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课时作业14定积分在几何中的应用知识点一 不分割图形面积的求解1.由曲线yf(x)(f(x)0),直线xa,xb(ab)与x轴所围成的曲边梯形的面积S等于()Af(x)dxBf(x)dxCf(x) dxadxDf(x)dxbdx答案B解析由定积分的几何意义,可知Sf(x)dx.2.如图,曲线yx2(x0)和直线x0,x1,y所围成的图形(阴影部分)的面积为()A BC D答案D3由曲线y,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A B4C D6答案C解析如下图阴影部分面积即为所求,求得曲线y与直线yx2的交点为A(4,2),知识点二 分割图形面积的求解4.由抛物线yx2x,直线x1及x轴围成的图形的面积为()A B1 C D答案B解析由图可知,所求面积S (x2x)dx(xx2)dx|1.5曲线yx3与直线yx所围封闭图形的面积等于()A (xx3)dx B (x3x)dxC2 (xx3)dx D2 (xx3)dx答案C解析如下图阴影部分的面积S2(xx3)dx.故选C6求曲线yx2和直线x0,x1,yt2,t(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值解由定积分与微积分基本定理,得SS1S2(t2x2)dx(x2t2)dx|t3t3t2t3t3t3t2,t(0,1),所以S4t22t,所以t或t0(舍去)当t变化时,S,S变化情况如下表:tS0S单调递减极小值单调递增所以当t时,S最小,且Smin.一、选择题1如图所示,曲线yx21,x2,x0,y0围成的阴影部分的面积为()A|x21|dxBC(x21)dxD(x21)dx答案A解析由曲线y|x21|的对称性,所求阴影部分的面积与如图所示的阴影部分的面积相等,即|x21|dx.故选A2如图,阴影部分的面积为()A9 B C D答案B解析由求得两曲线交点为A(2,4),B(1,1)结合图形可知阴影部分的面积为S x2(x2)dx (x2x2)dx.3已知二次函数yf(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为()A B C D答案B解析由题中图象易知f(x)x21,则所求面积为2(x21)dx2.故选B4直线l过抛物线C:x24y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A B2 C D答案C解析由题知,抛物线C的焦点为F(0,1),又l过F且与y轴垂直,l为y1,l与C所围成的图形面积S41dx444.5若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是,则c等于()A B C1 D答案B解析由得x0或x.0x时,x2cx3,S0(x2cx3)dx,c3,c.二、填空题6曲线yex,yex及x1所围成的图形的面积为_答案e2解析作出图形,如图所示S(exex)dx(exex)e(11)e2.7由正弦曲线ysinx,x和直线x及x轴所围成的平面图形的面积等于_答案3解析如图,所围成的平面图形(阴影部分)的面积8如图,已知点A,点P(x0,y0)(x00)在曲线yx2上,若阴影部分面积与OAP面积相等时,x0_.答案解析由题意得阴影部分的面积为x2dxx,因此xx0,解得x0.三、解答题9计算由曲线yx21,直线xy3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.解画出两函数的图象,如图所示由得或又直线xy3与x轴交于点(3,0),S(x21)dx(3x)dx1.10在曲线yx2(x0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程解由题意可设切点A的坐标为(x0,x),则切线方程为y2x0xx,可得切线与x轴的
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