0 s 竺：竺一塑 巩d t0 s 代入上式后整理得 上塑+ 土望+ 塑：0 ad t p d t0 s 即 r 上堂+ 一1d p 、 d p + 丝：0 a d pp d pd t o s 将式( 2 5 ) 代入上式得 上望+ a _ e u ：0 册2d t a s 又因为p = p g ( h z ) ，所以 d 。p 。= p 9 ( 等一鲁 = p g 卜等+ 等一扩塞一鲁)d cl 百一百j 邓g i ”瓦+ 瓦叫磊一瓦j 由于鱼a t = o ，警= 一s i n 臼，代入式( 2 9 ) 得 塑+ 塑+ p s i n p + 生丝：0 a so t g8 s 式( 2 7 ) 和式( 2 1 0 ) 即为当前进行水击分析计算的数学模型。 2 4 简化的水击计算基本方程 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 简化的水击计算基本方程是在两个基本方程( 连续方程和运动方程) 中忽略 次要因素后得到的1 。在对水击计算要求不是太精确的情况下，用简化的水击方 程计算较为方便。 在方程( 2 7 ) 中，如果忽略水头损失项，并且因罢 詈，略去警后可得 口一0 h + 丝；0 ( 2 1 1 ) 口+ = 。d sd t 在方程( 2 1 0 ) 中忽略管道倾斜度及等后可简化为 o h + 生丝：o ( 2 1 2 ) o t ga s 方程( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 为忽略水头损失和管道倾斜度影响的简化的水击计算基 本方程组。 2 5 基本计算方法 水击计算的基本方法有：解析法、图解法和数值解法，数值解法主要有特征线 法和有限差分法。 解析法：一般是从简化的水击方程出发，简化的水击方程是一组典型的双曲 线型偏微分方程，化为波动方程后可以求其通解，即解析解，结合边界条件和初 始条件可逐步求得任意断面在任意时刻的水击压强和流速。其特点是物理意义明 确，方法简便易行。但只适用于不计阻力损失的简单管道，在此不加赘述。 图解法：图解法是根据解析法导出的关系式 h 一风= f ( t 一北+ 争 一詈卜一争邝+ 与t 21 口jal 为依据进行图解的。能应用于较复杂的边界条件，特别是对复杂管道它比解析法 简单明了，但是作图较繁，精度较低，目前已很少采用。 数值解法是直接对不加任何简化处理的基本方程( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 求其数值解。 而且借助于计算机的容量和计算速度，可以不受管道复杂程度的限制，目前几乎 已经完全取代了其它的所有方法。其中特征线法的应用尤为广泛，下面将作简单 介绍。有限差分法只是在教科书中提过，很少应用。 2 6 特征线法简介 对于考虑水头损失及管道倾斜度影响的基本微分方程组，由于它的非线性， 求其精确解是十分困难的。特征线法“”是目前求解这类双曲线型方程组较为有效 的方法。特征线法的优点是物理图像清晰，力学意义明确，便于计算机编程，有 足够的精确度，能解算考虑水头损失影响的复杂管道系统的水击问题。特征线法 的原理是：将偏微分方程组转化为特殊的全微分方程，即特征方程，然后再转化 为一阶有限差分方程，求其近似解。 2 6 1 特征方程组 将基本微分方程组( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 改写为 l ：口塑+ 塑+ u o _ 2 + 型：o( 2 1 3 ) l l = g 西+ 瓦枷a s + 盲- o 【2 l ：塑+ a h + v s i0 + 生o _ 2 ：0(214)unul ，= + = l z a so t go s 将上面两个方程式用一个待定系数珊进行线性组合如下 上= 厶+ 鸠= 0 即 l = 降鼢甜惺+ 罢( 洲c o ) j 咖口+ 型2 d z 线性组合后的方程完全可以代替方程组厶和厶，且数目减少了一个。但是， 方程仍然包含两个变量( 水头h 、流速p ) 和两个t t 变量( 时间t 、坐标s ) ，且 为偏微分方程，不能直接求解。如果能够设法适当选择系数，使其变为常微分 方程，求解将可实现。 + i h = h ( s ，t ) ，u = u ( s ，c ) 是方程的解，则它们的全微分为 一d h ：塑+ 盟一d s ( 2 1 6 ) d fa ta sd t 业：丝+ 塑一d s ( 2 1 7 ) d fa ta sd t 将式( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 与式( 2 1 5 ) 比较可知 如果 塑：护+ 国生 ( 2 1 8 ) d t g 及 塑：，+ 旦 ( 2 1 9 ) 同时满足，则式( 2 1 5 ) 可以变为常微分方程，即 詈+ 等如口+ 学i i = 。 眨z d fd t z 上) 式( 2 1 8 ) 和式( 2 1 9 ) 同时满足的条件是国= 导。这说明是两个不同的实 数。将其带回式( 2 1 8 ) 和式( 2 1 9 ) 得 一d s ：u 口 ( 2 2 1 ) 式( 2 1 8 ) 是式( 2 1 9 ) 成立必须满足的两个条件。 j 图2 4 特征线图 f i g 2 4g r a p h o f c h a r a c t e rl i n e 如图2 4 所示，在s 一 平面上，式( 2 2 1 ) 代 表两族曲线，称为特征线，式( 2 2 1 ) 称为特征线方 程。沿特征线式( 2 2 0 ) 成立，称式( 2 2 0 ) 为特征方 程。 另外，式( 2 2 1 ) 的物理意义是：a s ：”+ 口 d r 反映了水击顺波波峰的运动规律：鉴：一n 反映 了水击逆波波峰的运动规律。因此，称塑d t = p + 口代表的特征线为顺波特征线，用 c + 表示：称粤：”一a 代表的特征线为逆波特征线，用c - 表示，如图2 4 所示 u 将的两个值代入式( 2 2 0 ) ，并与式( 2 2 1 ) 对应组合，可得两个微分方程组 j吐g舢dz-z+里ausin0+；t2u。luldt = 。 ( 22 2 ) 沿c + ：j ad fa2 d 、 。 l d s ：p + 口 ( 2 2 3 ) 【dt ” 沿c 一 一d u gd h 一旦s i n 目+ 划：o d tnd tn2 d d s un d f ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 上述两对常微分方程组统称为特征方程组。这样我们就把求解偏微分方程组 转化成为求解常微分形式的特征方程组。在推导特征方程组的过程中，没有做过 任何数学近似。因此，特征方程组的解就是原来偏微分方程组所描述的水击问题 的解。 2 6 2 特征方程组的求解 图2 5 特征线图 f i g 2 5g r a p h o f c h a r a c t e rl i n e 在特征方程组中，特征线方程( 2 2 3 ) 和( 2 2 5 ) 实际上分别是常微分方程( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) 的约束 条件。只有沿着相应的特征线c + 或c 一，才能对常微 分方程( 2 2 2 ) 或( 2 2 4 ) 进行积分求解。也即特征线 法只能沿着特征线求解各个水击要素( 水头h 和流 速p ) 。 如图2 5 所示，在占一f 平面上，过a 点做一 水击理论与计算研究 条顺波特征线c + ，其方程为式( 2 2 3 ) ，常微分方程( 2 2 2 ) 仅沿此特征线可以积分： 过点b 做一条逆波特征线c 一，其方程为式( 2 2 5 ) ，常微分方程( 2 2 4 ) 仅沿此特征 线可以积分。如果已知a 点和b 点位置s 、s 。，以及在t 。时刻相应断面的水头聊、 h ，和流速f 、 ，那么两条特征线的交点p 的位置s ，及对应时刻t 。可由式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 5 ) 联合解出。p 点在时刻t 。的水头h ：。和流速u 品则可由常微分方程 ( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) 的积分式联合求出。这样，由已知的a 、b 两点在t i 时刻的水头和 流速，就能求出新的未知交点p 的位置和在t l + 时刻的水头和流速。重复运用这种 方法，可逐点求出后继时刻各点的水头和流速。 1 有限差分方程 将方程式( 2 2 2 ) 中的各项同乘以a d t g = d s g ，然后沿图2 5 中的顺波特征线 c + 积分可得 詈p + e d h + s i n o r 龇刍删d s _ o ( 22 6 ) 同理将方程( 2 2 4 ) 中的各项同乘以a d t g = d s g ，然后沿图2 5 中的逆波特 征线c 一积分可得 旦ge 虮d h “n 口讨t 一去v i v i d s = o ( 2 2 7 ) 由于上面两式中最后两项的被积函数p 或p h 随时间t 或位置s 的变化规律事 先并不知道，n g t ：面两个式子的积分不能完全实现。实际计算中可采用近似值 代替精确积分。而且除了摩阻很大的管道外，对于大多数问题，采用一阶近似就 可蛆满足要求。一阶近似就是用已知点a 或b 的流速v 。或v 。取代上面两个式子中 被积函数中的流速。这样，式( 2 2 6 ) 和式( 2 2 7 ) 的积分结果为 日，一h 一十詈o ，一p 一) + v a t s i n 口+ 云茜v a i v a b s = o ( 2 2 8 ) h p 州e 一詈刈s ) + v i + a t s i n 弘刍v b i v b i 酏= 0 ( 2 2 9 ) 式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 即为特征方程式( 2 2 2 ) 和式( 2 2 4 ) 的有限差分形式。 2 有限差分方程的应用 在有压管道的水击计算中，管道中的水流流速远小于水击波的传播速度，因此， 特征线方程中的扩可以略去，特征线方程变成了斜率为a 的直线。 将一根管子等分成j 段，每一段的长度为s ，时间步长取a t = s aa 这样 就将平面s t 划分成了如图2 6 所示的矩形网格。特征方程的有限差分形式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 可改写成 沿c + ： 沿c 一： 图2 6 差分网格图 f i g 2 6g r a p ho f d i f f e r e n c e g r i d d i n g 即列+ 旦g p ? 一水g 删肌等蚓) = o2 9 0 h ? 一戡1 一詈p ? 蒯- i ( g a _ + a t s i n 0 _ 2 2 9 d a s 蚓) - o ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 其中，变量的上标表示时刻；下标表示网格节点对应的断面位置，如图2 6 所示。 联立求解上面两个方程可得j 时刻、任意节点f 断面的水头和流速： 即爿站删+ 弦嗡1 舢n 口。舟蜊) 一笳蜊嘶1 俐 ( 2 s z ) 啦船嘲域j - 1 ) + m 计学睁蜊) 一坐2 d 。 i - t 俐+ p 钟钏j - ( 2 3 3 ) 2 6 3 边界条件 1 管道进口 管道上游一般为水库或压力前池，其水位变化较小，可以忽略。故在水击计 算中通常认为其水位为不变的常数。这时的边界条件可写为 h = h 。= 常数 其中h 。为己知的水库水位或前池水位。将上式代入逆波特征方程( 2 3 1 ) 后可得f 时刻管道上游进口节点的流速护：为 - f 卜亡王| b r亡王j， q j 一 一 一 一 一 一 一 _ 1 ， j h 一 当 c 一 一 一 一一川一一一一 鬯 一 一 一 吖r 水击理论与计算研究 啦詈。卅1 ) 州1 ( 1 + g a t _ a s i n 0 一筹垆0 ( 2 3 a ) 2 管邋爨墨 当管道下游端为阀门时，可按孔臼出流规律确定一个阀门断面的水头和流 量之问的关系式。 设恒