（应用数学专业论文）交叉交换算子组性质的研究.pdf

交叉交换算子组性质的研究 摘要 由v v l o t e r r n 创立的算子理论把定义在无限维空间上的函数作 为研究对象这个理论很快以一种实质性的方式渗透到许多极为重要 的数学领域：如群论、微分方程、积分方程、实变函数、正交级数等。 在这个理论中，它把经典的数学方法与现代数学方法以一个极其有效 和十分协调的方式结合起来。 对线性算子谱的研究是算子理论中的一个重要课题。我们知道， 在线性代数理论中，人们用了很大的篇幅研究，在微分方程与积分方 程的理论中也着重讨论了特征值问题。这是因为其重要性在于：首先 直接来自的需要，物理学与工程学的研究离不开矩阵特征值的研究； 其次，通过对于特征值或者更一般，对于谱的研究，有助于了解算子 的本身结构，从而可以刻划相应的方程的解的构造。 线性算子谱理论经过半个多世纪发展，有许多分支里面的问题都 有了相对圆满系统的解决，其中一直被算子谱论学者所关注的单个算 子魁和歙的共同性质就是一例。线性算子组谱理论的发展相对要缓 慢得多，尽管线性算子组联合谱的概念早就出现过，但是真正引起人 们的重视在1 9 7 0 年j l t a y l o r 的工作之后。他用代数拓扑中的复形 和同调的概念定义了联合谱，以后线性算子组联合谱的研究才蓬勃发 展起来。但是，无论国内还是国外在算子组曲和幻的共同性质方面 的研究一直都没有人涉及，直到李绍宽1 9 9 2 年在文献 1 中把交叉交 换性质引入到这个领域，关于这方面的研究才开始有所发展，同时李 获得算子组曲和施关于t a y l o r 联合谱印的结果 s p ( a b ) o ) = s p ( b a ) o ) ，在文献 2 中他又得到关于t a y l o r 联合本 质谱s p e 的结果s p e ( a b ) o ) = s p e ( b a ) o 。1 9 9 7 年，r o b i n h a r t e 在文献 3 得到关于左右联合谱的一个类似结论，2 0 0 1 年在文献 4 他又得到文献 3 进一步的结论。在2 0 0 3 年，尚长明在文献e 5 3 中得 到了具有交叉交换性质算子组曲和妇在单值扩张方面的结果。 本文主要给出了关于算子组的t a y l o r 算子组谱的定义和占一联合 伪谱的定义，并讨论了它的一些性质，以及关于交叉交换算子组在这 几种定义下的一些结果；然后讨论了关于算子组( ) 性质，对算子 组d 6 和算子组施在次标量性质的共同性质方面做了一些讨论；最后 对泰勒联合谱在某些条件下，关于算子组谱在0 点的问题做了一些讨 论。 关键词：巴拿赫代数、交叉交换算子组、占一联合伪谱、( ) 性质、 ( ) 。性质、次标量算子组 t h ed i s c u s s i o no nt h ep r o p e r t yo ft h e c r i s s c r o s sc o m m u t i n go p e r a t o r s a b s t r a c t t h eo p e r a t o rt h e o r yc r e a t e db yv v l o t e r r nr e g a r d st h ef u n c t i o nw h i c h b ed e f i n e do nt h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c ea sar e s e a r c ho b j e c ti nt h a ti s l i n k e d t a k i n gt h i st h e o r yh a v er a p i d l yb e e np e r m e a t i n gt h r o u g hal o to f v e r yi m p o r t a n td o m a i no fm a t h e m a t i c si nak i n do fs u b s t a n t i v ew a y f o r i n s t a n c e ，g r o u pt h e o r y 、d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 、i n t e g r a le q u a t i o n 、r e a l v a r i a b l ef u n c t i o n 、c r o s sp r o g r e s s i o ne t c a m o n gt h et h e o r y , i tc o m b i n e s t h ec l a s s i c a lm a t h e m a t i c sm e t h o dw i t ht h em o d e r nm a t h e m a t i c sm e t h o d i nak i n do fe x t r e m e l ye f f e c t i v ea n dv e r ym u c hc o o r d i n a t em o d e t h el i n e a ro p e r a t es p e c t r u mi sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nt h eo p e r a t e t h e o r y a sw ea l lk n o w , t h el i n e a ra l g e b r ag o e st og r e a tl e n g t h st os t u d y t h em a t r i xe i g e n v a l u e ，a n dd i f f e r e n t i a la n di n t e g r a t i a ge g u a t i o na l s o d i s c u s s e st h eq u e s t i o no fe i g e n v a h ei nd e t a i l t h es i g n i f i c a n c eo ft h e s e s t u d i e sl i ei nf i r s t l yt h en e e do ft h ep h y s i c sa n de n g i n e e r i n g ；s e c o n d l y , t h e n e e do ff u r t h e rl e a r n i n ga b o u to p r a t ei t s e l fa n dac l e a rd e s c r i p t i o no ft h e s t r u c t u r eo fc o r r e s p o n d i n ge g u a t i o nt h r o u g ht h es t u d yo ne i g e n v a l u e ，o r t h es p e c t r u mi nam o r eg e n e r a ls e n s e h a l fac e n t u r y sd e v e l o p m e n to ft h el i n e a ro p e r a t es p e c t r u mt h e o r y h a sw i t n e s s e dt h ec o m p r e h e n s i v ea n ds a t i s f a c t o r ye s t a b l i s h m e n to f m a n y s u b t h e o r i e sw i t h i n t h el i n e a ro p e r a t es p e c t r u mt h e o r y ，s u c ha st h e s h a r i n gc h a r a c t e ro ft h es i n g l eo p e r a t er sa n ds rw h i c hw a sp a i dg r e a t a t t e n t i o nb ym a n ys c h o l a r s t h en - t u p l e so fo p e r a t et h e o r y , h o w e v e rw a s d e v e l o p e dm u c hm o r es l o w l y i tw a sn o tu n t i l19 7 0a f t e rt h ew o r ko f j l t a y l o rd i dt h ec o n c e p to fn - n u p l e so fo p e r a t et h a th a db e e np r o p o s e d f o rl o n gb e c a m et h ef o c u so fs c h o l a r s m r t a y l o rd e f m e dj o i n t - s p e c t r u m w i t ht h ei d e ao fc o m p l e xa n dh o m o l o g i c a li n t o p o l o g yw h i c hl e n ta m o m e n t u mt ot h ec o n c e r n e dr e s e a r c h ，b u tt h e s t u d yo nn - n u p l e sh a d r e m a i n e du n t o u c h e du p o nu n t i lp r o f e s s o rl is h a o k u a ni n t r o d u c e d c r i s s c r o s sc o m m u t a t i v i t yn a t u r et ot h ef i e l dt h a tb r o k ef r e s hg r o u n df o r t h ec o n c e m e ds t u d yi na na r t i c l e m e a n w h i l e ，p r o f e s s o rl ia c q u i r e dt h e r e s u l t so f a ba n db ao nt a y l o r sj o i n ts p e c t r u ms p ( a b ) ( o ) = s p ( b a ) ( o ) ，a n d i na n o t h e ra r t i c l eh eg o tt h er e s u l t so n t a y l o r sj o i n ts p e c t r u mo f n a t u r es p ( a b ) ( o ) 2 s p ( b a ) ( o ) i n19 9 7 ，r o b i nh a r t ec o n c l u d e ds i m i l a rr e s u l t sa b o u t l e f t a n d r i g h tj o i n ts p e c t r u mi nh i sa r t i c l e ，w h i c hh ef u r t h e rd e v e l o p e di n 2 0 0 1 t h i s p a p e r i s m a i n l y t o p r o v i d e t h ed e f i n i t i o no ft h e t a y l o r - o p e r a t o r s g r o u p s p e c t r u m a n dt h ed e f i n i t i o no ft h e e - j o i n t p s e u d o s p e c t r u m a b o u tt h et u p l e so fo p e r a t o r s ，a n di th a sd i s c u s s e di t s s o m en a t u r e w eh a v ea l s og o ts o m er e s u l t so nt h e s ek i n d so fd e f i n i t i o n s o ft h ec r i s s - c r o s so p e r a t o r sg r o u p t h e ni th a sd i s c u s s e dt h e ( 国一p r o p e r t y a b o u tt h eo p e r a t o r sg r o u pa n dt h ec o n l n l o t ln a t u r eo ft h eo p e r a t o r sg r o u p a ba n db a ss u b s c a l a rn a t u r e f i n a l l y , u n d e rs o m et e r m s ，w eh a v em a d e s o m ed i s c u s s i o n a b o u tt h ep r o b l e mo f t a y l o r sj o i n t - s p e c t r u mo nz e r o w a n gx i n j u n ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rl i s h a o k u a n k e y w o r d s ：b a n a c ha l g e b r a ，c r i s s c r o s sc o m m u t i n gt u p l e s o f o p e r a t o r s ，e - j o i n tp s e u d o s p e c t r u m ，( ? ) p r o p e r t y , ( 励sp r o p e r t y , s u b s c a l a r t u p l e so fo p e r a t o r s 附件一： 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师的 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已明确注明和引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，我对 所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：。3 a 日期：1 ，西年f t 月f 口日 附件二： 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权东华大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密 学位论文作者签名： 讼露 日期：叫萨l 护护 指导教师签名：磊锯。衫 日期：心年驴栌 引言 由v y l o t e r r n 创立的算子理论把定义在无限维空间上的函数作为研究对象 这个理论很快以一种实质性的方式渗透到许多极为重要的数学领域：积分方程理 论和变分法作为特殊情况被包括在算子的一般理论中，这就足以表明这一点在 这个理论中，我们看到经典的数学方法与现代数学方法以一个极其有效和十分协 调的方式结合起来这个理论常使集合论或拓扑的定理有出人意外的解释例 如不动点的拓扑定理借助于算子理论能够转换到微分方程解的存在性定理没 有算子理论的帮助，数学的许多重要部分将得不到深刻的理解当代的例子是实 变函数理论、积分方程、变分法等等这个理论由于它为数众多的应用，理所当 然的引起众多的数学家的兴趣把算子理论看作当代数学研究中最有力的方法 之一，这应当不会使人感到惊奇 利用算子理论可以把各种数学领域，如群论、微分方程、积分方程、具有无 限多个未知数的方程、实变函数、求和方法、正交级数等中的一般定理贯通起来 有趣的是看到某些定理给出如此繁多不同领域中的结果例如加法泛函的延拓 定理同时解决了测度论问题、矩量问题和具有无限多个未知数的线性方程组解的 存在性问题 对线性算子谱的研究则是算子理论中的一个重要课题我们知道，在线性代 数理论中，对矩阵的特征值的研究用了很大的篇幅，在微分方程与积分方程的理 论中也着重讨论了特征值问题，这是因为其重要性在于：首先直接来自物理学与 工程学的需要，例如求振动的频率，判定系统的稳定性等均涉及到相应的算子的 特征值或特征值的分布问题在量子力学中，能量算符是r 空间上的一个自伴算 子，其特征值对应该系统束缚态的能级，而光谱则是某个算子特征值的分布其 次，通过对于特征值或者更一般地，对于谱的研究，有助于了解算子的本身结构， 从而可以刻划相应的方程解的构造例如，矩阵的特征值可刻划它的不变子空 间，写出它的标准形，从两可清楚的知道相应于该矩阵的齐次方程或非齐次方程 解的结构 线性算子谱理论经过半个多世纪发展，许多分支里面的问题都有了相对完满 系统的解决，其中直被算子谱论学者所关注的单个算子髂和s 兄的共同性质就 是一例目前已经得到的结果有单个算子r s 和s r 在谱、次可分解性、不变子空 间和单值扩张性质、d u n f o r d 条件( c 1 和b i s h o p 性质的局部化等方面的结果线 性算子组谱理论的发展相对要缓慢得多，尽管线性算子组联合谱的概念早就出现 过，但是真正引起人们重视的是在1 9 7 0 年j l t a y l o r 的工作之后他用代数拓 扑中的复形和同调的概念定义了联合谱，而且采用复变函数的技巧发展了算子组 的解析演算t a y l o r 发表了几篇文章就离开了这块阵地罗马尼亚学者继续了 这项工作，特别是将可分解箅子的概念推广到了联合谱，别开生面德国的 a l b r e c h t 。e s c h m i e r 的研究内容和罗马尼亚学者基本相同，但具有自己的特色 美国方面对联合谱的研究持乐观态度的有著名算子论学者r g d o u g l a s 他 的学生r e c u r t o 做了系列出色的工作1 9 8 0 1 9 8 1 年间，v a s i l e s c u 和 c u r t o 分别将t a y l o r 联合谱的理论用泛函分析的语言进行表述，使得研究更为 便利c u r t o 对h i l b e r t 空间上的算子组联合谱理论作了深刻的研究，在亚正常 算子组和半亚正常算子组方面成果累累日本学者长宗雄和高口真在联合数值 域和联合达范性问题上有许多论文我国学者在算子谱和算子组联合谱方面的 研究都有很多重大的贡献但是，无论国内还是国外，对于算子组曲和施的共 同性质的研究一直都没有人涉及，直到李绍宽1 9 9 2 年在文献【1 中把交叉交换性 质引入到这个领域，关于这方面的研究才开始有所发展同时李获得曲和b a 关 于t a y l o r 联合谱印的结果s e ( 口6 ) 、 0 ) = 印p 口) 0 ) 在文献 2 中他又得 到关于t a y l o r 联合本质谱它的结果s p p o b ) x o ) = 印p ( 妇) 、 0 1 9 9 7 年， r o b i n h a r t e 在文献 3 中得到关于左右联合谱的一个类似结论，2 0 0 1 年在文献 4 中他又得到文献 3 中进一步的结论在2 0 0 3 年，尚长明在文献 5 中得到了 具有交叉交换性质算子组曲和施在单值扩张方面的结果 本文首先给出了至今学者们所得到的关于单个算子及算子组的一些重要成 果，也是本文研究的依据；其次给出了关于算子组的t a y l o r 算子组谱的定义，并 讨论了它们的一些性质，以及关于交叉交换算子组在这几种定义下的一些结果； 接着讨论了关于算子组( 夕) 性质，对算子组曲和算子组施在次标量性质的共 同性质方面做了一些讨论；最后对泰勒联合谱在某些条件下，关于算子组谱在0 点的问题做了一些讨论 2 第一章准备知识 关于交叉交换算子组性质的研究，从1 9 9 2 年李绍宽在文献 1 中把交叉交换 性质引入到这个领域以来，国内外都已经做出了不少的成果在文献 1 中，李绍 宽引进了交叉交换算子组的概念： 对于b a n a c h 空间j 中两个算子组a = ( q 9 o,o 9 ) 和b = ( 6 l ，“) ，如果满足 q b j a = a k b q ，b , a ，钆= b k a ，6 ，( f ，k = 1 ，2 ，胛) 则称具有这种性质的两个算子组g l , b 为交叉交换算子组 并且得到了交叉交换算子组d = ( q ，) 和6 = ( 6 i ，k ) 关于t a y l o r 联合 谱印的结果 s p ( a 6 ) 0 ) = s p ( 6 口) o ) ； 在文献 2 中他又得到关于t a y l o r 联合本质谱s p e 的结果 s p e ( a b ) o = s p e ( b a ) o ) 1 9 9 7 年，r o b i n h a r t e 在文献 3 得到关于左右联合谱的一个类似结论， 仃肿( 口6 ，耐) ( o o ) ) = 砖哪( 曲，耐) ( o ，o ) ) ( 这里a 为b a n a c h 空间，( d ，c ) a ”a ”和( 6 ，d ) a ”a ”是交叉交换的， d 磐7 神( 口，c ) 为算子组( 口，c ) 的左右联合谱) 2 0 0 1 年在文献 4 他又得到文献 3 进一步的结论2 0 0 3 年，尚长明在单值延拓性质方面作出了下面的结果( 5 ) ： 设口= ( o l ，q ) 和b = ( 6 l ，) 可以交叉交换，a ，b a ”，a 为具单位元 的b a n a c h 代数，若曲具有单值延拓性质，则蚰也具有单值延拓性质，即 日9 ( 一( 见，e ) ，z 一曲) = o h 9 ( 彳( q ，e ) ，z - b a ) = o , z 见( p = 1 ，玎) 上面简单叙述了有关交叉交换算子组性质已有的成果，在开始研究交叉交换 算予组性质之前，还需要其他的一些准备知识，如泰勒联合谱、单个算子置s 和舰 的共同性质及泛函方面等的一些知识下面我们就简单的给出一些预备知识 第1 节泛函分析方面的若干准备知识 本文涉及的泛函分析知识是多方面的，我们只列出算子谱理论需要的若干基 本事实。 ( 1 ) 算子理论 设丁是定义在b a n a c h 空间z 的子空间d 上并映到x 内的线性算子，d 称为 t 的定义域，记为d ( r ) 若d ( r ) 在z 中稠密，则称r 是稠定算子我们称r 是 闭算子，是指如果 矗d ( 丁) ，矗一曲t x n y ， 则有x d ( 丁) ，且r = y 定理1 1 1 ( 逆算子定理) 若，是b a n a c h 空间x 到x 的线性算予，定义域 为d ( r ) ，如果丁是一对一的，而且r 的值域充满整个空间x ，则存在r 一而且是 有界算子 如果丁是稠定算子，那么可定义丁共轭算子r ，使得对任何x ，有 f ( 孤) = f ( z ) = t f ( 石) ( 2 ) 算子代数 设矿是线性空间，其中定义有乘法并成为有单位元e 的代数如果在其中引 入范数使之成为b a n a c h 空间，而且对此乘法有关系式： 0 厂g 临i i ：1 1 i l g l l ( f ，g v ) ， 则称y 是b a n a c h 代数 在b a n a c h 代数矿中可引入一些元素的预解集和谱的概念设x 矿。令 尸( x ) = 丑c ：( x a e ) - 1e 矿 ，c 、p ( 工) = 盯( z ) p o ) 与盯( x ) 分别为在矿中的预解集和谱 y 中的子空间m 称为左( 右) 理想，是指对任意x v ，y m 总有砂m ( y x m ) 若v 中元素可换，则不区分左右理想，简称理想如果没有别的理 想| 能包含m ( n = 矿除外) ，则称肘是极大理想 4 v 是b a n a c h 空间，其上有线性连续泛函对于b a n a c h 代数来说，更重要的 是可乘线性泛函，即线性泛函厂还有性质 ( x y ) = 厂( x ) s ( y ) ，厂( e ) = 1 对于交换的b a n a c h 代数，极大理想和可乘线性泛函是一一对应的：可乘线 性泛函的零空间是极大理想，反之亦然 定理1 1 2 若矿是交换b a n a c h 代数，是它的切极大理想所成的集合， 对m e a ，相应地有可乘线性泛函矗与之相应，对x y ，令 ( x ) = x ( 肘) 我们 将x j x ( m 1 称为x 的g e l f a n d 表示，于是成立以下结论： ( i ) a 是非空的紧空间，x ( m 1 是上的连续函数； ( i i )将x 映为x ( m 1 的映射r 是代数同态； ( i i i ) 忆圳i - l i x ( m ) l l 。= 跚l x ( 肘) i | i x l i ； ( i v ) x 可逆当且仅当r ( x ) 在c ( ) 中可逆； ( v ) 仃( x ) = 讧( m ) ，m j b a n a c h 空间上一切线性有界算子构成b a n a c h 代数由妇”# 。和，生成的 子空间是一个交换的b a n a c h 代数 ( 3 ) 可分解算子的一些结果 设x 是b a n a c h 空间，b ( x ) 为j 上有界线性算子全体t e 口( x ) ，t 的不 变子空间】，称为r 的谱极大空间，是指对r 的任意不变予空间，当 盯( 丁l z ) c o ( t i y ) 时，总有z c y t b ( x ) 称为具有单值扩张性，如果对任意的x 一值解析函数，：d h j ( d c c 是开集) ，由( a 一丁) 厂( a ) = 0 ，五d ，可推知 厂( a ) = 0 ，a d 定义1 1 1 ( 可分解算子和s d p 算子) 设r b ( x ) ，如果对盯( r ) 的任何有 限开覆盖杠匕，存在r 的谱极大空间 y ，) 2 ，使得 x = z ，盯p i r ) c g ，i = l ，2 ， 则称r 是可分解算子如果仅要求y 是不变子空间，其余不变，则称r 是s d p 算 子 定理1 1 3 ( a l b r e c h t )s d p 算子和可分解算子是等价的 相仿的可以定义闭算子的可分解性质 对可分解算子来说，局部谱的概念是重要的 定义1 1 2 设4 是b a n a c h 空间x 上的有界线性算子，( a ) 是的a 预解式 r ( 五，a ) 的解析扩张，它是复平面c 的开子集到8 ( x ) 上的抽象解析函数，对给 定的z j ，我们称 p ( a ，x ) = a e c ：( 2 - a ) f ( a ) = x ，厂( 五) 是r ( 五，爿) 的解析扩张 为算子a 在x 的局部预解式，c p ( a ，x ) = 盯( 爿，x ) 称为a 在x 上的局部谱 任给平面闭集，令 髟( ，) = x ：盯( 4 ，x ) c f ) 可以证明x , t ( f ) 是线性流形，若a 是可分解算子，则可证明j - ( f ) 是a 的谱极 大子空间 定义1 1 3 ( 谱容度) 设，表示c 上所有闭集所成之族x 中闭子空间所成 之族记为若e 是f 到中的映射，且满足 ( 1 ) e ( 矿) = o ，e ( c ) = x ； ( 2 ) e f c 1 ： e ( 只) ，e f ，胛：l ，2 ，； ”l 肛1 。 ( 3 ) 对c 的任意有限开覆盖 g f ：。，i = i ，玎，有x = e ( e ) ，则称e 为谱 容度；如果还有 ( 4 ) e ( f ) l a t ( a ) ，( 工讲0 ) 表示彳的不变子空间全体) ： ( 5 ) 盯( 4 l e ( ，) ) c f ， 则称4 具有谱容度层 定理1 1 4a 是可分解算子的充要条件为a 具有谱容度 6 第2 节单个算子昭和s r 的共同性质 本文研究的交叉交换算子组的性质是以单个算子r s 和艘的共l 司性质为基 础的，所以有必要介绍一下单个算子船和艘的共同性质的一些结果在文献 【6 ，7 】中，作者得到了很多单个算子见s 和舰的共同性质，这里只列出本文所涉 及到的一些知识 令x 表示b a n a c h 空间，8 ( x 1 表示作用在x 上的所有有界线性算子c 表示 复数空间，o ( v ，) 表示c 的开集u _ l z x 一值解析函数全体所构成的f r e h e t 空问， 而 五) c o ( v ，x ) 收敛于厂o ( u ，x ) 定义为 五( z ) 作为函数列在u 的每个紧 子集上一致收敛于厂( z ) 对于r b ( x ) 和c 的闭子集f ，定义谱流形 j o ( ，) = x x ：存在厂e o ( ，。，z ) ，使得x = p z ) 厂( z ) ( z f ) ( 不必假设t 有单值扩张性质，见【8 】) s ( 【，x ) 表示c 的开集u 上x 一值c ”一 函数全体所构成的f r e h e t 空间，即在【，上的无限可微函数盯( 丁) 、吒( r ) 、 吒( ，) 、咋( ，) 分别表示算子r 的谱、本质谱、近似点谱和点谱 定义1 2 1 设r 占( x ) ，如果对于c 的每一个开集( ，映射 ：d ( 【，x ) 一o ( u ，x ) ，fi - - ) ( 丁一z ) f 是拓扑单一同态，即 寸o ( 玎jo o ) j 厶 0 ，o ( u ，x ) ， 则称丁具有b i s h o p 性质( ) ，记为r ( ) 类似地有下面b i s h o p 性质( ) 。的定义 定义1 2 2 设丁b ( ) ，如果对于c 的每一个开集u ，映射 ：占( 【，x ) h6 ( u ，x ) ，厂卜( t z ) f 是拓扑单一同态，则称r 具有b i s h o p 性质( ) ；，记为r ( 力。 定义1 2 3 算子t b ( x ) 称为广义标量算子，如果存在一个连续代数同态 映射 m ：占( c ) 一b ( x ) 满足 7 ( 1 ) = j ，* ( o - - r ， 这里是曰( x ) 中的单位算子，( e ) 表示复平面c 上无限可微函数，其中的拓扑 结构是由它和它的导数的一致收敛性定义的 我们把一个广义算子在它的一个不变子空间上的限制称为次标量算子，即若 t b ( x ) 为广义标量算子，m 亡彳是丁的一个不变子空间，则丁i 。称为次标量 算子次标量算子是次可分解的( 【9 】) 关于单个算子醛和艘的共同性质有以下一些结论： 定理1 2 1 ( 1 6 1 定理3 ) 设r ，s b ( 工) ，则 ( 1 ) 盯( 麟) o = 仃( 职) o ) ； ( 2 ) ( 船) 、 o = ( 艘) o ) ； ( 3 ) 吒( r s ) o ) = 吒( 艘) o 定理1 2 2 ( 1 7 l 定理1 ) 设r ，s 口( x ) ，则 吒( 月s ) 、 o ) = q ( 职) o 定理1 2 3 ( 【9 1 推论4 6 ) 设t b ( x ) ，则r 是次标量算子当且仅当丁满 足( ) 。性质 定理1 2 4 ( 1 0 1 定理1 4 ) 设t b ( x ) ，则r 是次可分解算子当且仅当r 满足( ) 性质 定理1 2 5 ( 1 1 定理2 3 ) 设r ，s b ( x ) ，则r s 是次标量算子当且仅当 艘是次标量算子 定理l 2 6 ( 【1 1 l 定理2 4 ) 设足，ses ( x ) ，则j 醛是次可分解算子当且仅当 艘是次可分解算子 8 第3 节泰勒联合谱 关于算子组联合谱的一些概念，如外积、张量积、同调代数等等，在 1 2 1 中 有详细说明下面仅列出【1 2 】中所要用到的一些知识 设s = ( 毛，屯，s 。) 是”个不定元构成的集合，_ e 。n 表示由s 产生的p 级外代 数，外积用符号 表示，记 e 8 2 是e ；口5 p 设x 是复b a n a c h 空间，用e p ：( z ) 表示张量积j 圆鬈n ，其中的元素记为 xo s ，l $ j 2 as i p , x x ， 也筒记为 x s j 1 asj 2a s p 有时群( x ) 也写成 【s l ，s 。；x 】 设口= ( q ，a n ) 是x 上的一组交换算子组我们定义一个映照 叱( 口) ：彤( 柳一军。( 柳 如下( d p ( 口) 亦简记为d p ) ； d ，( x o5 一a as 伊) = ( 一1 ) 卜1 a x 圆s j la ；一” s 伊， 这里；。表示去掉这一项我们还规定 d o = “l = 0 这时我们得到的d 。是线性连续算子，而且还容易算出 d p 。d p + 1 = 0 这样得到一个链复形： 0 与群( x ) b 霹。) 山屿曰( x ) b o 这一复形称为k o s z u l 复形，记为e ( x ，口) 定义1 3 1 若链复形e ( x ，是正合的，即 i m d p = k e r d p _ l ，p = 1 , 2 ，n + l ， 则称a 是正则的，否则称为a 是奇异的集合 9 ( g z ，乙) c ”：( z l - - a ! ，乙一) 是奇异的 称为8 的联合谱，记为印0 ) 定理1 3 1 ( 1 1 2 p 1 7 定理2 5 ) 设a = ( q ，q n ) 是交换算子组，则 印( a ) = 印( 。+ ) 定义1 3 2 设口= ( q ，) 是交换算子组，z = ( 毛t - 9 z ) c “称为订的联合 近似点谱是指：存在一列单位向量，恢4 = l ，k = l ，2 ，使得 l f ( 互一q ) 一o ( t m ) ，i = 1 ，2 ，” 联合近似点谱记为吒0 ) 4 的联合近似点谱标为口的联合近似压缩谱，记为 ( 口) z = ( 毛，乙) 称为a 的联合点谱是指：存在非零向量x ，使 ( 弓- a , ) x = o ，( f - 1 卅) 记为咋( a ) d 的联合点谱称为口的联合剩余谱，记为q ( d ) 推论1 3 1 ( 1 2 w 1 8 推论3 3 ) 设口= “，a 。) 是交换算子组，则 a - ( 口) c 5 矽( 口) ，d ；( 口) c s p ( a ) 。 定义1 3 3 设印( ) 是交换算子组a = ( q ，) 的t a y l o r 联合谱，凡是 印( 口) 中不属于( 口) 和( d ) 的谱点，称为口的混合谱点，记为( a ) 因此 吒( 口) = 印( 口) 、( ( 口) u 0 ) ) 定理1 3 2 ( 1 2 1 p 1 9 命题3 $ ( 1 ) 五( 口) 的充要条件是五吒( a 。) ；( 2 ) 如果口= ( q ，) 和b = ( b i ，k ) 是两个交换算子组，并且存在可逆算子 d e s ( x ) ，使得口j = d 包d 一，i = l ，以，则 印( 口，x ) = s p ( b ，x ) ， 并且，它们的同调模 砟( e ( x ，a ) ) 和 以( e ( x ，6 ) ) ) 同构，特别o - 卅( n ) = 。_ ( 6 ) 定理1 3 3 ( z 2 p 2 1 定理4 1 ) 设口= ( q ，q ) 是b a n a c h 空间z 上的交换 算子组，若存在6 = ( 6 l ，吃) 是和口可交换的算子组，即 a , b j = b ；a l ，( f ，= l ，2 ，n ) ， 且有 口l6 l + 口2 b 2 + + a b n = i ， 则口在t a y l o r 意义下正则。 1 0 定理1 3 4 ( 1 2 1 p 3 1 定理1 1 ) 设n = ( d o n ) ；是h i l b e r t 空间h 上交换的正常 算子组。则 点p ( 口) = 盯( 口) = o ；( 口) ， 这里从左到右分别为口的t a y l o r 谱、d a s h 谱和联合近似点谱 全纯函数的谱映照定理： 定理1 3 5 ( 1 2 p 2 3 定理4 6 ) 设口= ( q 9o * ，a n ) 是b a n a c h 空间x 上的可换 的线性有界算子组，g 是含有印( 口) 的c ”中的区域，z ，五，厶在g 内全纯， 记 ：g 秽 为 厂( z ) = ( z ( z ) ，无( z ) ) ，( 口) = ( z ( d ) ，厶( 口) ) 则 勋( 厂0 ) ，z ) = 厂( 印( 口，x ) ) 定义1 3 4 设d = ( 口l ，) 是b a n a c h 空间z 上的交换算子组，e ( x , a ) 是 口导出的k o s z u l 复形， 以 是其边界算子若对每个露，i m 4 是闭的，而且 d i m ( k e r d 2 l i m d 2 ) o o 或者 d i m ( k e r d 2 m i r a 4 i ) o o , k = o ，l ，1 一， 则称口半f r e d h o l m 算子组， ( 一1 ) “d i m ( k e r d t h n 以一。) 称为口的指标，记为i n d a 特别地，若对每个k ，均有 d i m ( k e r d i 1 1 n 匝一j ) 0 0 ， 则称口为f r e d h o l m 算子组记f r e d h o l m 算子组的全体为f ，则集合 ( 气，乙) c ”：( 毛一a i ，z - a ) 芒f ) 称为口的联合本质谱，记为s p e ( a ) 定义1 3 5 算子组口= ，吒) 称为重交换的是指对任意f j ，有 q 口，= a j e t ，e l e c t ：= 口：q 定理1 3 6 ( 1 1 2 1 1 2 6 定理5 5 ) 设a = ( q ，a n ) 是h i l b e r t 空间h 上重交换的 线性有界算子组记 f = l ，2 ，n 卜 1 ，) 则算子组4 为正则的充要条件是对一切厂，算子 芝口f ，! ( 口：) 八。 f = i 是可逆的 定理1 3 7 ( 1 1 2 | p 2 9 推论6 5 ) 设口- - ( 4 ，a n l 是h i l b e r t 空间日上重交换 的算子组则算予组a 是f r e d h o l m 算子组的充要条件是对切 = l ，2 ，甩 o 1 ，+ ) ， 算子组兰口，o ( 口? ) 巾是f 崩l m 算子组 定理1 3 8 ( 1 2 1 p 5 4 引理2 1 ) 设口= ( 4 ，) 是h i l b e r t 空间日上重交换 的亚正常算子组贝有 ， s p ( d ) = ( 口) ( d 的联合压缩谱) 定理1 3 9 ( 1 1 2 1 p 5 4 引理2 2 ) 设a = “，) 是h i l b e r t 空间日上交换的 正常算子组则有 r e ( t r ，( 口) ) = ( r e ( 口) ) ；i n l ( ( 口) ) = ( i i n ( 口) ) 定理1 3 1 0 ( 1 1 2 1 p 5 4 定理2 - 3 ) 设a - - ( 4 ，q ) 是h i l b e r t 空间日上重交换 的亚正常算子组则有 r e ( o r ，( 口) ) = c t ( r e ( a ) ) ；i n l ( ( 口) ) = ( i m ( 口) ) 定理1 3 。1 1 ( 1 1 2 1 p 5 5 定理2 4 ) 设口- - ( 4 ，a n ) 是h i l b e r t 空问日上重交换 的亚正常算子组则其联合谱可直角分解： r e ( 印( 口) ) = 印( r e ( 口) ) ；i i i l ( 印( d ) ) = 印