（高电压与绝缘技术专业论文）拓扑有限元法在电磁场问题中的应用.pdf

摘要 拓扑有限元法在电磁场问题中的应用 摘要 有限元法由于其具有系数矩阵稀疏对称、对边界拟合好、边界条 件易于处理等优点，在电磁场数值计算中一直占据着主导地位，是对 工程电磁场问题进行分析的主要工具。 网格剖分和有限元方程求解是有限元法在应用过程中的两个十 分重要的步骤。快速、正确地对求解区域进行剖分，是用有限元法分 析的前提，也是有限元法的“瓶颈”问题；在节点较多时，如何提 高有限元系数矩阵的存储效率，加快解方程的速度，是目前研究的一 个热点。本文对这两部分作了研究。本文对目前常用的剖分方法作了 分析对比，并使用波前法( a d v a n c e df r o mm e t h o d ) 结合d e l a u n a y 三角化方法实现了对任意平面区域的三角剖分；在研究了有限元方程 的解法和拓扑有限元法的理论基础上，提出了一种将拓扑有限元法与 预处理共轭梯度法结合构成的新算法。该算法能够充分利用拓扑有限 元法的一系列优点，节省了计算机内存，提高了计算速度，简化了编 程，在剖分节点较多时有明显的优势。本文用v i s u a lc + + 实现了以 上的剖分和求解的新算法，并通过算例证明了新算法的正确性和有效 性。 关键词：电磁场数值计算有限元法三角剖分拓扑有限元 法预先处理共轭梯度法 a b s t r a c t t o p o l o g yf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r e l e c t r o m a g n e t l cf l e l dp r o b l e m s a b s t r a c t a san u m er i c a lm e t h o d ，t h ef i n “ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) h a sv e r y i m p o r t a n ts t a t u s i ne l e c t r o m a g n e t i cn e l dp r o b l e m sf o ri th a st h ev i r t u e so f s p a r s ea n ds y m m e t “c a lc o e f n c i e n tm a t r i x ，c a nf i t t i n gt h eb o u n d a r yc l o s e l y ， e a s yt od i s p o s a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w h i c hi sap o w e r f u lt o o lt oc o m p u t e e l e c t r o m a g n e t i cn e l dp r o b l e m s g e n e r a t e dg r i d st od i s c r e t ef i e l da n df e me q u a t i o ns 0 1 u t i o na r et w o i m p o r t a n t s e c t i o n si n i m p l e m e n to ff e m g e n e r a t e g r i d sq u i c k l ya n d a c c u r a t e l yt od i s c r e t et h ef i e l di st h ep r e c o n d i t i o na n db o t t l e n e c ko ff e m h o wt oi m p r o v et h ee m c i e n c yf o rc o e f h c i e n tm a t r i xs t o r a g ea n ds o l v et h e e q u a t i o nq u i c k l yi st h eh o t s p o to fr e c e n tr e s e a r c h b o t hs e c t i o n sa r ed i s c u s s e d i nt h i sp a p e r i nt h i sp a p e r ，m a n yu s u a lt “a n g u l a t i o nm e t h o d sa r ec o m p a r e d ， a l s o ，t h i sp a p e rp r e s e n tam e t h o dc o m b i n ea d v a n c e df r o n tm e t h o d ( a f m ) w i t h d e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n ， w h i c hc a nb eu s e i n a r b i t r a r y 6 e l d s t r i a n g u l a t i o n b a s eo nt h er e s e a r c ho fu s u a le q u a t i o ns o l u t i o na n dt h et h e o r y o ft o p o l o g y 行n i t ee l e m e n tm e t h o d ( t f e m ) ，an e wa l g o r i t h mc o m b i n et f e m w i t hn e wp r e c o n d i t i o n i n gc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d ( p c g m ) w a sp r e s e n t e d t h en e wa i g o r i t h mc a nt a k ef h l la d v a n t a g e so ft f e m ， i tc a ns a v et h e m e m o r i e s ，r e d u c et i m es p e n d i n gi nc a l c u l a t i o na n ds i m p l i f i e dt h ep r o g r a m ，i t h a ss u p e “o r i t yw h e nt h ea m o u n to fn o d e si sh u g e i nt h i sp a p e r ，t h en e w a l g o r i t h ma n dt r i a n g u l a t i o na r ea c h i e v e dw i t hv i s u a lc + + ，t h ev a l i d i t yo ft h e n e w a l g o r “h mw a sp r o v e db ys e v e r a le x a m p l e a b s l r a c t k e y w o r d s ：e l e c t r o m a g n e t i cc o m p u t a t i o n ； f i n i t ee l e m e n tm e t h o d( f e m ) t r i a n g u l a t i o n ；t o p o l o g y f i n i t ee l e m e n tm e t h o d( t f e m ) p r e c o n d i t i o n i n gc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d 第1 章绪论 1 1 计算电磁学概况 第1 章绪论 1 1 1 计算电磁学的产生和发展状况 电磁场是一种特殊的物质，它时刻存在于我们周围，影响着我们的生 活。在科学技术高度发达，物质生活极度丰富的今天，各种涉及到电磁场 的设备更是层出不穷，大到发电机、变压器等各种电力生产设备，小到电 视机、手机等各种人们日常生活中离不开的生活用品。随着人们要求的不 断提高，如何设计制造出更好的产品日益成为广大工程师所面对的难题， 而研究这些设备工作时的电磁特性及电磁场分布情况。是更好地设计、生 产和使用这些设备的前提，由此，衍生出了计算电磁学( c o m p u t a t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c s ) 。计算电磁学是一门包含了电磁学、数学、计算机等多 门学科的综合性新兴学科，它以计算机为工具，运用数值方法，研究工程 中的电磁学问题。 早在18 6 4 年，麦克斯韦( m a x w e l l ) 就在前人研究成果的基础上，建 立了完善的电磁场理论，通过麦克斯韦方程组可以从理论上描述电磁场的 一般规律，揭示电磁场的奥秘。从历史上看，求解电磁场的方法主要可以 分为以下四种：模拟法、图解法、解析法和数值法。模拟法是通过实验 的方法，用一个与待求场有相同的方程和边界条件的模拟场来近似待求 场，对其进行测试从而得到待求场的分布，如用导电纸、电解槽、电阻网 络等进行模拟。图解法仅适用于二维形式的拉普拉斯方程，而且精度有限。 由麦克斯韦方程组导出各种数学方程，再对这些方程求解的方法为解析 法。由麦克斯韦方程组导出的数学方程有偏微分方程、积分方程和变分方 程等，偏微分方程使用较多。针对偏微分方程，常用的解法有：级数法、 分离变量法、格林( g r e e n ) 函数法、保角变换法和积分变换法等。解析 法的优点是可以求出问题的精确解，在显式解中还可以观察到某些参数对 解的影响，从而发现一些内在规律。然而解析法的缺点也很明显，其应用 范围比较窄，有较大的局限性，只有对一些比较典型、经过简化处理的问 第1 章绪论 题可以用解析法来求得精确的解析解，但在实际中所遇到的许多工程问 题，情况通常较为复杂，如：不规则的电气设备外形，复杂的物理参数等 等，此时用解析法分析将变得十分困难甚至无法获得解答，因此，解析法 通常是无法解决工程中遇到的实际问题的。数值法是将所要求解的问题进 行离散化处理，将要求解的连续量变为有限维的离散量，从而将原问题转 化为代数方程的求解。在早期，由于数值法计算工作量大，需要存储的数 据多，而当时的计算机在计算能力和存储能力上都还极为有限，且价格昂 贵，数值法虽已提出但并未获得广泛的应用。因此，在计算机技术得到发 展应用以前，电磁场理论虽然已经比较完善，但人们要对实际工程中的电 磁场分布问题进行求解，还是比较困难的。 进入2 0 世纪6 0 年代以来，随着电子计算机技术的迅速发展，一些计 算电磁场的数值方法借助计算机的强大计算能力开始得到广泛应用，各种 数值方法受到关注和研究，如1 9 6 8 年h a r “n g t o n 的计算电磁场的矩量 法( f i e l dc o m p u t a t i o nb ym o m e n tm e t h o d s ) 详细论述了如何将矩量法 应用于电磁场的计算，古老的有限差分法也在电磁场的计算中得到应用， 此外，还诞生了时域有限差分法( f i n i t ed i f 诧r e n c et i m ed o m a i n ，简称 f d t d 法，1 9 6 6 年由k s y e e 提出) ，在力学领域已经获得广泛应用的有 限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称f e m 法) 也由w i n s l o w 、c h a r i 和s i l v e r s t e r 【3 】等引入到电磁场的计算中来。1 9 7 2 年，c w t r o w b r i d g e 提 出了积分方程法，并给出了二维、三维问题的离散形式，边界元法也随之 产生。我国的周克定教授也对边界元法做了大量研究，并在直接边界元法 的基础上推导出了间接边界元法的积分公式。各种各样数值方法的出现， 为工程电磁场问题的解决提供了可能。 经过世界各国广大科学家近几十年坚持不懈的努力，计算电磁学已经 取得了丰硕的成果。如t a d a s h iy a m a g u c h i l 4 j ，y o s h i h i r ok a w a s e l 4 】，m a k o t o y o s h i d a 【4 】 y o u i c h is a i t o 【4 】 y a s u h a r uo h d a c h i 【4 1 等对感应电机进行了三维 有限元分析，e n z ot o n t i 【5 】提出了新的直接获得有限元方程的方法，s t e v e m c f e e 7 和d o n g l i nm a 7 对矢量单元作了大量的研究，m a n f r e d k a l t e n b a c h e r 【8 】，s t e f a nr e i t z i n 2 e r 8 提出了解三维非线性电磁场的a m g 法， t m i f u n e 【9 】，t 1 w a s h i t a ，m s h i m a s a “9j 提出了比i c c g 法更有效的并行 a m g 法等。我国国内对电磁场的数值计算的研究也取得了很大的成果。 第l 章绪论 在求解大型线性方程组的算法方面，河北工业大学的顾军华、沈雪勤、颜 威利等阐述了用有限元法求解三维电磁场问题时，基于单元接单元即e b e ( e l e m e n t _ b y e l e m e n t ) 技术的并行共轭梯度法和并行对角预处理共轭梯度 法【1 0 1 】；华中理工大学的余海涛、邵可然、周克定在b i c g 法的基础上经 预条件处理，建立了p b c g 法的迭代公式i l2 j ；沈阳工业大学的谢德辣、姚 缨英、白保东提出了一种适用于电磁场分析的大型稀疏矩阵对称线性方程 组求解的改进预处理法。该方法的特点是，利用原始稀疏矩阵和分解中的 下三角矩阵的元素的数值来确定预处理矩阵的稀疏格式，并利用两个控制 参数适当减少不完全三角分解的时间【l ”。在建立模型方面，重庆大学的饶 明忠、谭邦定、黄键等研究了棱边有限元，给棱边有限元下了定义，并对 棱边有限元法的性质进行了分析，还导出了六面体的卜型式插值基函数和 电磁场统一边值问题的棱边有限元方程【1 4 】；徐国华、宋国乡、蒋宗荣、施 浒立、颜毅华、李钟明等则提出了拓扑有限元法，并将它应用于稀土永磁 电机的分析和优化中，取得了很好的效果【1 5 】f 1 6 】【17 】【1 8 】【1 9 】【20 1 。福州大学的张 永烈也提出用有限元一网络图论组合法，将有限元剖分应用网络图论的拓 扑性质，使基本方程规范化【2 ”。由拓扑有限元法得出的点边关联矩阵a 只 含0 、l 、一l 三种元素，影响度矩阵h 为对角阵，均具有形式简单，易于 存储和处理的特点，同时还有直观的几何和物理意义：a 取决于场域剖分 的拓扑性质，h 取决于场的物理性质。此外，大连理工大学的吴华瑛提出 了求解二维电磁场的分片多项式方法，可以在减少剖分单元的情况下，提 高解的精度【2 “。沈阳工业大学的胡岩、唐任远等在迦辽金有限元法中引入 了几何变换法建立求解开域电磁场问题的数学模型，该方法保留了有限元 法系数矩阵对称、稀疏的优点，可以求出截断区域以外的场值，并且利用 现有的有限元程序进行适当的修改即可实现开域电磁场问题的有限元计 算【2 。广西大学的李世作、肖仁山给出了钕铁硼永磁无刷直流电机电磁场 有限元分析的两种数学模型，并结合电机数据进行了计算对比【24 1 。 c o m p u m a g ( c o m p u t i n ge l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s ) c o n f e r e n c e 是电磁 场计算领域最具权威、水平最高的国际性电磁场学术会议，由国际电磁场 计算学会主办，每两年举行一次，会议上交流的论文反映了计算电磁学的 发展状况，i c s 理事会前主席c w t r o w b r i d g e 在1 9 9 6 年对前1 0 界 c o m p u m a g 会议了总结，指出了计算电磁学已取得的成就和尚待解决的 第1 章绪论 问题j ： ( 1 ) 有限元法( f e m ) 的二维、三维解已经有了很大发展，包括对 稳态、时变场问题和非线性问题、运动媒质问题的处理，对规范问题的正 确理解等等。用有限元法解决工程问题的论文所占的比例最大。目前，三 维涡流场分析仍然是最受重视的问题之一。 ( 2 ) 边界元法( b e m ) 可以用来分析二维、三维问题，但边界元与 有限元相比较，哪一种方法更有前途，仍没有定论。 ( 3 ) 用棱边元( e d g ee l e m e n t )方式构造f e m 和b e m 的基函数， 是对传统节点元的革新，对于描述场的变化和连续性提供了有效的物理框 架。 ( 4 ) 提出了用于有限元的其他泛函，其中包含了能量的上界和下界 解以及构成方法 ( 5 ) 所研究场域外部问题的处理有多种方法，特别是k e l v i n 变换( 用 于与f e m 结合) 已被广泛采用。 ( 6 ) 网格的自动形成和误差分析已经取得了很大进展，但是自适应 三维网格的生成还有待于大力研究。 ( 7 ) 电磁场分析的逆问题和优化问题发展很快，几种随机化的总体 优化方法正在平行研究，但是尚未形成通用性强、易于操作的高效能方法。 ( 8 ) 软件的操作与运行环境已经有了长足的进步，开发出了一批电 磁场分析的商品软件，其中包括用以计算三维恒定电、磁场和涡流场及其 后处理的功能，在实际工作中给设计工程师带来很大的方便。 ( 9 ) 利用计算电磁学的工具已能够进行电磁设备的有效设计，避免 制造昂贵的样机，能够研究许多传统方法不能解决的问题，因而这一工具 在许多工业领域得到了日益广泛的应用。 ( 10 ) 开展了有组织的t e a mw o r k s h o p s 学术活动。 1 1 2 计算电磁学的新进展 4 2 0 0 3 年第1 4 届c o m p u m a g 在美国纽约州的小城s a r a t o g as p r i n g 召开， 会议上交流的4 2 4 篇论文代表了国际上近几年来计算电磁学的发展现状和 最新成果。可归结如下1 2 5 】： ( 1 ) 有限元法砸童用最卢 磊；，仍然是数值计算方法的主流。但由壬有 第l 章绪论 限元网格生成与数据前处理的繁复费时，在进一步研究网格自适应技术的 同时，一些研究者已经开始“无单元法”的新探索，应用移动的最小二乘 近似( m o v i n g1 e a s ts q u a r ea p p r o x i m a t i o n ) ，在无网格的情况下构造 基于节点集的形状函数。此外，作为对节点元的革新的棱边元法得到更多 成功的应用。 ( 2 ) 耦合问题研究取得了很大进展。采用电路系统变量与电磁场变 量的直接耦合来分析二维电磁场已经很普遍。电磁系统与机械运动的耦 合、电磁系统与包括磁致伸缩效应在内的微型机械变形问题的耦合、磁场 与熔融金属流场的耦合、电场与气流场的耦合均已吸引了不少研究者的关 注。 ( 3 ) 尽管电磁场形状优化研究直到上世纪9 0 年代初才成为 c 0 m p u m a g 会议的一个专题，但发展很快，取得了众多成果。遗传算法、 模拟退火法、禁忌搜索法、灵敏度分析等不同领域发展起来的方法被应用 于电磁装置的优化设计。近年来将不同方法有机结合的混合优化算法文章 较多，在第1 4 届c o m p u m a g 会议上，有研究者应用混沌理论与a 1 0 p e x 算法相结合，提高了参数空间中被搜索点的遍历性，从而减少了陷入局部 最优解的可能性，并加速了算法收敛。 ( 4 ) 与高频电磁场、电磁波的传播相关的论文在近1 0 年的 c o m p u m a g 会议中数量激增。所采用的数值算法中，时域有限差分法 ( f d t d ) 占有很大份额，并得到深入研究；此外有限元、边界元和矩量 法的应用也很广泛。 ( 5 ) 在数值技术方面，大型代数方程组解法、网格技术、并行计算 的研究都取得了重要进展。由于不断改进大型稀疏对称线性代数方程组系 数矩阵的预处理方法，大大减少了求解有限元离散化方程组的存储量要求 和计算时间，与此同时，借助于计算机运算速度和内存容量的迅速提高， 使得在个人微型计算机上求解几十万个未知数的有限元代数方程组成为 可能。 ( 6 ) 计算结果的实验验证研究积累了丰富成果。数值计算的结果是 大量的数据，对于三维工程问题，数据量常超过几十兆。如何从计算结果 来检验数学模型、计算方法和相应计算机软件的正确性，这个问题本身就 构成值得研究的课题。 第1 章绪论 展望未来，在文献 2 5 中，作者提到了在新世纪中，计算电磁学研究 值得注意的几个方向： ( 1 ) 各种快速算法的研究 计算电磁学的核心问题是实现快速高效的计算，为此需要总结现有的 电磁场数值计算方法的优缺点，提出例如无单元法那样新的方法，或者在 不同算法的巧妙结合中寻找有效的新算法，从数学模型开始就提高算法的 快速性。 工程电磁系统的许多问题都需要反复求解几万阶甚至更高阶的代数 方程组，有些问题所导出的代数方程组具有病态的系数矩阵。有时，采用 现代的甚至未来的超级计算机也难以完成计算任务。面对工程实际提出的 要求，研究快速、高效的代数方程组解法仍是持续的任务。目前正在探索 的各种预处理共轭梯度法、快速多重多极子算法、区域分解快速算法、样 条基函数应用、小波基函数应用等等将得到进一步研究。 ( 2 ) 全局优化方法的研究 在电磁装置与系统的制造与运行中，实现设计与控制的优化是工业界 与研究者的最终目标。工程上的优化问题通常为多目标，并含有非线性约 束。目前流行的各类随机化优化方法和确定性优化方法并未完全解决加快 优化搜索收敛速度和避免陷入局部最优解的问题。探索与复杂电磁分析相 结合的全局优化方法仍然是计算电磁学持续的任务。 ( 3 ) 提高复杂电磁场问题的分析能力 三维电磁场分析，特别是包含物体的运动、与不同物理场( 热、力、流体 等) 相耦合的问题，仍具有相当难度。 电磁材料特性在数值计算中的模拟需要进一步精细化，例如电磁参数的各 向异性、非线性模拟，局部磁滞回线、电磁参数温度效应的的计入等等。非 线性介质中电磁波的传播，大尺寸物体的电磁场分析，微分与积分方程的混合 方法仍在探索中。 ( 4 ) 智能化工程专家系统 尽管目前已经存在一些通用性商业软件，并且商业软件的功能也在不 断丰富，但显然不能代替专用工程软件的作用。从发展来看，智能化工程 专家系统是电磁场工程的具体体现。需要研究知识数据库和智能设计系统 的集成，以便构造适当的工业设计环境。同时，要进一步研究各种几何建 6 第l 章绪论 模方式和网格自适应方法，以便满足电磁机械耦合问题、形状优化问题 中重复形成网格的需要。利用图形与色彩进行各类矢量与标量三维场的图 示，便于工程技术人员检查计算结果、对设计方案实施必要的人工干预。 1 2 计算电磁场的主要数值方法 目前，常用的电磁场数值分析方法主要可以分为积分方程法和微分方 程法两大类。积分方程法的求解维数通常比微分方程法少一维，适合求解 开限域问题，解的精度较高，但获得的方程系数矩阵是满秩的，在处理非 均匀、非线性和时变媒质问题时有一定的困难；微分方程法离散得到的方 程系数矩阵是稀疏的，利于存储，对非均匀、非线性媒质问题处理起来也 较方便，但用于开区域问题时需要利用吸收边界条件截断计算空间。两类 方法各有优势，也各有局限性，将它们结合在一起用于复杂电磁场问题的 研究，有利于发挥各自的优势，是今后研究的一个重点。 1 2 1 有限差分法 有限差分法是应用于电磁场数值计算的较古老、最成熟的一种基于微分方 程的数值方法，它的基本思想是用差分代替微分，将微分方程转化为差分方程。 其解题的基本步骤是：先将求解区域划分为有限个网格单元，通常采用矩形网 格，在节点上用差分代替微分，将微分方程转化为有限差分方程，最后结合边 界条件对方程进行求解。有限差分法有方法简单、概念清晰的优点，它在工程 问题当中的应用早于有限元法，但由于其要求剖分的网格有规则，而实际电气 设备的外形较为复杂，用有限差分法很难令人满意的对边界进行拟合，因此， 自有限元法出现以后，有限差分法在计算电磁学中的地位就逐步被有限元法所 替代。 1 2 2有限元法 有限元法也是一种基于微分方程的数值方法，它以变分原理和剖分插 值为基础，将微分方程转化为代数方程。有限元法脱胎于里兹法，与里兹 法不同的是它的基函数是分域基而不是里兹法的整域基，在场域内部不需 要满足边界条件，因此有限元法的基函数可以取得比较简单。有限元法的 实施步骤包括：由边值问题找到对应的变分问题，单元剖分，在各单元中 第1 章绪论 选择合适的插值函数并积分，将连续量转变为有限个离散量，求泛函极值 获得有限元方程，解该方程得到原问题的数值解。 1 2 3矩量法 矩量法是一种将算子方程转化为代数方程的离散方法，它既可以用于 积分方程，也可以用于微分方程，但是用于微分方程时离散得到的代数方 程组的系数矩阵往往是病态的，因此主要用于积分方程的求解。用矩量法 分析问题的步骤为：首先将需要求解的微分方程或积分方程写成带有微分 或积分算符的算子方程；再将待求函数表示为某一组选用的基函数的线性 组合并代入算子方程；最后用一组选定的权函数对所得的方程取矩量，就 得到一个矩阵方程或代数方程组。矩量法的缺点主要是计算量大，用于积 分方程时获得的方程组的系数矩阵是满秩的，因此当变量个数n 很大时， 即使是性能强大的计算机，要计算出问题的解也是相当困难的。 1 2 4边界元法 边界元法是把边界积分法于有限元法的离散方式组合起来的产物，用 加权余量法将描述场的微分方程归结为边界上的积分方程，然后参照有限 元的离散方法，将求解区域的边界剖分成有限个小单元段，在每一单元中 插值，最后得到一组代数方程。边界元法既有积分法变量维数较少的优点， 又能象有限元法那样较好地拟和边界。 1 3 选题的意义和本文的安排 1 3 1选题的意义 计算电磁学是一门新兴的、综合性的学科。它所研究的对象主要是工程中 电磁场的分布问题，它所涉及到的学科非常多，有电磁场理论、数值计算方法、 最优化理论、计算机软件工程等等，它的应用范围十分广泛，除了传统的电力、 电子、电气设备的优化设计及微波通讯外，在军事、医学、地质勘探、无损检 测等各方面都有着广阔的应用前景，目前正受到全世界各国科学家越来越广泛 的关注。 一 虽然电磁场数值计算的各种新方法层出不穷，但有限元法以其单元剖 第l 章绪论 分灵活、边界条件容易处理、方程矩阵稀疏对称等优点直是其中最有效、 应用最广泛的方法，在计算电磁学中有着不可忽视的地位，各种商业电磁 场分析软件也多以有限元法作为其计算核心。然而随着对一些大型电磁场 问题的研究以及工程上对问题的解精度要求的提高，剖分单元和节点数也 大幅增加，用有限元法离散得到的方程组的阶数将变得很高，一般可以达 到几万阶甚至更高，这使得传统有限法的一些缺点，如存储系数矩阵需要 占用大量内存、节点编号优化较复杂、解方程时迭代收敛较慢等逐渐显现 出来。因此，寻找快速、高效的新型有限元算法有着实际的意义。拓扑有 限元法有矩阵形式简单，易于处理和存储，无须对节点的编号进行优化处 理等优点，但从其提出直到今天，由于对其研究较少，其优点未能得到有 效地利用，使它没有能够在计算电磁学中发挥更大的作用，本文所研究的 拓扑有限元结合预处理共轭梯度法能够充分利用拓扑有限元的优点，新算 法可以节约大量的计算机内存，有效地提高计算速度，为大型电磁场问题 的求解提供了新的途径。 1 3 2 本文的安排 本文的第一章主要介绍了计算电磁学的产生、发展和近况，并简要介绍了 计算电磁场的主要数值方法。第二章为有限元法的理论基础及一些相关问题。 第三章研究了有限元网格的剖分技术，将前沿法、d e l a u n a y 三角化法等结合在 一起，实现了对任意二维区域的剖分，并用v i s u a lc + + 编制了相关程序。第四 章研究了拓扑有限元法及一种新的预处理共轭梯度法，并将两者结合起来，构 成了一种新算法。在第五章中使用新算法对一些电磁场问题进行了编程计算， 验证了新算法的正确性和有效性。第六章对全文进行了总结。 第2 章计算电磁场的有限元法 第2 章计算电磁场的有限元法 2 1 有限元法的发展状况 有限元法是目前在工程领域中应用得最为广泛的一种数值算法，其最早由 德国数学家r c o u m n t 于上世纪四十年代提出。在工程中的应用开始于2 0 世 纪5 0 年代，当时用于飞机设计时分析飞机的应力，在用传统力学分析方法无 法解决的情况下，波音公司的一个技术小组将机翼离散为有限个三角单元后再 进行分析，使问题得到解决。1 9 6 0 年初，美国的r wc l o u 曲教授在其著作 中正式提出了“有限单元”的概念，在同一时期，我国著名的数学家、应用数 学和计算数学家，冯康教授也独立于西方提出了一整套解微分方程问题的系统 化、现代化的计算方法，当时命名为基于变分原理差分方法，即现在国际上通 称的“有限元法”。将有限元法从力学引入电磁场领域的是w i n s l o w ，他于1 9 6 5 年在计算加速器磁铁的饱和效应时第一次将有限元法引入了电工设备电磁场 的计算领域，接着s i l v e s t e r 和c h 撕则提出了电机内电磁场问题的第一个通用 非线行变分表述。从此以后，有限元法开始广泛应用于求解各种电工电磁场问 题。其中，7 0 年代a n d e r s o n 用有限元法研究了变压器的漏磁场，奥田( 0 k u d a ) 、 川村( k a w a r n u r a ) 和西( n i s h i ) 等人对汽轮发电机端部磁场的研究，8 0 年代 n a k a t a 等人对电磁材料特性的数值模拟和实验研究，m o r i s u e 、b i r o 等人对规 范问题的新见解，都是富有开创性的成果1 2 6 】。9 0 年代发展的矢量有限元( 又 称棱边元) ，克服了传统的有限元法会出现无意义的“伪解”的缺点，使有限 元法又迈上了新台阶。 与其它数值方法相比，有限元法具有以下优点： ( 1 ) 对求解区域的剖分有很大的灵活性。单元的形状可以根据边界情况 进行选择，且在一个求解域中，可以使用同一类型的单元，也可以使用不同类 型的单元，因此，对边界的拟合可以得到令人满意的效果。此外，单元剖分的 疏密程度在整个求解域中可以不同，在场量变化平缓的区域可以剖分得疏一 些，而在变化较剧烈或我们较感兴趣的区域可以剖分得密一些，这样可以在减 少计算量的情况下获得令人满意的结果。 ( 2 ) 用有限元法离散出的方程组的系数矩阵具有对称、正定、稀疏的优 第2 章计算电磁场的有限元法 点，可以采用一些特殊的处理方法，如对非零元素的变带宽压缩存储等，达到 节省计算机存储单元，加快计算速度的目的。 ( 3 ) 对边界条件的处理比较方便，对第二、第三类边界条件不需要特殊 处理，对第一类边界条间只需在解方程时强加。 ( 4 ) 有限元法各环节相对独立，容易编制通用的程序。如今市场上已经 出现了不少商业软件，比较著名的有a n s y s 、a n s o f t 、s u p e r s a p 等，我 国的飞箭软件公司也推出了自己的f e p g 。 2 2 有限元法的基本原理 根据获得有限元方程组的方法的不同，有限元法可以分为基于变分原理的 有限元法和迦辽金有限元法。基于变分原理的有限元法( 即通常所指的有限元 法) 的基本指导思想是：将要求解的边值问题转换成与之相等价的泛函变分问 题，将求解微分方程组转变成求解代数方程组，将求解对象由原来的连续场量 变为有限个节点处的场量值。由此可知，用有限元法计算电磁场问题时要解决 以下几个问题，j ： ( 1 ) 找出与原边值问题相对应的泛函及其等价的变分问题； ( 2 ) 将连续域离散成剖分单元之和；将未知的连续函数离散成有限项函 数之和，即将无限个自由度的问题离散成有限个自由度的问题： ( 3 ) 求泛函的极值，离散出矩阵方程，称之为有限元方程； ( 4 ) 用直接法或迭代法或优化法求解有限元方程。 2 2 1 电磁场边值问题及与之对应的泛函 根据给定的边界条件，泊松方程或拉普拉斯方程将有唯一解。边界条 件通常有以下三种： ( 1 ) 第一类边界条件：待求的位函数在区域边界上的值为已知函数。 妒= 厂( s ) ( 2 1 ) 式中f ( s ) 为边界点s 的点函数。对应的边值问题称为第一类边值问题 或第略赫利问题。 第2 章计算电磁场的有限元法 ( 2 ) 第二类边界条件：待求的位函数在边界上的法方向导数为已知 的函数 娑：，( j ) ( 2 2 ) 对应的边值问题称为第二类边值问题或聂以曼问题问题。 ( 3 ) 第三类边界条件：已知边界上的位函数与其法向导数的线性组 合 妒+ z ( 5 ) 譬= 正( s ) ( 2 3 ) 对应的边值问题称为第三类边值问题。 与这些边值问题相对应的泛函极值问题分别为： f ( 妒) = 告s i v 妒1 2 一p 倒矿= m i n ( 2 4 ) f ( 伊) = 导陋i v 伊1 2 2 尸伊】d 矿一嗔s ( 五妒一号石p 2 ) d s = m i n ( 2 5 ) 其中式2 4 为与第一类、第二类边值问题等价的变分问题，式2 5 为 与第三类边值问题等价的变分问题。可以证明，在泛函取极值的过程中， 第二类、第三类边界条件将自动得到满足，因此又称这种类型的边界条件 为自然边界条件，对应的变分问题称为无条件变分问题，而第一类边界条 件在泛函求极值的过程中没有自动满足，必须单独进行处理，因此第一类 边界条件又称为强加边界条件，对应的边变分问题称为条件变分问题。实 际的问题通常给出的是两类边界条件的组合，称为混合边界条件，如给出 第一类和第二类边界条件的边值问题为： v z 。：一旦! 三：羔! 望 s 妒i ，。= 厂( s ) 譬i 矿。 锄o “。 第2 章计算电磁场的有限元法 则对应的变分问题为： f ( 咖= 圭e l v 矿1 2d 矿一p 彤矿= 三【( 罢) 2 + ( 考) 2 + ( 警) 2 一胛) 砒纰= m i n 儿= ，( s ) 2 2 2 系数矩阵及有限元方程的形成 找到与要求解的边值问题相对应的泛函变分问题后，下一步就是将求解区 域剖分离散，如仍以2 2 1 小节末的问题为例，采用四节点四面体单元将场域 剖分离散，原泛函可用各单元泛函的和表示： f ( 咖= j l 三【( 警) 2 + ( 考) 2 + ( 警) 2 一胛) 妣纰 = 车瞒 絮) 2 + ( 予2 + ( 2 h 舭舭2 车脚) 2 车( e 。( 卅e 1 ( 鳓 在单元内部p 用如下线性插值函数表示 妒= 口l + 口2 z + 吃y + 口4 z ( 2 6 ) q 、呸、吼为待定系数，将四面体四个节点的电位代入得： 令 妒1 仍 仍 纯 1 1 x 2 1 b 1 mz 1 口l y ： z ：0 口： 儿毛1 y 。z 。j l 口。 4 = 1 1 而 1 屯 1 托 ( 2 7 ) 第2 章计算电磁场的有限元法 容易解得 a 一 口2 口3 口d 式中爿为爿的伴随阵 = 彳一 仍 鲠 仍 仍 爿= 彳 h 仍 仍 仍 亿 ( 2 8 ) 令q 2 4 6 f = 4 ：，c = 如，吐= 4 。，而h = 专，其中y 为单元的体积 则有： 1 亡 a ，2 i 歹车q 够 l 亡， 口：2 万年岛够 l 亡 2 万年q 够 1 亡， 吼2 万年d ，够 将其代入( 2 6 ) 式，整理得： 妒( 墨y ，z ) = 辜仍，式中= 专( q + 岛x + c f y + z z ) f - l ，2 ，3 ，4 j 称为单元的形状函数，跟单元节点的坐标有关。 ( 2 9 ) 山办办山 氏如如厶 厶如如如九如九九 第2 章计算电磁场的有限元法 妒分别对x 、y 、z 求偏导数得 定义 则 其中 知一l 叭a ：堕 缸l 缸砒缸 塑：i 盟盟盟盟i 砂l 砂 砂 砂砂j a 瑟 8 n 2 a z v = 8 n 3 良 仍 仍 纯 仍 仍 仍 仍 仍 吼 仍 仍 亿 = 击 6 l 6 2 如钆】 专【c l c ：q 古h 吐吐 ，v 矿：塑塑 7 l 苏 砂 e 。( 毋l 扣妒7 蚴出 坟= 专 吾l 最纯， 统纯 出咖出， 6 16 2 c l岛 吐破 也6 4 岛c 4 d 3 d 4 仍 仍 讫 亿 仍仍仍败 纯仍伤红 却瓦却一砂却i 第2 章计算电磁场的有限元法 则单元泛函的第一部分可表示为： f 。( 妒) = 乒v v 妒7 出巧仡= 詈l e 纯 7 皖纯 出咖出 = 与9 jt o e s b j8 出d y d z 、吼= 与9 | 。k p e 式中k 称为单元系数矩阵。 k 。= l b ? b 砖d y ( 1 z 占 3 6 矿 岛c l吐 6 2c ：畋 b 3c 3d 3 b 4c 4d 4 雕 6 3 c 3 以 其中的元素为： 巧= 了( 6 q + q 巳+ z 嘭) ( f ，= l ，2 ，3 ，4 ) ( 2 1 0 ) 而单元泛函的第二部分为： ( p ) = l 讲m 仍+ ：仍+ 3 仍+ 4 纸 出咖出= l p k 纯出咖出 要使单元泛函e ( 妒) 取极值，可分别对纪求导，令其为零，可得 要：k 纯一：o d 纪 其中： 坛屹坛 吆 _l = llllj 纨以办 第2 章计算电磁场的有限元法 魍一 d 织 a f ! a 仍 a e a 仍 8 f ! a 仍 a e a 仍 ； 纯2 仍 仍 仍 亿 ； 只= l p n 印 l p n ；d v l ! p m d y k p n ；d v 将各单元系数矩阵扩展为h 月阶( n 为节点数) 并将总体下标相同的元素累加 起来，即可得到总系数矩阵世，即 砖，= 鳝( 2 以i 为 顶点的o = 巧 以i j 为公 共边的e ( 2 1 2 ) 总系数矩阵k 有如下特点：k 是一个n n 阶的稀疏、对称、主对角线占 优的正定矩阵，非零元素主要集中在矩阵对角线两侧。将所有的单元矩阵总体 合成后即可得到有限元方程： k 毋= p 缈l ，。= ，( s ) 2 2 3 有限元方程的求解方法 泛函离散求极值后获得的有限元方程是一组代数方程组，且无论是线 性问题还是非线性问题，最终都将求解线性代数方程组。对于这类方程组 常用的求解方法有三类：直接法、迭代法、优化方法。 ( 1 ) 直接法包括最基本的高斯消元法、列主元消元法及各种分解 法。使用直接法在理论上经过有限次运算即可求得精确解，但实际上由 第2 章计算电磁场的有限元法 于计算机“字长”的限制，计算过程中会有舍入误差，所以结果仍是近 似解。如果方程的系数矩阵阶数不高，则用直接法速度较快，精度也较 高，但当方程的系数矩阵阶数较高时，由于舍入误差的不断积累，计算 精度将大为降低。 ( 2 ) 迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的 方法。常用的迭代法有：雅可比迭代法、高斯一塞德尔迭代法、超松弛迭 代法等。用迭代法编程计算简单明了，但当求解大型线性方程组时，迭代 次数多，计算时间长。 ( 3 ) 优化的方法是从初始值开始，在目标函数的可行域内寻找一个 使目标函数减小的下降方向和步长因子，在下降方向上找到新的点，不断 进行下去，直到满足收敛条件时迭代停止。优化法中根据搜索方向的不同 有多种，使用得较多的是共轭梯度法( c g 法) ，为加速迭代收敛，常对 系数矩阵进行一定的预处理，目前使用得最多的是不完全乔列斯基分解的 共轭梯度法( i c c g 法) 。本文将在下一节中介绍共轭梯度法及其预处理， 以及常用的i c c g 法。 2 3 共轭梯度法 2 t 3 1 共轭梯度法 共轭梯度法是一种解线性方程组的优化方法，它利用目标函数的梯度 构造共轭方向作为搜索方向，通过不断在共轭方向上寻找新点，逐渐接近 目标函数的极小值，而使目标函数取极小值的点即为原线性方程组的解。 可以知道，有限元方程组： k 凹= p( 2 1 3 ) 等价于下列二次函数取极小值问题： ， f ( 妒) = 三妒7 k 缈一p 妒 对该优化问题，第一步采用负梯度方向作为搜索方向 轭方向作为搜索方向，可构造如下迭代格式： ( 1 ) 选定一组初值p “，给定误差占 ( 2 1 4 ) 以后各步均采用共 第2 章计算电磁场的有限元法 ( 2 ) 计算目标函数在舻o 处的负梯度 y o = 一f ( 妒) = j p k p o ( 3 ) 将其作为第一次搜索方向 ( 4 ) f = o ( 5 ) 计算步长因子口 ( 6 ) 计算新点 掌o ) = y o d = ( ) 7 脂妒k 妒= + d ( 7 ) 计算在新点处的梯度 ，。+ 1 = y ”一n k 孝。 若杪”1 忙占，迭代终止，否则继续 ( 8 ) 计算系数 6 = 善件d 7 善o “手“7 善u ( 9 ) 计算新的搜索方向 善1 + 1 = y 什1 + 6 善。 ( 1 0 ) f - f + l ，转到第( 5 ) 步 2 3 2共轭梯度法的预处理 利用共轭梯度法解线性方程组时，其收敛的快慢与方程组的系数矩阵 的性能有关。当系数矩阵的性能较差时，迭代次数将大大增加，甚至难于 收敛，从而使该方法失效。系数矩阵的性能通常用条件数来表示，对于正 j o 定矩阵爿，条件数的定义为 第2 章计算电磁场的有限元法 c o n 拟：兰! n ( 2 1 5 ) 式中丸。和九。分别是矩阵一的最大和最小特征值。从式4 6 可以看到 矩阵的条件数大小取决于丑。和九。的比值，九。和九。的值相差越大，条 件数越大，越不利于用共轭梯度法计算。有限元方程的系数矩阵是对称正 定矩阵，主对角线元素较