（应用数学专业论文）关于有限次单群的一些结论.pdf

摘要 关于有限次单群的一些结论 作者简介：汪苜苗，女，1 9 8 1 年1 1 月出生，2 0 0 4 年师从于魏贵民教授，于 2 0 0 7 年7 月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。 摘要 本文对有限次单群，即只有一个非平凡正规子群的有限群进行了研究，主要 内容包括：有限次单群的一些简单性质，有限次单群可解、超可解的充分条件， 一些有限次单群例，一些特殊次单群的结构以及有限特征次单群的一些结论等。 主要的研究方法为：群表示和群作用的方法，反证法和分析法等。通过对有限次 单群的研究得到了下面一些结论： 定理1g 为次单群，是g 的非平凡正规子群，如果g 非完备，交换， 则g 可解。 定理2g 为次单群，n 是g 的非平凡正规子群，l n l = p ，p 为素数，如果 g 可解，则g 为超可解群。 定理3n q g ，i g ：n i = 2 ，且n 为单群，g 为不可分解群，则g 为次单群。 定理4i g l = 6 0 ，g 是次单群，则g 的s y l o w5 一子群p 是g 的唯一的非平 凡正规子群。 定理5g 是有限群，域k 的特征不能整除1 g f ，设仍，吼，讧是g 的所有不 等价的不可约五一表示，其中吼是主表示，又设为g 的一个非平凡的正规子 群，如果对任意i 都有k e r l 5 0 , = 1 或n ，则g 为次单群。 定理64 5 ) ，且n 6 时，一。的自同构群a m ( 4 ) 为次单群。 关键词：次单群可解群超可解群特征次单群 a b s t r a c t s o m ec o n c l u s i o n sa b o u tf i n i t es u b s i m p l eg r o u p s i n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r ：w a n gm i a o m i a o ，b o r ni nn o v e m b e ro f19 81 ，w a s a w a r d e dt h es c i e n c em a s t e r sd e g r e eo fa p p l i e dm a t hi nc h e n g d uu n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g yo nj u l yo f2 0 0 7 ，u n d e rt h eg u i d a n c eo fp r o f w e ig u i m i n a b s t r a c t s u p p o s et h a tgi sa l w a y saf i n i t eg r o u p t h i sp a p e rr e s e a r c h e dt h es u b s i m p l e g r o u p w h i c ho n l yi n c l u d e sap r o p e rn o r m a ls u b g r o u p t h em i a nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i n c l u d es o m es i m p l ep r o p e r t i e so fs u b s i m p l eg r o u p s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e s o l v a b i l i t ya n ds u p e r s o l v a b i l i t yo fs u b s i m p l eg r o u p s ，s o m ee x a m p l e so fs u b s i m p l e g r o u p s ，t h e s t r u c t u r eo fs o m es p e c i a l s u b s i m p l eg r o u p sa n dt h ep r o p e r t i e s o f c h a r a c t e r i s t i c a l l ys u b s i m p l eg r o u p sa n ds oo n t h em a i nm e t h o d so fo u rr e s e a r c h i n c l u d eg r o u pr e p r e s e n t a t i o na n dg r o u pa c t i o n ，r e v e r s e dp r o o f , a n a l y s i se t c b ys t u d i n g t h es u b s i m p l eg r o u p s ，ih a v eg a i n e dt h e s ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s ： t h e o r e m ll e tgb eas u b s i m p l eg r o u p ，ni si t s o n l yp r o p e rn o r m a l s u b g r o u p ，i fgi sn o n p e r f e c t ，n i sa b e l i a n ，t h e ngi ss o l v a b l e t h e o r e m 2l e tgb eas u b s i m p l eg r o u p ，ni si t s o n l yp r o p e rn o r m a l s u b g r o u p ，i n l = p ，p i sa p r i m e ，i fg ni ss o l v a b l e ，t h e ngi ss u p e r s o l v a b l e t h e o r e m 3l e tnb ean o r m a ls u b g r o u po f g ，i g n i = 2 ，a n d ni ss i m p l e g r o u p ，g i sn o n d e c o m p o s i t i o ng r o u p ，t h e ngi sas u b s i m p l eg r o u p t h e o r e m 4i g l = 6 0 ，gi ss u b s i m p l eg r o u p ，t h e nt h es y l o w5 - s u b g r o u po fgi s t h eo n l yn o n t r i v i a ln o r m a ls u b g r o u po fg t h e o r e m 5l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dl e tkb eaf i e l dw h o s ec h a r a c t e r i s t i c d o e sn o td i v i d et h eo r d e ro f g ，吼，仍，吼a r e a l l i n e q u i v a l e n t i r r e d u c i b l e k r e p r e s e n t a t i o n so fg ，竹i sm a i nr e p r e s e n t a t i o no f g l e tnb eo n l yp r o p e r n o r m a ls u b g r o u p ，i fv i ，w eh a v ek e r q o = 1o rn ，t h e ngi ss u b s i m p l e t h e o r e m 6l e t 聆5 ，开6 ，t h e nt h ea u t o m o r p h i s mg r o u po f 以i ss u b s i m p l e g r o u p k e y w o r d s ：s u b s i m p l eg r o u p s ，s o l v a b l eg r o u p s ，s u p e r s o l v a b l eg r o u p s c h a r a c t e r i s t i c a l l ys u b s i m p l eg r o u p s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导f 进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛都理王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师签名：z 习基础汰 学位论文作者签名：砣高高 山7 年，月同 ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑理王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑堡王盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：i 丢高豸 如口年，月月 引言 引言 群是抽象代数研究最早且最为成熟的基本代数系，它是认识现实世界最深 刻的规律之一对称性的有力武器，譬如，一个平面图形e 的对称性，可以用 平面上保持图形e 不变的正交变换( 旋转、反射以及它们的合成) 组成的集合对 于映射的乘法形成的群来刻画。群论知识不仅在数学的各个分支有广泛的应用， 而且在许多现代学科，诸如量子力学、结晶学、理论物理、量子化学以及密码学， 系统科学，数理统计等领域有着广泛的应用。在群论的众多分支中，有限群论无 论从理论本身还是从实际应用来说都占据着更为重要的地位，它有十分悠久的历 史，是代数中一个古老的分支，同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数 学分支。在爱丁堡举行的国际数学会上由维兰德( h w i e l a n d t ) 作的题为有限 群构造之发展的报告，以及由居里亨在全苏第三届代数会上作的题为近年来 有限群发展的若干方向的报告，并由胡佩特( b h u p p e r t ) 的巨著，都足以证 明有限群研究的盛行。我们知道，对于群的研究，最简单的方法是讨论它的子群， 再由小的子群的结构慢慢构造大一些的群。而对于有限群，它作为群论的一个重 要分支，我们需要有特别的方法，特别的观念去研究。利用子群的正规性来研究 有限群一直以来是非常好的方法，并且已经取得了不少好的结果。 只有平凡正规子群的有限群口q 有限单群。单群是群论的基本构件，把单群都 确定了，就像化学家把元素都确定了，物理学家把核子的结构都确定了一样。每 一个可分解有限群都可以唯一的分解为一些单群的直积，就像数论中每一个合数 都可以唯一分解为它的素因子的乘积样。事实上，决定所有有限非交换单群多 年来一直是有限群论的核心问题。直到1 9 8 0 年2 月，有限单群分类定理宣告“成 立”，这是2 0 世纪数学领域最伟大的成就之一，也是2 0 世纪数学家们探索群的 概念所得到的一个最基本的结果。它的结果以及为证明这一结果而发展起来的一 系列方法，对于代数学及其它诸多数学分支的发展都将产生深远影响。 近年来有不少群论爱好者研究只有拟正规子群或自正规子群的有限群，而对 于只有一个非平凡正规子群的有限群的研究极少，国内外这方面的研究也几乎不 见有。但这类群的确存在，比如阶循环群，交错群4 以及对称群墨等等，而 且有专家断定几乎所有单群的自同构群都含有一个这样的子群，这类群如此之 成都理i ：人学硕+ 学位论文 多，那么，对于这类群的研究相信应该和有限单群一样是一项非常有意义的工作。 本文试图对这种群的一些性质和结构等进行探讨，对于只有一个非平凡j 下规 子群的有限群的研究是比较困难的。本文的创新点在于首次提出了特征次单群的 概念，并对它进行研究，以及利用群表示来研究有限次单群。在相关资料极少的 情况下对有限次单群进行了初等的研究， | 导到了有限次单群的一些简单性质、 些特殊次单群的结构以及关于有限次单群的其它一些结论。 2 第1 章绪论 第1 章绪论 代数系统是由一个非空集合和该集合上一个或多个代数运算组成的。代数系 统通常包括半群及其在语言和自动机中的应用、群、环、域、格和布尔代数等不 同代数结构的内容。这些内容的研究起源于1 9 世纪，那时的数学家们开始关注 数学体系的结构，而不是它们具体的内涵。代数思想的革命发生在十九世纪3 0 4 0 年代。1 8 3 0 年，皮科克的代数学问世，书中对代数运算的基本法则进行 了探索性研究。在这之前，代数的符号运算实际仅是实数与复数运算的翻版。皮 科克试图建立一门更一般的代数，它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。 他和德摩根等英国学者围绕这一目标的工作，为代数结构观点的形成及代数公理 化研究作了尝试，因而皮科克被誉为“代数中的欧几里得”。皮科克的目标虽然 很有价值，但方法过于含糊，无法达到他的愿望。代数中更深刻的思想来自于数 学史上传奇式的人物伽罗瓦。在1 8 2 9 1 8 3 2 年间，他提出并论证了代数方程可 用根式解的普遍判别准则，从概念和方法上为最基本的一种代数结构( 群) 理论奠 定了基础，阐明了群的正规子群及同构等重要概念。伽罗瓦在1 8 3 2 年去世前， 几次向巴黎科学院递交他的论文，均未获答复。他的理论在1 8 4 6 年由刘维尔发 表之前几乎无人知晓，到十九世纪6 0 年代后才引起重视，这是数学史上新思想 历经磨难终放异彩的最典型的例证。 另一项引起代数观念深刻变革的成果，归功于哈密顿和格拉斯曼。哈密顿在 用“数对”表示复数并探究其运算规则时，试图将复数概念推广到三维空间，未 获成功，但却意想不到的创立了四元数理论，时间是1 8 4 3 年。 四元数是第一个被构造出的不满足乘法交换律的数学对象。从此，数学家便 突破了实数与复数的框架，比较自由地构造各种新的代数系统。四元数理论一经 问世便引来数学与物理学家的讨论，它本身虽没有广泛应用，但成为向量代数、 向量分析以及线性结合代数理论的先导。1 8 4 4 年，格拉斯曼在讨论疗维几何时， 独立得到更般的具有珂个分量的超复数理论，这一高度独创的成果由于表达晦 涩，无法为当时的学者所理解。 在这一时期，还诞生了代数不变量理论，这是从数论中的二次型及射影几何 中的线性变换引伸出的课题。1 8 4 1 年左右，凯莱受布尔的影响开始研究代数型 成都理i ：人学硕十学何论文 在线性变换下的不变量。之后，寻找各种特殊型的不变量及不变量的有限基，成 为十九世纪下半叶最热门的研究课题，出现了人数众多的德国学派，进而开辟了 代数几何的研究领域。 群是代数发展史上由古典代数进入近世代数的里程碑，标志着数学前史的结 束和数学近代史的开始。“但愿人家不要说，我不曾作出什么新发现。新发现在 于拥有材料。两个人在玩棒球时，双方使用的是同一只球。但其中一人找到了对 他更好的位。”( p a s c a l ：思维的序言) ，即这一个群体的联系。 群论研究分为有限群理论和无限群理论。有限群是代数学中一个古老的分 支，有限群的研究大体可以分为群表示与群构造两个方面，各自都具有非常丰富 的内容。群构造在于解决各种抽象有限群的结构问题，主要包括p 一群的性质， 循环群、交换群、幂零群、可解群能唯一分解为p 一群之直积的问题，有限单群 的分类问题，有限群的扩张问题等等；而群表示理论的建立主要用于研究有限群 的结构，主要包括：有限群的常表示，有限群的模表示，拓扑群的表示理论。 最近2 0 多年来，经过许多数学家的努力，在有限群中取得了一连串的突破， 并终于在1 9 8 1 年2 月解决了著名的有限单群分类问题，由于这项重大的科学成 果以及有限群论几乎遍及各个科技领域的应用性，在数学界及其它相关领域中形 成了“有限群热”，使有限群成为了一般科技工作者乐于掌握的一个数学工具。 有限群的理论现在已经发展得很成熟，应用也极广泛。它不仅对研究数学的 其它分支是重要的，而且是研究某些自然科学学科如理论物理、量子力学、量子 化学、光谱学、结晶学、原子物理、粒子物理等的有力武器，对计算机科学等也 有深刻的影响和广泛的应用。 4 第2 章相关定义和引理 第2 章相关定义和引理 本文采用通用的记号，为了叙述的方便和统一，特将文中所用的一些符号作 如下说明： g总表示一个有限群 l g i 表示g 的阶 s g n 司g nc h a rg g | n g z ( g ) 0 ( 聊 c g ( 奶 4 乙 a u t ( 6 3 ( 以，q ) m ( g ) k e r q 口 表示是g 的一个子群 表示是g 的一个正规子群 表示是g 的特征子群 表示g 关于正规子群的商群 表示g 的换位子群 表示g 的中心 表示群g 中日的正规化子 表示群g 中日的中心化子 表示竹次对称群 表示1 , 1 次交错群 表示p 阶循环群 表示g 的自同构群 表示刀维辛空间上的辛群 表示g 的f m t t i n i 子群 表示妒的核 定义1 1 t ”1 设n g ，如果v a g ，有n a = a n ，则称为g 的正规子群， 记作n 司g 。 定义1 2 1 8 1 称群g 的子群疗为g 的特征子群，如果胃。h ，v 口a u t ( g ) ， 这时记作hc h a rg 。 5 成都理r 人学硕十学位论文 定义l ，3 m 1 设g 0 ，g l ，g 2 ，g 是群g 的一些子群，满足 1 = g 司习g 2 司g 1 司g o = g ( 1 ) 那么当g 司g ( i = 1 ，2 ，j ) 时，( 1 ) 称为g 的一个正规群列。 定义1 4 1 ”1 只有一个非平凡正规子群的群叫做次单群。 定义1 5 1 ”1 如果g = g ，则称g 为完备的。 定义1 6 t 8 1 群g 不是循环群，但g 的每个真子群皆为循环群，则称g 为 个内循环群。 群g 不是循环群，但g 的每个真商群皆为循环群，则称g 为一个外循环群。 定义l ，7 t 习群g 的一个足一表示( 伊，v ) 称为不可约的，如果v 没有非平凡的 g 不变子空间( ( 仍矿) 为表示空间和群同态妒组成的二元组) 。 定义1 8 1 8 1若群g 的主因子均为素数阶循环群，则称g 为超可解群。 定义1 9 1 8 1一个群如果不能分解为它的真子群的直积，就叫做不可分解群。 定义1 1 0 吲假定f 为有限域，v 为f 上有限维向量空间，设为v 上数量 积，则说厂是辛型。若，非退化，斜对称，这时矿说是f 上辛空间。 定义1 1 1 例设是g 的正规子群，设缈，v ) 是商群g 的表示，则与自 然同态万的合成。万是g 的表示，称妒。万是的提升。显然k e r ( 。乃) n 。 定义1 1 2 吲设g 是有限群，若g l ，令o ( g ) 为g 的所有极大子群的交； 而若g = l ，令( g ) = 1 我们称o ( g ) 为g 的f r a t t i n i 子群。 定义1 1 3 吲设g 和日是给定的有限群。若p 是日到a m ( g ) 内的一个同态映 射，我们称妒为h 在g 上的一个作用。 定义1 14 1 8 1 设妒是群筇在g 上的一个作用，a - 为膨在g 中 的正规闭包，是g 的包含膨的最小正规子群。 引理1 1 t 8 1可解群必有一个极大子群是正规子群。 引理1 2 t ”kc h a rh ，h 司g ，则k 习g 。 引理1 3 【1 3 1 若是g 的极小币规子群，是交换群，则对于所有使得 g = n h 的g 的子群日有n h 或n 日= 1 。 引理1 4 旧若g z ( g ) 是循环群，则g 是交换群。 引理1 5 t o l若h q g ，且h s a g ，那么形h q g ，h a 口g 。 引理1 6 t 8 1设g 为有限内循环群，则g 只有下列三种互不同构的类型： ( 1 ) g 三乙x z p ； ( 2 ) g 为8 阶四元数群； ( 3 ) g = ，有如下的定义关系： 口p = 1 ，6 矿= 1 ，b a b = 口 其中p ，q 为互异素数，历，为正整数，且，模p 不等于1 ，= l ( m o d p ) 。 引理1 7 t 州若a g ，h q g ，则( 4 n 日) q a 。 引理1 8 满2 = i g i g 1 = 2 的可解次单群g 都与对称群s 同构。 引理1 9 【1 3 1 满足g g 的非可解有限次单群g 无中心，且必然是非交换特 征单群g ，被循环群乙的扩张。 引理1 1 0 邮1n q g ，且为交换的，若g 为完备的，则g 也是完备的。 引理1 1 1 m 1设尸是g 的一个$ f o wp 一子群，则，q g 的充分必要条件是： 7 成都理1 ：大学硕十学位论文 p 是g 的唯一的s y l o wp 一子群，这时pc h a r g 。 引理1 1 2 ”1 p c 阶群g ( p g ) ，p ，g 均为素数的构造： ( 1 ) g = a m = 1 ( 循环) ( 2 ) g ： ，a p = 1 , b 9 = l ，b a b = 口，9i l ( m o d p ) ，且，模p 不等 于1 ( 只有在g i p l 时才出现这个可能性) 。 引理1 ，1 3 。8 ( 柯西定理) 假定质数p 能够整除群g 的元数，那么g 中有阶 为p 的元。 引理1 1 4 邮1 ( 西洛定理) 若g 是有限群，p 是素数，设p 。1 l g i ，p 。“不整 除i g f ，则 ( 1 ) g 中必存在p 。阶子群，叫做g 的s y l o wp 一子群； ( 2 ) g 的任意两个脚p 一子群皆在g 中共轭，特别地， j ( g ) | - j g ：( ；( p ) i ，其中p ( g ) ； ( 3 ) i l p ( g ) ；- l ( m o d p ) 。 引理1 1 5 吲设有限群g 的所有脚子群皆为循环群，若g 交换，则g 为 循环群；若g 非交换，则g 为下列定义关系确定的亚循环群； g 口，6 ，口”= 6 ”= 1 ，b a b = a ，“，一1 ) n ，押) = l ，r ”= - l ( m o d m ) ，fg f = ，聊。 引理1 1 6 t ”1指标是2 的子群是正规子群。 引理1 1 7 t ”l ( h o i d e r 定理) m l l 阶群g 包含一个n 阶循环正规子群且其商 群又是m 阶循环群的充分必要条件是g 珥6 ，且具有定义关系 矿= l b ”= ，b a b = 矿，式中整数，t 满足，= l ( m o d n ) ，t ( r 一1 ) - - - o ( m o d n ) 。 引理1 1 8 1 ”1设b = ( 口) 是r t l 阶的有限循环群，当4 被b 之扩张g 已给时， 则g 关于a 之( 左) 陪集分解之代表元系得令为1 ，如2 ，”1 ，使_ 有一个 8 第2 章相关定义和引理 自同构盯( 矿= 。) 及一元( 如”= 力，具下面二性质：( 1 ) 矿= ( 2 m 4 = 。 引理1 1 9 8 1 ( n c 定理) 设日g ，则g ( n ) l c o ( i - 1 ) 同构于a u t ( h ) 的一个 子群。 引理1 2 0 t 8 1 令矿为域f 上行维度量空间，f 为v 上一平延，w - - - - 为t 的 中心，则：，v v e v ，r = v + q ( v ，w ) w ，其中q 为f 中固定的元，则有：若矿 为辛空间，则v 中每个点都是平延的中心，t 寸q 为r 到f 的加群的同构，g 在 平延的根群集合上传递。 引理1 2 1 g 是幂零的次单群，则lg | = ，p 是素数且g 是循环群。 引理1 2 2 t ”1g 为非幂零的可解次单群，则必有： f g | = 朋，g 岛b ，矿= 1 ，b 9 = ，b 1 a b = d , t 9 ；- l ( m o d q ) ，r ( t 一1 ) - - - o ( m o d q ) p q ，且b q 均为素数。 引理1 2 3 t 8 1( 第一同构定理) 设n q g ，m 司g ，i jn 2 ，疗4 ) 是次单群。 证明设是鼠的一个非平凡正规予群，则n 中全部偶置换组成的一个 指数为2 的正规子群日，日= n 以是4 l 的一个正规子群，由4 的单性，知 日= 以或日= 1 ) 。 若日= 1 ) ，则n 是2 阶子群，它由恒等置换和一个奇置换组成，不可能是 瓯的正规子群。 故只能日= 以，此时必有己4 ，又因是s 的真子群，所以= 4 。即 瓯的非平凡正规子群只有4 一个，故s 为次单群。 3 2 有限次单群可解，超可解的充分条件 定理3 2 1g 为次单群，为g 的非平凡的正规子群，若g 非完备，交 换，则g 可解。 证明g 为次单群，则除1 q r ) ( 其中p ，q ，r 为素数或为1 ) 阶非交换群g 为次单群 的充要条件为q = 1 或r = 1 。 证明充分性：不妨设r = 1 ，则i g i = p q ，p g ，由引理1 1 2 及g 的非交 换性知，g = ，= 1 ，b 9 = 1 ，b a b = 口，叮；i ( m o d p ) ，且，模p 不等于1 ，此 时g i p - 1 。由此， g 的$ ，f o w p - 子群p 司g ，设gs y l o w q - 的个数为，则- = l ( m o d q ) ， 由于p q ，则l + 幻= l 或1 + 幻= p 。 若1 + 幻= l ，则g 的s y l o w q 一子群q 司g ，此时g = x ，g 为交换 群，矛盾。 所以只能l + 幻= p ，即g 的s y l o wq 一子群不唯一，此时q 不是g 的正规子 群，从而g 为次单群。 必要性：l g = p q r ( p q r ) ，则对于g 筘j l o wp 一子群p 有l ( m o d p ) ， 其中为gs y l o w p 一子群的个数，只能是= l ，即g s y l o w p 一子群唯一， 1 4 第3 章主要成果 从而p 司g 。y f 1 4 于p q r 阶群的$ 拈w 子群全都是循环群，由引理1 1 5 ，群g 为 循环群尹被循环群o l p 的扩张，而g 为次单群，则g p 为单群，又有j g 7 p f - q r 是循环群，必有q = 1 或r = l 。 次单群是大量存在的，比如我们所熟知的p 2 阶循环群，交错群4 以及对称 群墨等等都是次单群，下面给出一些次单群例子。 3 4 有限次单群例 定理3 , 4 1 印( 4 ，2 ) 是次单群。 证明设v 为g f ( 2 ) 上的4 维辛空间， 考虑矿的子集s = “e v i l _ 上日( 抒为2 维辛空问) ，且日中有双曲对“，x 2 ，而瓴，屯) 为日的 一组基，则必有( 不考虑顺序) ： 1 = v i + 1 t + 毛，1 _ = h + 吃+ 矗，1 = v l + v 2 + 而+ _ ，且每个双曲对 v l ，v 2 恰好 可以补充为唯一一个集合s ，每个s 中包含2 0 个双曲对，易知，v 中恰有1 2 0 个双曲对，故v 中向量可构成6 个s 。 由引理1 2 0 ，默4 ，2 ) 在矿上传递作用，故s p ( 4 ，2 ) 在诸s 的集合上传递，从 而确- s p ( 4 , 2 ) 至0 & 的同态伊，设足= k e r ( o ， v - - 上 ，( v l ，v 2 ) = ( 岛，毛) = l 。令 s = v 1 ，v 2 ，v 1 + 1 t + 玛，v 1 + v 2 + ，v 1 + 1 么+ 而+ 硝) s = 屯，砖+ 矗+ q ，屯+ 囊+ v 2 ，毛+ 毛+ v i + v 2 k 保持s 和不变，则也保持集合s n s = “十v 2 + 黾+ _ 不变，即 v l + 吃+ 而+ x 4 被k 所固定， - 于s p ( 4 ，2 ) 在上传递，r k s p ( 4 ，2 ) ，故k = 1 ， 即妒为同构的嵌入，2 疋l s p ( 4 ，2 ) i = 障f ， s p ( 4 ，2 ) _ - - s s ，从而印( 4 ，2 ) 为次单群。 1s 成都理l ：人学硕十学位论文 定理3 4 2 4 印5 ，栉6 ) 的自同构群彳搿( 4 ) 为次单群。 证明以= 令口= ( 1 2 3 ) ，b = ( 1 2 4 ) ，c = ( 1 2 5 ) ，= ( 1 2 n ) ，则以= ，且有 ( a b ) 2 = ( b c ) 2 = = ( 1 a ) 2 = ( 6 口) 2 = ( c 6 ) 2 = = ( 口，) 2 = 1 。 设a u t ( 4 , ) ，则a i tb i t ，仍为3 阶元，从而仍为3 一轮换，且同样有 ( 口4 b ”) 2 = ( 6 9 c 4 ) 2 = = ( ，4 a ”) 2 = ( 6 9 a ”) 2 = ( c “6 ”) 2 = = ( a u l “) 2 = 1 ，故 ，b pc “，j 4 必有形状：a ”= ( t i e ) ，b “= ( ) ，= ( t i g ) ，尸= ( t i t ) ，其中 f ，j ，e ，f ，g ，f 为l ，2 ，3 ，4 ，5 ，r l 的一个排列。令 v = ( ：；：厂49 5 ：刀t ，贝u v = li ，眦u l j e jg ) a = v - i 洲，b ”= v b y ，= i , - i ，= v 一1 f v ，y - a = ，所以在 4 上的作用相当于v 在4 上的共轭作用，另一方面，最的任一元素都在4 上诱 导出一个自同构，并且因为c 奠( 4 ) = l ，最的不同元素诱导出的自同构也不相同。 故有 a u t ( a , ) 兰鼠 5 ，片6 ) ，而q 5 ，珂6 ) 为次单群，所以a u t ( 4 , ) ( n 5 ，珂6 ) 是 次单群。 我们知道，4 ，5 ) 为单群，由定理3 1 5 ，e 5 ) 为次单群，又 - 4 司s ，b ：4 i = 2 ，那么群g 和g 的子群若满足：n g ，p ：n l = 2 ，n 为单 群，是否也有g 为次单群呢? 定理3 4 3 n g ，i g ：j = 2 ，且为单群，g 为不可分解群，则g 为次单 群。 证明n g ，i g ：| | - 2 ，则必为g 的极大正规子群。若否，必存在置三， 且k q g ，满足l g k g | ，此时只能足= g 。假设g 不为次单群，即g 有另一 个非平凡的正规子群日，由引理1 7 ，( h n ) 司n ，n 为单群，则必有日n = l 第3 章主要成果 或h n n = n 。 若日n n = 1 ，由的极大性有g = n h ，从而g = n h ，这与g 为不可分 解群矛盾。 故只能日n n = n ，由的极大性，只能日= ，即g 只有一个非平凡的正 规子群，从而g 为次单群。 若素数p 为蚓的一个素因子，则g 一定含有渺p 一子群pa 如果p 习g ， 则称g 为p 一闭群。否则称g 是非p 一闭群。p 一闭群，非p 一闭群以及次单群都 是一些特殊的群类，那么我们能不能建立它们之间的联系呢? 3 5 有限次单群与p 一闭群，非p 一闭群 定理3 5 1 i g l = p 2 q ，且p ，或为( 2 ) 克 莱茵四元群a - - x ( 口2 = b 2 = 1 ，a b = 蚴。 ( 1 ) a 口 为4 阶循环群。 这时g 为4 阶的循环群4 口 被p 阶循环群的扩张。由h o l d e r 定理， g = ，a 4 = 1 = 6 p , b - 1 a b = a r 尸z 1 ( m o d 4 ) ，但p 为奇素数说明r 模4 不等于 1 ，故只能，；l ( m o d 4 1 ，即a b = b a 。g 交换，但g 为次单群，故此种情况不可 能。 ( 2 ) a 口 ( 口2 = 6 2 = l , a b = b a ) 。 取p 阶子群p = g ) ，g ，= 1 ，为一的补子群，据引理1 1 8 知： g = a + a g + + 如川，且有g “a g - - - a 。，g - j b g = 矿p a u t ( a ) ) ( 这时g = 1 = a ， 有= 1 与a = ) ，由引理1 3 3 ，a u t ( a ) 兰墨，故若萨1 ，则必有o p ) = 2 或 3 ，所以当p 3 时，由于( 2 ，p ) = 1 = c 3 ，p ) 有当矿= 1 时必有巧= 1 。则当p 3 时 只能盯= 1 ，此时矿1 a g = a ，g 。堙= 6 ，从而g 交换。与g 的次单性矛盾。 当p = 3 时， o r = i 或c r 3 = 1 ，但矿1 。 若盯= 1 ，g 为上述交换群，不可能。 若一= 1 ，但盯1 ，则令仃= 或 ，如果盯= ，这时 1 9 成都理i ：人学硕十学位论文 g = ，d 2 = 62 = 9 3 = l ，g a g = 6 ，g